CC BY
19
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
УДК 681.3.681.5 DOI: 10.17213/0321-2653-2019-4-5-11
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ НАЧАЛЬНОГО ПОКОЛЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ГОЛДБЕРГА В НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
© 2019 г. В.Г. Кобак1, А.Г. Жуковский2, А.П. Кузин1
1 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия, 2Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики, г. Ростов-на-Дону, Россия
RESEARCH OF STARTING GENERATION FORMATION METHODS FOR THE MODIFIED GOLDBERG MODEL IN INHOMOGENEOUS INFORMATION PROCESSING SYSTEMS
V.G. Kobak1, A.G. Zhukovskiy2, A.P. Kuzin1
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia, 2North-Caucasian Branch of Moscow Technical University of Communications and Informatics, Rostov-on-Don, Russia
Кобак Валерий Григорьевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: valera33305@mail.ru
Жуковский Александр Георгиевич - д-р полит. наук, профессор, канд. техн. наук, доцент, Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики, г. Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: zhykovskij@mail.ru
Кузин Александр Павлович - ст. преподаватель, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону. Россия. E-mail: alexpavkuzin@gmail.com
Kobak Valeriy Grigoryevich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «The Software of Computer Facilities and the Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: valera33305@mail.ru
Zhukovskiy Alexander Grigoryevich - Doctor of Political Sciences, Candidate of Technical Science, Associate Professor North-Caucasian Branch of Moscow Technical University of Communications and Informatics, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: zhykovskij@mail.ru
Kuzin Alexander Pavlovich - Senior Lecturer, Department «The Software of Computer Facilities and the Automated Systems», Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia. E-mail: alexpavkuzin@gmail.com
При решении сложных задач часто встречается понятие размерность. Задачу малой размерности часто можно решить простым перебором, однако при большой размерности полным перебором задачу можно решать десятилетиями. В работе достаточно подробно рассмотрена модифицированная модель Голдберга, которая отличается от классической мутации применяемым кроссовером, способом формирования нового и начального поколения; проанализированы способы формирования начального поколения (случайный, детерминированный) и то, как они влияют на конечный результат. При формировании начального поколения использовались различные критерии эффективности (квадратичный и минимаксный), являющиеся наиболее популярными у авторов, разрабатывающих приближенные алгоритмы решения неоднородной минимаксной задачи. Обширный вычислительный эксперимент показал, что детерминированное формирование начального поколения превосходит случайное сразу по нескольким критериям.
Ключевые слова: неоднородные системы обработки информации; формирование начального поколения; генетические алгоритмы; модель Голдберга; ЫР--полные задачи; алгоритм Плотникова - Зверева; теория расписаний; турнирный отбор.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
When solving complex problems, the concept of dimension is often found. The problem of small dimension can often be solved by a simple search, but with a large dimension, a complete search can be solved for decades. The modified Goldberg model, which differs from the classical mutation by the crossover used, the method of forming a new and initial generation, is considered in detail in this work. The article analyzes in detail the ways of formation of the initial generation (random, deterministic) and how they affect the final result. When forming the initial generation, various efficiency criteria (quadratic and minimax) were used, which are the most popular among the authors who develop approximate algorithms for solving inhomogeneous minimax problem. As an extensive computational experiment has shown, the deterministic formation of the initial generation exceeds the random one by several criteria.
Keywords: heterogeneous information processing systems; initial generation formation; genetic algorithms; Goldberg model; NP-complete problems; Plotnikov-Zverev algorithm; scheduling theory; tournament selection.
Постановка задачи
Рассмотрена неоднородная минимаксная задача, которая относится к классу ЫР--полных задач. Математическая постановка задачи была описана ранее в работах [1 - 3]. Данную задачу можно решить различными методами - как точными, основанными на идее метода ветвей и границ [4], так и эволюционными, к которым относятся в том числе и генетические алгоритмы. Проблема решения поставленной задачи заключается в том, что получение решения точными методами возможно только для ограниченного числа задач и приборов, и крайне затруднительно при их большом количестве, поэтому в последнее время большое значение приобретают подходы, основанные на приближенных решениях с помощью различных генетических моделей.
