CC BY
21Исследование структуры классических решений релятивистской электродинамики Уилера-Фейнмана. Часть I.
Никитин И.Н. Институт Физико-Технической Информатики г.Протвино, Ц2284, Московской обл.
Аннотация
Сведена к алгоритмически разрешимой задача о взаимодействии двух тел в модели Уилера-Фейнмана. Найдены подходы к приведению уравнений движения в этой модели (дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами) к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Развиты методы численного решения данных уравнений, с помощью которых впервые на количественном уровне исследованы высокоэнергетические решения и при определенных критических значениях энергии обнаружены изменения их топологической структуры (бифуркации).
Модель Уилера-Фейнмана относится к классу релятивистских моделей, рассматривающих дискретные системы с запаздывающим и опережающим взаимодействием. Такие системы получаются в результате исключения полевых степеней свободы из теорий поля: при выражении полей через источники в классических теориях поля либо интегрировании по полям производящих функционалов квантовых теорий поля (выполненном при определенных граничных условиях) возникают конечномерные теории движения источников. Исключение поля в классической электродинамике релятивистских частиц приводит к модели Уилера-Фейнмана [1] - релятивистской системе с конечным числом степеней свободы, действие которой является репараметриза-ционно и пуанкаре-инвариантным функционалом мировых линий зарядов. Граничные условия, которые при этом используются, имеют следующий вид: снаружи некоторой сферы (содержащей все заряды во вселенной) суммарное поле зарядов обращается в нуль, за счет того, что поле излучения каждого заряда полностью поглощается другими зарядами. Динамика описывается действием [2-4]:
которое сформулировано в терминах только мировых линий частиц х^т) и не содержит полевых степеней свободы. Вышеупомянутый функционал описывает взаимодействие вдоль опережающих и запаздывающих световых конусов с электромагнитным потенциалом, заданным как половина суммы опережающих и запаздывающих потенциалов Лиенара-Вихерта [5]. Эта формулировка электродинамики была развита, чтобы избежать осложнений расходящегося самодействия и также устранить бесконечное число полевых степеней свободы теории Максвелла. В 1945г. Уилер и Фейнман [1], следуя более ранним работам Шварцшильда, Тетрода и Фокке-ра [2-4], рассмотрели взаимодействие электрона с абсолютно поглощающей вселенной, и показали, что опережающий отклик этой вселенной на запаздывающее поле электрона прибывает в настоящее время электрона, воспроизводя правильные члены теории Максвелла, то есть просто запаздывающее взаимодействие между зарядами и локальное мгновенное самодействие [8]. Удивительным образом, та же самая модель оказывается эквивалентной обращенной по времени теории Максвелла с опережающим взаимодействием между зарядами и самодействием, взятым с противоположным знаком [1]. Так происходит потому, что рассматриваемые действия и условие полного поглощения являются явно симметричными при обращении времени. Диссипативные эффекты в такой системе происходят из-за взаимодействия с другими зарядами во вселенной и становятся предметом статистической механики, как было указано в [1]. Эквивалентность между теорией Уилера-Фейнмана и теорией Максвелла теряется в том случае, если вселенная не действует как полный поглотитель, то есть если поле не обращается тождественно в нуль вне большой сферы, окружающей все заряды. Этот случай оставляет место для малых нарушающих причинность эффектов, которые также обсуждались в [1].
Рассмотрение данной модели в конечном итоге привело Фейнмана к ныне широко известной формулировке квантовой теории, использующей континуальное интегрирование [9]. Каноническое квантование электродинамики Уилера-Фейнмана так и не было проведено, поскольку гамильтонова формулировка этой теории до настоящего времени не была известна. Основным препятствием здесь является то, что уравнения движения в модели Уилера-Фейнмана не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, но принадлежат к малоизученному классу функциональных уравнений, так называемым дифференциальным уравнениям с
(1)
отклоняющимися аргументами [10,11]. Такие уравнения имеют вид
х(Ь) = ^(I, х(С(*)), х(С2(í)),...)
- заданные функции, х - неизвестная),
производная х в момент времени Ь определяется значениями х в другие моменты времени. Общие аналитические методы решения и устойчивые схемы численного анализа для таких уравнений в настоящее время не известны. Вопросы существования и единственности решений для данного класса уравнений также исследованы недостаточно. В особенности это касается того случая, когда уравнения содержат как опережение, так и запаздывание аргумента: 0\г(Ь) = Ь ± АЬ, что имеет место в электродинамике Уилера-Фейнмана. В последнее время появилось много новых работ [12-26] по аналитическим и численным исследованиям модели Уилера-Фейнмана, а также близких задач с запаздыванием.
Для модели Уилера-Фейнмана основной проблемой является наличие опережающих и запаздывающих членов в действии (1), что создает трудности при построении гамильтоновой формулировки данной теории. Для специального случая - задачи о движении двух заряженных частиц в пространстве, свободном от других зарядов, гамильтонова формулировка будет построена в данной работе, разделе 2. При этом использована репа-раметризационная инвариантность действия и построена специальная параметризация, калибровка световой лестницы, в которой отклонение аргумента в опережающих и запаздывающих членах уравнений движения становится постоянным. Что касается понимания динамики, управляемой данными уравнениями движения, состояние дел следующее. Одномерное симметричное рассеяние двух электронов - специальный случай, когда уравнения движения значительно упрощаются, был изучен многими авторами, как аналитически, так и численно. В этом случае решение однозначно определяется межэлектронным расстоянием в точках поворота, если это расстояние является достаточно большим [15]. В результате этого свойства, при малых энергиях имеется один непрерывный параметр (в качестве которого можно выбрать межэлектронное расстояние г, асимптотическую скорость электронов V или саму энергию Е), который описывает единственное зеркально симметричное решение. Численный анализ, проведенный в данной работе, разделе 3, показывает, что при некотором критическом значении энергии это единственное решение расщепляется на три решения, из которых два сами не являются зеркально симметричными, но переходят друг в друга при отражении. В работах [22,34] для всех трех решений получены аналитические выражения в пределе V ^ с.
Анализ двумерной задачи о притяжении двух тел в релятивистской электродинамике был впервые проведен Дарвиным [35], который нашел, что релятивистские поправки в низшем порядке по v/c приводят к медленной прецессии орбит. Этот эффект, однако, вызван магнитными членами взаимодействия [36], а также малой поправкой к электрическим, и непосредственно не связан с запаздыванием или опережением взаимодействия. Точное решение в виде круговых орбит в задаче о притяжении двух тел было предложено в 1946г. Шенбергом [37] и более подробно исследовано в 1962г. Шильдом [38]. В 1972г. Андерсен и фон Байер [36] линеаризовали уравнения двумерной модели Уилера-Фейнмана в окрестности круговых орбит и нашли следующую сложную структуру решений. Было показано, что спектр линеаризованной системы содержит бесконечное множество собственных значений, из которых конечное подмножество принадлежит вещественной оси и соответствует прецессирующим орбитам Дарвина, в то время как другие комплексны и соответствуют расходящимся модам 6х ~ вшг, 1т. ш = 0 Поскольку расходящиеся моды 5х не являются ограниченными, их нельзя рассматривать как малое возмущение. Для рассмотрения таких мод недостаточно сохранения только членов, линейных по 5х в уравнениях движения, кроме того, ряды теории возмущений по таким 5х расходятся. Поэтому вопрос о наличии или отсутствии комплексных мод не может быть решен в рамках теории возмущения. Тем не менее, в [36] было показано, что начиная с некоторого критического значения энергии с комплексными собственными значениями линеаризованной задачи происходит своеобразное явление конденсации: собственные значения парами приходят на вещественную ось и далее принадлежат ей, тем самым увеличивая число мод, для которых теория возмущений является применимой. Для симметричной двумерной задачи Уилера-Фейнмана (равные массы противоположные заряды) решения были классифицированы на две группы Е+ и Е-, которые соответствуют модам, сохраняющим и нарушающим зеркальную симметрию решения. Первая пара собственных значений, конденсирующаяся на вещественную ось, принадлежит группе Е-, нарушающей зеркальную симметрию.
Трехмерная задача Уилера-Фейнмана до настоящего времени не исследовалась. В данной работе, Части II, представлены результаты анализа двумерной и трехмерной задач Уилера-Фейнмана, полученных численными методами, которые не используют ряды теории возмущения по v/c ил и 6х. С помощью этих непертубативных методов подтверждаются эффекты низкоэнергетической прецессии [35] и высокоэнергетических фазовых переходов [36], а также выясняется роль расходящихся мод в динамике Уилера-Фейнмана, существование которых оказывается тесно связанным с дискретными симметриями и причинными свойствами данной модели.
1 Необходимое введение в математический аппарат модели Уилера-Фейнмана
В данной статье исследуются задачи, возникающие в релятивистской электродинамике в формулировке Уи-лера и Фейнмана [1]. Динамика следует из действия Шварцшильда-Тетрода-Фоккера [2-4], см. (1). В 1945г. Уилер и Фейнман [1] рассмотрели взаимодействие электрона с абсолютно поглощающей вселенной, и показали, что опережающий отклик этой вселенной на запаздывающее поле электрона прибывает в настоящее время электрона, воспроизводя правильные члены теории Максвелла, то есть просто запаздывающее взаимодействие между зарядами и локальное мгновенное самодействие [8]. Воспроизведем здесь этот вывод.
