CC BY
125
УДК 681.3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ КИНЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СЛОЖНОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С.Л. Подвальный, А.М. Белянин, А.В. Плотников
В статье рассматриваются методы решения прямых и обратных задач в зависимости от сложности химической системы. Для анализа методов был разработан программный комплекс написанный на объектно-ориентированном языке программирования С#. Приводятся результаты, показанные методами на конкретной кинетической задаче
Ключевые слова: прямая кинетическая задача, обратная кинетическая задача, кинетический уровень, идентификация
Знание кинетических уравнений реакции в дифференциальной форме позволяет определить время достижения некоторой заданной концентрации реагирующего вещества (или продукта реакции). К сожалению, кинетическое уравнение реакции может быть получено только при её экспериментальном изучении. Поэтому важную роль для решения кинетических задач играет ЭВМ.
Для решения прямой задачи, в зависимости от степени ее жесткости, используются как явные, так и неявные численные методы решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [1]. Для работы с жесткими система ОДУ используют неявные многошаговые методы, например метод Адамса-Моултона или формулу дифференцирования назад (ФДН)[2]. Неявные многошаговые методы требуют значительно больших вычислительных затрат, чем явные методы. Поэтому для нежестких систем целесообразно использовать явные методы, такие как метод Рунге-Кутты или метод Адамса-Башфорта. На рис. 1 представлены методы решения прямой и обратной кинетических задач.
Для контроля погрешности численных методов используют балансовые соотношения. Иногда балансовые соотношения используют для проверки правильности составленных уравнений.
Универсального метода решения обратной кинетической задачи не существует. Её решение чаще всего находят, многократно перебирая по определенному алгоритму набор прямых задач,
Подвальный Семен Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-77-18 Белянин Алексей Михайлович - ВГТУ,
(473) 243-77-18
Плотников Александр Владимирович - ВГТУ,
аспирант, тел.
и минимизируют выбранный критерий отклонения расчёта от эксперимента. Методы градиентного спуска основываются на известном факте, что направление градиента показывает направление наискорейшего возрастания функции, а направление антиградиента, соответственно, показывает направление наискорейшего убывания функции. Основным недостатком градиентного метода является необходимость частого вычисления производных. Этого недостатка лишен метод наискорейшего спуска. Вдали от оптимума эффективность метода наискорейшего спуска повышается по сравнению с градиентными методами, а в окрестности снижается из-за частой смены направлений.
аспирант,
тел. (473) 243-77-18
Рис. 1. Методы решения прямой и обратной кинетических задач
Градиентные методы относятся к группе методов 1 порядка, т.к. опираются на вычисления первой производной. Более эффективными могут быть методы второго порядка, которые в том числе используют вторые производные. Однако, здесь могут возникнуть трудности с вычислением и исследованием матрицы вторых производных (матрицы Гессе). Метод сопряженных градиентов является попыткой объединить достоинства методов первого и второго порядков с исключением их недостатков.
В зависимости от сложности химической системы необходимо выбирать наиболее подходящий метод, как для решения прямой кинетической задачи, так и для обратной. Целесообразно использовать многоальтернативную оптимизационную модель автоматизированного выбора метода решения кинетической задачи.
Описанные выше методы были апробированы на следующей кинетической задаче.
<ЛУ - -
— =А1¥ + у1В1¥
У1 (0) = Уо
'-Уг(О) = Уз (°) = •" = Уа(°) = 0 _
Векторы выходных координат модели ^ и матрицы коэффициентов приведены ниже[3]:
Уг Мг
Уг Л,
Уз А,
У*
У.п
Уй Из
Ут И1
У* Иг
К, 0 0 0 к, 0 0 0
0 0 0 0 -К, К, 0 0
0 0 0 0 0 0
Аг = 0 ъ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
К, 0 0 0 0 -К* 0 0
ъ 0 0 0 0 0 0
к 0 0 0 0 0 0 -К,
0 0 0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 с 0 0
В, = 0 0 0 0 0 С 0 0 к
1 0 0 0 0 -1 С 0 0
0 0 0 0 0 С 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 2 0
Для решения модели был разработан программный комплекс написанный на объектноориентированном языке программирования С#.
