Элементы теории множеств. Система: ее структура и состояние Текст научной статьи по специальности «Математика»

pu ев а Марина Валерьевна ш Марианна Владимировна

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. СИСТЕМА: ЕЕ СТРУКТУРА И СОСТОЯНИЕ.

Множества и операции над ними.

жеством называют определенную совокупность объектов. Один из создателей теории множеств Георг Кантор 1845-1918) сказал : "Множество есть многое, мыслимое нами как единое". Строгого определения |ра неХ) так как это понятие, из которого выводятся многие понятия математики, тогда как оно не ия из других понятий и не определяется. Понятие множества столь же первично как понятие точки lia. Синонимами слова "множество" можно считать такие слова как "совокупность", "коллекция", во", "собрание". В дальнейшем понятие множества будет разъяснено на примерах. деление: Объекты, из которых составлено множество, называются элементами данного множества. J никаких ограничений на природу элементов, составляющих множество. Например: различные предметы меблировки комнаты образуют множество. Множествами являются книги некоторой библиотеки, учащиеся буквы алфавита, автомобили на дорогах города, целые числа от 1 до 1000, атомы серебра в данной или всевозможные идеи, которые имело человечество.

зделение: множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным, [рассмотренные ранее примеры служат примерами конечных множеств.

йделение-. мможестто ташьается бесконечным, есдн ото состоит та бесконечного числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно.

'¿деление: множество, в котором нет ни одного ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

й, называют пустым множеством. Фактическое содержание курса инфор-

римср, множество летающих бегемотов пусто. амшмЯДНЯЖИИяН!^

обозначения множества используют заглавные '^атики в средней школе существенно

•ганского алфавита, а в фигурных скобках через Щависит от технической оснащенности

дани i ь

{втор

эдеме п<

выписывают его элементы. Пустое множество 1|эют как (} или 0. Если некоторый элемент

школы, наличия и качества компьютерных классов. В то же время теоретическая

¿ежит множеству, то это обозначают знаком "е", часть курса, способствующая овладению

основными концепциями и базовыми компонентами информационных технологий, лишена этой зависимости.

Редакция журнала в этом и щих выпусках намерена вниманию учителей и учащихся изложение

е принадлежит, то знаком "г". I ¿шмер: А={3,5,6}; М=[ А,*, ♦,¥); Ь={}; 5е А; 2£ А;

фствует два способа задания конечных множеств. Можн< либо дать полный перечень элементов этого множества, либо указать правило для определения того,

прини лежит или нет рассматриваемому множеству ¡различных разделов курса, авторами

| объект. Первый способ называется вере- которых являются опытные препедаеа-|е^множества, а второй - описанием. Для тели, научные работники и специалисты в

:Чных множеств возможен лишь второй способ, эимер, перечисление {2,4,6,8} или описание числа большие 0 и меньшие 10"; перечисление , среда, четверг} или описание "Первый, второй

и дни после понедельника

0)1ределение: множество, состоящее из некоторых 1 гов другого множества, называется его I жеством. Утверждение, что множество А I [ подмножеством множества В, записывают так: Я

области информатики. Вполне вероятно, что предлагаемые варианты окажутся j для критики. Редакция будет всем, кто выскажет критические замечания, предложит свой вариант изложения, предложит другие темы или задаст вопросы, ответы на которые редакция постарается найти у соответств специалистов.

А^В {Считается, что пустое множество является ¡жеством любого множества,

римср, множества {4,8} и {6} являются подмножествами множества {2,4,6,8};числа 2,4,6,8-его элементы ^ство { {},{2},{4},{6},{8},{2,4},{2,6},{2,8),{4,6},{4,8},{6,8},{2,4,6),{2,4,8),{2,6,8},{4,6,8),{2,4,6,8} ] % множеством всех подмножеств исходного множества. Из последнего примера видно, что множества сами ^ :>гут быть элементами какого-то множества.

