CC BY
84
УДК 512(072.3)
ПОИСК РЕШЕНИЯ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО «ОТКРЫТИЯ» ШКОЛЬНИКАМИ НОВОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
© А.А. Аксенов
В статье рассматривается проблема применения эвристических задач в процессе знакомства учащихся с новыми методами решения школьных математических задач. Основная цель статьи заключается в том, чтобы показать возможности использования эвристической задачи в организации продуктивной деятельности школьников. Это позволит учащимся с минимальной помощью учителя «открывать» для себя новые методы решения математических задач и более эффективно применять их в решении других задач. Методика организации такой работы пояснена на конкретных примерах.
Ключевые слова: задача; поиск; решение; эвристика; метод.
Известно, что обучение математике является более эффективным, если в процессе знакомства с новым материалом, в частности, с новым методом решения задач, учащиеся выполняют продуктивную деятельность (понимаемую как симбиоз частичнопоискового и исследовательского видов их познавательной активности). В данной статье покажем, какую роль может сыграть эвристическая задача в ознакомлении школьников с методами оценки и использования строгой монотонности функций, применяемыми в решении уравнений.
В первую очередь, определимся с тем, какую задачу можно считать эвристической. В широко известной типологии задач, предложенной Ю.М. Колягиным, под эвристической понимают задачу, информационная структура которой имеет вид АХУЪ, т. е. такую, в которой известно только условие (А), и неизвестны теоретический базис решения, способ решения и искомое (X, У, Ъ соответственно). Также задачи данного типа называют проблемными, но это, вообще говоря, синонимичные определения. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что неизвестность компонентов информационной структуры определяется только в зависимости от места задачи в учебном предмете. Неизвестность теоретического базиса решения (С) понимается в следующем смысле. Учащийся ранее изучил все теоретические сведения, которых ему вполне достаточно для того, чтобы решить эту задачу, но при любом варианте ее решения ему придется в качестве подзадачи решить задачу на доказательство, которая далее в структуре предмета займет (или может занять) место в чис-
ле теоретических фактов в качестве теоремы или леммы, т. е. станет частью теории. Примером может служить задача: «Найти периметр параллелограмма, стороны которого равны, а диагонали имеют длину 6 см и 8 см», если предложить ее школьникам перед изучением ромба. Здесь в ходе решения нужно установить перпендикулярность диагоналей. В элементарной геометрии это отдельный теоретический факт. Подробне это изложено в работе [1].
Рассмотрим ознакомление учащихся с методом оценки, применяемым в решении уравнений. Такая необходимость возникает в обучении учащихся специализированных и профильных математических классов или на занятиях математического кружка.
Пример 1. Решить уравнение cos x = x2 + 2 . Очевидно, эту задачу можно решить только методом оценки. Школьники предложат выполнить какие-либо преобразования, которые, возможно, приведут это уравнение к виду, позволяющему применить один из известных им методов решения. Все эти попытки будут безуспешны, кроме, может быть, того случая, когда в качестве одного из методов решения уравнений учащиеся предложат рассмотреть графический метод (данный метод здесь - «визуальный ключ» к «открытию» метода оценки). Если школьники о нем не вспомнили, учитель с помощью нескольких «наводящих» вопросов вполне может добиться того, что учащиеся применят графический метод к решению этого уравнения, построив в одной системе координат графики функций y = cos x и y = x2 + 2 (рис. 1).
С помощью рис. 1 они поймут, что уравнение не имеет корней. Теперь учитель должен потребовать от учащихся объяснить, используя математическую терминологию, почему в задаче такой ответ. То есть ему следует потребовать указать те свойства функций, которые приводят к этому результату, и добиться от учащихся четкого понимания того, что именно знание области значений функций позволяет получить ответ на вопрос в подобных задачах.
