CC BY
28
УДК 537.8
ББК 22.313
М 67
Митрофанова Т.Г.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета, Томск, e-mail: mtg@tspu.edu.ru
Решение обратной задачи электродинамики на примере заряда, движущегося по окружности
(Рецензирована)
Аннотация. Обратная задача для электромагнитного поля точечного заряда рассмотрена на примере заряда, движущегося по окружности. Поскольку данная обратная задача имеет два решения, интересно выяснить, какое из этих решений имеет физический смысл. Вычислены напряженности электрического и магнитного полей на оси окружности, по которой движется заряд. В предположении, что эти величины заданы, найдены решения обратной задачи - два разных закона движения заряда, создающего заданное электромагнитное поле. Одно из них соответствует движению по окружности, второе решение не имеет физического смысла.
Ключевые слова: электромагнитное поле, обратная задача, неоднозначность, заряд, движение по окружности.
Mitrofanova T.G.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department, Tomsk State
Pedagogical University, Tomsk, e-mail: mtg@tspu.edu.ru
Solution of the inverse problem in electrodynamics with the example of a charge moving along a circle
Abstract. The inverse problem for the electromagnetic field of a point charge is considered using the example of a charge moving along a circle. Since this inverse problem has two solutions, it is interesting to find which of these solutions has a physical meaning. The electric and magnetic fields are calculated on the axis of the circle along which the charge moves. Under the assumption that these quantities are given, solutions of the inverse problem are found, namely, two different laws of motion of a charge that produces the given electromagnetic field. One of these solutions corresponds to the motion along the circle, while the second one has no physical meaning.
Keywords: electromagnetic field, inverse problem, ambiguity, charge, motion along a circle.
Введение
К настоящему моменту классическая электродинамика является детально разработанной теорией. Решение большинства практически важных задач уже известно. Однако и здесь время от времени возникают актуальные проблемы, которые еще не исследованы. В настоящее время большой интерес ученых вызывает, так называемая, обратная задача электромагнитного поля точечного заряда. Обратная задача электродинамики - это задача восстановления источников электромагнитного поля по известным значениям этого поля. Обратные задачи довольно сложны в своем решении. Какого-то четкого и отработанного метода решения нет. Для каждого случая необходимо подбирать свой способ решения. Это обусловлено тем, что решения таких задач чаще всего связаны с решением интегральных уравнений высоких порядков. Но, несмотря на свою сложность, обратные задачи имеют, как правило, важное теоретическое и прикладное значение. В наиболее общей постановке обратная задача для точечного заряда состоит в следующем: определить радиус-вектор R(t) точечной заряженной частицы как функцию времени, если известны напряженности электрического и магнитного полей E(() и H(() в некоторой точке пространства.
Решение прямой задачи электромагнитного поля точечного заряда хорошо известно и дается потенциалами Лиенара-Вихерта, которые определяют поле, создаваемое произвольно движущимся зарядом, если известны его скорость и ускорение. Напряженности электрического E(() и магнитного H(() полей, согласно формулам для потенциалов Лиенара-Вихерта [1], имеют вид:
E _ *(n-ß)(l-ß2) * [» [(n- P)a]] m
E" R2(l-ßn) -Rc2 (l-ßn) • m
H = [nE \,
здесь n = R - единичный вектор, направленный на наблюдателя, f - - вектор безраз-
R c
мерной скорости движения заряда, а - вектор ускорения, c - скорость света, e - величина заряда частицы.
Напряженности полей, как видно из (1), выражаются через радиус-вектор R(t ) и его
производные R и R, данная задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений второго порядка. Задача усложняется тем, что уравнения нелинейные и, кроме того, левая и правая части уравнений зависят от разных переменных: времени на траектории t и запаздывающего времени t', связанных известным соотношением
f=t - Rit),
c
которое, в свою очередь, содержит неизвестную функцию Rtt ). Тем не менее, решение этой задачи найдено и имеет следующий вид [2]:
[ёй ] +EVE 2 - H E
n =L J Л-, (2)
2 (en ) (en )
e = е2^Ц, R = еЛг.. \ч, (3)
(nN) (e [ññ J)
где вектор N дается формулой N =[ññJ.