юбого множества есть обязательно хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти л да подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества

И]

I

Нетрудно видеть, что у пустого множества нет собственных подмножеств, а оба несобственных пода равны между собой. У любого одноэлементного множества также нет собственных подмноже— несобственные подмножества различны. У любого двухэлементного множества есть уже два сос подмножества. С ростом количества элементов в множестве количество собственных подмножес •

Например, если Р={з, !), то собственными подмножествами множества Я будут являться множ

Определение: множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными порядок перечисления элементов множества значения не имеет.

Например: равны множество равносторонних треугольников и множество равноугольных трс -: равны множества {7,4,1},{1,4,7} и (7,1,4).

Определение: мощностью конечного множества (размером конечного множества) - называют I с его элементов. Мощность пустого множества равна нулю.

Например: мощность множества углов любой трапеции равна четырем, а мощность множест» чисел, принадлежащих отрезку [1, 10] равна 5.

Существуют несколько основных операций над множествами. С их помощью можно строспя множества.

Определение: объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элемеэ-ч. | все элементы из В.

Объединением любого множества с пустым является само это множество.

Объединение множеств обозначается знаком "О".

Например, пусть А={5,7,9}, В={6,1). Тогда С=АиВ={ 1,5,6,7,9).

Определение: пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементе» принадлежат обоим множествам.

Если в пересечении множеств элементов нет, то говорят, что они не пересекаются или что их ос - пустое множество. Пересечение любого множества с пустым является пустым множеством множеств обозначается знаком "г\".

Например, пусть А={4,5,7,9,10), В={3,7,9). Тогда С=АГ\В={7,9}.

Определение: разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А. к принадлежат множеству В.

Если из любого множества А вычесть пустое множество, то результатом вычитания будет само А. Разность множеств обозначается знаком

Например, пусть А={ 1,3,5,6,7}, В={6). Тогда С=А \ В={ 1,3,5,7}.

Если 0={гусь, кот, пёс, утка, курица, индюк}, Н={кот, пёс), то Н=С\Н= {гусь, утка, курица. Т=Н \ 0=Н.

Отношения и их свойства.

Мы рассмотрели множества, состоящие из каких-то элементов, но ничего не говорили о с во:-: элементов и их отношениях друг с другом. Рассмотрим теперь некоторое конечное множество А =(а,,а2,...ац}, которое будем называть предметной областью.

Определение: функция называется логической, если область её значений состоит из двух л констант истина и ложь, или другими словами, если все её значения принадлежат множеству ложь)

Определение: предикатом называется логическая функция, определенная на предметной облл

Предикаты делятся на два вида: понятия и отношения.

Определение: понятие - свойство одного объекта предметной области. Например, если л область - некоторый отрезок натурального ряда, то предикат четности - это свойство какого-то (числа) из этого отрезка быть или не быть четным. Понятия называются одноместными предика

Определение: отношение - свойство нар, троек, четверок и т.д. объектов данной предметной

Например, свойство одного элемента лежать между двумя другими является отношением тре предикатом ).

Напомним, что все элементы, про которые мы выясняем, находятся ли они в данном отношен?: ■ принадлежать рассматриваемой предметной области. Чаше всего рассматривают двуместные отк используют следующие обозначения: < - меньше, < - меньше или равно, = - равно, > - больше. > или равно, * - не равно.

Если в качестве предметной области рассмотреть А - отрезок натурального ряда от 3 до 100, то х < у, где х, у ёА, имеет значение истина, например, при х=6, у=123. Отношение х = у имеет знач например, при х=50, у=49, а отношение х * у имеет значение истина при тех же значениях пе]

Нетрудно привести примеры и других не столь известных отношений. Так отношением бузе

логическая функция, которая задана на множестве натуральных чисел, определяющая, будет ли одно натуральное число длиться на другое натуральное число без остатка. Отношением также является функция, выясняющая, какая А двух лампочек горит ярче. Кроме того, примерами отношений служат предикаты, определяющие состоя гиги два человека в браке, является ли один человек родителем другого и т. п. мотрим свойства двуместных отношений.