Теоретическая часть
Генетические алгоритмы. Рассмотрим в качестве базового генетического алгоритма (ГА) модель Голдберга, которая отличается от классического генетического алгоритма - модели Холланда тем, что использует турнирный отбор особей в новое поколение. Модель Голдберга можно отразить в виде последовательности следующих шагов.
Шаг 1. Формируется начальное поколение, состоящее из заданного числа особей.
Шаг 2. Турнирный отбор особей и применение ГА операторов кроссовера и мутации с заданной вероятностью для создания нового поколения.
Шаг 3. Проверка условия окончания работы алгоритма, которая обычно заключается в неизменности лучшего решения в течение заданного числа поколений. Если проверка прошла неуспешно, то переход на шаг 2.
Шаг 4. Лучшая особь выбирается как найденное решение [5 - 7].
Для решения поставленной задачи в данной работе рассматривается модификация модели Голдберга, которая отличается от классического алгоритма тем, что в кроссовере участвует каждая особь поколения. Это достигается путем фиксации первого родителя. На место первого родителя поочередно помещается каждая особь в поколении [8 - 10]. Второй родитель выбирается случайным образом из оставшихся особей в поколении.
Методы формирования начального поколения
Случайная генерация. В данном способе формирования начального поколения каждая особь A[i] формируется из m генов, представляющих собой m случайно сгенерированных значений, находящихся в диапазоне 0...255. Данный диапазон делится на n равных по размеру частей (по количеству устройств обработки), пронумерованных от 1 до n. В зависимости от того, какому участку принадлежит полученное значение гена, делается вывод, на каком устройстве обработки должна выполняться задача.
Алгоритм Плотникова - Зверева с минимаксным критерием. Задача задается в виде матрицы, в которой каждая строка i представляет собой одну задачу, а каждый j столбец - устройство обработки. Значения, находящиеся на пересечении строк и столбцов, отображают время выполнения i-й задачи на j-м устройстве. Первым шагом для задач вычисляется сумма времени выполнения на каждом устройстве. После чего допустимо два варианта использования алгоритма: матрица сортируется либо по возрастанию, либо по убыванию в зависимости от значения рассчитанного параметра. Далее в первой строке выбирается элемент с минимальным значением и в список решений List заносится номер устройства j, к которому данный элемент относился. Остальные элементы строки приравнива-
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
ются к нулю. Элементы первой строки прибавляются ко второй строке и с учетом этого ищется минимальный элемент во второй строке, номер которого заносится в список List, остальные элементы строки приравниваются нулю, кроме тех к которым было прибавлено значение, отличное от 0. Алгоритм повторяется до тех пор, пока не будут обработаны все строки, а результатом алгоритма будет являться список List, с помощью которого генерируются особи начального поколения. Рассмотрим работу алгоритма на примере пяти задач и трёх устройств обработки с известным временем выполнения.
На рис. 1 представлена таблица, показывающая время выполнения задач на каждом из устройств обработки, с вычисленной суммой.
Задача Устройство Сумма
1 2 3
1 4 3 2 9
2 4 2 4 10
3 3 2 1 6
4 5 3 8 16
5 5 3 5 13
Рис. 1. Первый шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 1. First step of the Plotnikov - Zverev algorithm
Далее матрица сортируется по возрастанию в зависимости от суммы элементов каждой строки (рис. 2).
Задача Устройство Сумма
1 2 3
1 3 2 1 6
2 4 3 2 9
3 4 2 4 10
4 5 3 5 13
5 5 3 8 16
Рис. 2. Второй шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 2. Second step of the Plotnikov - Zverev algorithm
В первой строке ищется минимальный элемент 1, его номер 3 заносится в список List, остальные элементы строки обнуляются (рис. 3).
