Решение нелокального уравнения аномальной диффузии-адвекции радона в системе грунт-атмосфера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (2). C. 38-45

УДК 517.958

РЕШЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ-АДВЕКЦИИ РАДОНА В СИСТЕМЕ ГРУНТ-АТМОСФЕРА*

Р.И. Паровик1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, c. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Филиал Дальневосточного федерального университета , 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул.Тушканова, 11/1

E-mail: [email protected]

Рассмотрена нелокальная математическая модель нестационарной диффузии-адвекции радона в системе грунт-атмосфера. Получено аналитическое решение этой модели типа бегущей волны, которое выражено в терминах обобщенной функции Райта.

Ключевые слова: обобщенная функция Райта, аномальная диффузия, производная Римана-Лиувилля

© Паровик Р.И., 2011

MSC 35C05

SOLUTION NONLOCAL EQUATIONS ANOMALOUS DIFFUSION-ADVECTION RADON IN SYSTEM

SOIL-ATMOSPHERE

R.I. Parovik1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7,

Russia

2 Far Eastern Branch of Federal University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Tushkanova st. , 11/1, Russia

E-mail: [email protected]

In this paper we consider a nonlocal mathematical model of non-stationary diffusion-advection of radon in the soil-atmosphere system. An analytical solution of this model of traveling wave, which is expressed in terms of a distribution Wright.

Key words: distribution Wright, anomalous diffusion, Riemann-Liouville

© Parovik R.I., 2011

*Работа выполнена при поддержке гранта АВЦП «РНПВШ» № 2.1.1/544.

Введение

Известно, что радиоактивный газ радон участвует во многих физических процессах, например оказывает влияние на формирование электрического поля приземного слоя атмосферы или является индикатором напряженно-деформированного состояния геологической среды [1, 2]. Поэтому появляется необходимость в построении математической модели процесса переноса радона, которая бы учитывала свойства геологической среды (грунт или рыхлые отложения).

В математическом моделировании процесса переноса радона рыхлые отложения можно считать пористой средой, в которой главную роль играет топология пор, влияющая на их проницаемость. Если поры имеют сложную топологию, сильно изрезаны, неупорядочены, то говорят, что такой грунт обладает фрактальными свойствами [3].

Вопросам математического моделирования процессов массопереноса в средах с фрактальными свойствами посвящены многочисленные работы [4-12]. Фрактальные свойства грунта и обусловливают степенное распределение пор по размерам с некоторым дробным показателем а. Дробный показатель, в свою очередь, связан с фрактальной размерностью грунта. Для широкого класса грунтов этот показатель пропорционален его фрактальной размерности [4, 6].

Если дробный показатель изменяется в пределах 1 < а < 2, то в такой пористой среде существует механизм супердиффузии радона. Согласно этому механизму перенос радона в грунте может происходить быстрее, чем при классической диффузии (а = 2) [13]. Такой эффект может быть связан с хорошей проницаемостью пор. Говорят в этом случае, что происходит пространственная корреляция между порами или о принципе нелокальности. В случае когда, поры слабо проницаемы говорят о субдиффузии. В этом случае процесс считается нелокальным по времени, а среда обладает памятью, которая характеризуется дробным параметром 0 < в < 1 [3, 10].

В работах [14, 15] показано что, если дробный показатель меняется в пределах 0 < а < 1, то возникает еще более интенсивный процесс переноса , который был назван авторами «аномальная адвекция». Если а = 2, то аномальная адвекция переходит в классическую адвекцию или перенос. В работе [15] была решена задача, когда дробный показатель изменялся в более широком диапазоне 0 < а < 2. Однако интерес представляет одновременное рассмотрение процессов аномальной адвекции и диффузии.

В работах [16, 17] была решена задача для стационарного уравнения переноса радона в режимах супердиффузии и аномальной адвекции. Получено аналитическое решение в терминах обобщенной функции Райта и функции типа Миттаг-Леффлера.

В работах [18, 19] была решена и исследована классическая задача нестационарного переноса радона из рыхлых отложений в приземный слой атмосферы. Показано, что при высоких значениях коэффициента диффузии возникает такой же эффект на границе раздела сред как в работе [15].

В работе [20] найдено решение для нестационарного нелокального по времени и пространству уравнения аномальной диффузии и адвекции. Поэтому логическим продолжением этой серии работ является настоящая статья, в рассматривается режим аномальной диффузии и адвекции для нестационарного уравнения переноса радона в системе грунт-атмосфера.

