Космология: оценки возраста Вселенной Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСТРОНОМИЯ

УДК 524.834+514.823

КОСМОЛОГИЯ: ОЦЕНКИ ВОЗРАСТА ВСЕЛЕННОЙ

B. Р. Крым

C.-Петербургский государственный университет, соискатель, vkrym2007@rambler.ru

1. Введение. В настоящей работе изучаются оценки возраста Вселенной для различных космологических моделей [1—5]. Большинство моделей используют уравнение состояния вещества Р = (7 — 1 )р, где Р — давление, р — плотность материи, т = 7 — 1 — коэффициент пропорциональности. Для современной эпохи 7 =1, что соответствует пылевидной материи. Значение 7 = 4/3 соответствует материи (или излучению) в уль-трарелятивистском пределе [6, с. 123]. Большинство моделей используют пространство постоянной кривизны. В пространстве постоянной кривизны с римановой метрикой секционные кривизны постоянны, т. е. не зависят от выбора ни двумерного направления, ни точки многообразия [7]. Так как в космологии сигнатура пространства-времени ло-ренцева, секционные кривизны для двумерных направлений, содержащих ось времени и не содержащих эту ось, различаются. Кроме того, они зависят от времени.

Основным параметром современных космологических моделей является постоянная Хаббла. Различные оценки постоянной Хаббла можно найти в [8]. Примем, что Но = 70±з км/(с • Мпк) (1 пк = 3.0854016 м = 3.262 световых лет [9]). Будем также считать, что возраст современной Вселенной ^ = 14±1 • 109 лет [8].

В модели без космологической постоянной (Л = 0) до сих пор были известны только параметрические решения уравнения Фридмана (в общем случае). Нами установлено, что решение уравнения Фридмана может быть найдено в явном виде (аналитически) для любого линейного уравнения состояния вещества. Мы покажем, что современную оценку возраста Вселенной можно получить без использования космологической постоянной Эйнштейна Л, если параметр кривизны Пок = — 1+о.ог (значение Пок = —1 является наименьшим возможным значением). Тогда плотность материи 0 < Пот < 0.07. Таким образом, эта модель не требует привлечения «темного вещества», чтобы объяснить наблюдаемый возраст Вселенной. Значение Пок = —1 имеет физический смысл: при Пок = —1 секционные кривизны пространства-времени в направлениях 1-2, 1-3, 23 в настоящее время равны нулю. Секционная кривизна пространства Фридмана—Робертсона—Уокера в пространственноподобных направлениях равна (ка2 + а/2)/а4. Если бы радиус Вселенной а не зависел от времени, то эта секционная кривизна была бы равна к/а2, как для исходной модели. Но так как радиус Вселенной зависит от времени, реальная секционная кривизна отличается от кривизны исходной модели.

© В. Р. Крым, 2011

Эту модель, как правило, отклоняют на основе данных об анизотропии микроволнового реликтового излучения (МВБ,). Так как объем многообразия в данной модели бесконечен, можно ожидать более высокую анизотропию МВБ, чем наблюдается экспериментально. Но можно рассмотреть многообразие с к < 0 конечного объема. Тогда анизотропия микроволнового реликтового излучения будет такая же, как и в закрытых моделях.

Проблема возникновения материи в начале Вселенной и ее исчезновения в конце Вселенной (для моделей, в которых расширение сменяется сжатием) до сих пор не решена. Возможно, что пространство—время содержит некоторые скрытые размерности, которые включаются после полного сжатия основного четырехмерного многообразия. Тогда в современной физике высоких энергий должны наблюдаться дополнительные калибровочные поля. Это также объясняет явление квантования зарядов.

2. Однородная и изотропная Вселенная. В настоящее время общепринято, что для нашей Вселенной выполняется космологический принцип «Вселенная однородна в пространстве и изотропна». Наилучшим доказательством этого является реликтовое микроволновое излучение. Его температура в среднем равна 2.725 К. Анизотропия порядка 10-3 К имеет дипольный характер и связана с движением наблюдателя по отношению к микроволновому излучению. Если этот дипольный вклад вычесть, то окажется, что собственная анизотропия имеет порядок АТ/Т « 10-5 [10]. Можно также оценить флуктуации плотности галактик в пределах 12 млрд. световых лет. Они составляют Ар/р ^ 10-4 [3, с. 5].