Для закрепления успеха целесообразно предложить школьникам самим составить несколько задач с самыми разными функциями (известными им на тот момент), способ решения которых аналогичен. После этого учащиеся легко догадаются, что в решении подобных задач можно обойтись без построения графиков. Важно, чтобы область значений одной функции «заканчивалась» числом, меньшим того, которым «начинается» область значений другой функции.
Далее учитель может предложить учащимся уравнения cos x = x2 +1 и
sin x = x2 +1. Поиск решения первого уравнения не вызовет у них затруднений. Решая
второе уравнение, самое главное - заметить, что оно имеет корни лишь тогда, когда одновременно ее левая и правая части равны одному и тому же числу, в частности, единице (рис. 2).
Учителю нужно добиться того, чтобы учащиеся поняли и четко сформулировали, что уравнения данного типа будут иметь корни только тогда, когда имеет решение система: каждая из частей уравнения равна одному и тому же числу, которое ограничивает область значений каждой из функций в левой и правой частях уравнения сверху и снизу соответственно. Все это, конечно, только идея реализации метода оценки в решении уравнений. Для окончательного его «открытия» учащимся остается сформулировать и доказать следующую теорему: если в уравнении /(х) = g( х) выполнены неравенства / (х) > а и g(х) < а (или наоборот), то это уравнение имеет корни только тогда, когда имеет решение система уравне-{/(х) = ^ ний <
^(х) = а.
Á i y 1 1y = x2 + 2
- п 1 п N 1 y = cosx
1 ^ O - 1 ТЧ 1 w x
Рис. 1. Графический метод решения уравнения COS x = x2 + 2
á y 1 / ly = x2+ 1
- п O 1 п 1 4 y = sinx 1 / b
I > 1 V 1 jr W
- 1 x
Рис. 2. Графическая интерпретация уравнения sin x = x2 +1
Поскольку для учащихся средней школы важно, прежде всего, интуитивное понимание сути изучаемого материала (этот факт убедительно доказал А.А. Столяр [2]), то доказательство теоремы может быть выполнено учителем, а вот сформулировать ее в общем виде они вполне могут и должны, пусть даже с помощью своего учителя. Суть теоремы и идея доказательства учащимися установлена в ходе поиска решения и составления нескольких соответствующих задач, для их уровня этого вполне достаточно, чтобы можно было утверждать, что они, выполняя продуктивную деятельность, с минимальной помощью учителя «открыли» для себя новый метод решения уравнений. Заметим, что после того как была сформулирована теорема, стало очевидно, что вниманию учащихся была предложена именно эвристическая задача, позволившая школьникам обнаружить новый метод решения уравнений и выявить его сущность.
Теперь рассмотрим как можно аналогичным образом познакомить учащихся с методом использования строгой монотонности функций.
Пример 2. Решить уравнение
О 2009 Г т, ~
2 — x = v x . В левой части представленного уравнения находится многочлен столь высокой степени для того, чтобы школьники не могли его решить уже известными им методами (что вполне может иметь место, если бы в левой части уравнения находился многочлен третьей степени). Разумеется, графический метод решения уравнений - это «визуальный ключ» процесса поиска решения данной задачи. Схематически построив в одной системе координат графики функций
у = 2 - х2009 и у = л[х (рис. 3), учащиеся легко установят, что 1 - единственный корень данного уравнения.
Далее нужно доказать, что других корней уравнение не имеет. Учителю необходимо добиться от учащихся, чтобы они нашли идею доказательства этого факта. Найти ее им не так трудно, если проанализировать поведение графиков функций у = 2 — х2009 и
у = -\[х . Разумеется, учителю нужно потребовать от учащихся четко сформулировать эту идею, используя математическую терминологию.
Как только учащиеся выполнят это задание, следует добиться от них того, чтобы они сформулировали соответствующую теорему. Как показывает практика, обычно они ее формулируют в такой редакции: если в уравнении / ( х) = g( х) функция у = / ( х) строго возрастает, а функция у = g(х) строго убывает (или наоборот), то это уравнение имеет только один корень.