Задача Устройство
1 2 3
1 0 0 1
2 4 3 2
3 4 2 4
4 5 3 5
5 5 3 8
List
Рис. 3. Третий шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 3. Third step of the Plotnikov - Zverev algorithm
Далее к элементам второй строки прибавляются элементы первой строки. Во второй строке ищется минимальный элемент 3 и его номер 3 заносится в список (рис. 4).
Задача Устройство
1 2 3
1 0 0 1
2 4 3 3
3 4 2 4
4 5 3 5
5 5 3 8
List
Рис. 4. Четвертый шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 4. Fourth step of the Plotnikov - Zverev algorithm
Все элементы, кроме 3, во второй строке обнуляются. К третей строке прибавляются элементы второй строки. В третьей строке ищется минимальный элемент 2, и в список заносится его номер 2 (рис. 5).
Задача Устройство
1 2 3
1 0 0 1
2 0 0 3
3 4 2 7
4 5 3 5
5 5 3 8
List
Рис. 5. Пятый шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 5. Fifth step of the Plotnikov - Zverev algorithm
Обнуляются все элементы третьей строки, кроме 2 и 3. К четвертой строке прибавляются элементы третьей строки. В четвертой строке ищется минимальный элемент 5, и в список заносится его номер 2 (рис. 6).
Задача Устройство
1 2 3
1 0 0 1
2 0 0 3
3 0 2 3
4 5 5 8
5 5 3 8
List
Рис. 6. Шестой шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 6. Sixth step of Plotnikov - Zverev algorithm
Обнуляются все элементы четвертой строки, кроме 2 и 3. К пятой строке прибавляются элементы четвертой строки. В пятой строке ищется минимальный элемент 5, и в список заносится его номер 2 (рис. 7).
3
3
3
3
2
3
3
2
2
3
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
Задача Устройство
1 2 3
1 0 0 1
2 0 0 3
3 0 2 3
4 0 5 3
5 5 8 11
List
1
Рис. 7. Седьмой шаг алгоритма Плотникова - Зверева / Fig. 7. Seventh step of Plotnikov - Zverev algorithm
По итогу получаем решение, при котором появляется соответствие задач устройствам обработки: задача 1 - устройство обработки 3; задача 2 - устройство обработки 3; задача 3 - устройство обработки 2; задача 4 - устройство обработки 2; задача 5 - устройство обработки 1.
Создается три интервала на промежутке 0...255 (0...85, 86...170, 171...255). Для каждой задачи генерируется случайное значение из интервала с номером соответствующего устройства, на котором она должна обрабатываться. Сформированная особь таким способом показана на рис. 8.
№ задачи 1 2 3 4 5
Значение гена 200 221 145 126 53
Задача Устройство
1 2 3
1 3 4 5
2 5 4 9
3 5 8 6
4 7 8 5
Значение критерия
Устройство
1 2 3
9 16 25
List
Рис. 9. Обработка первой строки алгоритмом Плотникова -Зверева с использованием квадратичного критерия / Fig. 9. Processing of the first line by Plotnikov - Zverev algorithm using quadratic criterion.
Далее аналогично рассчитаем квадратичный критерий для второй строки (рис. 10). Квадратичный критерий принимает следующие значения:
Уст-во_1=8*8+0*0+0*0=64; Уст-во_2=3*3+4*4+0*0=25; Уст-во_3=3*3+0*0+9*9=90.
В результате находим, что минимальное значение критерия во второй строке было получено для второго устройства обработки.
Рис. 8. Сформированная особь / Fig. 8. Formed individual
Алгоритм Плотникова - Зверева с использованием квадратичного критерия. Данный алгоритм отличается от предыдущего варианта тем, что в строке выбирается не просто минимальный элемент, а считается значение критерия для каждого устройства по следующему принципу: если критерий вычисляется для j-го устройства, то берется его значение и возводится в квадрат, к нему прибавляются значения для остальных устройств, из предыдущей строки, возведенные в квадрат. Среди полученных значений критериев выбирается минимальный, а номер устройства, которому оно принадлежит заносится, в список List.
