CC BY
15
ISSN 1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2020. № 4
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
УДК 621.893 DOI: 10.17213/1560-3644-2020-4-13-18
РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПОДХОДАХ ФОРМИРОВАНИЯ НАЧАЛЬНОГО ПОКОЛЕНИЯ
© 2020 г. В.Г. Кобак, А.Г. Жуковский, Ю.П. Липченко, В.В. Шевченко
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
SOLUTION OF A HOMOGENEOUS MINIMAX PROBLEM WITH DIFFERENT APPROACHES TO THE FORMATION OF THE INITIAL GENERATION
V.G. Kobak, A.G. Zhukovskiy, Yu.P. Lipchenko, V.V. Shevchenko
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Кобак Валерий Григорьевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]
Жуковский Александр Георгиевич - д-р полит. наук, профессор, канд. техн. наук, доцент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected]
Липченко Юрий Петрович - ст. преподаватель, кафедра «Физ-воспитание», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону. Россия. E-mail: [email protected]
Шевченко Вадим Вадимович - бакалавр, Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону. Россия. E-mail: [email protected]
Kobak Valeriy G. - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]
Zhukovskiy Alexander G. - Doctor of Political Sciences, Candidate of Technical Science, Associate Professor, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]
Lipchenko Yuriy P. - Senior Lecturer, Department «Physical Education», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]
Shevchenko Vadim V. - Bachelor, Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: [email protected]
Рассматривается решение распределительной задачи для однородных систем с помощью модели Голдберга и ее модификаций. Проводится исследование как влияет формирование начального поколения на точность работы генетического алгоритма. Кроме случайного формирования, исследовалось начальное поколение с детерминированными алгоритмами, где использовались самые популярные списочные методы и алгоритм Пашкеева. Схема формирования различных вариантов запуска представлена в статье. В качестве критерия эффективности был использован минимаксный критерий. Аналитически определить, какой из подходов лучше, практически невозможно, поэтому был проведен обширный вычислительный эксперимент для разного количества особей и разного количества останова генетического алгоритма. Для полноты исследования эксперимента было сгенерировано большое количество исходных случайных матриц в определенном диапазоне, что позволяет с большой долей вероятности сделать результирующий вывод. Проведён анализ результатов работы каждого из предложенных алгоритмов и сделаны выводы об их эффективности при решении задачи, относящейся к ЫР-полным, что поможет практически при конструировании однородных систем.
Ключевые слова: распределительная задача; однородная система; модель Голдберга; модификация алгоритма; вычислительные эксперименты; множество заданий; списочные алгоритмы; начальная популяция.
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
In this paper, we consider the solution of the distribution problem for homogeneous systems using the Goldberg model and its modifications. The paper examines how the formation of the initial generation affects the accuracy of the genetic algorithm. In addition to random formation, the initial generation with deterministic algorithms was studied, where the most popular list methods and the Pashkeev algorithm were used. The scheme of forming various launch options is presented in the article. The minimax criterion was used as the performance criterion. It is almost impossible to determine analytically which approach is better, so an extensive computational experiment was conducted for different numbers of individuals and different amounts of stopping the genetic algorithm. To complete the study of the experiment, a large number of initial random matrices were generated in a certain range, which makes it possible to make the resulting conclusion with a high degree of probability. The results of each of the proposed algorithms are analyzed and conclusions are drawn about their effectiveness in solving the problem related to NP-complete, which will help practically in the design of homogeneous systems.
Keywords: distribution problem; homogeneous system; Goldberg model; algorithm modification; computational experiments; set of tasks; list algorithms; initial population.
Введение
При решении ряда определенных задач существенное влияние оказывает порядок, в котором функциональные операторы выполняются. Решением такого рода экстремальных задач комбинаторного типа занимается теория расписаний, в рамках которой исследуются методы, позволяющие упорядочить или, другими словами, определить последовательность выполнения совокупности работ таким образом, чтобы время выполнения задачи в целом было минимальным. Задача получения оптимального упорядочивания работ относится к ЫР--полным задачам, трудоемкость решения которой определяется как 0(пт), где О - временная асимптотическая сложность алгоритма, а п, т - целое число больше единицы. Практическая актуальность решения таких задач определяется возможностью экономии машинного времени.