Поэтому можно предположить, что наблюдаемое нами трехмерное пространство является пространством постоянной кривизны, в котором секционные кривизны в различных двумерных направлениях постоянны. Тогда это одно из трех следующих пространств:

1) пространство положительной кривизны — 3-сфера 53;

2) пространство нулевой кривизны — плоское пространство М3;

3) пространство отрицательной кривизны — гиперболическая 3-сфера.

Вложим 3-сферу 53 в четырехмерное евклидово пространство М4 как поверхность:

(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 + (х4)2 = а2. (1)

Пусть г2 = (ж1)2 + (ж2)2 + (ж3)2, тогда г<1г = х1с1х1 + х2с1х2 + х3с1х3. Из (1) следует,

что хАс1хА = —(х1с1х1 + х2с1х2 + х3с1х3), т. е. <1хА = —гс1г/\/а2 — г2. Запишем метрику в полярных координатах (0 ^ в ^ п, 0 ^ ^ < 2п):

(си)2 ='У^^(1хк)2 = (<'],г)2+г2 ((с^)2-Н5П12 в {(кр)2) | 2 = 1 ^Г\ / 2\г2{{(Ш)2^ш2 в {(кр)2).

а г 1 г /а к=1 1

Перейдем к координате г = г/а, тогда для $3

{(II)2 = а2 ^ ^ ~2 +г2((с1в)2 + эт2 в (#)2)^ . (2)

Рассмотрим теперь вложение трехмерной гиперболической сферы в псевдоевклидо-во пространство М41 :

— ((х1)2 + (х2)2 + (х3)2) + (х4)2 = а2. (3)

Тогда (ж4)2 = а? + г2. Следовательно, x4dx4 = x1dx1 + x2dx2 + x3dx3, т.e. cfe4 = rdr/\/a2 + г2. Псевдоевклидово пространство R4 индуцирует на гиперболической сфере метрику

(ей)2 = V(dxk)2 — (dx4)2 = (dr)2 + г2 ((d,9)2 + sin2 в (dip)2 )-=

z—/ \ a2 I r2

fc=i

= 2 + r2 ((dO)2 + sin2 в (dip)2) = a2 ( j—Lt + r2 ((dO)2 + sin2 в (dip)2) \ , (4)

1+ r2/a2 \1 + r2 J

где r = r/a.

Чтобы описать все три типа пространств, введем в метрику фактор кривизны к. Для приведенных выше примеров к = ±1 или 0. В действительности можно использовать все значения к £ R. Тогда

(dl)2 = а,2 ^^^2 + ^ ((^)2 + sin2 0 (^)2)^ • (5)

1. Для 3-сферы кривизны л/к/а параметр к>0и0^г^ а/л/к.

2. Для плоского пространства к = 0 и 0 ^ r< ж.

3. Для гиперболической 3-сферы кривизны —а/-к/а параметр к<0и0^г< оо. Нам необходимо перейти от общей метрики четырехмерного пространства к метрике более специального вида. Рассмотрим семейство непересекающихся мировых линий такое, что вектор скорости ортогонален поверхности уровня. В качестве t выберем собственное время вдоль мировых линий (космическое время). В качестве x1 ,x2,x3 возьмем движущуюся вместе с наблюдателем систему координат (эти функции постоянны вдоль каждой мировой линии). Тогда (ds)2 = (dt)2 — (dl)2. Скорость света принята равной единице. Обозначим г = у/(х1)2 + (ж2)2 + (х3)2/а (тильду выписывать не будем). В предположении, что пространственная метрика соответствует пространству постоянной кривизны, получим метрику Фридмана—Робертсона—Уокера:

(ds)2 = (dt)2 — a(t)2 (—^+ r2((d6)2 + sin2 в (dtp)2) \ . (6)