Постановка задачи

В математическом моделировании процессов массопереноса в средах с фрактальной структурой используют метод дробных производных, суть которого заключается в замене целочисленной производной на производную дробного порядка [7, 21, 22].

Согласно методу дробных производных задача для нестационарной аномальной диффузии в системе грунт-атмосфера может ставиться следующим образом.

Задача. Необходимо найти решение А(г, г) в области (г > 0, —^ < г < то):

оператор в смысле Герасимова-Капуто [22, 23]: 0 < в, у < 1 < а < 2, Ба, - ко-

эффициенты диффузии радона в атмосфере и рыхлых отложениях, м2/с, ма/с; X - постоянная распада радона, 1/с; Ах - поровая активность радона, который находится в радиоактивном равновесии с радием на заданной глубинае, Бк/м3; А(г,г) - поровая активность радона в рыхлых отложениях, Бк/м3, Ах= КА^р(1-П)/П, где К- коэффициент эманирования радона, отн. ед.; Ака - удельная активность 226Яа, Бк/кг; р - плотность твердых частиц рыхлых отложений, кг/м3; П - пористость рыхлых отложений.

Введем в характерное время ?0 и масштаб г0, и соответствующие безразмерные координаты т = г/г0, % = г/г0 . Тогда уравнение (1) будет записано в безразмерных координатах в виде:

Параметры переноса в грунте и в атмосфере будут тоже являться безразмерными величинами.

(1)

—у ) = DgDzbA (z, t) + VgDz0A (z, t) — (^A (z,t) — A<x), z < 0

где 00, - операторы дробного дифференцирования Римана-Лиувилля; д^

(2)

Методика решения

Решение уравнения (2) будем искать в виде бегущей волны со скоростью V. Сделаем замену в (2): А(%, т) = f (х),х = % — Vт, Wa = V — уа, я = — VI. Тогда уравнение (2) перейдет в уравнение:

я d2f (x) , ті/ df (x)

D

dx2

+ Wa

d5

— Я f (x) = 0, x > s

DgDxJ(x) + VgD^вsf (x) + Vв d — (Я f (x) — A.) = 0, x < s

lim 0D“ f (x) = f (x)|x=s+0 ,

x^s—0

lim

x^>-s—0

DgDXs—1 f (x) + VsDi 1f (x)

=D

d f ( x)

dx

(3)

x=s+0

+ Vaf (x)|x=s+0 .

Решение первого уравнения (3) для атмосферы известно, его можно записать так:

f (x) = Cle V

' — rl + ^ r2 + 4r 2 ^ ' rl + ^ r2 + 4r2 ^

2 2

> + C2e

V

, rl = Wa/Da, r2 = Я/ Da. (4)

Из физических соображений при х ^ ^ решение уравнения (4) стремится к нулю. Действительно, концентрация радона падает к земной поверхности, а в атмосфере она близка к нулю. Поэтому константа С1=0 и тогда краевые условия на границе грунт-атмосфера перепишутся следующим образом:

lim Dr2f(x)= R1C2,

x—w—0

lim

x-^-s—0

DDs-1 f (x) + VgDx, 1f (x)

в—1

= R2C2,

Я1 = ехр(^—+ |/ Г22 + 4Г2^1 у , ^2 = —^1(Оа(Г1 + |/ Г2 + 4^у 2 + Уа)

Рассмотрим более подробно второе уравнение (3). Применив к нему интегральное преобразование Лапласа, получим следующее уравнение:

f (p) =

C2 R2 p + p2C2Rl — Я A.

(5)

р (р&ра + VврУ — У8рв — Я)

Рассмотрим отдельно выражение: 1 у/(Dgpа + VврУ — Vgpв — Я). Здесь возможны

следующие случаи: у < в, У = в, У > в Случай, когда у = в приводит нас к решению, полученному в работе [17], но с несколько другими коэффициентами. Пусть у > в , тогда можно записать:

1 / (ра — орГ — ирв — Ь) = р—у! (ра— — о)(1 — (ирв—+ Ьр—у) /(ра — — о)) о=—Vв!ь„ и=ь/о, ь=X/щ.

x

С учетом условия (дрв у + Ьр г)/(ра у + о) щим образом [22]:

< 1 его можно записать следую-

n=0

n=0 l+m=n

Е р—{и/—+bp—y/(pa—+аГ1 = Е Е nnитfp—1—'—<r—|,)r'

( px—y + а)

n+l

Согласно работе [22] обратное преобразование Лапласа этого выражения для первого слагаемого уравнения (5) дает:

СЯч ^ ^ п!итЬ1Х(а—У)п+а—2+1+(Г—в)т

/ (х) = СЯ2 Е Е -Е11——--------------------ри

т!1!

