CC BY
115
УДК 374+372.016:51
Аммосова Надежда Васильевна
Доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики, академик Международной академии наук педагогического образования, Астраханский государственный университет, n_ammosova@mail.ru, Астрахань
Лобанова Наталья Ивановна
Педагог дополнительного образования, Центр внешкольной работы, аспирант кафедры высшей математики и методики ее преподавания, Астраханский государственный университет, lobantchik@ yandex.ru, Зеленокумск
РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В СИСТЕМЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Аннотация. Рассмотрена проблема обучения учащихся решению задач, условие которых сводится к уравнению с более чем одним неизвестным. В рамках обязательного школьного обучения таким задачам уделяется недостаточное внимание, в частности, из-за нехватки времени, в то время как именно такие задачи чаще всего ставит перед нами действительность. Поэтому целесообразно заниматься их решением именно на занятиях с учащимися в системе дополнительного образования. Выделены основные задачи математического дополнительного образования, отмечена целесообразность использования практико-ориентированных задач, иллюстрирующих обучающимся значимость прикладного характера математики. В качестве основного метода выбран метод математического моделирования. Описана методика обучения подростков решению указанного типа задач, приведены примеры.
Ключевые слова: практико-ориентированные задачи, математическое моделирование, дополнительное образование, диофантовы уравнения.
С задачами с однозначно понимаемым условием, имеющими вполне определенное и находимое по определенному правилу единственное решение учащиеся имеют дело на протяжении всех лет обучения в средней школе [4]. Однако жизнь, практика ставит перед учащимися чаще всего такие задачи, которые сводятся к решению уравнений с большим числом неизвестных, чем одно. И в этом случае у школьников возникают затруднения, что позволяет сделать вывод о необходимости и целесообразности их обучения решению возникших из практики задач в системе дополнительного математического образования, поскольку в рамках обязательного среднего образования для этого не хватает времени [1].
Дополнительное образование школьников - это процесс, имеющий свои педагогические технологии, формы и средства их реализации. Дополнительное образование предоставляет школьникам возможности оптимального решения проблем индивидуализации и дифференциации обучения как средства эффективного развития личности, формирования творческой активности и самодеятельности, развития интеллекта [3].
Так как дополнительное математическое образование школьников является составной частью непрерывного образования, то, учитывая общие цели математического образования, выделим среди задач математического дополнительного образования следующие:
- углубление и расширение знаний по математике;
- развитие интереса учащихся к предмету;
- воспитание вкуса к самостоятельным занятиям математикой, инициативы и творчества;
- подготовка к дальнейшему образованию и самообразованию.
При этом происходит интеллектуальное развитие обучающегося, его математических способностей, подготовка к практической творческой деятельности и, в целом, человек обретает социальную защиту на современном этапе развития российского общества, т. к. только творческая личность в состоянии адаптироваться к быстро изменяющимся условиям [6].
В системе дополнительного образования особое внимание следует уделять практи-ко-ориентированным задачам. В школьном
курсе математики такие задачи почти не рассматриваются. А именно их решение показывает обучающимся значимость прикладного характера математики. При подборке практико-ориентированных задач необходимо учитывать возрастные особенности подростков, т. к. по утверждению психологов подросток начинает рассматривать мир с точки зрения того, как его можно изменить.
Задача, как известно, развивает логическое мышление обучающихся, учит анализировать условия, выделять главный вопрос, определять неизвестное и находить пути решения, она является важнейшим элементом в математической подготовке обучающихся. Практико-ориентированные задачи, кроме того, знакомят обучающихся со связью между процессами и явлениями реального мира и его математическими моделями [2]. При их решении используется один из основных методов исследования реальных ситуаций -метод математического моделирования, который состоит из трех основных этапов:
1) перевод предложенной задачи с языка сюжетной задачи на язык математических терминов, т. е. построение математической модели; примером распространенной математической модели является уравнение;
2) решение задачи средствами математики внутри модели;
3) интерпретация полученного решения, т. е. перевод полученного математическими средствами результата на язык, на котором была сформулирована предложенная для решения задача.