у 1 — кг2 J

Определим конформное время dr = dt/a(t), тогда т = J0 dti/a(ti) и dt = a(t(r))dr. Отметим, что a't = a/T/a. Метрика Фридмана—Робертсона—Уокера принимает вид

(ds)2 = а(т)2 ((dr)2 — ^Г^ „ — г2 ((dO)2 + sin2 в (dtp)2)^] . (7)

\ 1 — кг2 J

Основным космологическим фактом, подтверждающим расширение Вселенной, является красное смещение. Красное смещение — это отношение исходной частоты света к принятой частоте (или отношение принятой длины волны света к испущенной длине волны): 1 + z = ve/vo = Xo/Xe. Закон Хаббла утверждает, что скорость разбегания v/c пропорциональна расстоянию до наблюдаемого объекта: v/c = Hl. В каждой точке пути светового луча происходит смещение частоты [11, с. 40]. Так как расстояние до наблюдаемого объекта пропорционально радиусу Вселенной, 1 + z = \o/\e = ao/ae.

Скорость разбегания будет равна v = cHq dz'/H(t(z')). Расстояние до объекта

Jo

I = с / (1г /Н(Ь(г/)). Эти интегралы следует вычислять после принятия конкретной

■)о

ю

модели.

3. Уравнения Эйнштейна. 3.1. Общие уравнения. Уравнения Эйнштейна с учётом космологической постоянной Л имеют вид

— жТ-ij -\- А(!ч. i,j — 0,.. .,3, (8)

где к = 8nG_N/с2 = l.86592l8 • lO-26 м/кг — гравитационная постоянная Эйнштейна [б, с. 347], Gn = 6.6725985 • lO-11 мз/(кг^с2)—гравитационная постоянная Ньютона. Чтобы решить эти уравнения, необходимо знать тензор энергии-импульса материи Tij. Известно, что в синхронной системе отсчета, в которой данный элемент объема покоится, тензор энергии-импульса материи (Tji)ijj=o,...l3 = Diag(p, —P, —P, —P), где p — плотность энергии (массы) материи, P — давление, оказываемое материей, перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Из уравнений Эйнштейна следует, что ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю: 3=q VsTs = O,

j = O,...,З. Если рассмотреть компоненту Tq, то с учетом roj = a/aSj (11) получим p/ + Зa//a(p + P) = O. Будем считать, что давление пропорционально плотности, P = (y — l)p, где, как правило, l ^ 7 ^ 4/З. Значение 7 = l соответствует пылевидной материи, а значение 7 = 4/З соответствует материи в ультрарелятивистском пределе [б, с. 123]. Тогда p/ + З^о!/ap = O. Поэтому p//p = —37a//a, т. е.

p = c4o-3y . (9)

Отметим, что в метрике (10) компонента тензора энергии-импульса Too = pa2. Учитывая физическую размерность величин, уравнение (9) лучше переписать в виде p/po = (a/ao)-3Y. Следовательно, сі = poaj^7.

Запишем метрику Фридмана—Робертсона—Уокера в конформном времени и в декартовой системе координат (r2 = (x1 )2 + (x2)2 + (x3 )2, но каждая координата x1, x2, x3 поделена на a):

(ds)2 = a(r)2 dr)2 — dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 + ----^2))

(1O)

Вычислим! символы Кристоффеля симметричной римановой связности. Отметим, что д^ = —а2 (кхгхэ/(1 — кг2) + для г, ] = 1, 2, 3. Символы Кристоффеля, связанные с

времениподобным направлением, имеют вид

г8о = -, Гщ = Г^0 = —5р = = 1,2,3, (И)

а а и -1 а3

и Гщ = 0, Г0о = 0; пространственноподобные символы Кристоффеля —

= - Атхкд^ = кхк (к Х Х + 6гЛ , {^,к= 1,2,3. (12)

и а2 V 1 — кг2 )

Пусть п,у € ТХМ — линейно независимые векторы из касательного пространства к многообразию N в точке х. Секционная кривизна Ки^у определяется как Ки^у = (К(п, у)у, п)/((п, п) (у, у) — (п,ги)2Л), где К — риманово преобразование кривизны [7, с. 94].