В модели У ил ера-Фейнмана поле, созданное каждым зарядом р, равно полусумме опережающих и запаздывающих полей Fr<pt), F<pV. Условие полного поглощения означает, что поле, созданное всеми зарядами, обращается в нуль снаружи некоторой сферы:
0
Рис.1. Условие полного поглощения [1].
гЕй + ГаРа1) = ° (снаружи Ш, х) все р
Поля , F<pV представляют собой соответственно расходящиеся и сходящиеся волны классической электродинамики [5] и являются линейно независимыми функциями. Поэтому обращение в нуль их суммы снаружи сферы Ш, х означает обращение их в нуль по-отдельности:
Е = 0' Е ^ = 0 (снаружи)
рр
Далее заметим, что ^ Fr<pt), ^ F<p)v являются частными решениями неоднородных уравнений Максвелла, с
правой частью, представляющей плотности зарядов и их токи: диFмv = Разность — F(<pV) явля-
ется решением однородных уравнений ди Fмv = 0, представляющих волны, свободно распространяющиеся в отсутствие зарядов. Поэтому обращение в нуль разности снаружи сферы
Е ^<р) — ^ = 0 (снаружи) все р
влечет за собой ее обращение в нуль во всем пространстве:
Е F<;e¡ — Fa<dV = 0 (везде)
р
Поле, действующее на ¿-тую частицу, то определению является полусуммой всех Fr<pt),F(<pV для р = ¿:
поле, действующее \ _ i , р(р) \ _
на ¿-тую частицу ) - ^ ret adv>
p=i
- V F(p) + ! (F(i) - F(i) ) - ± V (F(p) - F(p))
/ y 1 ret ^ ?, У1 ret 1 adv) 2 / у ret ± adv >
p=i все p
В силу доказанного выше, последний член здесь обращается в нуль. Второй член (разность запаздывающих и опережающих полей, созданных ¿-тым зарядом), как показано в [1], имеет конечный предел при стремлении к точке нахождения ¿-того заряда, хотя по-отдельности запаздывающие и опережающие поля стремятся к бесконечности при приближении к этой точке. Это следует из того, что разность является решением свободных
уравнений, которые не имеют особенностей в точке г. Данный член в силе Лоренца соответствует конечному самодействию (силе реакции излучения [5]), в то время как первый член отвечает обычному взаимодействию с запаздывающими полями других зарядов:
Тем самым доказана эквивалентность модели Уилера-Фейнмана с условием полного поглощения и электродинамики Максвелла. После получения этого очевидного результата возникает естественный вопрос, а именно, каким образом исходная теория, симметричная относительно перестановки полей ret ^ adv, в конечном итоге оказалась эквивалентной теории с выделенной ролью полей типа ret. В действительности, повторяя в последних двух формулах аналогичные выкладки с ret ^ adv, мы видим, что та же самая теория оказывается эквивалентной обращенной по времени теории Максвелла с опережающим взаимодействием между зарядами и самодействием, взятым с противоположным знаком:
Так происходит потому, что модель УФ с условием полного поглощения является явно симметричной при обращении времени. Диссипативные эффекты в этой модели, такие как радиационное трение [5], происходят из-за взаимодействия с другими зарядами во вселенной и становятся предметом статистической механики, как обсуждалось в [1].
Эквивалентность между УФ-электродинамикой и теорией Максвелла теряется в том случае, если вселенная не действует как полный поглотитель, то есть если поле не обращается тождественно в нуль вне большой сферы, окружающей все заряды. Этот случай оставляет место для малых нарушающих причинность эффектов, которые также обсуждались в [1].
Общее решение классических уравнений движения в электродинамике УФ неизвестно. Основное препятствие состоит в том, что уравнения движения в данной модели являются дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами, для решения которых в настоящее время не существует ни общих аналитических методов, ни устойчивых схем численного анализа. В следующем разделе мы построим специальную параметризацию мировых линий частиц в задаче об электромагнитном взаимодействии двух заряженных релятивистских частиц в электродинамике Уилера-Фейнмана. Эта параметризация позволит ввести описание системы, имеющее вид гамильтоновой механики со связями. Возникающие в ней уравнения движения имеют более простую форму, чем лагранжевы. Данная параметризация будет также использоваться в других разделах этой работы при численном анализе структуры решений задачи УФ.
2 Построение локализующей параметризации в задачах двух тел (калибровка световой лестницы)
В данном разделе представлена гамильтонова формулировка для УФ-задачи о движении двух заряженных частиц в пространстве, свободном от других зарядов. Мы используем параметрическую инвариантность действия. Эта инвариантность позволяет выбирать любую удобную параметризацию на мировых линиях. В подразделе 1 будет выбрана такая параметризация, что отклонение аргумента в опережающих и запаздывающих членах действия будет постоянным. Для этого действия получены лагранжевы уравнения движения. В подразделе 2 выбраны граничные условия для этих уравнений. В подразделе 3 действие переписано в виде проинтегрированного лагранжиана, зависящего от координат и скоростей при одном значении параметра интегрирования. Для этой механики найдена гамильтонова формулировка.
Здесь для определенности мы рассмотрим одномерное движение зарядов. Обобщение на большее число измерений усложняет вычисления, но может проводиться в рамках той же схемы.
2.1 Уравнения движения
1. Движение двух заряженных частиц х и у, взаимодействующих посредством электромагнитного поля, описывается принципом экстремума действия [1]:
p=i
p=i
A
(мы используем метрику = diag (+1, -1, -1, — 1)). Выполняя одно интегрирование в (2), можно снять ¿-функцию:
А = ! Ш1 ^^ ~ ш'2
е\е-2 [ х(т)у(т+(т))- х(т)у(т (г))' . ,
2 \\х(т)(х(т) — у(т + (т))) | \х(т)(х(т) — у(т-(т))) \,
где (х(т) — у(т± (т)))2 =0, т + > т-. Точка обозначает дифференцирование относительно т. Действие является параметрически инвариантным.
Функции т± (т) отмечают на мировой линии частицы у точки ее пересечения световым конусом с вершиной, х(т) х(т)
мировой линии у. т± (т) являются монотонно растущими функциями от т.
2. Существует параметризация мировых линий, удовлетворяющая следующему условию:
т + (т) = т, т- (т) = т — 1
Рис.2. Лестничная параметризация.
Пусть мировые линии заданы. Рассмотрим световой луч, испускаемый в будущее из произвольной точ-ху х
т
параметризацию т £ [0,1] та отрезке мировой линии х между двумя последовательными отражениями, затем определяем параметризацию всей мировой линии, с помощью вышеописанного процесса (сдвигая световую лестницу вдоль отрезка с начальной параметризацией). Обратим внимание, что построенная параметризация является непрерывной. Мы можем выбрать параметризацию на отрезке [0,1] так, чтобы параметризация стала гладкой, дважды дифференцируемой и т.д. Из дальнейшего станет ясно, что для наших целей достаточно непрерывной параметризации.
Рассмотрим одномерное движение. Мы вводим световые координаты х± = хо ± хх в пространственно-временной плоскости, содержащей мировые линии. В построенной параметризации выполняются следующие
соотношения:
у+(т) = х+ (т), у (т) = х (т + 1)
(4)
ух х±, у± являются монотонно растущими функциями т:
= .г2 > 0, — + = о >0
3. Подставим выражения (4) в действие (3):
х± > 0
А= с1т(^—т 1\/;Г+;Г — т-2 л/ ;Г+;Го — 616-2 |
+
(5)
х+
хх
Обозначим ха (т) = х(т + 1), хг (т) = х(т - 1).
Действие (5) содержит только опережающие члены (сдвигая параметр т ^ т — 1 в (5), можно получить действие, содержащее только запаздывающие члены). Принцип экстремума для этого действия приводит к уравнениям:
Уравнения содержат как запаздывающие, так и опережающие члены. При вариации действия члены вида Е6ха преобразуются к виду Гг 6х с помощью сдвига параметра интегрирования. Таким образом запаздывающие члены появляются в уравнениях движения.
Уравнения (6) все еще являются достаточно сложными для их непосредственного решения.
2.2 Граничные условия
В этом подразделе мы покажем, что уравнения движения (6) имеют более широкий класс решений, чем урав-
т=
решения исключаются при использовании надлежащих граничных условий.
Для дополнительных решений новый силовой член появляется в правой части уравнений движения. Мы покажем, что эта сила определяется видом граничных условий, а не принципом экстремума действия. Для рассматриваемой задачи дополнительная сила является артефактом используемой параметризации, похожим на физическое явление. Мы подробно рассматриваем механизм появления нового силового члена.
