CC BY
21
(\ 0 0 0 °1 Г1 0 0 0 °у
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 ;1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
0 \ 0 0 0 1 / 0 \ 0 0 0 1 л
Таблица 4
ОС -уровень Кластеры
0,834 {1,2,ЗЛ5}
0,884 {1,3,4,5},{2}
0,923 {1,3.4),{2},{5}
0,938 {3,4},{1U2},{5}
1 {1 ),{2},|3},{4},{5}
Литература
1. Полещук О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. -2002. - № 5.
2. Кузьмин В.5, Построение групповых решений в пространстве четких и нечетких бинарных отношений. - М.: ВНИЙСИ. - 1982. - 63 с.
3. Летвак 5.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.
4. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. -- М.: Наукч. - 1982. - 286 с.
5. Заде Д.А. Размытые множества и их применение в распознавании образов в кластер-анализе // Кяассифишшя и кластер / Под ред. Дж. Вэн Рай-зин - М., 1980. - С. 208 - 247.
6. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / Под ред. Д.А. Поспелова -М.: Наука.. 1986. -311 с.
7. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Си-лов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта.-М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 312 с.
8. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982. -184 с.
9. Tamura S., Higuchi S., Tanaka К. Pattern classification based on fuzzy relations // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. 1971. V. SMC-1. P. 61-66.
10. Zadeh LA. Similarity relations and fuzzy orderings // Information Sciences. 1971. V. 3. P. 177 - 200.
31. Ruspini E.H. A (tew approach to clustering // Information and Control. 1969. V. 15. P. 22 - 32.
12. Ruspini E.H. Numerical methods for fuzzy clustering // Information Sciences. 1970. V. 2. P. 319 - 350.
13. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. -- 2002. - Вып. 6. - С. 52 - 53.
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ А.М. ЛЕЖАНДРА НАХОЖДЕНИЯ ОБЩЕГО ПОДХОДА К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ, ПОВТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
К 150-летию со дня рождения Адриена Мари Лежандра.
Н.А. ГОЛЬЦОВ, кафедра высшей математики МГУЛа
В 1826 году А.М. Лежандр в своем трак- иметь возможности вычислять последова-тате, подводящем итоги сорокалетних тельные значения функции /(х), определяе-исследований в области анализа, писал: мой обыкновенными дифференциальными
«...Было бы желательно при помощи рядов уравнениями (ОДУ-р) первого порядка или
более высокого. Эта задача того же рода, как и задачи, относящиеся к вычислению простых и повторных интегралов, но ее решение представляет гораздо большие трудности...»
Поставленная А.М. Лежандром проблема получила частичное решение в 1957 году. Была предложена обобщенная формула [2, 3] в следующем виде:
у(ха + h) = ^^Ckihkya\xn +akmh). (i)
i=0 >»=1
Коэффициенты Clem В формуле (1) ОП-ределяются из системы уравнений С 1
г тЬ hn км Х
u-iy: (:r,
" "" .и.
С помощью расчетной формулы (1) получаются различные известные и новые расчетные формулы для различных методов решения ОДУ-р.
Можно расширить область применения формулы (1), если ввести в нее параметры S и /?.
Нахождение величин y<b>(x„+fih) при решении различных классов задач численного анализа может осуществляться с помошыо обобщенной формулы на основе теоремы.
9 ^ с •
Теорема: Величины y“'{x„Jrjjh) могут быть вычислены по формуле
/‘ч*.+*>- £2о-г*<*.+о,./о, о-,
*:=0 г.ч=1
Если в частном случае выбрать систему базисных степенных функций Р„~хг’..
п=0, 1,(г+1), ю коэффициенты
обобщенной формулы (3) определяются из следующей системы:
, су а1-*-1
££0'-*-1): 0-5-1)!' (4)
—0 • 1 . .
; = 1, 2,)Х.