Угловые скобки обозначают скалярное произведение. Знаменатель можно интерпретировать как квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах и, V. Если в двумерной плоскости а, определяемой векторами и, V, выбрать вместо и,ги другой базис, то секционная кривизна не изменится. Таким образом, величина КиАу зависит только от плоскости а, натянутой на и и V. Поэтому величину КиАу обозначают Ка и называют секционной кривизной (псевдо)риманова многообразия N в точке х в двумерном направлении а. В координатах секционная кривизна в направлении г-] равна В-іці/(вивіз -9%) (по г,] суммирования нет). Секционная кривизна пространства Фридмана—Робертсона—Уокера в направлениях 0-1, 0-2, 0-3 равна (аа// — а/2)/а4. Вообще, для любых векторов и, V таких, что и0 = 0, и1 = и2 = и3 = 0, V0 = 0, секционная кривизна КиАу = (аа// — а/2)/а4. Секционная кривизна в направлениях 1-2, 1-3, 2-3 равна (ка2 + а/2)/а4. Аналогично, для любых векторов ги,т таких, что V0 = 0 и т0 = 0 (остальные компоненты произвольны), Кудш = (ка2 + а/2)/а4.

Тензор Риччи имеет вид

а/2 — аа// 2ка2 + а/2 + аа//

-^00 3 —^ ^ ^4 9гз \ /

и Е0І = Ві0 =0, г, ] = 1, 2, 3; отображение Риччи —

йо = т = -2к"2 + ": +”"<•, М = 1,2,3, (14)

п4 j п4 j

и R0 = 0, R0 = 0; скалярная кривизна — R = — 6(аа// + ка2)/а4.

Если рассмотреть уравнения Эйнштейна (8) для i = j = 0, то левая часть превращается в 3(к + (а 7/а)2); правая часть — в кра2 + Ла2. Поэтому

/\ 2 2 а \ к 2 , а2

— ) = —ра +Л—-----к (15)

а 3 3

— уравнение Фридмана в конформном времени. В космическом времени это уравнение имеет вид

а^\2 к Л к .

- =о-°+о--- 16

а 3 3 а2

Обозначим Н = а\/а (в конформном времени Н = а'т/а2). Определим критическую плотность материи: рс = 3Н2/к. Тогда (а^/а)2 = Н2р/рс + Л/3 — к/а2. Перейдем к относительным параметрам

Оп = А Па = щ и =

Тогда уравнение Фридмана примет вид (а^/а)2 = Н0 (Пт + Пл — Пк). Так как левая часть этого уравнения равна Н2,

H2

— jj2 ^ ^0т — 1* (1^)

Н0

Индекс 0 означает, что величина относится к настоящему моменту времени. Если Л = 0,

то П0т — 1 + П0к.

Н

Так как с\ = роа^,

0 \!с\а\ 37/рс + Ода2 — Пока2

— — ад7 (1 — Пд + ^Ок) • (20)

р

3.2. Модель с к = 0 и Л = 0. Для плоской модели (к = 0) с пылевидной материей (Р = 0, 7 = 1) если Л = 0, то из (19) получаем Ь = 1 /(^/о л/С1 //Сс)2а.3/2/3. Это пространство в действительности не является плоским, так как его секционные кривизны в направлениях 1-2, 2-3, 1-3 равны Н2 = 0. В силу (20) г = 2/(3Но)(а/ао)3/2. В настоящий момент времени £о = 2/(3Но).

Уравнение (19) при к = 0 и Л = 0 можно решить для любого линейного уравнения состояния вещества. Получим Ь = 1/(Но\/с\/рс)2а 3т/2/(37). В силу (20) г =

2ДЗ7Н0)(а/ао)3т/2. В настоящий момент времени £о = 2ДЗ7Н0).

