О смешаной задаче для одного класса квазипараболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

о смешанной задаче для одного КЛАССА

КВАЗИПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

И.Е. СИГАЛОВ, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р. физ-мат. наук,

Л. А. УРОШЛЕВ, лаб. каф. высшей математики МГУЛ

leonidyroshlev@list.ru Заменим в (8) частные производные

Рассматривается задача о нахождении решений u(t,x) квазипараболического уравнения вида

d2u 12 d3u ,1Ч

----= Ь —7 (1)

dtdx дХ

в области Q = {0 < t < T, x > 0}, b е RJ0, удовлетворяющего условиям

uU = °. (2)

u(t, x)_f(t). (3)

x^+0

Поставленная задача решается с помощью преобразования Лапласа по t

О +i"

u (t, x) _ J eptv(x, p)dp . (4)

О)-i"

Для того, чтобы u(t,x) удовлетворяла условиям (1, 2, 3), она должна быть решением краевой задачи

dv , 2 d3v

pл1+b2^ri_0,

dx

=f(p')-.

lx=0 1"

(5)

(6) (7)

f (P) = ~.J erXf (T)dT .

i 0

Получено полупространственное фундаментальное решение

О +i" pt-

Gp

bll

G (t, x) = J e n dp .

О0-i"

Доказана разрешимость задачи (1-2-3) и получена формула решения

ад

u(t, x) = J G(t-T, x)d t , ft) е C1[0; ").

0

Для простоты возьмем уравнение, получаемое при b = i

dh _ d2u (8)

dx3 dxdt

Решим численно следующую смешанную задачу

u(0,t) = 9(0,t), u(x,0) = 0,

du

dx

x = x

du

'dx

x = x

=0

0

решается в прямоугольнике [0,0;x0,t0].

(9)

следующими разностными отношениями [1]. dfu

dx3

u( x + 3Ax,t) - 3u( x + 2Ax,t) + 3u( x + Ax,t) - u( x,t) (Ax)3

d2u

dxdt

u( x + Ax,t + At) - u( x,t + At) - u( x + Ax,t)+u( x,t) AxAt

откуда получаем следующий разностный оператор

r , 4 um+3 - 3um+2 + 3um+1 - um Lhl (u ) _ -2-nn^ +

+

_.m+1 _,m

un+1 un+1 un

h

m+1

+u

Ih

(10)

где unm - значение функции в точке (m,n); u m+1 и u m - значения в точках (m + h,n) и (m,n + /).

Далее спроецируем граничные условия на равномерную сетку с длиной ячейки h и шириной ячейки l. Получим un0 = ф(п), u0m = 0,

Up-1 - ut"“ = up-2 - 2utx-1 + u?

h h2

для любого t е [0, t0] . (11) Преобразуем (10)

um+3 - 3um+2 + 3um+1 - um ^n 3ltn \ 3ltn Un

h

+

+

m+1 m m+1 . m

u + -u + -u +u

n+1 n+1 n n 0 ^

/h

um+ _-Uu:+3 - 3<+2+3um+1 - um)+

h

m m +1 m

+un+1 + un - un .

Таким образом, значение решения уравнение в любой точке линейно выражается через значения решения в предыдущих точках, в которых значения решения уже вычислены.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

129

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Программа на языке Pascal для вычисления значения функции в любой точке в условиях данной смешанной задачи

program Diff_Ur; uses CRT;

function Caushi_Function (x: real): real; begin

Caushi_Function:=1/(1+sqr(x)); end;

function Yr_Usl (x: real): real; begin Yr_Usl:=0; end;

var u3,u2,u1,u,um1,ns: real; h,l: real; x,t,e,r: real; buf, buf2: file of real; begin clrscr;

writeln (‘Введите точку’); read (x); read (t);

writeln (‘Введите длину и ширину ячейки сетки’);

