Уточненное вычисление мощности излучения заряженной частицы, совершающей гиперболическое движение Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.872

УТОЧНЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ, СОВЕРШАЮЩЕЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

1. Введение. 1.1. Гиперболическим называют движение частицы, при котором она испытывает постоянное ускорение в сопутствующей системе отсчета. Обозначив величину этого ускорения Л и выбрав надлежащим образом систему координат, уравнение мировой линии частицы можно записать в виде:

где <7 - естественная параметризация мировой линии или "собственное время" частицы.

Гиперболическое движение часто называют движением "равноускоренного заряда ', однако этот термин нам представляется менее удачным, так как в системе отсчета неподвижного наблюдателя (в лабораторной системе) только на нерелятивистском участке частица движется равноускоренно.

В 1909 г. Борн начал обсуждение темы гиперболического движения заряженной частицы, предложив решение уравнений Максвелла для этого случая [1]. Не имея возможности делать здесь обстоятельный разбор высказывавшихся точек зрения, сошлемся на обзор Гинзбурга [2] (см. также [3] и имеющуюся там библиографию), где вопрос об излучении заряда при равноускоренном движении назван среди "вечных вопросов"1.

В. В. Лидский

В рамках классической электродинамики предложены точные формулы для вычисления радиационных потерь энергии точечного заряда, совершающего гиперболическое движение, включая релятивистский участок. Для ультрарелятивистской частицы получено уточнение коэффициента радиационных потерь: -/у2 ■ е/ • а~ вместо

5 2

. £ 2 2 обычно принимаемого ларморовского значения -е • а .

= {А"1 • зЬ(Асг); 0; 0; Л"1 • сЦХа)}

(1.1)

В недавно опубликованной серии работ Эриксена и Грона [4] предпринята попытка представить все ключевые идеи, высказанные в течение многолетнего обсуждения этой темы. Там же можно найти обширную библиографию.

Ряд работ, опубликованных в последнее время, рассматривают гиперболическое дви жение с точки зрения принципов общей теории относительности [5].

При вычислении мощности излучения заряда, как правило, исходят из нерелятивистской формулы Лармора:

1 = (1.2)

а затем с помощью преобразований Лоренца получают величину потерь энергии частицей, движущейся с произвольной скоростью. Однако ряд авторов (в их числе Гуревич [6], а также Фултон и Рёрлих [7]) подчеркивают, что излучаемые заряженной части цей энергия и импульс не образуют 4-вектора относительно преобразований Лоренца, а потому вывод величины потерь из формулы (1.2) неправомочен.

Здесь ситуация подобна той, которая возникла при изучении магнитотормозного (синхротронного) излучения. В работах Гинзбурга с коллегами [8, 9] было показано, что вычисление излучения релятивистской частицы через преобразование Лоренца энергии и импульса, вычисленных в сопутствующей системе, приводит к неверному результату.

В данной работе мы вычислим мощность излучения движущейся гиперболически частицы на произвольном участке траектории. Мы не будем делать предположений о нерелятивистском характере движения. Затем обсудим полученный результат.

1.2. Для вычисления мощности электромагнитного излучения частицы вычислим поток тензора энергии-импульса поля через поверхность сферы Б. Наблюдателя, относительно которого сфера Б неподвижна, будем называть лабораторным. Центр сферы поместим вблизи мировой линии частицы (см. ниже рис. 1), а радиус Я выберем достаточно большим. Будем предполагать, что поле частицы определяется запаздывающими потенциалами Лиенара-Вихерта [10, 11]. Соответствующие напряженности электромагнитного поля Ргк представим в виде:

= ' • (*' • - ги* • Хк) • (1 - Хтат) + 6 • (*' • ак - а' • (1.3)

(Х] -гп^У (х3 -Щ)2

где уо\а% - 4-скорость и 4-ускорение частицы, а \г — С ~ ~ светоподобный 4-вектор из "точки излучения" в "точку наблюдения"

Здесь и далее мы будем придерживаться обозначений, принятых в [10]. Латинские индексы пробегают значения г = (0,1,2,3). Индекс тензора, обозначенный греческими буквами а, /?,7, пробегает значения пространственных координат (1, 2, 3). Опускание и

Рис. 1. Мировая линии частицы (АС) и удаленная неподвижная сфера Б, с центром в 4-точке 71. "Точки излучения" для всей сферы 8 расположены на участке АС.

поднятие индексов происходит с помощью свертки с метрическим тензором Минковско-

го дгк = (Н----). Этот же тензор используется и при поднятии индекса у трехмерных

векторов, так что ха = —ха. Скорость света принята равной единице (с = 1).