В рамках дополнительного образования учащихся следует познакомить с содержанием каждого этапа. Педагогу дополнительного образования следует помнить, что наиболее ответственным и сложным является первый этап - построение математической модели, адекватной задачной ситуации. Практически адекватность не достигается, т. к. не представляется возможным учесть и выразить на языке математики все факторы, влияющие на изучаемое явление. Поэтому математическая модель лишь приближенно его отражает, и результаты моделирования тем достовернее, чем меньше погрешность, допущенная при составлении модели. Реализация первого этапа требует таких умений, как умение выделять существенные факторы, определяющие исследу-
емую ситуацию, выбирать математический аппарат для составления модели. В связи с этим педагогу необходимо тренировать учащихся в умении анализировать задач-ную ситуацию, рассматривать ее с разных сторон, не теряя при этом из виду целое, выделять различные аспекты и связывать их между собой, т. е. развивать соответствующие мыслительные операции [8].
Существенным на втором этапе является умение выбирать наиболее целесообразный и оптимальный путь решения задачи.
На третьем этапе главное умение - перевести результат решения задачи, полученный математическими средствами, на язык предложенной для решения сюжетной задачи. При этом важно научить подростков методам проверки решения практической задачи, развить у них умение применять найденный способ решения к разрешению других практических задач, т. е. переносить способы деятельности из одной ситуации в другую.
Математическое моделирование настолько широко применяется для изучения реального мира, что создание у учащихся представления о его сущности, подведение их к овладению каждым из этапов должно стать предметом постоянных забот учителя, в том числе и педагога дополнительного образования.
В процессе обучения школьников решению практико-ориентированных задач необходимо развить умения, которые имеют существенное значение на каждом этапе математического моделирования, поскольку формирование их в полном объеме происходит в течение всех лет обучения. Однако заложить основы таких умений возможно в дополнительном образовании.
Математическая задача способствует формированию определенных форм мышления, необходимых для освоения окружающей нас действительности, т. к. содержит понятия, введенные путем абстрагирования от явлений реального мира [9]. Практико-ориенти-рованные задачи позволяют, как отмечалось выше, проверить умения использовать приобретенные знания в практической деятельности и повседневной жизни.
Таким образом, нами предложены следующие методические пути разрешения сформулированной нами проблемы обучения учащихся решению уравнений первой сте-
пени с двумя неизвестными:
- решение задач, сводящихся к неопределенным уравнениям первой степени с двумя неизвестными;
- применение практико-ориентирован-ных задач;
- составление задач, приводящих к неопределенным уравнениям;
- устранение типичных ошибок учащихся при решении неопределенных уравнений.
Остановимся кратко на реализации некоторых из них.
Предлагаем учащимся следующую практическую задачу, с которой встречается каждый школьник, помогая родителям.
Вы должны заплатить за купленный в магазине хлеб 19 рублей. У вас одни двухрублевые монеты (не более 20), у кассира -только пятирублевые (не более 10). Можете ли вы при наличии таких денег рассчитаться с кассиром и как именно?
Анализируя условие задачи, учащиеся устанавливают, что необходимо узнать, сколько следует дать кассиру двухрублевых монет, чтобы, получив сдачу пятирублевыми, заплатить за хлеб 19 рублей, при этом неизвестно точное число монет каждого достоинства. На первом этапе учитель предлагает учащимся составить математическую модель задачи. Обозначив число двухрублевых монет через х и число пятирублевок через у, школьники получают уравнение:
2 х - 5 у = 19, где х < 20 и у < 10 - целые положительные числа.