Будем обозначать "©" - знак отношения. Тогда отношение Г © ё может обладать следующими свойствами: »тношение называется рефлексивным, если Г © Г для любого Г е А; юимер, рефлексивность имеет место для отношений = , <=, >= , т.к. 5=5, 7<7, 9>9. згношение называется транзитивным, если из того, что Г 0 g и g 0 И следует, что ( 0 Ь для любых

<, >, так как из того, что 5 < 7 и 7 < 10

Наг }имер, транзитивностью обладают отношения =, <=, >=, |что 5 < 10.

|< тношение называется симметричным, если из того, что f © g следует, что g 0 Г для любых Г и g е А.

люоы

° ...... в - • ----------v 1 " &

■■пример, пусть предметная область - отрезок целых чисел от 2 до 10000, Рассмотрим отношения:

а) : юйство х и у иметь общий делитель,

б) с юйство х и у быть равными. Оче идно, что оба эти отношения будут симметричны.

(Тношение называется антисимметричным, если из того, что f © g и g © f следует, что f = g для i g gA .

) » ' ..... ^ .. Ъ________ „r„„ < <

¿пример, антисимметричными являются отношения < и 2., поскольку, если и ТО X!УЖ

jy £ А. Отношение, которое определяет делится ли одно число без остатка на другое, антисимметрично,

рели х делится на у, а у делится на х, то х=у.

:Тим, что симметричность и антисимметричность не являются взаимоисключающими свойствами, р, пусть множество А - множество людей. Определим отношение Р так, что для любых х, у е А ие х Р у истинно тогда и только тогда, когда х брат у. В семье, где два брата р и q и сестра г, то есть 1етной области А=(р, q, г) отношение Р не является симметричным, так как р Р г (р яаляется братом г), |ерно, что г Р р (г не является братом р). Это отношение не является и антисимметричным, так как р |эат q) и q Р р (q брат р), хотя р и q различны.

Использование множеств при решении задач на компьютере.

i того, чтобы продемонстрировать, как используются отношения, множества и операции над ними в ,? мировании, мы выбрали язык Паскаль, так как именно на нем можно описывать и обрабатывать типа множество. Множество может строиться из объектов перечислимого типа или типа диапазона, ожество - составной тип, и его описание выглядит следующим образом: MHO*ecTBO=set of тип-элемента, '[множество"- идентификатор определяемого типа, а "тип-элемента" - описатель типа элементов а. Обычно каждая система программирования на Паскале накладывает дополнительные ограничения жные типы элементов.

ля представления множеств в программе служит специальная конструкция, позволяющая задать ментов, представляющих какое-либо множество. Конструкция представляет собой набор выражений, енных через запятую, заключенный в квадратные скобки. Перечисленные выражения и задают элементов множества, например, [D\ 'N'] [5,1+1, j-7, k, 43] [V, V, Т, 'j1, Т] [х] [3,8,4,2,6,1,5,7]

be множество задается так: []. Для задания в качестве элементов множества последовательности из (сих подряд идущих значений можно указать в изображении множества первое и последнее из Йых значений, соедИНИВ ИХ СШШвМ ",,", например: 67] [2..5, 8..34] [•О'-.У] ['A'..'Z', 'а\.У] ['а'-'я'] ['Ч'/Щ'./Э'/Я']

1пя работы с множествами определены операции, позволяющие сравнивать множества между собой, :,|ять принадлежность элемента множеству, выполнять обычные теоретико-множественные операции ия объединения, пересечения и разности множеств. Приведем таблицу допустимых операций над совами, пояснив каждую операцию эквивалентной записью, принятой в теории множеств. В таблице L М2 означают множества с элементами одного и того же типа, х - значение элемента множества М. ш принадлежности IN относится к группе операций отношения так же, как и операции отношения |ми ">", "<" , "=" , "<>", "<=", ">="■ Пользуясь этими операциями, можно выразить такие элементарные Üj, как добавление в множество или удаление из него одного или нескольких элементов и другие. |ер, результатом исполнения присваивания М:= М+[х] будет добавление элемента со значением х в

на

набор

нахо

множе М, М1

ножество М. Аналогично, в результате выполнения оператора присваивания М:=М-[х] элеме-п .дален из множества М.