Принцип экстремума для действия (2) в параметризации т = хо приводит к уравнениям [15]:
<1ъх d vy
т-1-----= в! Ьх, т2---. = -е2Ьу (7)
<1х0 -VI ¿х0 Л _ у2
г е21 + у; 1 1-у; ^х — — | --Г 7-~ н--
2 у1 — vy (х! — у1 )2 1 + va (х! — уа)
ву( 1 — V; 1 1 + VI 1
Еу = — —-4 7-+
2 \ 1 + V; (у! — х!)2 1 — V,« (у! — ха)2^ Преобразуем эти уравнения в лестничную параметризацию:
1
С/ ххх— \ / хх хх — хх + \
= 2е1е2{хЦх--х,Г + (хЛ-х^)
Легко проверить подстановкой, что уравнения (6) следуют из этих уравнений, т.е. любое решение (8) является решением (6).
Обратное неверно, (6) эквивалентны уравнениям более общего вида:
= + Ь2 = п2 + ^ (9)
Мы обозначаем левую (правую) часть уравнений (8) через Ь!)2 (Я!)2). Н(т) - произвольная функция с периодом 1.
Доказательство.
— |+ Ь2 = К+ (Д± - правые части уравнений (6))
(6) ~ ^ ^-(^2) =ВГ
Г
х+Ь2 — (х+ Ь2)г = х+ д+ + х д
Ь1 = ^(Ь2-П+) (10)
Первое уравнение в (10) является линейным разностным уравнением на х+Ь2- Частным решением этого уравнения является
¿2 = Д2 •
Общее решение этого уравнения имеет вид:
х+¿2 = х+д2 + Н ,
где Н - общее решение однородного уравнения Н — Нг = 0, т.е■ Н - периодическая функция с периодом 1. Подставляя это решение во второе уравнение (10), мы имеем (9).
т
т 1
¿хо у/1 - «2
хо
= ех Ех +
¿т
Н(т)
(П)
¿т
Ш2
&хо
1 — ^
( = ¿х^ — &х2, <¿^2 = &у0 — ¿у^ )
Новый силовой член появляется в правой части уравнений движения. Эта сила действует па отрезках мировых линий, отсекаемых двумя лучами световой лестницы с начальными значениями параметра т и т + ¿т (рис.3). Сила обратно пропорциональна квадрату интервала отрезка, коэффициент пропорциональности ¿т2 Н(т) является общим для всех отрезков.
Рис.3. На отмеченных отрезках мировых линий действует дополнительная сила.
Сила такого же вида появляется в другой задаче. Такая же сила действует между двумя зеркалами, двигающимися по прямой линии, между которыми помещено излучение.
Рассмотрим световой импульс с энергией к и продолжительностью Д*, отраженный от двигающегося зеркала. Из геометрических соображений (рис.4) мы имеем:
Д*'
Дхо Д52
1- V
Аг
1+
А*
1 + V '
Дх1
Д*
1 + V
Д*2
1 - V
Сохранение импульса приводит к соотношениям:
= Ар=\р'-р\= 2к
1- V'
1- V
к
2
2
V
У
V
V
1
V
Поэтому,
, ; Л ; , л Ар 2кЫ , .
к'М' = кЛ1, —= —— 12
Аж0 Ав2 4 ;
Сила (12) имеет тот же самый вид, как дополнительный член в (11). Коэффициент кАЬ, аналогичный ¿т2Н(т) в (11), сохраняется при отражениях. Аналогия возможна для Н(т) > 0, в случае отталкивания.
Рис.4. Световой импульс отражается от двигающегося зеркала.
Дополнительная сила существенно влияет па структуру решений уравнений движения. Произвольная функция H(т), определяющая распределение энергии излучения между зеркалами, вызывает функциональную неоднозначность в решении. Эта неоднозначность остается как в перелятивистском пределе, так и в пределе e ^ 0. (Зеркала отталкиваются даже в том случае, если они двигаются медленно, или если они не заряжены.) Излучение между зеркалами обращается в нуль при t ^ ж. При отражении от зеркал, двигающихся в
противоположных направлениях с асимптотически постоянной скоростью, продолжительность светового им/ \ n
пульса экспоненциально увеличивается: Atn ~ Aio (y^j) —оо (см. рис.3), следовательно к —>■ 0. Излучение обращается в нуль также при t ^ —ж, вследствие симметрии задачи при обращении времени. Другими словами, начальный импульс, сколь мал бы он пи был, усиливается в отражениях, производит конечный эффект отталкивания, и затем уменьшается до пуля.
В то же время, в электродинамике Уилера-Фейпмапа всё поле излучения выражено через источники из уравнений Максвелла, используя условия отсутствия излучения па бесконечности, и представлено запаздывающими и опережающими членами в уравнении (7). Новая сила, в действительности, не имеет отношения к электродинамике.
Выясним, каким же образом замена параметра в параметрически инвариантном действии смогла изменить уравнения движения. Действия, вычисленные в различных параметризациях, совпадают. Разумеется, это вычисление должно проводиться для одного и того же отрезка траектории. Когда параметризация меняется, необходимо позаботиться, чтобы начальные и конечные точки траектории не изменились. Значения параметра, отмечающие граничные точки, в нашем случае получены из уравнения х(т*) = ж*, и они становятся переменТ* __S*
ттыми, зависящими от траектории. Простой пример: А = f с1т л/i2 = f ds , s* должен быть динамической
о о
переменной для того, чтобы получить содержательные уравнения движения.
При вариации действия начальные и конечные точки траекторий должны быть зафиксированы: öx (т) = öx(ту) = öy(Ti) = öy(Tf) = 0. В лестничной параметризации динамическими переменными являются координаты частицы ж в т° время кш информация о траектории y "закодирована"в параметризации траектории ж. xx y x быть ограничены па такой класс, что гра-
y
сила исключается.
К
Рис.5. Когда граничные точки ж фиксированы, граничные точки у меняются свободно.
Мы опишем это вычисление, опуская детали. Начальные и конечные значения параметра т и ту становятся динамическими переменными. Условия, фиксирующие положения граничных точек, включаются в действие с лаграпжевыми множителями. Находится минимум такого действия относительно всех динамических переменных. Втте-итттегралытые члены, появляющиеся при вычислении, также должны приниматься во внимание.
Различные члены в действии включаются в различные моменты времени (см. рис.5). В интервале т £ (ту — 1, ту] активен только член, представляющий длину мировой линии х. Принцип экстремума действия, примененный к этому интервалу, приводит к уравнениям движения без дополнительного И-члена. Периодическое условие на функцию И исключает этот член во все моменты времени.
Дополнительная сила определяется граничными условиями. Если наложить граничные условия, отличные от фиксации начальных и конечных координат, будут получены другие уравнения движения. Например, если граничные условия имеют вид:
"свет, излученный из начальной точки х^, после целого числа
отражений от мировых линий прибывает в конечную точку ху" (13)
в уравнениях появляется сила (12). Эту силу можно получить в любой параметризации.
Рис.6. Для допустимых вариаций сдвиги параметризации сокращаются на бесконечности.
Рассмотрим бесконечные траектории. В вариации действия появляется впе-иптегральпый член -^—¿х^
^ —ж
Этот член можно исключить, потребовав ¿х(±те) = 0. В обычно используемых параметризациях это требование можно удовлетворить, поскольку вариацию 6х можно всегда локализовать. В лестничной параметризации локальное возмущение затрагивает параметризацию всей траектории. Ширина отклика па возмущение экспоненциально возрастает при 4 ^ те (рис.3). Требование ¿х(±те) = 0 может быть удовлетворено, только если
берутся такие коррелироваттые вариации траекторий, для которых вызванные отклики сокращают друг друга на бесконечности (рис.6). Поэтому уравнения (6) дают только условный минимум действия в классе вариаций траекторий, в котором вычисления в лестничной параметризации хороню определены. Точный минимум определяется следующим образом
Ях =
6А
6 х
0
в усл.мин.
Вариация выполняется по отношению ко всем остальным изменениям траекторий.
Рис.7. Условный и точный экстремумы действия.
хх
6Х(тх)
6х(т2)
= 6' (Т1 - Т2)
При вариации действия все члены вида Е6Х можно преобразовать к виду — _Р6х, используя интегрирование по частям. Коэффициент при 6х в 6А дает искомую производную
Это вычисление необходимо провести в некоторой другой параметризации, в которой оно хороню определено. В результате мы получаем
т? с1 г'х тт
Гх = тп 1------ в!Ьх
\ ах0 у/1 —
в усл.мин. \ а.зх I
следовательно, дополнительная сила исключается.
Аналогичный механизм определяет дополнительный силовой член в задаче о свободном движении массы по поверхности. Здесь уравнения движения определяют условный минимум действия в классе траекторий, лежащих па поверхности. Поверхность действует па массу силой реакции. Эта сила равняется производной действия относительно вариаций координат, уводящих массу с поверхности. Эта сила не может быть получена из принципа экстремума какого-либо действия, сформулированного в терминах только поверхностных координат. Эта аналогия справедлива со следующим уточнением: лестничная параметризация ограничивает не сами пути, по их вариации в окрестности произвольного пути (рис.7).