Как видно из формул (2)-(3), полученное решение неоднозначно: одно и то же электромагнитное поле может быть создано двумя различными зарядами, движущимися по разным траекториям в зависимости от знака перед корнем в уравнении (2). В связи с этим представляет интерес следующая задача: используя формулы Лиенара-Вихерта (1), определить поле заряда, движущегося по некоторому заданному закону. Затем, используя (2)-(3), найти закон движения как для исходного заряда, так и для заряда, который создает такое же электромагнитное поле. Эта задача является и своего рода проверкой формул (2)-(3), так как одно из решений обратной задачи должно давать закон движения исходного заряда, который первоначально был известен. Решение поставленной задачи рассмотрим на примере движения заряда по окружности, причем наблюдателя расположим на оси, проходящей через центр окружности, перпендикулярно плоскости окружности. Подобный выбор объясняется тем, что в этом случае
величина модуля R(() будет постоянной и это несколько упростит решение задачи. 1. Решение прямой задачи
Найдем электрическое и магнитное поле заряда, движущегося по закону
х = r cosci',
\ y = r sin coi', f (4)
z = 0,
где r - радиус окружности. Здесь i' - время на траектории, оно связано со временем i, для ко, R(t)
торого вычисляются поля известным соотношением для запаздывающего времени i = i н—— .
е
Но, поскольку наблюдатель находится на оси траектории, R не зависит от времени.
Обозначим через l расстояние от наблюдателя до плоскости движения заряда, а угол между плоскостью окружности и направлением на наблюдателя через в (см. рис. 1).
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (211) 2017 Выпишем координаты всех векторов, необходимых для вычисления электромагнитного поля:
R= {-
r cos at ; - r sin
at'; l),
n
(5)
= {- cos^cosat';-cos^sinat ';sin#},
P = {~P sin cot'; ficosat'; 0},
- í с2P2 ' с2P2 . ' 1
a = <--cosct ;--sin cot ; 0 f.
[ r r J
Кроме того, отметим следующие соотношения:
r = Rcose, R = Vr2 +12 , l = Rsine, ¡3 = ar/с . Подставляя последние выражения в первую из формул (1), найдем компоненты вектора E (t):
E., =
e
x R2 cosO e
E„ =
У T>2
R2 cos O
{cosat'{ß2 -1)+ sin2 O cosat' + ßcosOsinat'), {sin at'{ß2 -1)+ sin2 O sin at' - ßcos O cos at'),
(6)
E = el = e sin O
z = R3 " "
Формулы (6) являются решением прямой задачи.
Рис. 1. Система координат и траектория движения заряда 2. Решение обратной задачи
Прямой подстановкой выражений (6) в уравнения (2) и (3) проверим, дают ли эти решения исходный закон движения и какой смысл имеет второе решение, связанное с наличием знака «плюс-минус» перед корнем в уравнении (2). Векторное произведение [ей ] формуле (2) можно представить как двойное векторное произведение [ей ]=[ё[лё ] рое преобразуется как [ЁЙ]= пЕ2 -Е(пЕ). А величина л/ё2 - й2 с помощью математических преобразований запишется л/ё 2 - Й2 =(пЕ). В результате получим два значения для вектора п :
в
кото-
2е {e ^
n1 = n , n2 = n -
E
(7)
где индекс «1» соответствует знаку «+», а индекс «2» - знаку «-» в формуле (2). Очевидно, что индекс «1» характеризует величины, соответствующие исходному заряду, который движется по окружности. Траектория движения второго заряда, судя по виду направляющего вектора, будет выглядеть гораздо сложнее.
Определим радиус-вектор и заряд, используя в формулах (3) значения вектора n1 = n и
R(t )
выражения (6). Кроме этого мы учитываем, что —— = const, что дает dt = dt', то есть
c
л dn dn л л
n = — = — . Запишем компоненты векторов n , n,:
dt dt' 1 1
n = {-nya; nx®; o}, n = {-®2nx; -a2ny; o}. (8)
Вектор N = [nn ] примет вид:
N1 = —2- sin 29 cos at'; a sin 29 sin at'; acos2 . (9)
Согласно (9) и (6), найдем
(¿N,)= ^{Р-l)+ sin2 9}+ R acos2 9. (10)
RR Используя (6) и (8), получим:
((лл ]) ea2 sin29 _
(( hn])=—^—Р. (11)
И наконец, находим модуль радиус-вектора R(t), подставляя (10) и (11) в формулу
(3). После алгебраических преобразований получим
R = R,
что и следовало ожидать. Равенство R1 исходному закону движения говорит о правильности формул (2)-(3).
Для нахождения заряда e1 нам понадобится определить смешанное произведение (n1 [ñ1ñi1 ]). Согласно (8), имеем:
3
(( [ñ1ñí1 ] ) = aa cos 9 sin 29.
Подставляя последнее выражение в формулу для заряда e и проведя ряд математических выкладок, найдем, что e1 = e.