В языке Паскаль В теории множеств

x IN M х ем

M1=M2 М1=М2

М1оМ2 М1*М2

М1 <=М2 М1СМ2

М1>=М2 М13М2

М1+М2 M1UM2

Ml * М2 М1ПМ2

М1-М2 Ml\ М2

Пользуясь аппаратом теории множеств, приведем решение нескольких задач. Пример 1. В последовательности натуральных чисел i (i<256) определить число различны* зывести их в порядке убывания. Признаком конца последовательности служит число 0.

Будем просматривать последовательность и формировать множество чисел Z, входя^п хлеловательность. Затем выведем все элементы построенного множества, program pl; type set_byte=set of byte; var Z: set.byte; m:byte; k: integer; begin writeln('BBeflHTe последовательность чисел, 0- признак конца:1); read(m); Z:=[];

while m <>0 do begin Z := Z+[m]; read(m) end; k:=0; writeln('4Hüria в порядке убывания:'); for m:= 255 downto 1 do

if m in Z then begin write(m,' '); inc(k) end; writeln; wnteln('KojiH4ecTBo различных чисел в последовательности : ',k) end.

Пример 2 . Найти все простые числа, меньшие заданного N.

Можно предложить алгоритм, в котором все числа перебираются по очереди и для каждого производится проверка, является ли оно простым. Однако уже в Древней Греции был иззес эффективный ачгоритм, получивший название "решета Эратосфена". Согласно этому алгоритм г осматривается множество всех чисел от 2 до N, а затем из него последовательно удаляются эл ¡.аляюшиеся простыми числами. Для этого на каждом шаге алгоритма выбирается наимен множества и вычеркиваются из множества все элементы кратные выбранному. Сам элемент является -г,:слом и в дальнейшем не рассматривается.

Будем считать, что в программе определен тип множества resheto и переменная типа множес -о есть выполнены описания: const N = 255; type resheto = set of 2..N;

var simple: resheto; (Формируемое множество}

После выполнения оператора присваивания simple :=[2..N] переменная simple содержит множ :чачений из диапазона 2..N. Выбираем из этого множества наименьшее простое число К. Оче г.грвым выбранным числом будет число 2. Далее исключаем из этого множества все числа кратные время работы цикла в множестве simple содержатся все простые числа, не превосходящие К, а среди ш больших К, содержатся все числа, кроме кратных этим простым числам. Когда К пробежит s SQRTiN+l), в множестве simple останутся лишь простые числа. Следующая программа реализует алгоритм:

program simpleres; const N = 255; type resheto = set of 2..N; var simple: resheto; i,K,l: integer;

begin writeln; writeln ('Простые числа меньшие ',N, ': '); simple :=[2..N]; L := trunc(sqrt(N+l)); К := 1; while К <= L do

begin repeat К := K+l until К in simple ; write(K:3,' '); for i 2 to N div К do simple := simple - [K*i]

end;

for К := L+l to N do if К in simple then write(K:3,' ')

end.

В П| рграммах обработки текстов иногда удобно использовать множества символов. Тип такого множества

Гжно уписать так:

Type set_sym= set of char пьзованис множеств часто оказывается эффективнее других конструкций даже в тех программах, впрямую не связаны с обработкой множеств, например, вместо выражения (С >='0') and (С<='9') or (С >='А') and (С<='Z') ripojije и понятнее написать С IN ['0'..'9', 'A'..'Z'], причем последняя конструкция будет, как правило, и г |>фективной.

Щмер 3. Определить какие из символов заданного текста являются уникальными, то есть встречаются лишь один раз.