Для примера рассмотрим пример с четырьмя заданиями и тремя устройствами обработки. Для начала так же, как и в предыдущем методе, матрица сортируется либо по возрастанию, либо по убыванию суммы элементов строк. Выполним расчет квадратичного критерия для первой строки. В результате видим, что минимальное значение критерия в первой строке было получено для первого устройства обработки (рис. 9).
Задача Устройство
1 2 3
1 3 0 0
2 8 4 9
3 5 8 6
4 7 8 5
Значение критерия
Устройство
1 2 3
64 25 90
List
1 2
Рис. 10. Обработка второй строки алгоритмом Плотникова -Зверева с использованием квадратичного критерия / Fig. 10. Processing of the second line by Plotnikov - Zverev algorithm using quadratic criterion
Рассчитаем квадратичный критерий для третьей строки (рис. 11). Результат показывает, что минимальное значение критерия в третьей строке получено для 3-го устройства обработки.
Задача Устройство
1 2 3
1 3 0 0
2 3 4 0
3 8 12 6
4 7 8 5
Значение критерия
Устройство
1 2 3
80 153 61
List
1 2 3
Рис. 11. Обработка третьей строки алгоритмом Плотникова -Зверева с использованием квадратичного критерия / Fig. 11. Processing of the third line by Plotnikov - Zverev algorithm using quadratic criterion
Рассчитаем квадратичный критерий для четвертой строки (рис. 12). Находим, что минимальное значение критерия в третьей строке было получено для 3-го устройства обработки.
3
1
3
2
2
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
Задача Устройство
1 2 3
1 3 0 0
2 3 4 0
3 3 4 6
4 10 12 11
Значение критерия
Устройство
1 2 3
152 189 140
List
Рис. 12. Обработка четвертой строки алгоритмом Плотникова - Зверева с использованием квадратичного критерия / Fig. 12. Processing of the fourth line by Plotnikov -Zverev algorithm using quadratic criterion
По итогу получаем решение, при котором появляется соответствие задач устройствам обработки: задача 1 - устройство обработки 1; задача 2 - устройство обработки 2; задача 3 - устройство обработки 3; задача 4 - устройство обработки 4.
Создается три интервала на промежутке 0...255 (0...85, 86...170, 171...255). Для каждой задачи генерируется случайное значение из интервала с номером, соответствующим устройству, на котором она должна обрабатываться. Сформированная таким способом особь показана на рис. 13.
№ задачи 1 2 3 4
Значение гена 55 100 196 204
Рис. 13. Сформированная особь / Fig. 13. Formed individual
Результаты экспериментальных исследований
Для оценки эффективности методов формирования начального поколения было написано
программное обеспечение на языке программирования C#. Между собой сравнивались следующие методы генерации начального поколения:
- случайная генерация;
- алгоритм Плотникова - Зверева с минимаксным критерием (матрица упорядочена по возрастанию);
- алгоритм Плотникова - Зверева с минимаксным критерием (матрица упорядочена по убыванию);
- алгоритм Плотникова - Зверева с квадратичным критерием (матрица упорядочена по возрастанию);
- алгоритм Плотникова - Зверева с квадратичным критерием (матрица упорядочена по убыванию).
Эксперимент проводился для случаев с 3, 4 и 5 устройствами обработки. Количество задач было равно 301. Для каждой размерности задачи использовалось 400, 800, 1600 и 2400 особей и повторов. Применялся двухточечный кроссовер со 100 % вероятностью кроссовера и мутации. Каждый эксперимент повторялся 50 раз. В качестве критериев эффективности рассматривались параметры: время получения решения; минимальное значение решения, полученное после 50 экспериментов; среднее значение решения за 50 экспериментов. Результаты, полученные в ходе экспериментов, сведены в табл. 1, 2 и 3.