После этого школьникам нужно предложить еще несколько задач, решаемых этим методом. Затем им следует предоставить ряд задач, которые удовлетворяют условию теоремы, но не удовлетворяют ее заключению. То есть в левой и правой частях уравнения находятся функции, имеющие разный характер строгой монотонности, но графики их не пересекаются, т. к. области значений этих функций представляют собой непересекаю-щиеся множества. Примером может служить
уравнение аг^ х = е х + 2. Такие уравнения решаются методом оценки, но поскольку
y = 2 - X2009 \ 1 і 1 - ly 2 і y II
- 1 1 O \ ' 4 X
Рис. 3. Графический метод решения уравнения 2 — x2009 = -Jx
они удовлетворяют условию второй теоремы, но не удовлетворяют ее заключению, последнее нужно уточнить и изложить теорему в следующей редакции: если в уравнении / ( х) = g( х) функция у = / ( х) строго возрастает, а функция у = g(х) строго убывает (или наоборот), то это уравнение имеет не более одного корня.
Доказательство теоремы также может быть выполнено учителем. Теперь нужно предложить учащимся систему задач, решаемых новым методом, и задачи, аналогичные уравнению aгctg х = е х + 2. Таким образом, в процессе обучения следует сначала познакомить учащихся с методом оценки, а затем с методом использования строгой монотонности функций, т. к. второй из этих методов можно полноценно сформулировать, только опираясь на первый метод.
Отрабатывая такие методы решения уравнений, очень важно добиваться того, чтобы учащиеся четко формулировали то, что они применяют в реализации решения задач. Так, применяя метод оценки, нужно задействовать свойство функции (учесть ее область значений). Важно сконцентрировать внимание школьников именно на этом слове -свойство. Дело в том, что у функций несколько свойств, и если для решения задач одного класса принимается во внимание область значений функции, то для задач другого класса, возможно, будут применяться иные свойства. Использование свойств функций - это некий вариант выполнения решения уравнений, альтернативный применению тождественных и равносильных преобразований, стандартных формул. В этом смысле методы оценки и использования строгой монотонности функций имеют единый подход к выполнению решения задач. Если изучая метод оценки, учащиеся усвоили, что они применяют свойство функции, то
0 2009 Г~
для решения уравнения 2 — х = V х они
также будут стремиться использовать какое-то свойство функции как альтернативный вариант обычным действиям, выполняемым в ходе поиска решения уравнений, поскольку известные методы решения таких задач здесь не приводят к успеху.
Остановимся на нескольких обстоятельствах, важных для обучения школьников решению уравнений двумя представленными
здесь методами. Сначала рассмотрим метод оценки. Во-первых, в его применении в школьном обучении нужно отводить достаточно внимания задачам, которые решаются с его помощью без перехода к системе уравнений. Это задачи, подобные уравнению
cos x = x2 + 2. В них области значений функций, находящихся в разных частях уравнения, - непересекающиеся множества. Во-вторых, методом оценки можно решать не только уравнения, но и неравенства, системы уравнений и неравенств. Это нужно учесть, составляя системы задач. Что касается метода использования строгой монотонности функций, здесь следует добиться того, чтобы школьники четко усвоили, что если уравнение имеет корень, его нужно найти подбором и только после этого доказывать, что других корней у этого уравнения нет [3, 4].
Сделаем некоторые выводы о применении в обучении школьников математике эвристических задач в качестве средства «открытия» новых методов решения задач данного класса.
Во-первых, предлагаемая школьникам задача не должна допускать решение теми методами, которые уже известны учащимся, иначе они смогут найти ее решение, исключающее обнаружение нового метода решения задач подобного типа. Если задача все же допускает решение уже известными школьникам методами, ее можно использовать лишь для демонстрации нового метода решения задач (т. е. представить соответствующее решение этой задачи должен сам учитель).