Снова рассмотрим конечные траектории. Требование, чтобы т и ту были динамическими переменными, не является необходимым. Они могут быть постоянными, по их разность не должна быть целым числом. Только в том случае, когда ту — т € Z, происходит ограничение класса траекторий - па такие, для которых световая лестница имеет целое число шагов (13). При ту — т € Z положения граничных точек не связаны, в силу достаточной свободы в выборе параметризации траекторий в интервале т € [0,1]. После любой достаточно малой вариации траекторий с ту — т^ € Z на них может быть введена лестничная параметризация с теми же самыми и ту.
Далее мы будем рассматривать именно траектории с ту — т € Z. Концы траекторий будут зафиксированы. В этом случае уравнения движения определяют условный минимум действия в классе траекторий, удовлетворяющих условию (13). Световад лестница с начальным значением параметра т разбивает траектории на N
= 0 для внутренних точек отрезков автоматически выполнено: даже в том
в усл.мин.
случае, если положения граничных точек отрезков связаны, пет ничего, что могло бы ограничить положение внутренних точек. Для "свободного"движения (в пределе е ^ 0) действие достигает минимума на прямолинейных отрезках (рис.8). Если условие (13) не выполняется для прямых линий, соединяющих концы траекторий, то прямолинейные траектории не принадлежат классу, в котором выполняется вариация. Условный минимум действия достигается па ломаной.
отрезков. Требование ^
0
Рис.8. Если световая лестница вынуждена иметь целое число шагов, акстремум действия достигается на ломаной.
Импульс частицы пропорционален единичному касательному вектору на мировой линии п^ = хм/уж2. На ломаных мировых линиях импульс каждой частицы меняется. Из соотношений следующего подраздела можно показать, что для таких траекторий сохраняется полный импульс (см. (20)) :
-Ш1Ап+(тг + п) = Ш2Ап+ (т» + п — 1) = (14)
Ш1 Ап-(Тг + п) = -Ш2Дп-(Тг + п) = к-
где Апм (т) = пм (т + о) — пм (т — о) - разрыв единичного касательного вектора. Сила, действующая на частицу, является сингулярной, и имеет вид (12).
Требование
= 0 для вершин ломаной представляет условие гладкости траекторий:
в усл.мин.
N М-1
А = -7П1 Е У/(хь+1 - т-2 Е \Лз/г+1 - Уь)2
г=1 г=1
дА ,А ,
— = т1(Дпж)»=0 «ж»
Этому условию можно удовлетворить, только если точный минимум действия принадлежит классу допустимых вариаций. Это означает, что положение концов траекторий (фиксированное при вариациях) выбрано таким образом, чтобы решение подчинялось условию (13).
Таким образом, условие гладкости траекторий отбирает физические решения среди траекторий с ту — т» € Z, минимизирующих действие. Для непрерывности единичного касательного вектора па плоскости достаточно потребовать непрерывности для одной из его компонент. В силу (14), достаточно потребовать непрерывного сшивания касательной в единственной точке т» + п.
2.3 Гамильтонова формулировка
1. Разобьем ось параметра т та единичные интервалы. Обозначим значения координат частицы ж в каждом интервале через жп:
ж±(т)= ж± (т + п) , т € [0,1] , п € Z В силу непрерывности функции ж(т), следующее условие наложено на координаты жп:
ж±(1) = ж±+1 (0) (15)
Перепишем действие (5) к виду
1
Л = 1,г
Ж
л, +
-ек* [ —^ + —1) (16)
сп+1
жп
Чтобы избежать расходимостей, рассмотрим конечные траектории: суммирование в (16) выполняется от п = 1 до и Л . При п = N только первый член — т\^х^х^ присутствует в действии.
Действие (16) задано в виде интеграла А = § ^т Ь(хп, хп) от функции, зависящей от координат и их первых производных при одном значении параметра т. Гамильтоново описание доступно для этой механики.
2. Определим импульсы = сопряженные к координатам :
Р+
Ш1 ~2~
Р+
Р1 = Т^
Ш1 2
в1в2
+
п+1
в1в2
х хп
= 2..Ж
п = 2..Ж
+ - та1
9 • +
2 х1
Ш1 "2
т2 Iхм-1
(17)
Принцип экстремума действия (16) имеет вид
¿А =
П V / п
(18)
Равенство нулю первого слагаемого отражает экстремум действия относительно тех вариаций траекторий, при которых точки хп (0), хп (1) зафиксированы. Это условие приводит к уравнению (6). Второе слагаемое в (18) представляет вне-интегральный член, выделившийся при вариации действия (16). Равенство нулю второго члена является условием экстремума действия при вариации координат хп(0), хп(1). Граничные точки х1(0), у!(0), и хм(1), ум-1(1) зафиксированы при вариациях:
¿х+ (0) = ¿у+(0) =0
¿х-(0) = 0 ¿у- (0) = ¿х- (0) = 0
^ (1)= ¿У-_ 1(1) = 0 ¿х+ (0) = 0 ¿у+_1(1) = ¿х+_ 1(1) = 0
(19)
В силу этих условий и условия непрерывного сшивания координат (15), требование равенства нулю второго члена в (18) записывается как условие непрерывного сшивания импульсов
р£(1) = рп+1 (0) п = 2..Ж - 2 М = +, - ;
п =1 ^ = +; п = N — 1 ^ = —
(20)
Р
1
0
3. Действие (16) является параметрически инвариантным, следовательно, преобразование Лежандра (17) вырождено: импульсы р^ не меняются при заменах хп ^ ^х^. Это означает, что импульсы не являются независимыми, между ними имеется соотношение. Это соотношение (гамильтонова связь) имеет смысл условия совместности системы (17) относительно скоростей хп. Получим это условие.
Введем обозначения
в =
г± =
Ш1
2
Рп +
в1в2
. - " т ± ±
Ш1 \ х±+ — х±
ьп+1
Ш2
. = 1.^
п = 1..ЛГ - 1 , г± = —
1 ш1 1
(21)
УХ—|— 1
х+
= 1..^- 1
Переменных уп , ип достаточно, чтобы определить скорости:
хп - Уп V х +
. _ ип— 1 / .
Хп, — \ X -I
п к=2 к
П
ик-1 !±+
значение х+ произвольно.
Уп =
"п =
Перепишем уравнения (17):
г+ = — Уп — ип/в п = 1..Ж — 1 (22)
1 1
Уп вип
п = 2..Ж 1
= -ум г
У1
(2Ж уравнений на 2Ж — 1 перемениых уп ,ип) $
Уп = —ип/в — г+ п = 2..Ж — 1 (23)
в(г+Г- — 1) ' ип-1 + Г+
—Гп ■ и п-1 — 1/в
1 в(г+Г- — 1)
. = 2..Ж — 1 (24)
гч = —- щ = ^ 1 -(25)
Г1- —Г1-
(3{г^гм - 1)
УМ = ~г^ им-1 = , м—— (26)
У и и -линейным
преобразованием (24). Представим это преобразование в матричном виде:
( „ (
в(г+Гп — 1) ' п
+
—Г —1/в
и1
Условие (26) на значение иМп1 можно записать как
' N
в(г+ Г- — 1)ФМ-1 + Г+ ФМ-1 =0 ^ (10)9мфм-1 =0
А = (10) 9М...91 ( 1 ) = 0 Уравнение (28) является искомым условием на (ж п,рп), при котором система (17) совместна.
(28)
Г
и =
и
п
Рассмотрим предел бесконечных траекторий. Изменим нумерацию переменных: пусть п изменяется от —N на N в пределе N ^ ж начальные и конечные точки ж-м ,жм стремятся к бесконечности. Связь
А = (10) 9м...9-^ 0 )
0
(29)
Переменные у п,и п определяют наклоны касательных к мировым линиям «у (см. (21)). Они имеют определенные пределы при п ^ ж:
Цш уп
: У±с
Цш ип
и±с
п—п—
Переменные г^ также имеют определенные пределы. В силу (22), значения г^ на начальных и конечных отрезках траекторий определены специальным образом по сравнению с другими г Предельные значения
1
г - N
Г+ ^ —у+с N ^ ж
(30)
1 N
У+с
ви+с
отличаются от значении для внутренних отрезков
1
У±о
ви±с
Г+М ^ —У-с — и-с/в
Г+ ^ —У±с — и±с/в
(31)
|п| < N , п ^ ±ж , N ^ ж
—5- —
У
1
1
1
Г„ —> —
соответствующие матрицы также отличаются:
д±ж = Jim g±(N -1) , g±!L = Jim g±N .
N-ж N—ж
Асимптотические зна^шя и±ж являются стационарными точками преобразования (24) при n ^ ж. Это означает, что Ф±ж = ^ и±ж ^ являются собственными векторами матриц д±ж:
д±ж Ф± ОО Ф± (32)
Это можно непосредственно проверить, подставляя (31) в (27):
il I Ц±оо I v ¿то 1 \ / \ /
? + + ~-ßu±oo~v±oo \ / U±QO \ = U± од / и±ао
+ ¿Г ) V 1 / v±oo V 1
Условие (32) может также записать в виде
ф±ж9±ж ~ Ф±ж , ф±ж = (1 - и±ж)
Доказательство.