Постановка задачи
В терминах теории расписаний распределительная задача может быть сформулирована следующим образом. Имеется система обслуживания, состоящая из N независимых устройств Р = {р1, р2, ..., рп}. На обслуживание поступает конечный поток М - множество независимых параллельных заданий (функциональных операторов) Т = ¿2, (т}; ^((¡Р]-) - длительность обслуживания задания устройством р-, определяется матрицей Тт. Приборы в общем случае не идентичны, задание ( может быть обслужено любым из устройств, и устройство Р- может обрабатывать одновременно не более одного задания. Необходимо определить такое распределение заданий по устройствам без прерываний, чтобы время выполнения всей совокупности заданий было минимальным. Критерий миними-
зации времени завершения обслуживания заданий является минимаксным критерием и определяется в следующем виде: f = max f, ^ min,
l<J<n J
где fj = ^ x(tiPj) - время завершения
работы процессора pj [1].
Алгоритмы решения
Сформулированная задача может быть решена как с помощью точных методов, так и посредством приближённые [1 - 3]. Недостаток точных алгоритмов - большие временные затраты, которые являются критическими при решении данного класса задач. Поэтому, в большинстве случаев используют приближённые методы, позволяющие получить решение, близкое к оптимальному, за приемлемое время.
В данной работе в качестве базового алгоритма для решения однородной минимаксной задачи возьмем модифицированную модель Голд-берга, являющуюся одним из видов моделей генетических алгоритмов (далее ГА). Модифицированная модель Голдберга отличается от классической модели Холланда тем, что для формирования нового поколения использует турнирный отбор, который позволяет улучшить результаты работы алгоритма с различными модификациями мутаций, при использовании различных кроссоверов.
Модифицированную модель Голдберга можно описать в виде последовательности следующих шагов.
Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей.
Шаг 2. Турнирный отбор особей и применение операторов кроссовера и мутации с известной вероятностью возникновения для создания нового поколения.
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
Шаг 3. Проверка условия конца работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то переход на шаг 2.
Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение [4 - 6].
Графически функционирование модифицированной модели Годберга представлено на рис. 1. Лучшая особь выбирается и переносится в следующее поколение. Процесс повторяется до тех пор, пока лучшая особь в поколении не повторится заданное количество раз.
В данной работе рассмотрим зависимость того, как влияют различные способы формирования начального поколения на точность решения однородной минимаксной задачи, при различных модификациях модели Голдберга.
Таким образом, в исследовании принимают участие следующие алгоритмы:
- модифицированная модель Голдберга без использования элитной особи;
- модифицированная модель Голдберга с использованием одной элитной особи.
Для определения эффективности алгоритмов был реализован программный комплекс, с помощью которого проведены эксперименты с алгоритмами и их модификациями, используя для исследования различное количество параллельно работающих устройств и заданий [7 - 10]. Начальное поколение в каждом варианте запуска формируется с использованием списочных алгоритмов.
Списочные алгоритмы, используемые в формировании начальных поколений:
A. Случайное формирование.
B. Критический путь (в порядке убывания).
C. Критический путь (в порядке возрастания). Б. Алгоритм Пашкеева.
Способы формирования начального поколения в различных вариантах запуска:
1. Начальное поколение формируется из особей, сформированных полностью случайно.
2. Начальное поколение формируется из особей, сформированных с помощью всех четырех вышеописанных алгоритмов. Особи располагаются по очереди формирования каждым из алгоритмов.
3. Начальное поколение формируется из особей, сформированных с помощью всех четырех вышеописанных алгоритмов. Особи располагаются по последовательностям, сформированным одним из алгоритмов, число особей в последовательности равно количеству алгоритмов.
4. Начальное поколение формируется из особей, сформированных с помощью всех четырех вышеописанных алгоритмов. Особи формируются с использованием случайно выбранного алгоритма.
Схема формирования различных вариантов запуска представлена на рис. 2.
Количество различных матриц для расчета средних значений было сгенерировано равное 200. Диапазон параметров, который работа может принимать при выполнении на процессоре -[20; 30]. Вероятность кроссовера и вероятность мутации - 1, т.е. выполняется в любом случае. Количество особей в популяции - 200 и 500. Количество повторений лучшего решения - 200 и 500.
Рис. 1. Схема функционирования модифицированной модели Голдберга / Fig. 1. Scheme of functioning of the modified Goldberg model
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
Рис. 2. Формирование начальных поколений / Fig. 2. Formation of initial generations
Результаты вычислительного эксперимента для однородной минимаксной задачи представлены в табл. 1, где применена модифицированная модель Голдберга без использования элитной особи.
Результаты вычислительного эксперимента для однородной минимаксной задачи представлены в табл. 2, где применена модифицированная модель Голдберга с использованием элитной особи.