Для решения системы дифференциальных уравнений были использованы следующие методы:
1. Формула дифференцирования назад (ФДН) 4-ый порядок.
2. Рунге-Кутты 4-ый порядок.
3. Адамс-Моултон 3-ий порядок.
4. Адамс-Башфорт 3-ий порядок.
При 1е [0, 10] все четыре метода при шаге И=0,00001 дают примерно одинаковые значения. В качестве эталона возьмём решение методом ФДН четвёртого порядка при шаге И=0,00001. Ниже приведены эталонные решения модели.
Для расчёта критерия, характеризующего точность решения модели, надо выполнить следующие шаги:
Рис. 2. Решение модели при 1е[0, 1]
Рис. 3. Решение модели при 1е[0, 2]
Рис. 4. Решение модели при 1е[0, 10]
1. Берём по 100 контрольных точек с эталона и решения исследуемого метода. Найдём значения относительных ошибок исследуемого
метода в контрольных точка:
(^эталон _ уПолученное-^
,, ,эталон -4-1
2. Критерием точности исследуемого метода будет сумма значений относительных ошибок по всем функциям во всех контрольных точках.
талон _ полученное
Ч
■у
ч
У
,з гал он
Ч
где п - порядок химической системы, к - количество контрольных точек.
В табл. 1 приведены результаты, показанные методами. ФДН наиболее устойчивый метод. Недостатком этого метода являются значительные вычислительные затраты, по сравнению с другими исследуемыми методами.
При решении системы дифференциальных уравнений имеет смысл на некоторых отрезках принимать некоторые функции за константы, таким образом понижая порядок системы и снижая затраты на вычисление. Для выбора отрезка, на котором можно принять функцию за константу, были использованы следующие критерии:
1. Первая производная :
Vn Л-Л-1
Л
2. Вторая производная:
Л
В табл. 2 приведены значения функций при 1=10 при решении искомой модели с перемен-
ным шагом на интервале 1е[0, 10] и при количестве шагов равном 1000000. В качестве критерия используется первая производная.
В табл. 3 приведены значения функций при 1=10 при решении искомой модели с переменным шагом на интервале 1е[0, 10] и при количестве шагов равном 1000000. В качестве критерия используется вторая производная.
В целом использование в качестве критерия второй производной увеличило точность по сравнению с критерием по первой производной.
Критерием точности для решения обратной кинетической задачи будет сумма значений относительных ошибок по всем функциям в конечных точках:
.эталон _ полученное.
Ц_________УЧ___________'
лтэ галон
Для решения прямой задачи использовался метод Рунге-Кутты 4-ого порядка. В табл. 4 приведены результаты идентификации по двум параметрам.