Из дФ ~ Ф следует, что фдФ = 0, где ф = Фт ^ 1 ° ^ • ^ другой стороны, общим решением линейного уравнения на V: VФ = 0 та плоскости является V ~ ф. Следовательно фд ~ ф. Подставляя (30) в (27), легко доказать, что
^(1) - ¿("Г
(Ю) „<°1 =
и+ж
Поэтому, в предельном выражении связи (29):
А = (1 °) д+0Ж g+^-gi до д - i-..д - ж д (°L ^ ° ^
(33)
обкладки (1 °) д+ж и д^^ ( 1 ) являются собственными векторами асимптотических матриц д+ж и д-с
0
соответственно. Следовательно, можно вставить любое число асимптотических матриц до левой обкладки и после правой обкладки, сохранив уравнение (33).
Связь, в действительности, является следствием определения импульсов (17), т.е. она выполняется на любой мировой линии. Мы проведем аналогию с механикой свободной релятивистской частицы Ь = тол/А2: здесь связь р2 — то2 = 0 на импульс = тожм/\fiP- выполнена для любой мировой линии. Уравнения движения еще не были приняты во внимание.
4. Канонический гамильтониан для действия (16) обращается в нуль:
Н = £ р(Х — ь = 0
п
Согласно описанию Дирака гамильтоновых систем со связями, в качестве гамильтониана нужно использовать связь (28):
Н = АА « 0 ,
А - лагранжев множитель (произвольная функция от т). Символ слабого равенства означает, что условие А=0
Гамильтоновы уравнения движения
дА дА
=А{Ж±,А} = А-^ , р±=А{р±,А} = -А-т
дрп дхп
0
В силу (21)
_д
др д
дж
±А(г)
А(Г)
_2__д_
т1 дг£
2е1в2 / Ш1
А(Г)
А(Г)
Следовательно,
Г±
Ш1
— е1 е2
-Г ± ж п+1
)2
(ж±+1 ж")
см.
4Ае1в2
Вычислим производные ^
ддп
дг+
ддп
дг-А+
А-
| А(г)
0
+
п 1
вгп
= —в
0 1 9
д9£
= (3 дп ( ; ] (1 0) ^ = 0 , к ф п
А+ А-
о>А
дг+
о>А
дг-
—вфпфп вф п-1 ф п~1
= —в ■ (1 0) 9М...9 п+1 ( 0 ) ■ (0 1) 9п...91 ( 0 ) = в ■ (10) 9М...9п ( 1 ) ■ (10) 9п0 )
ф„
9 ...91
и 1
ф п = (1 0) 9М•••9п+1 ~ (1 — %)
А = ф1 Ф1 + ф2 Ф2
'—1 п. п. 1 п 71
Гамильтоновы уравнения имеют вид
— А±(г) Ш1
•± _ 4Ав1 в2 'п — та2
Д
см.-
см.
см.
(34)
(35)
(36)
(37)
Получим отношения
ж+
(37) Ага+1 (34) Ф2 ф! (36)
ж +
А+
(37) Д^ (34)
А+
ф1 2
Фк
ф^
ф2 1 1 1
(27)
2
= (и )2
(У )2
ф1 2 п п
В доказательстве последнего равенства использовались следующие тождества
(23)
—ип/в — г+ (==) —(1 — и п) 9п ( 0 (=5)
ф 1
1 1 ^ 71—1
\Т/2
71
■
0 \ (35) Фп—1
1 ^ ф1
/ * 71
(27) 1
^•(ю) ^ = о)
2 71
= —ип/в — г+ =
—1/в —г+ г- в(г+г- — 1)
п
1При п = N первый член отсутствует в скобках, при п =1 второй член отсутствует.
2 При п = М, второй член отсутствует.
1
1
2
д
1
1
0
±
±
Д
2
2
п
Первое уравнение в (37) выполнено для любой мировой линии, после подстановки определений импульсов в терминах скоростей и выбора надлежащего лагранжева множителя А = m\x 2А+(т(Х))^. Аналогично механике релятивистской частицы, где уравнение = А{.гм, р2 — т2} = 2Апосле подстановки = т-
выбора А = удовлетворяется тождественно па любой мировой линии. Форма мировой линии определяется вторым уравнением в (37).
Уравнения (37) сохраняют условие связи: Д = А{Д, А} = 0. Проверим это непосредственно:
N дА
X "А
А =
1 дтЧ
М / ¡л _ /i\2 / fi Ц
n=1 \xn+1 xn) n= 2 Vxn Xn-1
---- J I » -r- -
Гамильтоповы уравнения (37) определяют фазовый поток па поверхности связи (28), который расслаивает эту поверхность па непересекающиеся фазовые траектории. Проекция фазовой траектории в конфигурационное пространство хп дает решение лагранжевых уравнений для действия (16). Необходимо отобрать из всех фазовых траекторий те, которые соответствуют условиям непрерывного сшивания.
5. Лаграпжев множитель в (37) влияет только параметризацию фазовых траекторий. Его можно исключить заменой параметра:
т ^ т(т) = J А(т') dT'
Значение т(1) = Т входит в условия сшивания. В новой параметризации эти условия имеют вид:
хП(Т) = хП+1(0) п = 1..Ж - 1 , (Т)= х£ (38)
РП(Т) = рП+1 (0) п = 2.^ - 2 М = +, - ;
п =1 ^ = +; п = N — 1 ^ = —
Значения 1хП,рП) определяются решениями дифференциальных уравнений (37), они являются функциями
начальных данных ухП,рП) и "времени"Т. Условия (38) представляют систему нелинейных уравнений на Т
рис.9):
2^ ^^^^^^^ та координаты + 2^ — 2) условий па импульсы + + 1 связь (28) = (2N — 4) координат + 2N импульсов + 1Т
Рис.9. Число начальных данных равно числу условий сшивания.
0
2
В предыдущем подразделе было показано, что исключение нефизических решений требует непрерывного сшивания касательных в одной точке траектории
ип(Т )= ип+1(0) (39)
Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо перенести одно из фиксированных граничных значений (например, жМ (0)) во множество независимых переменных.
В пределе N ^ ж (п = — ) смысл условий сшивания становится более ясным:
(ж,р)т = £ (ж,р)о (40)
где преобразование £ (жп ,рп) = (жп+1 ,рп+1) является сдвигом индекса п. Сдвиг индекса не меняет условие связи (33):
А = ф+с...9п+1 9п 9п-1...Ф -с =0 ^ А = ф+с...9п+2 9п+1 9п---Ф-с = 0
и уравнения движения (37) (поскольку А±(£г) = А±+1 (г) ). Это означает, что преобразование £ переводит фазовые траектории в фазовые траектории. Требование (40) означает, что фазовые траектории (ж,р)т и £ (ж,р)т должны иметь общую точку. Это возможно только в том случае, если они совпадают (с точностью до ре-параметризации). Таким образом, условие (40) отбирает те фазовые траектории, которые переводятся в себя преобразованием
Пусть точка (ж,р) принадлежит плоскости ж+ = С. Приложим к ней преобразование затем вернем ее на плоскость ж+ = С движением Я вдоль фазовой траектории. Фазовая траектория переводится в себя преобразованием только если
Я£ (ж,р) = (ж,р)
Таким образом, задача сводится к поиску стационарных точек дискретного преобразования Я£.
Условия непрерывного сшивания (38), (39) вносят негамильтоновый элемент в наше описание. Они связывают значения динамических переменных при разных значениях эволюционного параметра т. Рассматриваемая механика имеет еще один нетрадиционный элемент: параметр т, используемый в этом подразделе, не является временем ни в какой системе отсчета. Координаты жп (т) при одном значении т и различных п разделены време-ниподобным интервалом. Обычно параметризация мировой линии вводится при помощи ее сечений заданным множеством пространственноподобных поверхностей [7]. Это построение удобно для получения монотонной параметризации. Однако, это условие не является необходимым, его изъятие не приводит к противоречиям. Напомним, что гамильтоново описание применено даже к тем вариационным задачам, в формулировке которых не используется время. Так, гамильтонов формализм позволяет получить форму минимальных поверхностей как в пространстве Минковского (мировые листы релятивистской струны), так и в евклидовом пространстве (мыльные пленки).
т
обойти известную теорему "о невзаимодействии" [30-32,34]. Согласно этой теореме, следующие требования
1. используется одновременное гамильтоново описание функции (т.е. однопараметрическое гамильтоново описание, в котором параметр является временем в некоторой системе отсчета);
2. координаты частиц в пространстве Минковского являются каноническими координатами гамильтоновой механики;
3. мировые линии частиц являются кривыми в пространстве Минковского, на которые группа Лоренца действует вращениями, бустами и репараметризациями
совместны только в механике невзаимодействующих частиц. Для рассматриваемой механики требования 2 и 3 удовлетворены. Требование 1 нарушено: каноническими координатами является множество ж^ координат одной частицы в различные моменты времени Минковского.