Для тензора энергии-импульса примем формулу Максвелла-Хевисайда [10, 11]:

2. Поток тензора энергии-импульса через удаленную сферу.

2.1. Пусть центр сферы расположен на прямой, вдоль которой движется частица.

(1.4)

4-координаты центра сферы обозначим 7*:

У = {г,;0;0;й}.

(2.1)

Обозначим уг - 4-вектор из центра сферы в точку нахождения частицы:

!,• = *•-У-

(2.2)

Для вычисления интеграла по сфере 8 определим вектор х% из 4-центра сферы 7г к точке наблюдения £г, пробегающей поверхность 8:

= е - 7*-

Вся поверхность сферы Б находится в 3-гиперплоскости событий, одновременных в системе отсчета лабораторного наблюдателя. Не теряя общности рассуждений, мы можем выбрать временную компоненту поверхности сферы равной ts + Л, тогда "точки излучения" окажутся близкими к моменту ¿а. Четырехвектор х' в этом случае оказывается светоподобным: хгх{ = 0.

Рассмотрим рис. 1. Построим световые конусы с вершиной в центре сферы 7*. Поверхность абсолютного прошлого пересекает мировую линию частицы в точке А, а абсолютного будущего - в точке С. Из рисунка ясно, что из лучей света, испущенных в различных направлениях частицей в 4-точке Л, только один достигнет поверхности А сферы 8 - луч приходящий в точку В - самую удаленную от мировой линии точку поверхности 4-сферы. Тогда как из лучей, испущенных из 4-точки С, только луч ('О достигнет поверхности 4-сферы, причем Б - ближайшая к мировой линии точка сферы. Кроме того легко увидеть, что для всех "4-точек наблюдения" на поверхности сферы 8 "точки излучения" гг лежат на участке мировой линии АС, представляющем собой множество точек, отделенных от центра сферы 7* пространственноподобным интервалом. Таким образом, для всех "точек излучения" имеет место:

У{ • Уг < 0. (2.3)

Мощность излучения частицы выражается через полный поток тензора энергии-импульса через сферу в:

г

= (2.4)

Б

где Пк - 4-вектор внешней нормали к поверхности сферы:

щ = • {0; хг;х2; х3}. (2.5)

Временная компонента нормали обращается в ноль, так как сферу в мы считаем неподвижной. Знак минус в (2.5) выбран для того, чтобы поток вектора, направленного вовне сферы, был положительным (напр., вектор хг).

2.2. Вычислим подынтегральное выражение в (2.4) с помощью формул (1.3) и (1.4). При этом будем оставлять только члены, убывающие с расстоянием как Я~2. Во-первых, заметим, что свертка 4-тензора Ггк с 4-вектором запаздывания убывает как Л-1:

= Х'-Д"1. (2.6)

(.X' • И,)2

Свернув (1.3) с Ггк, легко убедиться, что второе слагаемое в (1.4) убывает как Я

Гк'= 7~Т~~—V? ' '+ ^' М' (1" Хтат)+ , . 6 • (Л* ■• «* + «•'' М - Я"3. (2.7) (х-7 • ЩГ (X3 • щ)

Преобразуем первое слагаемое в (1.4), учитывая (2.5), (2.6). Оставляя члены порядка Я-2, после несложных преобразований найдем:

•= ' К*"0™)2 + • 'а* •а*)•

где мы заменили вектор запаздывания х' вектором хг из центра сферы в точку наблюдения. Это возможно, так как = х1 — у\ а поправки, возникающие при учете вектора у\ исчезающе малы при больших радиусах сферы Н(\у1\ << Я).

Элемент интегрирования ¿Б в (2.4) выразим через дифференциалы углов (10, (кр в полярной системе координат, начало которой поместим в центре сферы, а полярную ось направим вдоль линии движения частицы:

1 7 2г р2 • Я • т*

-ж=7* •:■м1лр-■ Ь^гг ■{{хтатГ+(х" ■ ^ ■а ■ак)■ (2-8)

о о ^ п)

2.3. При вычислении интеграла (2.8) необходимо учитывать, что величины а1 представляют собой скорость и ускорение частицы в "точках излучения", и следовательно, имеют различные значения для различных точек сферы 8.

Рассмотрим на мировой линии частицы некоторую точку г1. Найдем на поверхности сферы 8 множество "точек наблюдения", для которых гх является "точкой излучения". На рис. 2 изображена удаленная сфера 8, ее центр 7* и точка излучения причем вектор уг = г1 — 7* имеет компоненты:

у< = {уо;0;0;у3}. (2.9)

Из рис. 2 ясно, что луч света из 4-точки г* достигает поверхности 8 в момент ta■j-R в том и только в том случае, когда он направлен под фиксированным углом в к направлению на частицу, причем в приближении Я» у2, мы можем считать АР = ОР = Я, и угол О задается простым выражением:

V0

соъв=У—, (2.10)

У

причем излучение достигает поверхности 8 в том и только в том случае, если у° < у3, что находится в соответствии с выражением (2.3), полученным в 4-геометрии.