Таблица 1 / Table 1
Количество особей и повторов Минимальное значение Среднее значение Время Метод генерации первого поколения
400*400 2738 2747,7 183,451 Случайное заполнение
2736 2747,6 152,3 Минимаксный критерий по возрастанию
2737 2746 150,219 Минимаксный критерий по убыванию
2742 2750,3 187,551 Квадратичный критерий по возрастанию
2744 2751,7 190,814 Квадратичный критерий по убыванию
800*800 2733 2740,9 456,724 Случайное заполнение
2735 2740,8 415,171 Минимаксный критерий по возрастанию
2733 2739,3 403,394 Минимаксный критерий по убыванию
2735 2744,3 482,791 Квадратичный критерий по возрастанию
2733 2743,4 491,425 Квадратичный критерий по убыванию
1600*1600 2732 2736,4 1380,84 Случайное заполнение
2733 2736 1292,31 Минимаксный критерий по возрастанию
2732 2734,9 1252,43 Минимаксный критерий по убыванию
2733 2738,9 1312,98 Квадратичный критерий по возрастанию
2734 2738,8 1332,17 Квадратичный критерий по убыванию
2400*2400 2731 2734,3 2599,15 Случайное заполнение
2732 2734,2 2457,78 Минимаксный критерий по возрастанию
2731 2733,1 2443,55 Минимаксный критерий по убыванию
2732 2736,5 2652,42 Квадратичный критерий по возрастанию
2731 2737 2633,25 Квадратичный критерий по убыванию
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
Таблица 2 / Table 2
Результаты эксперимента при четырех устройствах обработки / Results of the experiment with four processing devices
Количество особей и повторов Минимальное значение Среднее значение Время Метод генерации первого поколения
400*400 2021 2039,1 222,703 Случайное заполнение
2017 2037,7 206,904 Минимаксный критерий по возрастанию
2020 2036,6 197,15 Минимаксный критерий по убыванию
2022 2038,7 263,036 Квадратичный критерий по возрастанию
2019 2039,2 253,212 Квадратичный критерий по убыванию
800*800 2013 2026 564,989 Случайное заполнение
2009 2024,2 501,172 Минимаксный критерий по возрастанию
2016 2025,4 514,435 Минимаксный критерий по убыванию
2014 2025,3 630,587 Квадратичный критерий по возрастанию
2014 2025,9 610,945 Квадратичный критерий по убыванию
1600*1600 2009 2017,4 1607,9 Случайное заполнение
2007 2014,2 1585,48 Минимаксный критерий по возрастанию
2005 2016,2 1524,86 Минимаксный критерий по убыванию
2008 2019,2 1732,18 Квадратичный критерий по возрастанию
2005 2018,2 1704,01 Квадратичный критерий по убыванию
2400*2400 2006 2014,1 3094,76 Случайное заполнение
2004 2012,6 2991,08 Минимаксный критерий по возрастанию
2002 2013,7 2970,67 Минимаксный критерий по убыванию
2009 2016,2 3173,65 Квадратичный критерий по возрастанию
2006 2015 3266,63 Квадратичный критерий по убыванию
Таблица 3 / Table 3
Результаты эксперимента при пяти устройствах обработки / Results of the experiment with five processing devices
Количество особей и повторов Минимальное значение Среднее значение Время Метод генерации первого поколения
400*400 1618 1644,2 276,437 Случайное заполнение
1618 1643,4 251,092 Минимаксный критерий по возрастанию
1626 1648,4 269,492 Минимаксный критерий по убыванию
1624 1647,6 302,965 Квадратичный критерий по возрастанию
1621 1645 314,931 Квадратичный критерий по убыванию
800*800 1613 1630 710,655 Случайное заполнение
1617 1628,5 660,916 Минимаксный критерий по возрастанию
1616 1632,4 749,467 Минимаксный критерий по убыванию
1614 1631,6 786,956 Квадратичный критерий по возрастанию
1612 1632,7 837,945 Квадратичный критерий по убыванию
1600*1600 1610 1615,6 2198,3 Случайное заполнение
1610 1618,2 1917,54 Минимаксный критерий по возрастанию
1608 1614 2673,05 Минимаксный критерий по убыванию
1610 1617,5 2404,51 Квадратичный критерий по возрастанию
1610 1617,1 2452,88 Квадратичный критерий по убыванию
2400*2400 1608 1613,5 4014,37 Случайное заполнение
1606 1611,5 3819,49 Минимаксный критерий по возрастанию
1603 1611,5 4030,64 Минимаксный критерий по убыванию
1608 1615,4 4536,34 Квадратичный критерий по возрастанию
1605 1612 4932,63 Квадратичный критерий по убыванию
Заключение ного поколения) приводит к улучшению результа-
1. Применение всех предложенных модифи- тов решения неоднородной минимаксной задачи по каций (детерминированное формирование началь- сравнению с случайным формированием.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2019. No 4
2. Лучшей модификацией по минимаксному критерию в среднем является модификация, использующая принцип упорядочивания матрицы загрузки в порядке убывания сумм строк.