Из табл. 4 видно, что при отдалении начальных условий от оптимального решения метод наискорейшего спуска даёт выигрыш в скорости по сравнению с градиентными методам,
Таблица 1
Сравнение точности методов при 1е[0, 10]
Количе- ство шагов ФДН 4-ый порядок Рунге-Кутт 4-ый порядок Адамс-Моултон 3-ий порядок Адамс-Башфорт 3-ий порядок
100 000 1,02729968320231 1,14129785515705 1,18115654905593 1,16033681624666
10 000 1,13224108441673 1,14360126522355 1,93002437774431 1,33437331763879
5000 1,14402357677326 1,14850123396908 3,23526832130397 1,53144180757989
4000 1,14907325744742 1,15103204322190 3,8630871849451 1,63077828273081
2500 1,16398121115543 1,15541582362042 5,64888937901464 1,92883036549314
2000 1,17265860832234 1,15323239110218 6,76037588287268 2,12501561402964
1000 2,12836858527586 2,01015741495073 11,4919906357509 3,11518355013141
500 6,92724120053944 5,52919186567699 22,2560463804547 13,7095752535659
100 30,9832638827655 118,324110256656 переполнение переполнение
Таблица 2
Значения функций при решении с переменным шагом
Пропущено шагов Пропущено шагов в % У1 У2 У3 У4 У5 У6 У7 У8
0 0 0,014 3,362 9,954 34,463 0,031 0,031 0,032 0,033
1816127 22,70159 0,014 3,362 9,955 34,463 0,031 0,031 0,032 0,033
3343709 41,79636 0,014 3,362 9,955 34,463 0,031 0,031 0,032 0,033
5913478 73,91848 0,014 3,363 9,956 34,468 0,031 0,031 0,032 0,033
7491799 93,64749 0,014 3,365 9,989 34,511 0,031 0,031 0,032 0,033
7906730 98,83413 0,014 3,379 10,028 34,677 0,031 0,032 0,032 0,034
что объясняется необходимостью вычислять градиент. При приближении начальных условий к оптимальному решению метод наискорейшего спуска даёт проигрыш в скорости по сравнению с градиентными методам, что объясняется частой сменой направлений, а не движением вдоль градиента. В ходе проведённого эксперимента можно считать метод сопряженных градиентов самым быстрым методом, так как вблизи от оптимума метод показал наилучшую скорость, а вдали от оптимума незначительно проиграл методу покоординатного спуска и значительно выиграл по скорости у метода градиентного спуска.
Таблица 3
Значения функций при решении с переменным шагом
Пропущено шагов Пропущено шагов в % Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8
0 0 0,014 3,362 9,954 34,463 0,031 0,031 0,032 0,033
2291306 28,64 0,014 3,362 9,954 34,463 0,031 0,031 0,032 0,033
4304578 53,81 0,014 3,362 9,955 34,463 0,031 0,031 0,032 0,033
5231881 65,40 0,014 3,363 9,958 34,469 0,031 0,031 0,032 0,033
6994010 87,43 0,014 3,365 9,968 34,511 0,031 0,031 0,032 0,033
7740248 96,75 0,014 3,372 9,989 34,664 0,031 0,031 0,032 0,033
Литература
1. Губайдуллин И.М., Линд Ю.Б., К.Ф. Коледина. Методология распараллеливания при решении многопараметрических обратных задач химической кинетики // Вычислительные методы и программирование, Т. 13 - Москва, 2012, с. 28-36.
2. Подвальный С.Л., Холопкина Л.В. Вычислительная математика: Учеб. пособие/Под ред. С.Л. Подвального. Воронеж: ВГТУ, 2004. 147 с.
3. Подвальный С.Л. Моделирование промышленных процессов полимеризации. - М.: Химия, 1979. - 256 с., ил.
Таблица 4
Результаты решения обратной кинетической задачи с двумя параметрами
Название метода Количество решений прямой задачи Критерий точности J Ki Kt
НУ Полу- ченное Иде- аль- ное НУ Полу- чено Иде- аль- ное
Градиентный спуск 531 0,0023 10 9,005 9 5 4,0016 4
Сопряженных градиентов 355 0,00398 10 9,01 9 5 0,0047 4
Покоординатный спуск 776 0,0022 10 9,0048 9 5 4,002 4
Градиентный спуск 1992 0,0024 12 9,0056 9 5 4,0022 4
Сопряженных градиентов 1083 0,0019 11 9,0028 9 5 4,0013 4
Покоординатный спуск 782 0,0020 11 9,004 9 5 4,0017 4
Воронежский государственный технический университет
METHODS FOR DIRECT AND INVERSE KINETIC PROBLEMS DEPENDING ON THE
COMPLEXITY CHEMICAL SYSTEM
S.L. Podvalny, A.M. Belianin, A.V. Plotnikov
The article deals with methods for solving direct and inverse problems depending on the complexity of chemical systems. For the analysis methods developed software package was written in object-oriented programming language C#. The results are shown in the specific methods of the kinetic problem
Key words: direct kinetic problem, inverse kinetic problem, the kinetic rate, identification