Получилось 2 неизвестных и только одно уравнение. Решение уравнения происходит на втором этапе. Учитель предлагает выразить одно неизвестное через другое. Пусть учащиеся выразили х через у: 2 х = 19 + 5 у, откуда:
х =
19 + 5 у 2
Учитель предлагает учащимся внимательно посмотреть на полученное выражение и высказать свои соображения. Кто-то из ребят говорит, что 19 + 5 у должно делиться на 2, т. е. быть четным. Но одно слагаемое 19 - нечетно, значит, и второе слагаемое должно быть нечетным, чтобы их сумма оказалась четным числом. Отсюда следует, что у не следует давать значения четных чисел.
Подвергаем испытанию целые положительные нечетные числ2, не превосходящие 10. 1о + 5 х 1
у = 1, тогдх х =--- + 12 < 20,
. 19 + 5 х 3
у = 3, то х =-= 17 < 20,
2
19 + 5 х 5 „„ у = 5, то х =--- = 22, но по условию х < 20, значит, х = 22 - не удовлетворяет условию задачи.
На этом кончается решение уравнения. Переходим к третьему этапу - осмыслению полученных результатов в соответствии с сюжетом задачи. Рассчитаться с кассиром можно одним из двух полученных способов: либо отдаем кассиру 12 двухрублевых монет, получая одну пятирубле+ую в качестве сдачи (12 х 2 - 5 = 19)^ либо отдаем 17 двухрублевых монет, получая сдач2 3 пятирублевыми (17 х 2 - 3 х 5 = 19).
Можно предложить решить это уравнение, 2 х -19
выражая у через х: у = —-— . В этом случае
нужно предположить, что 2 х - 19 > 0, т. е. х > 10, и давать значения х = 10, 11, ..., 20, при этом делается 11 проб. Конечно, ответ будет таким же, но этот способ более длинный (менее рациональный). Учащиеся делают вывод: независимо от выбора способа решения получаем один и тот же результат.
Для лучшего понимания задачи учитель предлагает дать ее геометрическую интерпретацию [5]. Он побуждает учащихся вспомнить, что с геометрической точки зрения представляет собой уравнение 2 х - 5 у = 19. Учащиеся говорят, что это прямая и строят ее по двум точкам на координатных осях. Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, но совсем не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными х и у. Задачей решения таких уравнений в целых положительных числах занимался знаменитый математик древности Диофант, поэтому уравнения такого вида часто называют диофантовыми линейными уравнениями с двумя неизвестными. Расширяются и представления детей об их различных видах. Исторический экскурс заинтересовывает учащихся, потому что математика предстает перед ними живой наукой, развитием кото-
рой занимались вполне реальные исторические персонажи - конкретные люди, жившие в свое время на территории своих стран. Обычно среди учащихся находятся желающие (и это очень хорошо) найти сведения о Диофанте и познакомить с ними одноклассников.
Таким образом, теоретически задача имеет бесчисленное множество решений, практически же число решений ограничено, т. к. ни у покупателя, ни у кассира нет бесчисленного множества монет. Если, например, у каждого по 15 монет, то расплатиться можно только одним способом, а именно, выдачей 12 двухрублевых монет и получением одной пятирублевой монеты в качестве сдачи. Обращаем внимание учащихся на то, что неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные решения.
Предлагаем учащимся решить следующую задачу, в которой нет числовых данных. Объясняем учащимся, что числовые данные они получат в конкретном фермерском хозяйстве, куда отправятся на экскурсию.
До территории фермерского хозяйства нужно проложить водопровод. Фермерское хозяйство располагает трубами одинакового диаметра, но различной длины. Найти наиболее экономически целесообразное число труб той и другой длины, которое следует использовать для прокладки водопровода, учитывая, что разрезать трубы не рекомендуется [7].