решения задачи удобно использовать множества символов. При анализе текста будем формировать <ества, в множество М включим все символы, которые встречались в тексте хотя бы раз, в множество 1ючим символы, которые встречались в тексте более одного раза. Первоначально оба множества Эосле просмотра текста нужное нам множество символов получается как разность множеств М и (я того, чтобы вывести результаты, необходимо перебирать все символы и для каждого символа 1ть, принадлежит ли он множеству. Приведем программу, реализующую этот алгоритм: tram шпЗ;

I ¡setjet = set of char;

M1,M,MM : set_let; s: string; с : char; i:byte; n

ЖеЫСВведите исходный текст: '); readln(s); Hl; ММ:=[]; i := 1 to length(s) begin c:= s|i];

if с in M

then {символ уже ранее встречался)

ММ:= ММ+|с| else {символ встретился впервые) М:= М+[с]

end;

1:= М-ММ;

riteln ('Множество уникальных символов: '); Ml = [) then writeln ('пусто') Be

с := chr(0) to ehr (255) do if с in Ml then write(c,' '); {riteln;

Пример 4. Написать программу, которая проверяет, состоят ли два заданных текста из одинаковых Г. 1в

■ г ^ограмме опишем процедуру, которая но заданной строке s формирует множество различных символов I оторых строка состоит: :edure settex (var s : string; var m : set_let); Ш i : byte;

;in m:=[]; for i := 1 to length (s) do m := m + [s[i]] end. Tei ерь для решения задачи нам достаточно по каждому из текстов построить соответствующее множество N эти два множества сравнить. Полностью программа может выглядеть так:

iram pm4;

е setjet = set of char; ml,m2 : setjet; s: string; с : char; cedure settex (var s : string; var m : setjet); i var i : byte;

gin m:=[]; for i := 1 to length (s) do m := m + fs[i]] end;

P

¿гке1п('Введите первый текст:'); readln(s); settex(s,ml); |гие1п('Введите второй текст:'); readln(s); settex(s,m2); ml = m2 then writelnfTeKCTbi состоят из одинаковых символов') (se writeln('TeKCTbi состоят из различных символов');

Используя множества, легко решать следующие задачи анализа текста: найти все символы, i .с^^Н встречаются в двух заданных текстах; определить символы, которые встречаются в первом тексте. встречаются во втором; определить, сколько различных символов в тексте и т.п.

Рассмотрим еще одну задачу, в которой требуется проанализировать текст. Предположим, что нас в тексте только буквы.

Пример 5. В заданном тексте найти буквы, причем отдельно сформировать буквы латинского и алфавитов.

При анализе текста сформируем множество различных символов, входящих в текст, а затем с nti^^H операции пересечения множеств выделим соответствующие множества. Пусть в программе перемени í. ЩИН множество букв латинского алфавита, mrus- русского, ш-множество различных символов текста. í чтобы определить множество букв, встречающихся в тексте, достаточно сформировать мин m*(mrus+mlat). Приведем программу, решающую задачу: program mn5; type set_let = set of char; var mlat, mrus, m, rus, lat, lit : set_let;

s: string; с : char; i: word; procedure settex (var s : string; var m : setjet); var i : byte;

begin m:=[]; for i := 1 to length (s) do m := m + [s[i]] end; begin

mlat := ['A'..'Z','a'..'z']; mrus := ['А'..'Я','а'..'п','р'.. 'я']; writeln; writeln('BBeflHTe текст:'); readln(s); settex(s,m); writeln('PaanH4Hbie символы, входящие в текст:'); for с := chr(O) to ehr (255) do if с in m then write(c); writeln; writeln('EyKBbi русского алфавита, входящие в текст:'); rus:=m*mrus;

for с := chr(O) to ehr (255) do if с in rus then write(c); writeln; writeln('ByKBi>i латинского алфавита в заданном тексте:'); lat:=rn*miat;

for с := chr(O) to ehr (255) do if с in lat then write(c); writeln; writelnf'TeKCT содержит буквы:'); lit:=m*(mrus+mlat);

for с := chr(O) to chr (255) do if с in lit then write(c); writeln; end.