Рис. 2. Удаленная сфера S и траектория частицы (ось z). Испущенный частицей луч света из точки 2г достигает поверхности S одновременно с лучом ОР из 4-центра сферы У, если он направлен под углом 9, таким, что у° = у3 ■ cos в.

Вектор х1 имеет компоненты

хг = R • {1; sin 0 - cos«/?; sin 0 • sin (р; cos0}, (2.11)

а выражения для w1 и аг получим, дифференцируя (1.1):

wl = {ch(A • <т); 0; 0; sh(A а)} а* = А • {sh(A • <т); 0; 0; ch(A • а)}. (2.12)

Как видно из (2.11)—(2.12), свертки в подынтегральном выражении (2.8) не зависят от угла у?, следовательно, интегрирование по dip тривиально.

dPx е2 • А2 } . л ,я V4' • (1 - cos20)

-г- =--/ smв- d0 - ——-Н-^—7/\-(2Л3)

dt 2 i (ch(A • cr) — cos0 • sh(A • <т))6 v '

где для удобства записи введен вектор

v{ = {l;O;O;cos0}. (2.14)

Величина <т в знаменателе (2.13) связана с в неявной зависимостью, которую мы найдем из (2.10), учитывая (2.1) и (2.2):

A"1 sh(A • с) ts С08в= А-1 • ch(A • cr) — d' . , (2Л5)

о

Отсюда находим уравнение для а\

eos0 ■ ch(A • а) - т = sh(A • <т), (2.16)

где введено обозначение

т = А • (d • cosfl - ta). (2.17)

Обозначим q = ch(A • а) и, возведя в квадрат (2.16), придем к уравнению для q:

sin2 0 ■ q2 + 2 • m • eos в • q - (1 + m2) = 0. (2.18)

Положительный корень (2.18) определяется выражением:

—т • eos0 + у/т2 -f sin2 0

Ч~ sin2 0

Теперь из (2.16) и (2.19) находим выражение для знаменателя (2.13):

(2.19)

ch(A • а) - eos 0 • sh(A • <r) = q ■ (1 - cos20) + eos в • m = yjm2 + sin20. (2.20)

Сравнивая (2.20) с (2.13), приходим к следующему выражению для излучения: ti* е2 ■ Л2 } . а м у'.юп'в

-&= — '{ тв 'М ' (А2 • (d• eos« - t.y + шьЧГ (2"21)

Вычисление интеграла (2.21) слегка упрощается, если дополнительно предположить, что центр сферы S расположен на мировой линии частицы (1.1), в 4-точке с некоторым значением параметра а = ф:

ts = А"1 • sh(A^); d= А"1 • ch(A^). (2.22)

Тогда из (2.21) и (2.22) легко получить:

dP° _ е2 • А2 ) sinЦ

ИГ - ' 1 аав ' d№ ЩЩ - COS0 ■ sh(AV>))6' { '

dP3 _ е^А2 ) . cosfl ■ sin2fl

di - 2 J Sm (ch(A^) — cos0 ■ sh(AVO)6' 1 J

Подынтегральное выражение в (2.23) представляет собой угловое распределение энергии излучения. Интегралы (2.23) и (2.24) могут быть вычислены заменой £ = cos0. а затем интегрированием по частям. В результате находим:

dP° 2 • е2 • А2

dt 15

(sh2(AV>) + 5.-ch2(A</>)), (2-25)

(1Р3 4 • е2 • Л2

= —д-- (сЬ(А0) • вЬ(А^)). (2.26)

Поскольку мы выбрали 4-центр сферы на мировой линии частицы в точке сг = ф, то ясно, что весь поток энергии на сфере Б соответствует "точке излучения" а = ф. При этом из (2.25) видно, если точка ф выбрана на нерелятивистском участке мировой линии (то есть \ф « 1), то (2.25) сводится к формуле Дармора:

^ = (2.27)

дХ 3 К '

Однако, если выбрать ф на ультрарелятивистском участке (где сЪ(\ф) >> 1), то безразмерный коэффициент становится иным:

¿Р° 4 • е2 • Л2

Л

• 7 ) (2-28)

1/

где 7 = сЬ(Л-0) =--релятивистский фактор - отношение кинетической энергии

т

частицы к массе покоя.

3. Обсуждение результатов.