Если Но = 70±з км/(с-Мпк), то, учитывая скорость света и количество световых лет в одном мегапарсеке, получаем го = 2/(3 • 70) • 3 • 105 • 3.262 • 106 = 9.3±о.4 • 109 лет (для пылевидной материи). Это значительно меньше, чем современная оценка £о = 14±1 • 109 лет [8].

3.3. Модель с к = 0. При к = 0 и произвольном Л из (19) следует, что Ь = 2/(37Яо%/Щ")агзЬу/а3'>'Пл/(с1/уОс). В силу (20)

2 =агеЬ1/^Т77—7ГТ- (21)

37#0л/Пл У вд7 (1 - Пд)

В настоящий момент времени получаем = 2/(3'уНоу/С1\)ахзЬ'\/С1\/(1 — ^л) =

2/(37ЯолДТд")аг111л/Пл. Если |Пд| < 1, то это выражение можно разложить в ряд Тейлора по степеням Л:

, =^^1^ (ОО)

0 З7Я0 ^ 2п + Г п=о

Если Л > 0, то это приводит к увеличению оценки для £о. В силу свойств функции агШ наибольшим возможным значением для Пл является 1, и в этом случае £о = +го. Отметим, что параметр замедления д = —а''а/а'2 = аг”а/г'а. Для настоящего момента времени до = (37 — 2)/2 — 37/2Пл.

Значение Пл можно найти из уравнения (21) при 7 = 1, Но = 70±з км/(с • Мпк) и го = 14±1 • 109 лет. Получим Пл = 0.74-о о9. Тогда при к = 0 в силу (18) плотность материи Пот = 0.26+о . §6. Высокое значение Пот интерпретируется как наличие «темного вещества» (ЛСБМ расшифровывается как «Л и холодное темное вещество»). Некоторые экспериментальные данные не могут быть объяснены в рамках этой модели [13]. Оказывается, что такой же возраст Вселенной можно получить при других значениях параметров.

3.4. Модель с Л = 0. Пусть теперь Л = 0 и к произвольно. При ^ > 2/3 интеграл (19) можно выразить через неполную бета-функцию В(х,р,д) = ^ гр-1 (1 — г)ч-13;Ь

[14, с. 98]:

+ =________1______ ( С^/Рс \37/(б7~4) / М 37-2 37 - 1

{2,1-2)Н0^Гс\^а1) \С1/Рс ’ 67 — 4’ 2 ' ^

В этих предположениях интеграл (19) можно выразить также через гипергеометриче-скую функцию Р [14, с. 69]:

1 = ----?^=а3т'/2^Г-,-^,^11,%^а3т'-2у (24)

З^Нол/сг/рс V2 67-4 67-4 С1 /рс )

Отметим, что Б(х,р,д) = 1/рхрР(1 — д,р,р + 1,х) [14, с. 98]. В силу (18) и (20)

* = * (~)37/2 г(К^ ^ • (25)

37Я0л/^0т \а0/ \2 67-4 67-4 П0т \а 0/ у

В настоящий момент времени

*о - ^ Р (К ^ • (26)

37Я0а/По^ V2 67-4’67-4’ П0т У у '

Параметр замедления од = (З7 — 2)/2Оот.

1. Для пылевидной материи (7 =1) если 0 < Оот < 1, то

_ уУаоуУсЦ! - П0т) + ^от _ ^ОтагэЬ^^! П0т)/П0та/а0) Но(1—Пот) Я0(1-О0т)3/2

В настоящий момент,

(27)

, 1 ^0т,аГсЬ у^1/^0т

0= Н0(1-П0т) ~ Я0(1-П0т)3/2 ' 1 ;

Эта формула эквивалентна известному выражению £о = 1/(Яо(1 — Оот)) —

(ОотагсЬ(2/Оот — 1))/(2Яо(1 — Оот)3/2). Но Коль и Люччин [2, с. 41] приводят неправильную асимптотику для £о. Правильная асимптотика следующая:

^0 = 77-1---("1 — 1п2 + — 1пПот1 + 0(Пдт) (Пот\0). (29)