Сводка результатов
Гамильтонова механика одномерной задачи двух тел в электродинамике Уилера-Фейнмана устроена следующим образом. В фазовом пространстве (жп) п = 1.^ задана связь (28). Гамильтоновы уравнения (37)
определяют фазовый поток на поверхности связи. Условия (38), (39) отбирают физические решения среди фазовых траекторий.
Таким образом, структура решений лагранжевых уравнений - дифференциально-разностных уравнений (6) - определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений (37) и системой нелинейных уравнений (38), (39). Следующий раздел посвящен исследованию структуры решений этих систем.
3 Структура решений одномерной задачи о рассеянии двух тел
В данном разделе рассматривается 1-УФ задача об одномерном ультра-релятивистском рассеянии двух тождественных заряженных частиц в классической электродинамике с запаздывающим и опережающим взаимодействием. С использованием численных методов, подробно описанных в Части III данной работы, исследуется структура решений этой задачи. Ранее в работе [39] анализ этой задачи был проведен с использованием других методов вплоть до скоростей частиц v < 0.9545c. Здесь мы продолжим решение в область больших скоростей. Кроме того, в области v < 0.9545c нами найдены новые решения (наряду с приведенными в [39]). Для решения задачи используется гамильтонова формулировка теории, построенная выше.
В данном разделе рассматривается одномерное рассеяние двух релятивистских частиц равных зарядов и масс. Используемые методы позволяют рассматривать рассеяние частиц разной массы, однако случай тождественных частиц представляет наибольший интерес из-за дополнительных симметрий, которые приобретает задача.
Мы используем следующую систему единиц: скорость света c = 1, классический радиус частицы e2/mc2 = 1 (все расстояния измеряются в классических радиусах).
Для решения задачи используется метод, описанный в предыдущем разделе. Рассмотрим систему частиц х п,уп, движущихся в двумерном пространстве-времени таким образом, что они всегда находятся в вершинах ломаной, составленной из световых лучей. Достаточно задать движение частиц х, тогда траектории у определятся как у + (т) = х+ (т), у — (т) = х-+1 (т) (в световых координатах х± = х0 ± х1). Движение задается системой дифференциальных уравнений на х± (т) (одновременных по т), которая эквивалентна исходной системе уравнений с отклоняющимися аргументами. Далее, на траектории частиц накладываются условия, обеспечивающие
ху
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих эволюцию частиц, и системы уравнений на начальные данные и время эволюции вида ^(X) = 0, обеспечивающих сшивание траекторий.
При вычислениях можно ограничиться конечным числом траекторий х п, п = 1...Ж. Возможность такого ограничения следует из того, что при движении по световой лестнице для больших п расстояние между частицами экспоненциально возрастает: |хп — уп| ~ д2п, q = (1 + «)/(1 — V), V - скорость частиц в системе центра масс; и начиная с некоторого N и взаимодействием можно пренебречь. Поскольку q ^ те при V ^ 1, при больших скоростях нескольких (Ж = 2,3) шагов световой лестницы достаточно для того, чтобы вывести частицы из области взаимодействия. Таким образом, данный метод удобен для применения в ультрарелятивистской области (при малых скоростях приходится рассматривать большее число уравнений).
Движение задается системой гамильтоновых уравнений на координаты и импульсы:
, дН , дН ^ - ^ = -7ГТ (41)
ж.
' ' n дж±
с гамильтонианом
Н(ж,р) = (1 0) gN...gl ( 1 ) , gn = r+ r- 1 r+
0 ' \ -r- -1
rt= ± 1 A, n = l...N-l, r±=2p±/m. (42)
\ m xn+1 - xn J
Гамильтониан является полиномиальной функцией r±± (линейной то каждому из гт). Уравнения удобно переписать полностью в терминах (x,r), см. раздел 2.
Гамильтониан является связью Дирака; напомним, что это означает. Поскольку гамильтониан сохраняется при эволюции:
• , dH , dH
dxn dPn
фазовые траектории лежат па поверхности H = Const. В электродинамике Уилера-Фейнмана только те траектории, которые лежат на поверхности H = 0, соответствуют физической эволюции. Это ограничение, приводящее к тому, что не все импульсы являются независимыми, возникает вследствие параметрической инвариантности действия и типично для всех релятивистских теорий. Например, в теории свободной релятивистской частицы аналогичное ограничение имеет вид "условия массовой поверхности" р2 — то2 = 0, выполняющегося тождественно на всех траекториях, поскольку р^ = тожм/ л/х2 по определению. Условия сшивания траекторий имеют вид
1.xn(T)= хП+1 (0) n = 1...N - 1 , (43)
(T) =
2.pn(T)= рП+i(0) n = 2...N - 2, M = +, - ; — _ m /О . _ W
pi(T) = (0) - m/2 ■ (x+ (0) - x+ (0))
CN-1
pN_ 1 (T) + m/2 ■ (xn (T) - xN_ 1 (T))-1 = p- (0),
при п = 2...Ж—2 конечные значения (хп,рП) совпадают с начальными значениями этих величин для следующей траектории. Величины (хп ,рП)т, определяемые при решении дифференциальных уравнений (41), являются функциями начальных данных (хп,рП)о и "времени" Т. Таким образом, (43) является системой нелинейных уравнений на начальные данные и Т.
В разделе 2 показано, что одни только условия (43) не обеспечивают непрерывной дифференцируемости сшивания траекторий. Из принципа минимума действия вытекает еще одно условие:
<(Т) = <+1(0), где и« = ' = ||, 4>п=дп...91 ( ^ ) , (44)
которое эквивалентно непрерывной дифференцируемости сшивания траекторий уп и уп+1. Это условие необходимо наложить для некоторого п = 1...Ж — 2, и тогда совместно с (43) оно обеспечит непрерывную диффе-ренцируемость сшивания всех траекторий хп, уп (за исключением граничных х1,2, х^см. Часть III).
Таким образом, на (4Ж + 1) неизвестных (х± (0),р±(0),Т) наложены (4Ж — 4) уравнений (43),(44) иЯ = 0. Из оставшихся 5 степеней свободы 4 соответствуют тривиальным преобразованиям решений:
2 трансляции решения:
xT ^ xT + ст;
преобразование Лоренца:
x /с; p+ ^ p+/c, p ^ p c; репараметризация (сдвиг решений вдоль траекторий):
)т+С1
(x,p)T ^ (x,p)T
и одна степень свободы соответствует деформации траекторий при изменении относительной скорости сталкивающихся частиц.
Тривиальные степени свободы можно исключить, например положив xT(0) = 0, r- (0) = Const - значение этой постоянной можно взять из кулоновского приближения (см. ниже) и далее не менять. Применяя трансляции и преобразования Лоренца к найденному решению, можно перевести его в другую систему отсчета, например, в систему центра масс.
Чтобы зафиксировать репараметризационную степень свободы, добавим еще одно уравнение: (x+ -x-)(0) = (xN - xN)(T) в СЦМ, геометрический смысл которого ясен из рис.11. Из множества условий, фиксирующих репараметризационную степень свободы, данное является особенно удобным, т.к. оно препятствует "соскальзыванию" решения вдоль траекторий и обеспечивает удаленность граничных точек от области взаимодействия как в прошлом, так и в будущем.
Рис.11. Фиксация репараметризационной степени свободы.
В задаче следует зафиксировать еще одну переменную, например r+(0), которая будет определять скорость частиц. Конкретное выражение для v (начальной скорости частиц xi, yi в и СЦМ) имеет вид: v = 2(r+ (0)r—(0))-1 — 1, см. раздел 2. Удобно ввести параметр ^ = (1 — v)-1 с областью изменения [1, и
выразить r+ (0) через него.
Уравнение Н = 0 линейно то каждому из r± и его можно разрешить явно (например, относительно r—(0)).
Таким образом, с учетом произведенных изменений, мы имеем систему (4N — 4) уравнений F) = 0 на (4N — 4) неизвестных X, зависящую от одного параметра Решение этой системы найдено численно, с помощью методов, описанных в Части III. Результат имеет следующий вид.
Значение скорости v = 0.937 соответствует бифуркации решений: при v < 0.937 имеется одно решение, соответствующее заданной скорости, при v > 0.937 для заданной скорости имеются три решения. Форма траекторий, соответствующих найденным решениям, показана на рис.12. Отметим, что при прохождении критической точки не наблюдается никаких особенностей на траекториях, а также графиках скоростей и ускорений.
Для основной ветви (0) траектории симметричны при пространственно-временных отражениях P : ж 1 ^
1 т о о
—ж1 и T : ж0 ^ — ж.
Для дополнительных ветвей (±) траектории не являются P- и T-симметричными, но переходят друг в друга при этих отражениях. В то же время, траектории являются PT-симметричными.
Этот эффект: нарушение симметрии решений при симметрично поставленной задаче связан с неединственностью решений. В самом деле, из симметрии уравнений движения (и начальных данных) относительно отражений следует лишь то, что отраженное решение также является решением (возможно, другим), иначе говоря - множество решений при отражениях переходит в себя. Только в том случае, если решение при заданных начальных данных единственно (как например для обыкновенных дифференциальных уравнений), можно заключить, что решение совпадает с отраженным, т.е. является просто симметричным. Таким образом, нарушение P, T-симметрий решений является спецификой дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, которые могут иметь несколько решений, удовлетворяющих одним и тем же начальным данным.