Реализуя первый этап, учитель выясняет с учащимися что надо знать, чтобы проложить требуемый водопровод. Учащиеся называют длину водопровода, длины труб, недопустимость разрезания труб, которыми располагает фермерское хозяйство. При этом с помощью учителя учащиеся выясняют содержание понятия экономической целесообразности, пополняя свою экономическую грамотность. В условиях данной задачи экономическая целесообразность означает наименьшее число соединений, что обеспечит большую прочность водопровода и наименьшие затраты труда на его прокладку.
Во время экскурсии в фермерское хозяйство школьники проводят измерительные работы и получают необходимые числовые данные, приобретая при этом практические умения и навыки, необходимые в повседневном производительном труде. Кроме того,
практическая работа заинтересовывает их. В результате проведенных измерений учащиеся получают, что длина водопровода составляет 191 м, а трубы имеют длину 5 м или 7 м. После этого учащимся предлагается сформулировать задачу с числовыми данными.
До территории фермерского хозяйства нужно проложить водопровод длиной 191 м. Хозяйство располагает трубами одинакового диаметра длиной в 5 м или 7 м. Сколько нужно тех и других труб, чтобы сделать наименьшее число соединений? Трубы разрезать не рекомендуется.
Обозначив число труб длиной 5 м через х, а число труб длиной 7 м - через у, учащиеся получают математическую модель решаемой задачи:
5 х + 7 у = 191, где х е N и у е N.
На втором этапе приступают к решению этого уравнения. Уравнение может быть решено графически, что и предлагают сделать некоторые учащиеся. Решениями уравнения являются натуральные координаты точек, принадлежащих прямой - графику уравнения. Однако построение прямой весьма приблизительное, да и выбор точек прямой с натуральными координатами не прост. Поэтому целесообразно показать другой способ решения.
Так как 191 не кратно ни 5, ни 7 и, учитывая требование задачи о недопустимости разрезать трубы, можно сделать вывод о том, что ограничиться трубами одного из двух размеров нельзя.
Для решения уравнения 5 х + 7 у = 191 запишем его в виде 5 х = 191 - 7 у и воспользуемся признаком делимости натуральных чисел на 5. При этом 191 - 7 у > 0, т. е. у < 28. Учащиеся методом перебора находят, что уравнению удовлетворяют пары чисел: (34; 3), (27; 8), (20; 13), (13; 18), (6; 23). Таким образом, уравнение имеет 5 различных решений.
На третьем этапе нужно учесть требование о необходимости сделать наименьшее число соединений. Очевидно, соединений будет тем меньше, чем больше использовано более длинных труб, а этому условию отвечает последний результат. Таким образом, наименьшее число соединений достигается при х = 6 и у = 23, т. е. экономически целесообразно использовать 6 пятиметровых труб и 23 семиметровых трубы.
Для усвоения метода математического моделирования и решения задач на дио-фантовы уравнения учащимся предлагается еще ряд задач. Кроме того, весьма полезно ориентировать учащихся на составление рассмотренного типа задач. Неплохо рекомендовать им брать числовые данные при составлении задач из практических ситуаций (например, измерить пришкольный участок, установить число занятых прополкой моркови или свеклы школьников, скорость прополки каждой культуры и др.). Составление задач с разными сюжетами позволяют учащимся развивать свой кругозор, узнавать много нового и интересного, в результате чего школьники более четко представляют понятие математической модели и способы решения.
Обучение детей составлению задач происходит по трем направлениям: 1) составляются задачи, подобные решенным; 2) составляются задачи, решение которых приводит к написанному заранее уравнению; 3) составляются задачи путем выбора в качестве неизвестной известной в конкретной ситуации величины.
Первый прием не нуждается в пояснении.
Второй прием заключается в том, что учитель предлагает составить задачу, решение которой выполняется, например, с помощью уравнения: 7 х - 3 у = 15.
Третий прием заключается в том, что формулируется решенная задача с найденным ответом, например: для елочных подарков ученикам начальной школы купили 12 кг пряников по 80 р. за 1 кг и 8 кг конфет по 200 р. за килограмм. Всего заплатили
2560 руб.
