CC BY
57
УДК 681.3+681.5
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИТЕРИЕВ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНОЙ МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧИ СПИСОЧНЫМ АЛГОРИТМОМ
В.Г. КОБАК, М.А. МУРАТОВ
(Донской государственный технический университет)
Рассмотрен списочный алгоритм В.Н. Плотникова - В.Ю. Зверева. Использованы минимаксный, квадратичный и кубический критерии. Разработаны программные средства для анализа эффективности критериев. Ключевые слова: списочные алгоритмы, минимаксный, квадратичный, кубический критерии.
Введение. В последние годы все более широкое распространение получают многопроцессорные, многомашинные вычислительные комплексы, территориальное распределенные с различным программно-аппаратными платформами, объединённые в единую вычислительную систему. Необходимость поиска наилучшего распределения заданий определяется существенными возможностями экономии машинного времени. Теоретическая сложность нахождения наилучшего распределения связана с решением экстремальных задач комбинаторного типа, требующих больших вычислительных ресурсов.
Планирование выполнения функциональных операторов вычислительной системой.
Имеется вычислительная система, состоящая из N несвязанных устройств (процессоров) Р = {р1,р2,...,рп}. На обработку поступает М - множество независимых параллельных заданий (работ, операторов) Т = {¿1;^,...,гт}, известно время решения т(^.р.) каждого задания ti на устройстве р. - матрица Тх. Устройства неоднородны, но каждое задание может выполняться на любом устройстве, время выполнения определяется значением т(tipJ). Если задание не может
быть выполнено на каком-либо из обслуживающих устройств совсем, то это устройство с избирательными свойствами и время выполнения задачи на этом устройстве определено как т(?р.) = <ю
[1]. В каждый момент времени отдельный процессор обрабатывает не более одного задания и выполнение задания не прерывается для передачи на другой процессор. Требуется найти такое распределение заданий по процессорам, при котором суммарное время выполнения заданий на каждом из процессоров было бы минимальным.
Алгоритм В.Н. Плотникова - В.Ю. Зверева. При решении распределительной задачи эффективность полученного решения зависит от выбора алгоритма, который должен наилучшим образом учитывать структуру и характеристики вычислительных устройств. Широкое распространение получили простые и достаточно эффективные списочные расписания, основанные на эвристических алгоритмах. Среди таких алгоритмов можно выделить алгоритм, предложенный В.Н. Плотниковым и В.Ю. Зверевым. Это приближенный метод для поиска близкого к оптимальному решению использующий критерий минимакса.
1. Упорядочим строки матрицы Тх по убыванию сумм всех элементов строки
п п п
X (<^р. )) >Х (Х^2 Р. )) > ->Х( х^тр])). Этим достигается распределение на первых этапах
.=1 .=1 .=1
алгоритмов с большим временем счета и более равномерная загрузка ими вычислительных машин.
2. В преобразованной матрице Tx выделим первую строку i=1 и найдем в ней min(x(ijp )) - минимальный элемент. Примем этот элемент за элемент распределения и прибавим его к соответствующему элементу второй строки min(x(ijpj)) + (x(t2pj)) .
3. Вторая строка теперь учитывает предыдущее решение. Выберем из нее минимальный min(x(t2 pj)) ,прибавим его к соответствующему элементу третьей строки min(x(t2 pj)) + (x(t3 pj))
и т.д., получим матрицу Тх .
4. На выполнение назначается минимальный элемент строки min(x"(tipj)), такой что
min(x(tiPj)) * 0.
Данный алгоритм применяется для неоднородной вычислительной системы, т. е. тогда когда время выполнения одного и того же задания может отличаться на разных вычислительных устройствах. Алгоритм отличается наибольшим по сравнению с точными быстродействием, простотой и позволяет получить приемлемые по точности решения [2].
Адаптация алгоритма В.Н. Плотникова - В.Ю. Зверева к квадратичному критерию.
1. Упорядочим строки матрицы Тх по убыванию сумм всех элементов строки
n n n
X (x(tl P j )) >X (x(t2 Pj )) > ->X( x(tmpj)). Этим достигается распределение на первых этапах
j=i j=i j=i
алгоритмов с большим временем счета и более равномерная загрузка ими вычислительных машин.
2. Объявим строку ß - строкой текущего состояния.
3. Для каждого элемента столбца посчитаем квадратичный критерий
ц,=z(ß+(x(ti Pj )))2.
4. К строке ß добавим элемент строки (x(t1 pj)) такой, что ц, минимально.
5. Повторить последовательно для всех строк матрицы.
Адаптация алгоритма В.Н. Плотникова - В.Ю. Зверева к кубическому критерию.
Упорядочим строки матрицы Тт по убыванию сумм всех элементов строки
n n n
X(T(t1 Pj)) >X(T(t2Pj)) > ->X(T(tmPj)). Этим достигается распределение на первых эта-
j=i j=i j=i
пах алгоритмов с большим временем счета и более равномерная загрузка ими вычислительных машин.
1. Объявим строку ß - строкой текущего состояния.