Пример 6. Задан текстовый файл, содержащий русские и латинские буквы, а также, возможна. ■ символы. Переписать его в другой файл, перекодировав русские буквы в латинские или сочетания лет H букв следующим образом:

Таблица перекодировки

ch

ш

sh

щ

sch

ju

<Зковая структура текстового файла, а также все символы, не являющиеся русскими буквами, должны пься.

зешения этой задачи составим таблицу перекодировки Tabcod, в которой сопоставим каждой русской НШре¡латинский эквивалент. Особым образом должны обрабатываться буквы 'Ж'.'Ч'.'Ш'.'Щ'.Ъ'.'Ъ'.'Ю'/Я', составим из этих букв множество, которое надо обрабатывать особым образом. Соответствие задается мме с помощью двух строк, содержащих кодируемые буквы (rusalf) и значения кодов (latalf). е ние перекодировочной таблицы производится процедурой InitTab. После этого обработка файла п 1иястся в соответствии с построенной таблицей InitTab. [рофамму, решающую задачу, можно описать следующим образом: prob -am pcodfile;

Tabcod: array [char] of char; f, g : text;

>цедура InitTab формирует таблицу TabCode, в которой каждой } ( букве русского алфавита сопоставляется одна буква латинского ) :edure InitTab;

г rusalf, latalf : string; i: byte; c: char; n

шваИ'^'абвгдезийклмнопретуфхйыэ'; l;atalf:='abvgdezijklmnoprstufhcye'; :pr с := chr(O) to chr(255) do Tabcod[c] := c; for i :=l to length(latalf) do Tabcod[rusalf[i|] := latalf[i]

:edure CodeFiletvar f,g : text); ,r lr: set of char; c: char; n lr:= ['>K','M','in','m','b','T>','Ki','H' while not eof(f) do

begin while not eoln(f) do begin read(f,c); if c in lr then case c of

'jk': write(g,'sz'); V: write(g,'ch'); 'hi': write(g,'sh'); 'm': write(g,'sch'); V,V:;

'10': write(g,'ju'); 'a': write(g,'ja'); end

else write (g, Tabcodfc])

end;

readln(f); writein(g)

end

множество особых символов

in InitTab; Assign(f, 'fcod.pas'); Assign(g, 'gcod.pas'); Reset(f); Rewrite(g); writeln ('Начали обработку файлов'); CodeFile(f,g);

writeln ( Кончили обработку файлов'); Close (f); Close (g)

Понятие системы, ее структура и функция. Виды систем.

■ {

По! системой понимают совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих объектов, подчиненных иной единой цели.

Эт (¡понятие основывается на понятиях множество и отношение, но гораздо сложнее последних. Если мы ра смотрим набор деталей, из которых можно собрать компьютер, то пока они лежат на столе отдельно друга, их можно рассматривать как конечное множество деталей. Если мы будем сравнивать эти ( ежду собой по какому-то признаку, например, по весу или стоимости, то это уже можно рассматривать

как определенное отношение на заданной предметной области. Если же из этих деталей собрать дейст г компьютер, то это уже будет система. Каждая деталь, взаимодействуя с другими, внесет свой вклад i системы. Система сама может являться частью другой более сложной системы.

Например, уже рассмотренный нами компьютер будет входить как часть в систему, предст; собой рабочее место программиста. Кроме него, в рабочее место MOiyr входить, например, принтер графопостроитель, звуковая карта с колонками и другие системы.

Система считается описанной, если определены структура системы и функция системы.

Структура и функционирование системы определяются поставленными перед ней целями. Ue|t£ компьютера является автоматизация выполнения алгоритмов при помощи программ, а для рабочет > программиста - например, возможность произвести распечатку и пересылку результатов, получен! :-Я программировании, или при наборе текста в некотором редакторе, или при работе с какой-то базой

Структура системы - это множество элементов, из которых состоит система, и взаимосвязи ( othi между ними.