На рис.13 показаны зависимости параметров dm,tm от v (определения этих параметров см. на рис.12: dm = min ж1 — maxy1 в СЦМ, tm - разность временных координат в точках, где достигаются эти экстремумы).
Зависимость dm(v) для решения основной ветви имеет минимум при скорости vm = 0.956, соответствующее значение dm = 0.9075. Эта зависимость (до значения скорости, близкого к vTO) была найдена в работе Андерсена и фон Байера [39]. Накладывая график [39] на полученный в нашей работе, убеждаемся в их точном совпадении.
При v ^ 1 решение основной ветви стремится к решению Хилла [34], для которого наименьшее расстояние между частицами в СЦМ dm = 1. При этом траектории являются кусочно линейными с изломами в точках (±0.5, ±0.5), см.рис.12. Этим изломам отвечают ¿-образные пики на графиках ускорений (см. правый верхний график на рис.14), один из которых отвечает опережающему, другой - запаздывающему взаимодействию.
Для решений (±) dm,tm ^ 0 при v ^ 1. При этом траектории в СЦМ стремятся к световым лучам, выпущенным из начала координат.
Замечание: пуанкаре-инвариантность действия (см. раздел 2) приводит к появлению нетеровских интегралов движения, т.е. сохранению
генераторов трансляций P± = ^^ p± (45)
i
и генератора бустов M = ^^ ж+p+ — ж—p—.
(+) v=0.938
(+) v=0.95
(+) v=0.99
(0) v=0.9
-1 0 1 (0) v=0.937
-1 0 1 (-) v=0.938
-1 0 1 (0) v=0.95
- и т 4
-1 0 1 (-) v=0.95
-1 0 1 (0) v=0.99
-1 0 1 (-) v=0.99
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
Рис.12. Форма траекторий.
tm(v)
-
(0) (0) (-) -
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98
Рис.13. Зависимости йт(-и) и tm(v). [АВ] - решение Андерсена - фон Байера, [Н] - решение Хилла.
1
0
0
0
1
1
0 1 v=0-938
-10 1 (+) v=0.9 5
1 0 1 (+) v=0-995
3
2-5
2
1-5 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -8 -4 0 4 8
Рис.14. Графики ускорения с[2ж1 /(^ж0)2 в СЦМ. Штриховые линии - вклады опережающего и запаздывающего взаимодействий.
(+) БУБ 1
( + ) СМ
(+) БУБ 2
2 1 0 -1 -2
4
-2-10 1 2
-2 -1 0 1 2
-4 -2 0 2 4
х'', БУБ 2
Рис.15. Вверху: решение (+) в различных системах отсчета (штриховые линии: V = 0.95, сплошные линии: V ^ 1). Внизу: ускорение частицы ж в системе 2.
В нашем подходе импульсы р± выражаются через велнчпны г±, корорые однозначно определяются скоро-
стями хи величины (х±_1 — х±) 1, определяемые расстояниями между взаимодействующими частицами, см. (42). Члены вида (х±_1 — х±)-1 соответствуют вкладу взаимодействия в интегралы движения, присутствующему в стандартном подходе [1] (излученному и еще не поглощенному полю). Отличие от стандартного подхода состоит в том, что интегралы движения (45) содержат суммирование по последовательности точек на траекториях, связанных световой лестницей, которая распространяется в прошлое и будущее системы. Сохранение интегралов движения (45) использовалось для контроля точности решений при численном интегрировании, см. Часть III.
Интересно также исследовать предельную форму траекторий в системах отсчета, где одна из частиц обладает нулевой скоростью при 4 ^ Таких систем две (см.рис.15), в одной из них решение стягивается к началу координат, также как в СЦМ. В другой системе устанавливается иной предельный режим. На траекториях имеются малые изломы А, А'. Этим изломам отвечает ¿-образный пик ускорения, соответствующий
ху
гого типа имеет гладкую зависимость от времени на интервалах СА, А'С' и определяет форму траекторий па этих интервалах. Эту форму можно описать аналитически.
Предельные режимы
х
у
описывается дифференциальными уравнениями, одновременными по т = х-, см.рис.16а.
А'
а) / \ Ь)
Рис.16. Вычисление предельных режимов.
А
у=0
с)
Уравнения имеют вид:
х+ =
4у+т+У2 (х+-у+) 2 =
у+ =
4А+у+3/2 ■(х+-у+У
X = у = т,
(в уравнениях раздела 2 оставлены члены, соответствующие рассматриваемому взаимодействию). Решение уравнений находится элементарными методами:
х+ (и) = А(/(и) + #(и)), у+(и) = А(/(и) - #(и)), х (и) = у (и) = Ай(и),
/ (и)
1+ V2
1 — V2 1 — и
I И 1 + и С А
+ -, д(и)
2«
22
1и
1 — V2 V 1 — и
1
+
1 - V2
(46)
Л(и) =
1 , 1 + и , (1 - V + ¿1п
1-й2 2 1-
„ (1 - V2)572
А=---4--, -1 <и< 1.
4v3
Траектории симметричны относительно начала координат (сохраняются при преобразовании (х, у)± ^ —(у,х)± ^ и ^ — и). Решение приведено в СЦМ, V - асимптотическая скорость частиц в СЦМ. Общее решение находится из (46) произвольными преобразованиями Пуанкаре:
(х,у)+ ^ (х,у)+ ■ С + (х,у)- ^ (х,у)-/С + Р-
(47)
Решения (46) обладают следующим важным свойством: при V ^ 1 в системе пулевой скорости, изображенной на рис.16Ь, траектории имеют кусочно-линейную форму. При этом взаимодействие локализуется в окрестности изломов А, А'. Сшивад данное решение с Р-отр^женным в точках В, В', получаем предельное решение Хилла для задачи со взаимодействием обоих типов, см.рис. 16с.
1
2
и
V
2
и
2. Аналогичным образом можно получить аналитическое описание предельных траекторий, изображенных на
рис.15.
Рис.17. Вычисление предельных режимов (продолжение).
Рассмотрим предельные траектории для взаимодействия 1-го типа (рис. 17а) и учтем вклад взаимодействия 2-го типа. Участки траекторий, на которых частицы движутся со скоростью света, дают нулевой вклад
во взаимодейстие 2-го типа, поскольку это взаимодействие подавляется фактором (1 — «)/(1 + V) ^ 0 при V ^ 1 (см. раздел 2). На внутренних интервалах СА, А'С' взаимодействие 2-го типа отлично от нуля, форма этих участков описывается выражениями (46), над которыми произведено Р-отрадсение: (х,у)± ^ (у,х)т и преобразование (47). Внешние интервалы являются прямолинейными и сшиваются с внутренними непрерывно-
С, С' А, А'
Итак, на внутренних интервалах решение имеет вид
А(/ — £)/С, у- = А(/ + £)/С, х + = у+ = АЛС.
(48)
(Мы исключили трансляции из преобразований (47) и рассматриваем далее решения, симметричные относительно начала координат. Более подробный анализ показывает, что решений с = 0 нет.) Условия сшивания с прямолинейными участками траекторий имеют вид:
х+(и) = 1, х (и) = 0, = 1 (точка А на рис.17Ь) -ФФ-
^х
С = 1/А^)Л(и), / (V,«) — £^,и) = 0, О =
1- V2
(1 — vu)2A(v)2 Л(и)2
1 = 0.
(49)
Функция х- (и) монотонно возрастает от —те до на интервале —1 < и < 1, поэтому второе уравнение в (49) можно однозначно разрешить относительно и (при фиксированном V). Определяя это решение численно и подставляя его в третье уравнение, строим график функции О^), см.рис. 18.
0.4
0.3 0.2 0.1 0
-0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
0.03 0.02 0.01 0
1 ^
Рис.18. Решения уравнения О(V) = 0.
Уравнение О^) = 0 имеет следующие решения3:
1) V ^ 1 соответствует решению Хилла.
2) V = 0.6087622455403174 (и = 0.867439322472601, С = 0.5948623884508324) соответствует предельному режиму для решения (+). Для того, чтобы перевести это решение в систему нулевой скорости рис.17с, определим коэффициент
-1/2
где х + (и) = — 1 соответствует точке С на рпс.17Ь.
Решая последнее уравнение, находим « = —0.8674393224726012, С = 3.2378655431429. Выполняя над траекториями преобразование Лоренца с коэффициентом С, получаем предельное решение, изображенное на рис.15 справа вверху.
3) V = 0.9437848540619277 (и = 0.9998999343906364, С = 0.1703458543931005), решение изображено на рис.19. В системе отсчета рис.17Ь данное решение близко к решению Хилла, малые (1%) отличия этих решений в
С, С'
решений вдали от области взаимодействия, вызванное различием скоростей vx для данных решений). В системе нулевой скорости рис. 17с для данного решения также устанавливается нетривиальный предельный режим (соответствующий коэффициент С = 34.5179309569148). Для перехода в системы отсчета, где vx ^ 1, требуется коэффициент С ^ 0. Отсюда, в частности, следует, что в СЦМ при V ^ 1 данное решение стягивается к началу координат.
