Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на основе одного функционального ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА

Н.А. ГОЛЬЦОВ, кафедра высшей математики МГУЛа

Частичная сумма одного функционального ряда [3] представляет собой обобщенную расчетную формулу ц-го порядка точности (ОРФ-ц):

(Хп+а/стН) для повышения порядка точности ОРФ-ц:

С а]~к~' 1

г т* ктЯ _____ _________

Е£о-*-1)!'0-^-1)!’ (2)

+00-+«,.*>+0(0;

¿=0 т=1

5 = 0,1, ...,(р-1). (1)

При д*т=я; /?=7 формула (1) является формулой Тейлора.

Коэффициенты в формуле (1) могут быть определены из системы алгебраических (¡¿+1) линейных уравнений (СА-ЛУ-ц+1) или из нелинейной системы, если

определяются не только коэффициенты С , но и положения части или всех узлов

к-0 ш=1

; = 0,1

1. Рассмотрим применение ОРФ-ц для решения различных ОДУ-р:

У(р)=Ш у(к>(0)=у0<к>, к=}, 2,.... р-1; (3)

У(р>=1у(х); у(к>(0)=у0<к), к=1, 2.......р-1, (4)

У<р>=т у); у<к>(0)=уо,к>, к=1, 2,..., р-1. (5) Узлы акт ОРФ-ц целесообразно располагать на двусторонней сетке типа Коуэлла. Схема приведена на рисунке.

к к И

ы - И^. Ь0 „(2) -(3) -(*) лп-1 п-1 / 2 лп ■ .■ 1 *4" „(2) у(2) „(3) Х0 п+1/3 Ля+1 і - ■ ■» і

_

лп-1

^п-1/3

„(П _ ~<п

ля ~ ло

X

(Ч

п+1/3

,(П

^п+1

Рисунок. Двусторонняя равномерная сетка расположения узлов ОРФ-4 (5)

2. Решение ОДУ-р (3)

На первом шаге, в общем случае, в узлах х(1>=0, ±а/И, ±а2Н, ±аД ..., двусторонней сетки вычисляются значения величин у<р>(х) для выбранной ОРФ-ц; на последующих шагах достаточно выполнять

вычисления для новых узлов, например, для

(2) (2)

второго шага, х 7>хо \

В случаях, когда выбрана ОРФ-ц, при ¡х>р, чтобы начать выполнять расчеты, можно заданное ОДУ-р продифференцировать N раз (М=[х-р-1) и вычислить необходимые для расчета значения производных, как это делается в рассмотренных ниже примерах.

Отметим, что порядок ТОЧНОСТИ ¡1 ОРФ-ц может быть выбран большим (р>10) и ограничен только возможностями получения при решении системы (2) требуемой точности.

3. Пример решения задачи Коши

у = х + у, ;у(0) = 1, X е [0; 0,4]. (3.1)

Для решения (3.1) выберем ОРФ-4 четвертого порядка точности. В данном случае ц>р. Поэтому, чтобы начать решение задачи, продифференцируем (3.1) N раз (N=4-1=3) и найдем дополнительные необходимые начальные условия:

у"=1+у';ут=1;у"(0)=2; (3.1а)

у"'=у";у"'( 0)=2; (3.16)

у""=у'";у""(0)=2. (ЗЛв) ОРФ-4 имеет вид

у'(Хп+Ю=С0у(0)+к-Си'(0)+

+к2-С2-у"(0)+к3-Сгу"'(0)+

+к2-С4'у"”(0)+0(к5). (3.2)

Коэффициенты СО, С1, С2, СЗ, С4 определяются из условия (2).

Согласно формулам (3.1), (3.1а) -(3.2) при 1г=0,2

у( 0 + 0,2) = 1 + 0,2-1 + —-2 +

2! (3.5)

0,23 . 0,24 „ ,

+ -2— ■ 2 + -г— • 2 = 1,2427.

ук= У /; у(0) = /(0) = 0; /(0) = 1. (4.1) Выберем для решения (4.1) ОРФ-4. Чтобы ею воспользоваться, продифференцируем (4.1) по переменной х и для полученного ОДУ-4 вычислим необходимое дополнительное начальное условие:

у""=у'-у"+уу’", у""(0)=0-1+0-0=0. (4.2)

Согласно задаче (4.1) у"'(0)=0-1=0.

Согласно формулам (1) и (2)

У(*,+Л) = у(0) + Л-/(0) +

+ ^-/(0) + |-Л0) + ^-/"(0)-(4-3)

3! 4!

(2)

На втором шаге узел х0 расчетной схемы (см. рис. 1) имеет абсциссу •*■1+1 + х? = (при шаге 1г=0,2).

Чтобы воспользоваться ОРФ-4 на втором шаге, нужно вычислить у'(0,2), у"(0,2), у"'(0,2), у""(0,2).

Согласно формулам (3.1) - (ЗЛв) у(0,2) = 1,2427;

у'(0,2) = 0,2 + у(0,2) = 0,2 +1,2427 = 1,4427;

/(0,2) = 1 + /(0,2) = 1 +1,4427 = 2,4427;

/(0,2) = /(0,2) = 2,4427;

/'"(0,2) = 2,4427.