3. Лучшей модификацией по квадратичному критерию в среднем является модификация, использующая принцип упорядочивания матрицы загрузки в порядке убывания сумм строк.
Литература
1. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А. Исследование модификаций турнирного отбора при решения неоднородной минимаксной задачи модифицированной моделью Голдберга // Электронный науч.-техн. журн. Инженерный вестн. 2018. № 2. URL: http://ivdon.ru/ru /magazine/ archive/N2y2018/ 4962 (дата обращения 06.11.2019).
2. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Кузин А. Применение гибридного алгоритма при решении неоднородной минимаксной задачи с использованием сильных мутаций // Электронный науч.-техн. журн. Инженерный вестн. 2018. № 4. URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/ archive/n4y2018/ 5396 (дата обращения 06.11.2019).
3. Кобак В. Г., Жуковский А.Г., Кузин А., Тхазаплижева А.Н. Подход по уменьшению времени работы модифицированной модели Голдберга при решении неоднородной минимаксной задачи // Электронный науч.-техн. журн. Инженерный вестн. 2019. № 1. URL: http://ivdon.ru/ ru/maga zine/archive/n1y2019/5665 (дата обращения 06.11.2019).
4. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987.
5. Кобак В.Г., Троцюк Н.И. Использование поколенческой стратегии модели Голдберга при решении однородной минимаксной задачи // Науч.-практ. журн. Аспирант. 2014. № 2. Ростов-н/Д.: «Приоритет», 2014. С. 62 - 64.
6. Кобак В.Г., Жуковский А.Г., Пешкевич А.А. Решение задачи коммивояжера с использованием двухэтапного генетического алгоритма // Электронный науч.-техн. журн. Инженерный вестн. 2018. № 3. иКкШр://^оп.ги/ги/ magazme/archive/n3y2018/5210 (дата обращения: 06.11.2019).
7. Кобак В.Г., Троцюк Н.И. Сравнение использования поколенческой стратегии в моделях Голдберга и Холланда при решении однородной минимаксной задачи // Вестн. ДГТУ. 2014. Т. 14. № 3. С. 138 - 144.
8. Нейдорф Р.А., Кобак В.Г., Титов Д.В. Сравнительный анализ эффективности вариантов турнирного отбора генетического алгоритма решения однородных распределительных задач // Вестн. ДГТУ. 2009. Т. 9. № 3. С. 410-418.
9. Кобак В.Г., Титов Д.В., Калюка В.И., Слесарев В.В. Алгоритмическое улучшение генетического алгоритма для нечетного количества однородных устройств // Изв. ЮФУ. Техн. науки. Тематический выпуск: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении». 2011. № 5. С. 159 - 163.
10. Кобак В.Г., Титов Д. В., Калюка В.И., Золотых О.А. Исследование эффективности генетических алгоритмов распределения для однородных систем при кратности заданий количеству устройств // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 3. С. 19 - 22.
References
1. Kobak V.G., Zhukovskii A.G., Kuzin A. Issledovanie modifikatsii turnirnogo otbora pri resheniya neodnorodnoi minimaksnoi zadachi modifitsirovannoi model'yu Goldberga [Study of modifications of tournament selection for solving the heterogeneous minimax problem with the modified Goldberg model]. Inzhenernyi vestnik, 2018, no. 2. (In Russ.) Available at: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4962. (accessed 06.11.2019).