В этой формулировке все известно. Теперь нужно выбрать в качестве неизвестных данные числовые величины. Например, можно допустить, что в приведенной информации цены пряников и конфет неизвестны, тогда задача примет следующий вид.
Для елочных подарков ученикам начальной школы купили 12 кг пряников и 8 кг конфет и за все заплатили 2560 руб. Узнайте цену пряников и конфет.
Материал для подобных задач можно черпать из разных источников. Счет магазина, счета оплаты коммунальных услуг, смета ремонта комнаты или квартиры, план квартиры - все это содержит материал, дающий возможность составлять задачи.
Учащиеся охотно составляют задачи, любят представлять их на занятии. Конечно, нет возможности решить все задачи, составленные учащимися. Можно поступить так: учитель читает их дома, выбирает из них наиболее интересные и оригинальные и использует на уроке. Неудачные задачи учитель анализирует, выявляет их недостатки и помогает формулировки таких задач исправить. Задачи, связанные с жизнью, практикой, трудовым обучением, следует поощрять.
Современное занятие в системе дополнительного образования - это время, когда дети сами ищут, спорят, сопоставляют, обобщают, делают выводы. Одним словом, активно действуют, что и происходит в процессе решения практико-ориентированных задач, например, на составление уравнений с более чем одним неизвестным.
Библиографический список
1. Аммосова Н. В. Некоторые аспекты подготовки учителей математики к работе в системе дополнительного образования школьников // Наука Кубани. - 2005. - № 2. - С. 174-179.
2. Аммосова Н. В. Методико-математическая подготовка будущих учителей математики в соответствии с задачами современности: монография. - Астрахань: Изд-во АИПКП, 2015. - 256 с.
3. Аммосова Н. В., Коваленко Б. Б. Интеграция деятельности общеобразовательных школ и учреждений дополнительного образования как фактор активизации процессов обучения и воспитания школьников // Проблемы математики, информатики, физики и химии: тезисы докл. XLI
Всерос. конф. (Москва, 2005 г.). Педагогические секции. - М.: Изд-во РУДН, 2005. - С. 55-56.
4. Аммосова Н. В., Коваленко Б. Б. Обучение учащихся решению задач, допускающих неоднозначную трактовку условий. Гуманитарное и естественно-научное образование // Математика. Компьютер. Образование: сб. науч. трудов. Выпуск 21, № 2. - М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2014. - С. 5-10.
5. Крюкова В. Л. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики: автореф. дис. ... канд. пед. наук. -Орел, 2005. - 20 с.
6. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. - М.: Наука, 1977. - 112 с.
7. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: книга для учителя. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.
8. D., KovalenkoВ. В., Ammosova N. V. Использование мыслительных операций как
базы синергетического подхода при обучении математике // Education, science and economics at universities, integration to international educational area: International conference. - Plock, Poland, 2008. - P. 246-250.
9. Burden P. R, ByrdD. M. Methods for Effective Teaching. - Boston-London: Allyn and Bacon, 1999. - 418 p.
Поступила в редакцию 16.02.2016
Ammosova Nadegda Vasilevna
Dr. Sci. (Pedag.), Academician of the International Academy of Sciences of pedagogical education, Professor of the Department of Mathematics of the Astrakhan State University, n_ammosova@mail.ru, Astrakhan
Lobanova Natalia Ivanovna
Additional qualification courses teacher Center of extracurricular activities, graduate student of mathematics and methods of teaching, Astrakhan State University, lobantchik@yandex.ru, Zelenokumsk
SOLUTION OF THE UNCERTAIN EQUATIONS OF THE FIRST DEGREE WITH TWO UNKNOWN IN SYSTEM OF ADDITIONAL EDUCATION
Abstract. The problem of training of pupils at the solution of one of types of incorrect tasks, namely, of tasks with the equation with more, than one unknown is considered. Within compulsory school education the insufficient attention is paid to such tasks while such tasks are set most often for us by reality. Therefore it is expedient to be engaged in the solution of incorrect tasks on occupations with pupils in system of additional education. The main objectives of mathematical additional education are formulated, the need in use of the praktiko-focused tasks which illustrate the importance of applied character of mathematics is noted. As the main method the method of mathematical modeling is chosen. The technique of the training of teenagers for the decision of specified tasks is described, examples are given.