Таблица 1 / Table 1
Усредненные значения результатов работы алгоритмов / Average values of the results of the algorithms
Модель Голдберга без использования элитной особи
№ N*M Статистика Модификации алгоритма
22*73 200*200
Среднее значение 912,93 912,93 912,93 912,93
Среднее время (МС) 48,42 646,3 676,63 681,34
500*500
Среднее значение 912,93 912,93 912,93 912,93
Среднее время (МС) 519,74 338,12 312,9 336,43
33*73 200*200
Среднее значение 608,855 608,86 608,855 608,86
Среднее время (МС) 271,32 136,6 140 132,57
500*500
Среднее значение 608,855 608,855 608,855 608,855
Среднее время (МС) 303,6 693,35 671,84 675,3
44*73 200*200
Среднее значение 457,165 457,2 457,09 457,09
Среднее время (МС) 541,88 378,48 391,36 402,27
500*500
Среднее значение 456,91 456,945 456,965 456,955
Среднее время (МС) 459,77 563,04 544,48 533,86
55*73 200*200
Среднее значение 366,4 366,115 366,08 366,12
Среднее время (МС) 504,26 506,02 547,47 525,16
500*500
Среднее значение 365,47 365,655 365,615 365,59
Среднее время (МС) 510,12 513,26 495,4 503,22
66*73 200*200
Среднее значение 307,615 306,45 306,325 306,47
Среднее время (МС) 540,09 520,06 503,1 518,28
500*500
Среднее значение 306,23 305,855 305,85 305,815
Среднее время (МС) 479,49 499,12 486,24 494,75
77*73 200*200
Среднее значение 265,89 264,775 264,865 264,71
Среднее время (МС) 491,53 518,58 546 525,07
500*500
Среднее значение 264,375 264,05 264,055 264
Среднее время (МС) 518,48 481,08 509,4 519,86
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
Таблица 2 / Table 2
Усредненные значения результатов работы алгоритмов / Average values of the results of the algorithms
Модифицированная модель Голдберга с использованием одной элитной особи
NN*M Статистика Модификации алгоритма
Среднее значение 912,93 200*200 912,93 912,93 912,93
22*73 Среднее время (МС) Среднее значение 198,99 912,93 806,66 500*500 912,93 796,6 912,93 763,42 912,93
Среднее время (МС) Среднее значение 452,14 608,855 456,72 200*200 608,855 492,11 608,86 484,5 608,855
33*73 Среднее время (МС) Среднее значение 263,38 608,855 132,77 500*500 608,855 128,1 608,855 133,51 608,855
Среднее время (МС) Среднее значение 278,8 457,185 681,36 200*200 457,135 661,18 457,085 664,56 457,135
44*73 Среднее время (МС) Среднее значение 523,89 456,93 379,72 500*500 456,99 407,26 456,98 380,14 456,95
Среднее время (МС) Среднее значение 481 366,375 531,76 200*200 366,165 576,14 366,055 528,75 366,1
55*73 Среднее время (МС) Среднее значение 494,48 365,515 544,24 500*500 365,67 561,35 365,6 534,48 365,605
Среднее время (МС) Среднее значение 487,18 307,56 485,96 200*200 306,475 510,67 306,465 501,03 306,31
66*73 Среднее время (МС) Среднее значение 508,28 306.145 498,84 500*500 305,83 540,76 305,815 527,67 305,845
Среднее время (МС) Среднее значение 471,09 265,84 499,86 200*200 264,69 515,9 264,76 502,46 264,775
77*73 Среднее время (МС) Среднее значение Среднее время (МС) 496,06 264.42 475.43 536,32 500*500 264,065 532,25 513,88 264,015 506,74 523,12 264,015 510,06
Выводы
По результатам вычислительных экспериментов можно уверенно сказать, что формирование начального поколения случайным образом дает более качественные результаты в большинстве случаев, чем формирование другими способами.
Однако при увеличении количества обрабатывающих устройств рекомендуется использовать случайное использование четырех алгоритмов, для обеих модификаций модели Голдберга, точность которых зависит от количества особей и количества повторов.
ISSN 1560-3644 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2020. No 4
Литература
1. Коффман Э.Г. Теория расписания и вычислительные машины. М.: Наука, 1987.
2. Кобак В.Г, Золотых О.А., Жуковский А.Г., Ростов А.Н. Различные подходы к решению однородной минимаксной задачи теории расписаний эвристическими алгоритмами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 1. С. 41 - 46. Б01: 10.17213/0321-2653-2016-1-41-46
3. Кобак В.Г, Щербинина Н.И., Жуковский А.Г. Исследование поколенческой стратегии при решении однородной и неоднородной минимаксной задачи различными модификациями генетического алгоритма // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 4. С. 3 - 10. Б01: 10.17213/0321-2653-2016-4-3-10.