Структура позволяет в наглядной форме показать, из каких элементов состоит система и как эти связаны друг с другом. Дня представления структуры системы используют различные схемы, подоб! с как для представления структуры программы используют блок-схемы. Для описания систем на математическом языке используется понятие графа. Основателем теории i-рафов является Эйлер 1782). Сейчас теория графов используется практически во всех областях науки и позволяет наглядно вместе с тем строго описывать многие абстрактные структуры.

Определение: графом G называется пара множеств (V, Е), где V - непустое конечное м элементов, называемых вершинами графа, а Е - конечное множество пар (упорядоченных или неупорад элементов из множества V, называемых ребрами или дугами графа.

В терминах теории графов элементы системы представляют собой вершины графа, а связи межд} дуги. Дтя наглядного изображения системы посредством графа нужно точками на плоскости изобр элементы, а линиями, связывающими между собой некоторые из этих точек - связи между ними. П расположение точек на плоскости значения не имеет. Дуги также могут быть отрезками или частям! то кривых, главное, чтобы они однозначно и правильно отражали, какие элементы с какими взаимоде!

Функция системы представляет собой описание всех допустимых процессов, которые могут име|ь в данной системе. Функции описывают в математической форме в виде уравнений, систем уравне] неравенств. Иногда такое описание из-за сложности процессов невозможно в полном объёме. В это? некоторыми деталями информации (частью параметров, задающих систему) приходится прене > Необходимо следить, чтобы отброшенный параметр не был существенным с точки зрения цел* которых система строится.

Любая система обладает важным свойством: целое, образованное из множества взаимосвя взаимодействующих элементов, обладает теми качествами, которые не присущи отдельным част целого. Поэтому систему нельзя рассматривать как простую сумму составляющих её элементов.

В каждый момент времени система находится в каком-то состоянии, называемом текущим состояние системы определяется набором значений всех составляющих её параметров. Система на: детерминированной, если в любой момент времени можно однозначно определить её состояние в еле г момент времени. Можно представить себе такие системы, в которых независимо от того, наскольк > определены состояния и насколько точно заданы значения параметров, невозможно точно оп последующие состояния. Такие системы называются недетерминированными.

По способу взаимодействия между собой отдельных частей (компонент) системы делятся на нф типов.

Если компоненты системы могут работать друг за другом строго поочередно, то говорят о последо: системе. Если активность компонент может иметь место одновременно, то говорят о параллельно рабе г системе. Если такие системы построены из отдельных, удаленных друг от друга в пространстве компо f говорят о распределенных системах.

Архитектура ЭВМ может быть описана как распределенная система. Другими примерами систф быть крупные производственные, транспортные и информационные системы, сложные электронные у< нервная система, солнечная система, отопительная система.

Автоматизированные системы представляют собой совокупность управляемого объекта и автома-управляющих устройств, где часть функций управления выполняет человек (оператор). В ней автомат устройства осуществляют сбор информации с объекта управления, ее передачу, преобразование и об; формирование управляющих команд и их выполнение на управляемом объекте, то есть те функции, легче всего поддаются формализации. Человек-оператор определяет цели управления и корректирует при изменении условий.

,11 I nil

кн|

ШВ:

и

Ре с Мотрим пример простой распределенной системы:

Дми

С г Пае с и п

А

Сидит за столом

Встает

В

Входит в комнату

Подходит к А

А и В пожимают друг другу руки

А садится

е я> самый существенный параметр - время, если его не учесть, то получится система, лишенная смысла.

ратура.

А.Шиханович. Введение в современную математику. М: Наука, 1965. ,Кук, Д.Бейз. Компьютерная математика. М.: Наука, 1990. н Стюарт. Концепции современной математики. Минск: Вышейшая школа, 1980. !1ж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон. Введение в конечную математику, Иностранная литература, 1963. VI.В.Дмитриева, А.А.Кубенский. Элементы современного программирования, Изд-во Санкт-гского Университета, 1991.

тева Марина Валерьевна,

доцент кафедры информатики

г-Петербургского црственного университета. 1ва Марианна Владимировна, шй преподаватель кафедры оматики СПбГУ, )аватель школы-лицея N 419.