Keywords: practice-oriented problems, mathematical modeling, additional education, Diophan-tine equations.
References
1. Ammosova, N. V., 2005. Nekotoryje aspekty podgotovki uchitelej matematiki k rabote v sisteme dopolnitelnogo obrazovanija chkolnikov [Some aspects of the preparation of mathematics teachers to work in the system of additional education]. Nauka Kubani [Science of Kuban], 2, pp. 174-179 (in Russ., abstr. in Eng.).
2. Ammosova, N. V., 2015. Metodiko-matemat-icheskaja podgotovka buduschih uchitelej matem-atiki v sootvetstvii s zadachami sovremennosti [Teaching mathematics future mathematics teachers in accordance with the objectives of our time]. Astrakhan: AIPKP Publ., 256 p. (in Russ.).
3. Ammosova, N. V., Kovalenko, B. B., 2005. Integracija dejatelnosti obsheobrazovatelnyh shkol i uchrezhdenij dopolnitelnogo obrazovanija kak factor aktivizatsii protsessov obuchenija i vospitani-ja shkolnikov [Integrating secondary schools and institutions of additional education as factor of ac-
tivization of processes of education and upbringing of schoolchildren]. Vserossiyskaya konferentsiya "Problemy matematiki, informatiki, fiziki i himii" [Problems of mathematics, Informatics, physics and chemistry. Proc. conf.]. Moscow: RUDN Publ., pp. 55-56 (in Russ.).
4. Ammosova, N. V., Kovalenko B. B., 2014. Obuchenije uchaschihsja resheniju zadach, dopuska-juschih neodnoznachnuju traktovku uslovij. Guman-itarnoye i estestvenno-nauchnoje obrazovanije [Education of students solving problems, allowing more than one interpretation of the conditions. Natural and Social Science Education]. Matematika. Kompyuter. Obrazovaniye [Mathematics. A computer. Education: Coll. scientific. works]. Moscow; Izhevsk: "Regular and Chaotic Dynamics", 2, pp. 5-10 (in Russ.).
5. Kryukova, V. L., 2005. Integracija algebra-icheskogo i geometricheskogo metodov resheni-ja uravnenij i neravenstv v klassah s uglublennym
izuchenijem matematiki [The integration of algebraic and geometric methods for solving equations and inequalities in classes with in-depth study of mathematics]. Cand. Sci. (Pedag.). Orel, 20 p. (in Russ.).
6. Kudryavtsev, L. D., 1977. Mysli o sovremen-noj matematike i jejo izuchenii [Thoughts of modern mathematics and its study]. Moscow: Science, 112 p. (in Russ.).
7. Shapiro, I. M., 1990. Ispolzovanije zadach s prakticheskim soderzhanijem v prepodavanii matematiki: kniga dlya uchitelja [Using tasks with practical content in teaching mathematics: teacher's
Book]. Moscow: Education, 96 p. (in Russ.).
8. Izvorska, D., Kovalenko, B. B., Ammoso-va, N. V., 2008. Ispolzovanije myislitelnyh operacij kak bazy sinergeticheskogo podhoda pri obuchenii matematike [The use of mental operations as the basis of a synergistic approach in teaching mathematics]. Education, science and economics at universities, integration to international educational area: International conference. - Plock, Poland, pp. 246-250.
9. Burden, P. R., Byrd, D. M., 1999. Methods for Effective Teaching. Boston-London: Allyn and Bacon, 418 p.
Submitted 16.02.2016