4. Кобак В.Г, Золотых О.А., Жуковский А.Г., Ростов А.Н. Решение однородной минимаксной задачи различными модификациями алгоритма Крона // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 3.С. 3 - 8. Б01: 10.17213/ 0321-2653-2016-3-3-8.
5. Кобак В.Г., Рудова И.Ш. Возможности использования элитных особей при решении задачи коммивояжера
моделью Голдберга // Вестн. Донского гос. техн. ун-а.
2016. Т.16, № 2(85). С. 129 - 135. Б01:10.12737/19695.
6. Кобак В.Г, Поркшеян В.М., Жуковский А.Г., Пешкевич А.А. Решение задачи коммивояжера гибридной генетической моделью при использовании путевого подхода // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2017. № 2. С. 5 - 9. Б01: 10.17213/0321-2653-2017-2-5-9.
7. Кобак В.Г, Рудова И.Ш. Исследование влияния сильных мутаций при решении задачи коммивояжера модифицированной моделью Голдберга // Изв. ЮФУ. Техн. науки.
2017. № 3. С. 140 - 148. Б01: 10.23683/2311-3103-20173-140-148.
8. Кобак В.Г, Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование применения одноточечного кроссовера при решении неоднородной минимаксной задачи // Эл. науч.-техн. журн. «Инженерный вестн. Дона». 2018. № 1(48). 58 с.
9. Кобак В.Г, Жуковский А.Г., Кузин А.П. Исследование модификаций турнирного отбора при решения неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга // Эл. науч.-техн. журн. «Инженерный вестник Дона». 2018. № 2(49). 67 с.
10. Кобак В.Г, Кривошей Н.И. Исследование модифицированной модели Уитли с различным количеством и различными методами формирования элитных особей // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2018. Т.18, № 2. С. 223 - 229. Ш1: 10.23947/1992-5980-2018-18-2-223-229.
References
1. Koffman E.G. Schedule theory and computing machines. M.: Nauka, 1987.
2. Kobak V.G, Zolotykh O.A., Zhukovskiy A.G., Rostov A.N. Various approaches to solving the homogeneous minimax problem of schedule theory by heuristic algorithms // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series. 2016. № 1. Рр. 41 - 46. DOI: 10.17213/0321-2653-2016-1-41-46.
3. Kobak V.G., Shcherbinina N.I., Zhukovskiy A.G. Research of generational strategy for solving homogeneous and inhomogene-ous minimax problems by various modifications of the genetic algorithm // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series. 2016. № 4. Рр. 3 - 10. DOI: 10.17213/0321-2653-2016-4-3-10.
4. Kobak V.G, Zolotykh O.A., Zhukovskiy A.G., Rostov A.N. Solution of a homogeneous minimax problem by various modifications of the Crohn's algorithm // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series. 2016. № 3. Рр. 3 - 8. DOI: 10.17213/ 0321-2653-2016-3-3-8.
5. Kobak V.G, Rudova I.SH. Possibilities of using elite individuals in solving the traveling salesman problem by the Goldberg model // Vestnik of Don State Technical University. 2016. Vol. 16. No. 2(85). Рр. 129 - 135. DOI:10.12737/19695.
6. Kobak V.G, Porksheyan V.M., Zhukovskiy A.G., Peshkevich A.A. Solution of the traveling salesman problem with a hybrid genetic model when using the travel approach // University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series. 2017. No. 2. Рр. 5 - 9. DOI: 10.17213/0321-2653-2017-2-5-9.
7. Kobak V.G, Rudova I.Sh. Investigation of the influence of strong mutations in solving the traveling salesman problem with a modified Goldberg model // Izv. Sfedu. Engineering Sciences. 2017. No. 3. Рр. 140 - 148. DOI: 10.23683/2311-3103-2017-3140-148.
8. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Investigation of the use of a single-point crossover in solving an inhomogeneous minimax problem // E-journal «Engineering journal of Don». 2018. No. 1(48). 58 р.
9. Kobak V.G., Zhukovskiy A.G., Kuzin A.P. Investigation of tournament selection modifications in solving a non-uniform minimax problem with a modified Goldberg model // E-journal «Engineering journal of Don». 2018. No. 2(49). 67 р.
10. Kobak V.G, Krivoshey N.I. Investigation of the modified Whitley model with different numbers and different methods offorming elite individuals // Vestnik of Don State Technical University. 2018. Vol.18. No. 2. Рр. 223 - 229. DOI: 10.23947/1992-5980-201818-2-223-229.
Поступила в редакцию /Received 10 октября 2020 г. / October 10, 2020