Во-вторых, данная задача должна быть наиболее простой с учетом указанного выше условия. Это требование необходимо соблюдать для концентрированного представления той самой проблемы, исследуя которую в процессе поиска решения задачи, учащиеся и приходят к «открытию» нового метода решения задач.
В-третьих, эвристические задачи в большинстве случаев довольно трудны, поэтому предлагать их целесообразно лишь тогда, когда у значительной части учащихся данного класса уровень математических способностей средний и выше среднего. К тому же, поиск решения эвристической задачи, приводящей к «открытию» нового метода решения задач - это достаточно продолжи-
тельная по времени процедура, поэтому предлагать учащимся такие задачи следует также и при наличии свободного учебного времени.
В-четвертых, среди эвристических задач самые трудные именно те, которые в процессе их решения приводят к «открытию» нового метода решения задач данного класса. Объяснить это можно тем, что суть математики как науки в значительной степени состоит в выявлении новых методов решения самых разных задач (прикладных или фундаментальных). Поэтому когда в процессе обучения школьников математике воспроизводятся какие-либо элементы научного познания (что имеет место в процессе решения эвристической задачи, приводящей к «открытию» нового метода решения задач данного класса), учащиеся испытывают затруднения, выполняя соответствующую продуктивную деятельность. Это означает, что прежде чем предлагать школьникам такие задачи, следует позаботиться о том, чтобы они приобрели некоторый опыт решения более легких эвристических задач. К таким задачам можно отнести следующие: <Решить уравнение 31о& х + 2х1о&3 = 27»; «В произвольный многоугольник площадью Б и периметром Р вписана окружность радиуса г. Найти отношение площади соответствующего круга к площади многоугольника» и т. п. Решая первую из них, школьники выявят следующее свойство логарифма числа:
а1о& ь = Ь1о& а, где а, Ь, с - положительные числа (с Ф 1), а в ходе решения второй задачи они «откроют» для себя закономерность, выраженную формулой г = 2Б/Р. То есть в ходе решения этих задач учащиеся обнаружат некоторые частные теоретические факты, которые затем могут быть использованы в решении других задач.
Обучая решению задач, подобных приведенным выше, учитель, в первую очередь, должен обратить внимание учащихся на то, что в процессе их решения обнаруживается подзадача на доказательство, без решения которой невозможно решить и исходную за-
дачу. Это обстоятельство является, пожалуй, самым важным в обучении решению эвристических задач школьного курса математики. Поэтому лишь после того, как учащиеся прочно усвоят его, им целесообразно предлагать эвристические задачи, приводящие к «открытию» нового метода решения задач данного класса.
Таким образом, применение в обучении школьников математике эвристических задач, в ходе решения которых они «открывают» для себя новые методы решения задач, обусловливает выполнение учащимися продуктивной учебной деятельности. Однако использование таких задач в обучении математике требует того, чтобы школьники были знакомы с сущностью процесса решения эвристических задач и имели средний или более высокий уровень математических способностей.
1. Аксенов А.А. Теория обучения поиску решения школьных математических задач: монография. Орел, 2007.
2. Столяр А.А. Педагогика математики. Мн., 1986.
3. Аксенов А.А. Решение задач методом оценки // Математика в шк. 1999. № 3. С. 30-34.
4. Ярский А. Уравнения, которые «не решаются» // Квант. 1998. № 3. С. 47-49.
Поступила в редакцию 6.10.2008 г.
Aksenov A.A. The search of a heuristic task solution as a means of “a discovery” of a new method of the mathematics tasks solution by schoolchildren. The article treats the problem of heuristic tasks application in the process of introducing the new methods of the school mathematics tasks solution to the schoolchildren. The main aim of the article is to display the opportunities of heuristic tasks usage in organizing the schoolchildren’s productive activity. It will let the schoolchildren “discover” the new methods of mathematics tasks solution with minimum teacher’s assistance and apply them while solving other problems. The methods of organizing such work are illustrated at the certain examples.
Key words: problem; search; decision; heuristics; method.