Доказательство. Уравнения системы алгебраических уравнений можно получить методом неопределенных коэффициентов, в результате приравнивания сумм коэффициентов при производных одинакового порядка после разложения в ряд Тейлора значений
функций у(к)(хп+актЮ, к=0, 1, ..., г и
у(5>(хп+№-
Для (3) получены выражения ошибок аппроксимации и ошибок округления [Л. 2, 3]. В таблице 1 приведены известные и новые расчетные формулы для решения ОДУ [Доклады АН СССР, 1958. Т.120, №3. Л.2].
Выражение (3) представляет собой обобщенную расчетную формулу ц-го порядка точности (ОРФ-ц), позволяющую решать различные задачи численного анализа:
1. При 8=0, р~1 получаются расчетные формулы многошаговых методов решения ОДУ типа Адамса-Бошфорта (1855г.), Милна-Симпсона (1926г.)
2. При переменных значениях коэффициентов /? получают формулы многошаговых методов решения ОДУ первого порядка с переменным шагом.
3. При 5-0, 1, р=1 получают
расчетные формулы многошаговых методов решения ОДУ р-то порядка без замены заданных ОДУ эквивалентными системами ОДУ первого порядка.
4. При 3-0, 1. р-1 и переменных
значениях коэффициента /? получают расчетные формулы многошаговых методов с переменным шагом для решения ОДУ высших порядков без замены заданных ОДУ эквивалентными системами ОДУ первого порядка.
5. При 5=7, 2, р получают расчетные формулы для вычисления производных порядка 5.
6. Решение задач интерполирования, прогнозной экстраполяции таблично заданной функции своими значениями, своими производными на неравномерной сетке с применением аппроксимирующих дифференциальных уравнений, например, однородных дифференциальных уравнений или ги-пергеометрического уравнения, коэффициенты, параметры которых определяются с использованием табличных значений для аппроксимируемой функции, ее производных.
7. При -1, -2, ..., -р получают расчетные формулы для вычисления обыкновенных интегралов и повторных интегралов.
8. Решение жестких ОДУ-р.
Таблица 1
Формулы для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений
ЁЩ /»2
С0ту(хп +а0т1г) + 2^кСітуХх„ + а1тИ) + 2^к2С1ту\хіі+аЬііЮ.
ш=1 ш=1 /м*1
Выражение ошибки аппроксимации и округления
”2 І=^+У/=у+2.... і у
С0„,5(*„ + а0шН) + '£ііСш5'(хп +аиі,к) + ^Н2С2іІ,8\хі, +а2тЮ+ £ (Г. -I)-— у^(х„)
і і т~І і З*
№ Значения коэффициентов в формуле Выражение Коэффициент искажения Авторы
п/п Сої Со2 С„ С/2 Сіз с21 С22 «07 а02 йц ап 0-13 агі «22 коэффициента 7} Т>1+і 7/1+2 Тц+з Тр+4 формул
1 1 23 12 -16 12 5 12 0 0 -1 -2 0/12)[5(-2Г‘- 3 -8 5 3 -72 539 3 Адамс
2 1 8 12 -1 12 5 12 0 0 -1 1 І/Щ5-К-1Г1] 3 2 5 3 3 7 3 *
3 1 1 4 6 -1 6 0 0 0 -1 (-тн)(-іг2 3 -2 10 3 -5 7 Фалкнер
4 1 1 2 6 1 6 0 0 0 1 (тн) 3 2 10 3 5 7 *
5 1 8 3 =2 3 ^2 3 -1 0 -1 -1 (-1)1-{2уЗ)(-1Г!--(2]/3)(Н)ПГ2 3 -13 3 9 -15 67 3 Мухин
6 1 2 3 1 3 5 6 0 0 -1 0 (І/3)(-1Ґ 3 -4 3 5 3 -2 7 3 *
7 1 2 3 1 3 0 0 1 0 /3 3 4 3 5 3 2 7 3 Дюффинг
8 1 4 3 I 3 1 3 -1 0 -1 1 (~1М/3)[1+ + (-1Ґ] 4 7 3 1 и 3 1 Симпсон
8 -4 8 0 -1 (~3}+(4у3)х 4 -109 225 -3005 3841 Милн
9 1 3 3 3 -3 -2 х[2(-2Г>-(-1Ґ ] 3 3
Формулы выведены автором (Доклады АН СССР. - 1958. - Т. 120, № 3 [2]).