Применяя условие (1.5) при (3.4) и шаге 1г=0,2 получим, что

у(0,2 + 0,2) = у(0,4) = 1,2427 +

0,2

При шаге к=0,5 и к=1:

У( 0,5) =

0,5

1

2! 1 = 0,125; у(1) = - = 0,5. (4.4)

(3.4)

+ 0,2-1,4427 + -0,23

3!

-•2,4427 +

2!

0,22

2!

•2,4427 + 2,4427 +

(3.5)

0,2і

4!

• 2,4427 = 1,5844.

Задача решена в [3] методом Рунге-Кутта (м=4) с шагом к=0,1. Через 4 шага получено значение у(0,4)=1,5836, отличающееся от результата (3.5) на 8=1,5844--1,5836=0,0008.

4. Решение краевой задачи из теории крыла Прандтля

Эта задача сводится к задаче Коши [2]:

Задача (4.1) при /г=0,5 и /г=7 решена [1] также методом Рунге-Кутта (м~4), и получено

у(0,5)=0,1243541; у(1)=0,4919080. (4.5)

5. Оценки точности результатов решения ОДУ-р при использовании ОРФ-ц

Для оценки и повышения точности результатов решения ОДУ-р при применении ОРФ-ц целесообразно использовать ОРФ-(|!+1) - формулу повышенной точности.

Применяя ОРФ-5, можно написать,

что

Ууточн (0,5) = 0,1243541 +• /"(0). (5.1)

Производная у"" получается в результате дифференцирования (4.2) по переменной х с учетом начальных условий

У...=у"-у'+у'-у,"+у'-у""+уу"",у"'"(0)=1.(5.2)

Подставив условие (5.2) в (5.1), получим, что

^Ууточн (0,5)=0,1243541+8, (5.3)

где 5 = — -1 = 0,0026048.

5!

6. Решение нелинейной краевой задачи

/ = |-/,у(0) = 4, у(1) = 1, /(0) = 24, У(1) = |-

(6.1)

Для решения задачи (6.1) используем ОРФ-3 третьего порядка точности:

Уз(х„ + РЬ) ~ Ст ■ у(0) +

+ С02^(1) + /г2С21-/(0)+ (62)

+ к2С22-у\\) + Офъ). Коэффициенты в (6.2) определяются из САЛУ-4 при 8=0, Р=1/2:

' (6.3)

Qi + С02 + 0 + 0 = 1; _ 1 ~ 2

0 + С02 + -'СМ 2! +--сю 3! + 0 + 0

0 +с2 1 +С22 2

0 + 0 + сп 2

о S II С =— С = '-'oi 2 ’ 22 —— с 16’ 21

23-3! _1_ 16'

Согласно условиям (6.2) и (6.4)

'П 1 А 11,

= -•4 +------1-

2 2 2

(6.4)

y(xn+hß) = у •24

16

16

(6.5)

- = 1,728. 2

ч2у

(6-6)

1+-2

(1 + *)2

Погрешность для задачи (6.3) при (6.6)

- 1,7777-1,7280 .оп

8огФ=- ---------------Ю0% = 2,8%. (6.7)

Л. Коллатц [1] получил решение (6.1) методом конечных разностей (МКР) с погрешностью дмкр= -4,3%:

'О

(6.8)

У

у2;

= 1,8549 Литература

Точное решение задачи (6.1):

1. Коллатц JL. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.■— М.: ИИЛ, 1953,— С. 42-45; 102-103.

2. Mohr E.. Deutsche Mathematik.— Bd 4, 1939.— S. 425.

3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З.. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967. -С. 153, 154.

4. Гольцов H.A.. Основы численного анализа и алгоритмов для многопроцессорных вычислительных систем. - М.: МГУЛ, 2002. - 96 с.

ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛУПРИПОДНЯТЫХ СТВОЛОВ И ХЛЫСТОВ И ВЛИЯНИЕ ИХ ПАРАМЕТРОВ НА ЧАСТОТУ ОСНОВНОГО ТОНА

Г.А. ИВАНОВ, доцент МГУЛа, к. т. н.

Исследуемый предмет труда аппроксимирован зависимостью со всюду выпуклым продольным профилем [2]. Кроме того, распределение масс вдоль оси ствола может быть переменным, например, у хвойных пород деревьев; модуль упругости у различных пород также различен. Поэтому исследуем влияние полнодревесности, высоты подъема конца и неравномерно распределенной нагрузки на частоту основного тона колебания полуприподнятого ствола.

Вычисления частоты основного тона колебания полуприподнятого ствола прово-

дим по математическим моделям, полученным в [1]. При этом достоверность моделей можно оценить непосредственно сравнением с точным решением, полученным для цилиндрических тел по формуле, приведенной в [4].

Ввиду большого разброса параметров дерева в качестве расчетного будем анализировать ствол сосны 16 ... II разряда высоты по Д.И. Товстолесу длиной ствола Ьс = 28 м и хлыста Ьх = 24 м, диаметрами (11,з = 20 ... 44 см, высотой подъема одного конца ствола (хлыста) Н = 0,7 ... 1,6 м, коэффициентом формы Ц2 = 0,4 ... 1, плотно-