Яо Яо 2

При Но = 70±з км/(с • Мпк) и tо = 14±1 • 109 лет получим, что Оок = —1+о.ог и плотность материи Оот = 0+о.о7. Таким образом, эта модель не требует привлечения «темного вещества», чтобы объяснить наблюдаемый возраст Вселенной. Значение Оок = —1 имеет физический смысл: при Оок = —1 секционные кривизны пространства-времени в направлениях 1-2, 1-3, 2-3 в настоящее время равны нулю. Действительно, (ка2 + а'Т2)/а4 = к/а? + Я2 = Н2(Ок + (Я/Яо)2). Можно сказать, что пространство плоское и количество материи в нем пренебрежимо мало. Секционная кривизна в направлениях 0—1, 0-2, 0-3 равна (аа'ТТ — а'Т2)/а4 = а^/а = —дЯ2.

2. Решение для пылевидной материи (7 = 1) при высокой плотности материи Оот > 1 (Оок > 0), можно получить из (27), используя агеЬ гх = г агевтх. В настоящий момент

1 П0тагссо8у/ТД^

0 = ~Н0(П0т-1) + Я0(П0т-1)3/2 ' 1 ;

2 2(37 -2)(П0т-1) , 2(37 ~ 2)2(О0т — I)2 , ^ 3.

0 ЗЯо7 ЗЯо7(97-4) Яо7(97 - 4)(157 - 8) ^ 0т ( ’

3. Вселенная, в которой доминирует излучение. Решение для излучения (7 = 4/3) можно получить из общего решения (25):

+ Г(^ Vао + а2(1/О0т - 1) - а0 (

г— у/И0 т-------ТТ~Г\-------о—^

аоНо(1 — «0т )

Эта формула эквивалентна известному решению [2, с. 43]. В настоящий момент £о = 1/(Яо(1 + лД^От))- Можно также найти а = аоу/Яо£ (Яо£(1 — ^от) + 2л/^0т)-

3.5. Двухпараметрическая модель. В общем случае, когда к = 0 и Л = 0, интеграл (19) не берется и возраст Вселенной необходимо определять численно. Интеграл (19) с учетом (20) принимает вид

1 Г Ла2

^ — 7Т~ / • (33)

0 0 у (1 — «л + «0к) а2 (ах/ао)-37 + «ла2 — «0ка0

Этот интеграл с помощью замены переменных ах = а0а2 можно переписать в виде

1 [а/ао Ла2

^ — ~П~ I / • (34)

00 у(1 — «л + «0«) а2 7 + «ла2 — «0к

В настоящий момент ^ = 1/Н01 («0к, «л,7), где

Ла2

1(С1ок, Па, 7) = [

л ^

(1 — «л + «0«) а2 3 + «л а2 — «0к

(35)

Отметим, что I(0, 0,1) = 2/3. При фиксированном 7 это функция двух переменных, которую можно изобразить изолиниями. Изолинии возраста Вселенной при 7 =1 показаны на рис. 1 слева в координатах «0К—«л, справа в координатах «0т—«л. Изолинии проведены через 0.05. Параметр замедления д = —а''а/а'2 можно найти, преобразуя производные: д = а^^а/^^. Для этой модели в настоящий момент времени 40 = (37 — 2)/2(1 + «0к) — 37/2«л, т. е.

3^ — 2

Яо = —^—^0т — ПА. (36)

Рассмотрим теперь максимальный радиус Вселенной для различных вариантов этих космологических моделей. Если касательная а' горизонтальна, т. е. а' = 0, то Ь'а = то. В этот момент радиус Вселенной достигает своего максимума: а(Ьтах) = атах. После достижения момента времени Ьтах следует выбрать другой знак у производной а' в уравнении Фридмана (16). Радиус Вселенной а теперь будет уменьшаться от атах до нуля. Переход к сжимающейся Вселенной происходит при Л < 0 и всех к, и при к > 0 и малых Л ^ 0.

Рис. 1. Изолинии возраста Вселенной

(Пок — параметр кри-

визны, 0.0т — плотность материи).