Применяемые для решения жестких ОДУ-р формулы дифференцирования назад (ФДН или ВОР-методы) получаются по формуле (3) при 5=7. При решении дифференциальных уравнений высоких порядков 5 расчетные формулы можно аналогично получить из соответствующих выражений производных. ФДН для решения жестких ОДУ-1 предложены Кёртисом и Харшфель-дером (1952), Митчеллом и Крэгсом (1953).
9. Решение ОДУ-р с отклоняющимся аргументом.
10. Вычисление дробных производных с помощью ОРФ-Ц.
При 5 = —>0 вычисляются дробные
ч
производные; при 5 = — < 0 вычисляются
Я
дробные интегралы. Коэффициенты в ОРФ-11 (3) могут быть получены из систем уравнений типа (4), при использовании других систем базисных функций, например экспоненциальных, действительного или комплексного аргумента.
11. ОРФ-ц особенно эффективны при решении ОДУ-р, в которых в явной форме не содержится переменная х.
Анализируя системы уравнений (2) и (4), определяющие коэффициенты в частичных суммах одного функционального ряда и нового функционального ряда [2, 3], можно отметить:
1) матрицы в А С=В, уравнения (2) и (4), не зависят от класса решаемых задач;
2) особенности каждой задачи учитываются, определяются величинами элементов свободных векторов В;
3) можно из систем уравнений (2) и (4) определять соответственно коэффициен-
ты С при заданных узлах акт - случай линейных систем А С=В, - либо для повышения порядка точности расчетных формул, наряду с коэффициентами С, определять все или частично значения узлов Хкт\ при таких условиях системы (2) и (4) оказываются нелинейными.
В качестве примера по формуле (3) вычислены величины у(8>(хп+/31г) при
5=0, 7, -1, -2 для функции, заданной своими значениями и значением производной: у(0)=1- (а01=0); у(-1)=1; (а02 = -1)\ у'(-2)= -3; (ац= -2).
Результаты расчетов приведены в табл. 2.
Таблица 2
у (х) = Fn(Chlls,x)
Номер S УІІЬ,5) Уш(1) Уы(1,5)
1 0 1,75 3 4,75
2 1 2 3 4
3 -1 2/3 11/16 11/12
4 -2 29/192 3/4 225/64
Здесь h=T,y(x)=l+x+x — тестовая с )ункция.
Коэффициенты Ckms поставленной задачи определены из систем уравнений (4):
5=0
5=7
г ^010 + С020 + 0 = 1;
. с ^010 1! + с — Т '“'020 ^ + С1Ю _Р. 1Ґ
с ^010 ОС2 U01 2! + С а■“ 02° 2! + с SLl ПО J, _02 2! ‘
5= - 7 _1. 1!’
с 0K-1I 4- С 02(-1) + 0
с 0К-1) Sl 1! + С — 02(-1) р -£ 2!
с 011-11 < 2! + с — ~ ^02М) 21 + С — 1! 3!
С0.1 + Q2I + 0 = 0;
Г «о, °" 1! + с — 021 1! + сш = 1;
(У2 С 01 он 2, OL2 + С021 02 2! + СШ «и. 1! _£ 1!
5=i -2
+ С
+с
-'ОИ-2) jj 02( -2)
3»
1!
а.:
С +с
0!(-2) 2] ^02(~2) 2J
=£■
2!’ =К.
3! ’
+с Sk
” J Н-2) 1f л. *
+ 0 +с,
1!
4!
Литература
1. Legendre A.M.. Exercises de calcul int6gral. - Paris.
2. Гольцов H.A.. Применение одного функционального ряда для вывода формул различных численных методов решения обыкновенных дифферен-
циальных уравнений // Доклады АН СССР. -1958.-Т.120, №3.
3. Гольцов Н.А.. Основы численного анализа и алгоритмов для многопроцессорных вычислительных систем. - М.: МГУЛ, 2002. - 96 с.