Первый вопрос, возникающий в связи с формулами (2.27) и (2.28), это вопрос о релятивистской инвариантности полученного результата. Действительно, с помощью замены переменной

Л = сЬ(Л -ф)-<1ф (3.1)

можно перейти к дифференцированию 4-вектора энергии-импульса Р1 по инвариантному "собственному времени" частицы ¿ф. При этом в правой части возникает выражение, изменяющее свое значение при переходе к системе отсчета наблюдателя, движущегося относительно лабораторной системы.

Однако парадокс этот кажущийся. Инвариантным является интеграл 4-вектора по некоторой фиксированной поверхности. Такой интеграл преобразуется как 4-вектор. В нашем случае мы вычисляли интеграл 4-вектора по неподвижной сфере 8. Если мы перейдем к системе отсчета движущегося наблюдателя и построим неподвижную сферу 8', то это окажется другая поверхность, поскольку при переходе к движущейся системе сфера 8 испытывает лоренцево сокращение и деформируется. А поток 4-тензора через различные поверхности не является 4-вектором.

Источником недопонимания может быть несколько механистическое представление о взаимодействии заряда и поля, согласно которому поле, действуя на заряд некоторой силой, совершает работу над зарядом, сообщая ему энергию и импульс. Заряд,

в свою очередь, передает энергию и импульс полю, уносящему энергию на бесконечность. Если бы это было так, то уносимые полем энергия и импульс равнялись бы изменению энергии-импульса заряда, и образовывали бы инвариантный 4-вектор, что очевидно противоречит (2.25)-(2.26). Мы должны признать, что подобное рассуждение, выглядящее логичным в рамках механики, неприменимо в теории поля. Если последовательно стоять на позиции теории поля, то мы должны считать, что по крайней мере часть энергии распределена в окружающем частицу поле.

В литературе можно встретить утверждение, что частица, движущаяся с постоянным 4-ускорением, не излучает энергии, а излучение сосредоточено в начале и конце участка постоянного 4-ускорения. Нам придется отнести это утверждение к ошибочным. Причины здесь две. Во-первых, исходным для этой ошибки было представление, что сила реакции излучения зависит от второй производной 4-скорости частицы, которая исчезает в случае гиперболического движения. Однако ранее нами было показано, что движение излучающей частицы может быть описано уравнением второго порядка, и получено выражение для силы торможения, не включающее вторых производных скорости [12]. Таким образом, при гиперболическом движении частица и излучает, и испытывает действие соответствующей силы радиационного трения.

Вторая причина - геометрическая. Рассматривая выше рис. 1, мы показали, что поток энергии через сферу S создается участком АС мировой линии частицы, для всех точек которого верно неравенство (2.3), то есть 4-точками, отделенными от 71 4-цен i pa сферы S - пространственноподобными интервалами. Однако ясно, что всегда можно выбрать 7* достаточно близко к мировой линии, так чтобы 4-точки начала и конца участка постоянного ускорения оказались в областях абсолютного прошлого и абсолютного будущего. При этом полученный нами строго положительный поток энергии через сферу S (см. (2.21)) не может быть объяснен влиянием концов, но, несомненно, выражает излучение, возникающее на участке гиперболического движения.

Автор благодарен проф. Б.М. Болотовскому за ряд ценных замечаний, а также проф. J1.A. Максимову за внимательное отношение к данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] М. Born, Ann. d. Phys. 30, 1 (1909).

[2] В. Л. Гинзбург, УФН 98(3), 569 (1969).

[3] В. Л. Гинзбург, Теоретическая физика и астрофизика (М., Наука, 1987).

[4] Е. Eriksen and О. Gron, Ann. Phys. 286, 320, 343, 373 (2000); 297, 243 (2002); 313, 147 (2004).

[5] J. Bicak and P. Krtous, Phys. Rev. Lett. 88, 211101 (2002); C. Almeida and A. Saa, Am. J. Phys. 74(2), 154 (2006).

[6] Л. Э. Гуревич, Электродинамика (JI., изд-во ЛГУ, 1940).

[7] Т. Fulton and F. Rohrlich, Ann. Phys. (N.Y.) 9, 499 (1960).

[8] В. Л. Гинзбург, В. H. Сазонов, С. И. Сыроватский. УФЫ 94(1), 63 (1968).

[9] В. Л. Гинзбург, С. И. Сыроватский, Ann. Rev. Astron. and Astrophys. 7, 375 (1969).

[10] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля (М., Наука, 1973).

[11] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed (John Wiley and Sons, Inc, 1999).

[12] В. В. Лидский, Теоретическая и математическая физика 143(1), 112 (2005).

Поступила в редакцию 9 сентября 2008 г.