2. Kobak V.G., Zhukovskii A.G., Kuzin A. Primenenie gibridnogo algoritma pri reshenii neodnorodnoi minimaksnoi zadachi s ispol'zovaniem sil'nykh mutatsii [Application of the hybrid algorithm to solve the heterogeneous minimax problem using strong mutations]. Inzhenernyi vestnik, 2018, no. 4. (In Russ.) Available at: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2018/5396 (accessed 06.11.2019).
3. Kobak V.G., Zhukovskii A.G., Kuzin A., Tkhazaplizheva A.N. Podkhod po umen'sheniyu vremeni raboty modifitsirovannoi modeli Goldberga pri reshenii neodnorodnoi minimaksnoi zadachi [An approach to reducing the operating time of the modified Goldberg model when solving a heterogeneous minimax problem]. Inzhenernyi vestnik, 2019, no. 1. (In Russ.) Available at: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2019/5665 (accessed 06.11.2019).
4. Alekseev O.G. Kompleksnoeprimenenie metodov diskretnoi optimizatsii [Complex application of discrete optimization methods]. Moscow: Nauka, 1987.
5. Kobak V.G., Trotsyuk N.I. Ispol'zovanie pokolencheskoi strategii modeli Goldberga pri reshenii odnorodnoi minimaksnoi zadachi [Using the generational strategy of the Goldberg model for solving a homogeneous minimax problem]. Aspirant, 2014, no. 2, pp. 62 - 64. (In Russ.)
6. Kobak V.G., Zhukovskii A.G., Peshkevich A.A. Reshenie zadachi kommivoyazhera s ispol'zovaniem dvukhetapnogo geneticheskogo algoritma [Solution of the traveling salesman problem using a two-stage genetic algorithm]. Inzhenernyi vestnik, 2018, no. 3. (In Russ.) Available at: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2018/5210 (accessed 06.11.2019).
7. Kobak V.G., Trotsyuk N.I. Sravnenie ispol'zovaniya pokolencheskoi strategii v modelyakh Goldberga i Khollanda pri reshenii odnorodnoi minimaksnoi zadachi [Comparison of the use of the generational strategy in Goldberg and Holland models for solving a homogeneous minimax problem]. VestnikDGTU, 2014, Vol. 14, no. 3, pp. 138 - 144. (In Russ.)
8. Neidorf R.A., Kobak V.G., Titov D.V. Sravnitel'nyi analiz effektivnosti variantov turnirnogo otbora geneticheskogo algoritma resheniya odnorodnykh raspredelitel'nykh zadach [Comparison of the use of the generational strategy in Goldberg and Holland models for solving a homogeneous minimax problem]. Vestnik DGTU, 2009, Vol. 9, no. 3, pp. 410 - 418. (In Russ.)
9. Kobak V.G., Titov D.V., Kalyuka V.I., Slesarev V.V. Algoritmicheskoe uluchshenie geneticheskogo algoritma dlya nechetnogo kolichestva odnorodnykh ustroistv [Algorithmic improvement of the genetic algorithm for an odd number of homogeneous devices]. Izv. YuFU. Tekhn. nauki. Tematicheskii vypusk: Komp'yuternye i informatsionnye tekhnologii v nauke, inzhenerii i upravlenii, 2011, no. 5, pp. 159 - 163. (In Russ.)
10. Kobak V.G., Titov D.V., Kalyuka V.I., Zolotykh O.A. Issledovanie effektivnosti geneticheskikh algoritmov raspredeleniya dlya odnorodnykh sistem pri kratnosti zadanii kolichestvu ustroistv [Study of the effectiveness of genetic distribution algorithms for homogeneous systems with a multiplicity of tasks to the number of devices]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2011, no. 3, pp. 19 - 22. (In Russ.)
Поступила в редакцию /Received 30 октябрь 2019 г. / October 30, 2019