3Уравнения (49) выполняются с точностью 10 15 та решении 2 и 10 14 на решении 3.
х
1
det J(v)
0.996 0.998
Рис.19. Вторичная бифуркация.
Наша гипотеза: при больших V решение (0) претерпевает еще одну бифуркацию. В результате бифуркации образуются 3 решения, одно из которых при V ^ 1 стремится к решению Хилла, а два других - к найденному новому решению и его Р-сопряжеппому. Вид зависимости det 3(V) (см.рис.19) согласуется с наличием корня в районе V = 0.9995. Продолжить решение в область V > 0.999 с помощью описанных методов не удается из-за вычислительных трудностей, описанных в Части III.
1
Замечание: вопросы ДЛЯ дальнейших исследовании. Основной результат, полученный в данном разделе, состоит в том, что рассматриваемая релятивистская система обладает тем же числом степеней свободы, что ее нерелятивистский аналог (система двух частиц на прямой, взаимодействующих посредством потенциальных сил). В обоих случаях форма траекторий на плоскости (ж,£) зависит только от асимптотической скорости частиц (в пашей задаче - определяется ею однозначно при V < 0.937 и трехзначно при V > 0.937), другие параметры в данную зависимость не входят. Фазовое пространство гамильтоновой теории в рассматриваемой задаче является по существу 1-мерным, как и в нерелятивистском случае. Однако структура фазового пространства (как топологическая, так и симплектическая) для этих случаев существенно различается. Схема построения редукцированного фазового пространства для рассматриваемой задачи выглядит следующим образом.
Система связей (включающая Н = 0 и условия сшиваний) выделяет в расширенном фазовом пространстве (ж,р)п поверхность размерности 5. Эта поверхность имеет вид £5 = Г х х 71, где Г = X- найденная кривая с ветвлениями, Рз - группа Пуанкаре, 71 - группа сдвигов решения по траекториям. Редукция симплектической формы ф" д ¿ж" из расширенного фазового пространства на эту поверхность приводит к симплектической форме, вырожденной по направлению 71 (сдвиги решения генерируются гамильтонианом Н, включенным в полный набор связей). Факторизация £5 по 71 (либо наложение калибровок вида т ~ ж+) приводит к 4-мерному фазовому пространству £4 = Г х Р3, в котором редуцированная симплектическая форма определяет скобки Пуассона.
В дальнейших исследованиях данной задачи интересно провести:
1. Вычисление скобок Пуассона для независимых переменных и построение базиса канонических переменных в полученной гамильтоновой механике.
2. Исследование несимметричной задачи шх = ш2. Тот факт, что ветви X(0'±)(^,) найденного решения сшиваются в одной точке фазового пространства, связан с симметриями рассмотренной задачи. При = ш2 в окрестности критической точки возможно перезамыкание и образование несвязных ветвей решения (см.рис.20).
Рис.20. Случай т\ = т2.
3. Вычисление второй вариации действия с целью исследования типа его экстремумов. Необходимость такого исследования состоит в следующем. Рассмотрим гладкую функцию / : И" ^ И, имеющую в И" к > 1 экстремумов. В этом случае все экстремумы не могут быть минимумами, среди них должны быть экстремумы другого типа (максимумы и сед.юные точки). Следует ожидать, что не все из найденных решений рассматриваемой задачи соответствуют минимуму действия, среди них также должны быть экстремумы других типов.
Сводка результатов
При анализе одномерного рассеяния двух тел равной массы в электродинамике Уилера-Фейнмана обнаружено расщепление решений: рассеяние однозначно определяется асимптотической скоростью зарядов при V < 0.937с;
при v > 0.937c имеются три решения, соответствующие одной и той же асимптотической скорости. При расщеплении происходит нарушение зеркальной симметрии: одно из трёх решений Р-симметрично; два других не симметричны, но переходят друг в друга при Р-отражении. Для пределов решений при v ^ c получены аналитические выражения.
Список литературы
[1] J. A. Wheeler and R. P. Feynman, Rev. of Mod. Physics, 17, 157 (1945); Rev. of Mod. Phys. 21, 425 (1949).
[2] K. Schwarzschild, Gottinger Nachrichten, 128, 132 (1903).
[3] H. Tetrode, Zeits. f. Physik 10, 137 (1922).
[4] A. D. Fokker, Zeits. f. Physik 58, 386 (1929).
[5] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, т.2 (теория поля), Москва: Наука, 1973.
[6] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика. т.З (квантовая механика, нерелятивистская теория), Москва: Наука, 1974.
[7] Дирак П.A.M., Лекции по квантовой механике, Москва: Мир, 1968.
[8] P. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 167, p.148 (1938).
[9] R.P.Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Nobel Lecture, December 11, 1965. Preprint les Prix Nobel en 1965. The Nobel Foundation, Stockholm, 1966. Рус.перевод: Усп.Физ.Наук 91, 29 (1967).
[10] Сб.: "Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами", Киев, Hayкова Думка, 1977.
[11] L.E.Elsgoltz, S.B.Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York 1973.
[12] R. A. Moore, D. W. Qi and Т. C. Scott, Can. J. Phys. TO, 772 (1992).
[13] F. Hoyle and Jayant V Narlikar, Cosmology and Action at a Distance Electrodynamics, (World Scientific, Singapore 1996).
[14] F. Hoyle and J. V. Narlikar, Rev. of Mod. Phys. 67, 113 (1995).
[15] J. Hoag and R. D. Driver, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications 15, 165 (1990).
[16] R.Rivera, D.Villaroel // J.Math.Phys. V.38, p.5690 (1997).
[17] P.Stephas, J.Math.Phys. 1992. V.33. N2. p.612.
[18] J. De Luca, Phys. Rev. Lett. 80, 680 (1998).
[19] J. De Luca, Phys. Rev. E 58, 5727 (1998).
[20] J. De Luca, Phys. Rev. E 62, 2060 (2000).
[21] I.N. Nikitin, Hamiltonian formulation of two body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento 110B (1995) p.771.
[22] S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "On structure of solutions of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics", II Nuovo Cimento A, V.lll (1998) pp.1281-1292.
[23] S.Klimenko, I.Nikitin, W.Urazmetov "Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics" Int.J.Mod.Phys.C. 1999. Vol. 10, No. 5, pp.905-920.
[24] Stanislav Klimenko, Igor Nikitin and Wasil Urazmetov: Methods of numerical analysis of 1-dimensional 2-body problem in Wheeler-Feynman electrodynamics, Computer Physics Communications, Vol.126 (2000) pp. 82-87.
[25] Igor Nikitin and Jayme De Luca, Numerical methods for the 3-dimensional 2-body problem in the action-at-a-distance electrodynamics, Int. Journal of Modern Physics C, V.12, N.5 (2001) p.739; LANL e-print hep-th/0105285.
[26] Stanislav Klimenko and Igor Nikitin, On structure of 3-dimensional 2-body problem solutions in Wheeler-Feynman electrodynamics, II Nuovo Cimento, V.116B N9 (2001) pp.1029-1043.
[27] P.Brusentsev, M.Foursa, P.Frolov, S.Klimenko, S.Matveyev, I.Nikitin and L.Nikitina, Virtual Environment Laboratories Based on Personal Computers: Principles and Applications, p.6, Proc. of 2nd Int. Workshop on Virtual Environment on PC Cluster, VEonPC'2002, Protvino, published by ICPT, ISBN 5-88835-011-7.
[28] J.M. Aguirregabiria, A. Hernandez, M. Rivas, J. Phys. A, 30 (1997) L651-L654.
[29] D. Villarroel, Phys. Rev. A, V.55, N5 (1997) p.3333.
[30] D.G.Currie, J.Math.Phys. 4, 1470 (1963); Phys.Rev. 142, 817 (1966).
[31] D.G.Currie, T.F.Jordan, E.C.G.Sudarshan, Rev.Mod.Phys. 35, 350(1963).
[32] H.Leutwyler, Nuovo Cim. 37, 556 (1965).
[33] R.A. Rudd, R.N.Hill, J.Math.Phys. V.ll p.2704 (1970).
[34] R.N.Hill, Lecture Notes in Physics 162, 104 (1982) "Relativistic Action at a Distance: Classical and Quantum Aspects" Proceedings, Barselona, Spain 1981.
[35] C. G. Darwin, Phil. Mag. 39, 537 (1920).
[36] C. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 802 (1972).
[37] M. Schonberg, Phys. Rev. 69, 211 (1946).
[38] A. Schild, Phys. Rev. 131, 2762 (1963).
[39] C. M. Andersen and H. C. von Baeyer, Phys. Rev. D 5, 2470 (1972).
[40] Francis G.K., A Topological Picturebook, Springer-Verlag 1987,1988 (M.:Mir, 1991).
[41] C.A.H. Paul, Numerical Analysis Report No. 283, Manchester Centre for Computational Mathematics (1995) <http://www.ma.man.ac.uk/MCCM/MCCM.html>