{Вводятся границы прямоугольника}

’);

read (h); read (l);

assign (buf, ‘tmp. rewrite (buf); assign (buf2, ‘tmp2.$$$’); rewrite (buf2); e:=3*l;

um1:=Caushi_Function (0); u:=Caushi_Function (0); u1:=Caushi_Function (l); u2:=Caushi_Function (2*l); u3:=Caushi_Function (3*l); while (e<=x) do begin

ns:=(-h/sqr(l))*(u3-3*u2+3*u1-u) + um1+u1-u;

um1:=ns;

write (buf,ns);

u:=u1;

u1:=u2;

{Вводятся длина и ширина ячейки сетки}

{Промежуточные значения вычисляемой функции}

{сохраняются в файл, так как при измельчении} {сетки значения предыдущего слоя могут превысить} {размер доступной памяти}

{Вычисление первого слоя, используя граничные} {условия}

u2:=u3;

e:=e+h;

u3:=Caushi_Function (e); end; e:=0; r:=0;

close (buf);

assign (buf,’tmp.$$$’); reset (buf); while (r<t) do begin

um1:=Yr_Usl (e); read (buf, u); read (buf, u1); read (buf, u2); read (buf, u3);

130

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

e:=e+l;

while not eof(buf) do begin

ns:=(-h/sqr(l))*(u3-3*u2+3*u1-u)+um1+u1-u;

um1:=ns;

u:=u1;

u1:=u2;

u2:=u3;

read (buf, u3); write (buf2, ns); end;

ns:=(-h/sqr(l))*(u3-3*u2+3*u1-u)+um1+u1-u; write (buf2, ns);

write (buf2, ns); write (buf2, ns); write (buf2, ns); erase (buf); close (buf);

rename (buf2,’tmp.$$$’); assign (buf, ‘tmp.$$$’); reset (buf); close (buf2);

assign (buf2, ‘tmp2. $$$’); rewrite (buf2); r:=r+l; end;

writeln (‘z(x,t)=’,ns); end.

u xo-2 _ u xo-1 _ u xo

{Так как из условий (3) имеем t t t , }

{ то последовательно запишем в файл три раза последнее} {значение схемы}

{Вывод результата на экран}

Найдем порядок аппроксимации данной схемы. Обозначим r (u) абсолютную погрешность схемы (10).

rn (u ) _

um+3 - 3u”+2 + 3um+l - u"

n n n n

hi

+

+

_ m+1 „ m „ m+1 . _ m ^3 ^2

un+1 - un+1 - un + un du du

Ih

----3------. (12)

dx3 dxdt

Из формулы Тейлора имеем

. 1 ч . ч ды„, 1 d u. 1 ч2

u (х + 3h,t) _ u( x,t) +-3h +--(3h)2 +

dx 2 dx

+(3h)3 +1 дЩИ (3h)4,

6 dx3 24 dx4

u (x + 2h,t) _ u( x,t) + — 2h + - du- (2h)2 + dx 2 dx

1 d2u,43 +7AT (2h)3 +

3 + 1 du (£, t )rnu 44

6 dx3y~'r 24 dx4

(2h)4 ,

, , . . . du, 1 d2u, 2

u (x + h,t) _ u( x,t) +-h +----h +

dx 2 dx2

+1 Й, ^ + 1 d*(4.t)h4

6 dx3

24 dx4

Подставляя в (12) и складывая, полу, ч .du 9d2u12 27din ,3 81д4n(^,t)г4

v ' dx 2 dx2 6 dx3 24 dx4

чаем

h3

d2M, 2 —2 h2 dx du + 4—г dx

,dM, Ad2M, 2 ,d3M ,3 48d4M(^,t ),4

)—h + 6—hi + 4—hi +------^ h4

dx dx2 dx3 24 dx4

34u(? t)h4

+-

h3

3 d2u, 2 —з h2 + 2 dx2 3d3u 6 dx3

+

24 dx4

h3

u(x,t) d3u _ 36d4u{t,t)

h.

(13)

h3 dx3 24 dx4

Далее оценим погрешность аппроксимации смешанной производной. Для первой производной из формулы Тейлора имеем

u( х + h, t) - u( x, t) _ — h + -

du 1 d2u (^,t)

dx 2 dx2

h2.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009

131