4. Космология с отрицательным давлением. В современной космологии предполагается, что в развитии Вселенной был период, когда давление было отрицательным [3]. Поэтому мы приведем решение уравнения Фридмана при Л = 0 и произвольном к для отрицательного давления (7 < 1). В случае 2/3 <^ ^ 1 следует использовать решение (25). При ^ < 2/3 интеграл (19) можно выразить через неполную бета-функцию В(х,р,д) = /£ Ьр-1 (1 — Ь)*-1 ЛЬ [14, с. 98]:

г =

1 / Оо^О-о

(2 — 3^)аоНо\/—{1ок \ с\/рс

1/(2-37)

В

,2-37

1

2 — 37 2

(37)

Интеграл (19) можно выразить также через гипергеометрическую функцию ^ [14, с. 69]:

г =

3 37 С1/ рс 2-

37

аоНо\/—0,ок \2 2 — З7 2 — З7 £1ок<т^

Учитывая (18) и (20) при Л = 0, получаем, что

г =

г а

3 — 37

0т

0т

2 2 — 37 2 — 37 «0т — 1 V а0

2-37'

(38)

(39)

При «0т ^ 1 и 7 ^ 0 возраст Вселенной становится сколь угодно большим. Асимптотику можно получить из формулы для аналитического продолжения гипергеометриче-ской функции [14, с. 75].

При «0т \ 0 в настоящее время получим следующую оценку для возраста Вселенной: Ь0 = 1/Н0 + 2 — 3^/(6И0(1 — 7))«0т + 0(«0т)• Вообще, для этой модели Ь0 ^ 1/Н0. Можно рассмотреть диаграмму возраста Вселенной в координатах «0т — 7. Каждому значению Ь0 на этой диаграмме соответствует изолиния. Если «0т известно, то можно определить точку на диаграмме.

5. Проблема возникновения и исчезновения материи. В этом разделе мы добавим в группу Ли стандартной модели 4-тор. Добавление новых окружностей в группу Ли стандартной модели приводит к возникновению новых калибровочных полей. Но добавление новых окружностей позволяет объяснить явление квантования электрического и трех лептонных зарядов [16]. Кроме того, вероятно, что на самой ранней стадии развития Вселенной произошел «обмен координат» из-за слишком большой напряженности поля. Для моделей, где расширение сменяется сжатием, такой же «обмен координат» может происходить в конце эволюции Вселенной.

1

1

1

а

а

В стандартной модели физики элементарных частиц используются три представления группы Би(2), по числу поколений фундаментальных частиц. Группа Ли стандартной модели имеет вид и(1) х Би(2) х Би(3). Барионы мы рассматривать не будем. Рассмотрим главное расслоение Р(М4, О), где О = и(1) х Би(2). Горизонтальный лифт координатных векторных полей ди, V = 0,.. .,3, имеет вид

3

(40)

к=1

где §1, §2 —константы связи, Х0 —абелев заряд частицы, ^ = ±1 —лептонный заряд частицы, I = 1, 2, 3 — номер поколения. Здесь тк —базис алгебры Ли соответствующего представления группы Би(2) (например, матрицы Паули), В„, Шк —потенциалы калибровочных полей.

Предположим теперь, что пространство-время содержит некоторые скрытые размерности, которые существенны на ранних стадиях эволюции Вселенной. Рассмотрим главное расслоение Р(М4, О), где группа Ли О = и(1) х и(1) х и(1) х и(1) х Би(2). Здесь первая группа и(1) соответствует такой же группе из стандартной модели, а последующие и(1)-множители соответствуют своему поколению фундаментальных частиц. Обозначим Т4 — касательное пространство к тору. Перейдем к тензорному расслоению ТМ4 © Т4 © (ТБи(2) ® Т4). Каждый слой этого расслоения состоит из касательного пространства к 4-многообразию, касательного пространства к тору и тензорного произведения касательного пространства к Би(2) на касательное пространство к тору. Рассмотрим горизонтальный лифт векторных полей ди на это тензорное расслоение:

я 3 Й 3 3 „

л- = а? МП

I—0 I—1 к—1

Координаты на торе имеют номера х4,.. .,х7. Волновую функцию выберем в виде

ф(х) = <р(х°,.. ,,х3) exp ( — V zix4+l ] , (42)