2. Для каждого элемента столбца посчитаем кубический критерий ц, =X(ß + (x(t1 Pj))) .
3. К строке ß добавим элемент строки (z(t1 Pj)) такой, что ц, минимально.
4. Повторить последовательно для всех строк матрицы [3].
Пример решения по трем критериям. Приведем пример решения задачи с использованием минимаксного критерия на примере следующей матрицы (заранее упорядоченной). Квадратными скобками [х] будем выделять распределенные элементы.
24 14 22 24 [14] 22
9 22 24 [9] 22 24
6 23 14 Ґ = 6 23 [14]
19 13 9 19 13 [9]
6 1 10 [6] 1 10
Используя минимаксный критерий, получаем распределение (15, 14, 23); теперь используем квадратичный критерий.
24 [14] 22 576 [196] 484
[9] 22 24 [277] 1296 772
[6] 23 14 Z = [421] 1450 473
19 13 [9] 1352 954 [502]
6 [1] 10 718 [531] 782
На приведенной матрице 2 , в правой части представлен подсчет квадратичного критерия критерия. В результате вычисления получили распределение (15, 15, 9).
Теперь используем кубический критерий:
24 [14] 22 13824 [2744] 10648
[9] 22 24 [3473] 46656 16568
[6] 23 14 Z = [6119] 51382 6217
19 13 [9] 42048 23058 [6848]
6 [1] 10 12734 [7479] 12978
На приведенной матрице 2 , в правой части представлен подсчет кубического критерия. Используя кубический критерий, получаем следующее распределение (15, 15, 9).
Так как алгоритм, предложенный В.Н. Плотниковым и В.Ю. Зверевым, использует минимаксный критерий, а авторы предлагают использовать кубический и квадратичный критерий, необходимо определить, какой критерий даст более приемлемый результат. Аналитически доказать, какой лучше критерий, авторам не удалось. Поэтому для ответа на данный вопрос были проведены вычислительные эксперименты при размерностях задачи из интервала [25, 30]. Минимальное количество экспериментов по каждой размерности равнялось 1000. Результат представлен в табл.1.
Таблица 1
Сравнение кубического, квадратичного и минимаксного критерия
Наименование/nxm 2x31 3x31 4x31 2x131 3x131 4x131 2x531 3x531 4x531
Средний t max по куб. крит. 415 289 214 1737 1157 858 6999 4613 3421
Средний t max по минимак. крит. 418 291 215 1750 1181 882 7130 4749 3525
Средний t max по квадрат. крит. 414 288 212 1731 1151 853 6977 4596 3408
Для большого числа приборов результаты представлены в табл.2.
Таблица 2
Сравнение кубического, квадратичного и минимаксного критерия
Наименование/nxm 7x31 8x31 9x31 7x131 8x131 9x131 7x531 8x531 9x531
Средний t max по куб. крит. 128 104 102 491 438 388 1949 1705 1522
Средний t max по минимак. крит. 129 107 102 500 442 391 2029 1773 1566
Средний t max по квадрат. крит. 128 104 101 488 434 385 1938 1702 1498
Выводы. Для алгоритма В.Н. Плотникова - В.Ю. Зверева наиболее приемлемым критерием является квадратичный, так как применение его дает лучшие результаты. Преимуществом данного критерия является то, что при увеличении размерности задачи применение квадратичного критерия приводит к получению результатов на порядок лучше, чем минимаксный и более предпочтительный, чем кубический.
Библиографический список
1. Алексеев О.Т. Комплексное применение методов дискретной оптимизации / О.Т. Алексеев. - М.: Наука, 1987.
2. Плотников В.Н. Техническая кибернетика / В.Н. Плотников, В.Ю. Зверев.- 1974. - №3.
3. Кобак В.Г. Использование алгоритма В.Н. Плотникова - В.Ю. Зверева по кубическому критерию для решения неоднородных задач / В.Г. Кобак, М.А. Муратов // ММТТ-24. - 2011.
Материал поступил в редакцию 08.06.2011.
References
1. Alekseev O.T. Kompleksnoe primenenie metodov diskretnoj optimizacii / O.T. Alekseev. - M.: Nauka, 1987. - In Russian.
2. Plotnikov V.N. Texnicheskaya kibernetika / V.N. Plotnikov, V.Yu. Zverev.- 1974. - #3. - In
Russian.
3. Kobak V.G. Ispol'zovanie algoritma V.N. Plotnikova - V.Yu. Zvereva po kubicheskomu krite-riyu dlya resheniya neodnorodny'x zadach / V.G. Kobak, M.A. Muratov // MMTT-24. - 2011. - In Russian.
COMPARATIVE ANALYSIS OF PERFORMANCE CRITERIA IN SOLUTION OF NONUNIFORM MINIMAX PROBLEM BY LIST ALGORITHM
V.G. KOBAK, M.A. MURATOV
(Don State Technical University)
V.N.Plotnikov - V.J.Zverev list algorithm is examined. Minimax, quadratic and cubic criteria are used. The software for the analysis of criteria efficiency is developed.
Keywords: list algorithms, minimax, quadratic, cubic criteria.