Этот результат также был предсказуем и также подтверждает правильность полученных формул для расчета траектории и величины заряда.
Таким образом, одно из решений (2)-(3) действительно дает исходный закон движения и заряд частицы. Определим теперь, по какой траектории будет двигаться заряд, направляющим вектором которого является вектор n2, заданный формулой (7). Представим вектор n2 в координатной форме:
л í о (nE ) 0 (nE ) 0 (nE L !
n = К -Ex; ny -2^Ey; nz -2^E |.
Прежде чем приступить к решению данной задачи, определим величины E2 и (nE ):
E 2 = 4 l-^T- +(1 -Р2 )) , (EnÍ=4 (1 -Р2 ).
R4 - cos2 9 к J V R2V '
Анализируя полученные выражения, важно отметить, что и E2, и (nE ) не зависят от времени, следовательно, при нахождении n2 и n2 эти величины не дифференцируются. С учетом последнего замечания найдем:
• í (nE) (nE) )
n2 =l-nya+2-^ aEy;nxa-aEx; 0f, - 77 -
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (211) 2017
n =\-v2nx+2E); + 2E)®2Ey.
Здесь мы также учли, что E = {-aEy; aEx; о}, E = {-a2Ex; -a2Ey; о}. Дальнейший ход вычислений аналогичен предыдущему случаю.
(т)= ecl3sinfl(2l2 -Р +(l-р2)cos2 в) (12)
[EN) =—2 ( +(1 -р2 )coS2 в) ' (12)
ea2 sin 2в(р -(l - р2 )cos2 в) ( '"l"l ^ = 2R2 ( +(1 -р. )cos' в).
Подстановка (12) в формулу для радиус-вектора дает
R = R 2Р2 -р4 +(1 -р2 )cos2 в (13)
R = R р4 -((-р2 )cos2 в (13)
Модуль радиус-вектора больше нуля, следовательно, выражение (13) должно быть положительным. Очевидно, что числитель в формуле (13) больше нуля. Знак знаменателя неизвестен, он может быть как положительным, так и отрицательным. Чтобы решение задачи имело физический смысл, необходимо принять, что
Р4-(1 -р2) cos2 в> 0. (14)
Вычисление заряда приводит к следующему выражению для e2:
e = e , (-рр + cos^(1 -р2 ))(р4 + cos2 в(1 -рр ))2 (15)
2 ( - cos2 в (1 - р2))((1 - р2)+ (р4 - cos2 в)(1 - р)2) • ' ;
Заметим, что все скобки, кроме р4 -(1 - р2 )cos2 в, в (15) заведомо положительны. А поскольку мы требуем, чтобы р4 -(1 - р2 )cos2 в> 0, то e2 совпадает по знаку с зарядом e . Но это утверждение противоречит теории, согласно которой знак заряда e должен совпадать со знаком скалярного произведения (nE). Подставляя в произведение (nE) значение вектора n2 из формулы (7), получим, что (n2 E ~)=-(nE), а это в свою очередь означает, что должно выполняться условие e2 =-e . Следовательно, второе решение не имеет физического смысла.
В связи с этим возникает вопрос: всегда ли второе решение не имеет физического смысла или это характерно только для данного конкретного случая, когда заряд движется по окружности, а наблюдатель находится на оси, проходящей через ее центр? Какие условия должны выполняться для рассматриваемых физических величин, чтобы второе решение имело физический смысл? Эти вопросы требуют детального изучения и будут являться предметом дальнейшей работы. Известен, по крайней мере, один случай, когда покоящийся заряд и заряд, движущийся по определенному закону, создают идентичное электромагнитное поле в некоторой точке пространства [3].
Примечания: References:
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. 1. Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Т. II. Теория поля. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Fields. Vol. 2. 4th ed. Butterworth-Heinemann, 1975. лит., 1988. 512 с. 402 pp.
2. Epp V.Ya., Mitrofanova T.G. Inverse problem for the 2. Epp V.Ya., Mitrofanova T.G. Inverse problem for the retarded field of an arbitrary moving charge // Phys. retarded field of an arbitrary moving charge // Phys. Let. A. 2004. Vol. 330. P. 7-9. Let. A. 2004. Vol. 330. P. 7-9.
3. Epp V.Ya., Boichenko S.E., Janz J.G. Can a moving 3. Epp V.Ya., Boichenko S.E., Janz J.G. Can a moving charge or a varying dipole produce a constant field? // charge or a varying dipole produce a constant field? // Eur. J. Phys. 2015. Vol. 36, No. 6. P. 065013. Eur. J. Phys. 2015. Vol. 36, No. 6. P. 065013.