\h 1—0 )

где y>(x) не зависит от координат на торе. Отображение (42) является собственной функцией операторов заряда —ihddxk, k = 4,.. .,7, с собственными значениями zo,.. .,Z3. Так как траектории векторных полей —ihdk гомеоморфны окружностям, множество собственных функций этих операторов счетно и характеризуется набором целых чисел. Действительно, функция x4 ^ exp(iZx4/К) может быть задана на окружности длины L, только если Z = 2пkh/L, k Є Z. На окружности собственные функции оператора заряда с собственным значением ke должны иметь вид exp(ikex4/К), k Є Z. Отсюда можно вычислить, что период вдоль соответствующего направления в главном расслоении равен L = ЗпК/є = 4.1З5669±4 x 1О-15 В-м [16-18]. Период (длина) остальных окружностей, вероятно, будет отличаться.

Это объясняет квантование электрического и трех лептонных зарядов, по числу поколений фундаментальных частиц (электрон, мюон и т-лептон). Система уравнений Дирака Пф = тф и уравнений на собственные функции операторов заряда

{Пф = тф

будет иметь такие же решения, как и в классическом случае [19, 20].

Частицы с зарядом больше единицы, вероятно, неустойчивы и распадаются в произведение двух частиц. В предлагаемой модели все лептонные заряды частицы не могут равняться нулю одновременно. Кроме того, в предлагаемой модели все лептонные заряды сохраняются по отдельности. Известно, что существуют процессы, в которых некоторые лептонные заряды не сохраняются (с вероятностью « 10-4) [21, 22]. Это может быть следствием нарушения симметрии.

В новой модели появляются три дополнительных калибровочных поля и соответствующие фотоны, которые можно обозначить Ye, Y^ и Yt . Вместе с электромагнитным фотоном y они соответствуют комплексификации четырехмерного многообразия M. Это реализация идей Хокинга [23].

Литература

1. Фридман А. А. Избранные труды. М.: Наука, 1966.

2. Coles P., Lucchin F. Cosmology. The origin and evolution of cosmic structure. John Wiley and Sons, 2002.

3. Peebles P. J. E. Principles of physical cosmology. Princeton, 1993.

4. Dalarsson M., Dalarsson N. Tensor calculus, relativity and cosmology. Elsevier, 2005.

5. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

7. Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.

8. MacTavish C. J. et al. Cosmological parameters from the 2003 flight of Boomerang // Astro-phys. J. 2006. Vol. 647. P. 799-812. (http://xxx.lanl.gov/astro-ph/0507503)

9. Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1988.

10. Smoot G. F. III. Cosmic microwave background radiation anisotropies. Nobel lecture, 2006. (http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2006/smoot-lecture.html)

11. Нагирнер Д. И. Элементы космологии. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001.

12. Нагирнер Д. И. Реликтовый фон и его искажения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002.

13. Wang S., Li X.-D., Li M. Revisiting the Cosmic Age Problem. Archive astro-ph/1005.4345.

14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1973.

15. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1991.

16. Крым В. Р., Петров Н. Н. Главные расслоения и проблема топологического квантования зарядов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. №1. С. 10-17.

17. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. №3. С. 68-80.

18. Крым В. Р. Топологическое квантование зарядов в теории Калуцы—Клейна // Вестн.

С.-Петерб. ун-та. Сер. 4. 2009. №3. С. 3-12.

19. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М.: Мир, 1960.

20. Esteban M. J., Georgiev V., Sere E. Stationary solutions of the Maxwell—Dirac and the Klein—Gordon—Dirac equations // Calculus of Variations. 1996. Vol. 4. P. 265-281.

21. Yao W.-M. et al. The Review of Particle Physics // J. Phys. G. 2006. Vol. 33. N1.

22. Кейн Г. Современная физика элементарных частиц. М.: Мир, 1990.

23. Хокинг С. От большого взрыва до черных дыр. Краткая история времени. М.: Мир, 1990.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.