Fl =1 ^1

а x

а—Y

g п=01+т=п (— + 1, 1)

((а — у)п + а — 1 +1 + (у — в)т, а — у)

1^1 (х) - обобщенная функция Райта [22, 24]. Аналогично для второго и третьего слагаемого уравнения (5):

СЯ ^ ^ п!итЬ1Х(а—У)п+а—1+1+(Г—в)т

/2 (х) = СЯ Е Е п-иЛ1—^--------------------------Р2,

D

g n=0 l+m=n

т!1!

F2 =1 ^1

(п + 1, 1)

((а — у)и + а +1 + (у — в)m, а — у)

а x

а -у

. л! иmulx^-у)п+а+1+<у-в)m

f3 (x) = -A.b Е Е ......------------F3,

n=0 l+m=n

т!1!

F3 =1 ^1

(п + 1,1)

((а — у)п + а + 1 +1 + (у — в )m, а — у)

а x

а—у

Решение в этом случае есть суперпозиция:

f (х) = Л (х) + ^(х) + Л (х)

(6)

Найдем константу Сі. Для этого используем методику, предложенную в работе [17]. Запишем уравнение (5) в виде:

f (p) =

C2Rl (p2 + R2/Rlp — A.b/(R1C2)) Dgp px — и Pв — аpY — b

(7)

C2R1

p

—R +JR2 + 4A.b (R1C2)

—R — JR2 + 4A.b (R1C2)

p

D gP

Px — и Pв — а pY — b

Я = Яг! к1.

Так знаменатель уравнения (7) ра — ирв — ору—Ь является бесконечно возрастающей функцией, а ее значения находятся в правой полуплоскости, то уравнение имеет положительный корень. Обозначим этот корень как К, тогда знаменатель уравнения (6) можно разложить по степеням р — К:

Px — иpв — аpY — b = Е ci (P — K)i

i=0

2

2

Подставляя (7) в (6) получим:

f (p) =

C2Ri

p+

R — J R2 + 4Axb/ (RiCi)

p+

R +J R2 + 4AJ)I (RiCi)

Dgp

(p — К) Е ci (p — К)

ii

i=0

(9)

Для того чтобы f (р) была аналитической в правой полуплоскости, необходимо подобрать константу С таким образом, чтобы сократилась первая скобка в числителе со скобкой в знаменателе. Это достигается, когда

C2 =

A^b

(К2 + ЯК )Я1

Тогда решение (7) согласно (10) запишется так:

(l0)

-(I-V т)

Axbe

ri + \J r2 + 4r2

2

A (I, т) =

A (I, т) = AJ)

\

(К2 + R^Ri R2O2 + Ri^i

Dg"(K2R7+KR)

-, I > 0

— 00

, I < 0

^ дmb (I — Vт)<а—Y)п+а—2+^1+<У—в)m

0i = Е Е -----------------------irm--------------Fi,

n=0 m+l=n

т!1!

(ll)

Fi =i ^i

(n + i, i)

((а — y)n + а — 2 + i +1 + (y — в)m, а — у)

а (I — V т)

а—у

Яг = ехр^У+ у г22 + 4г2^ 2j ,Я2 = -Ях(Дв(г1 + у г22 + 4г2у 2 + уа),

К - решение уравнения уа — ауг — у.ув — Ь = 0, I = 1,2,3.

Замечание. Аналогичные рассждения можно использовать для случая у < в. Произойдет переопределение параметров в (11).

2

2

Заключение

В настоящей работе было получено аналитическое решение задачи нестационарного переноса радона из рыхлых отложений в приземный слой атмосферыв режиме аномальной диффузии и адвекции, которое имеет явный вид. Это решение выражено через обобщенную функцию Райта в зависимости от параметров среды а, в, у. Следующим этапом развития разработанной модели является исследование ее решения для различных значений а,в, У, а также сопоставление результатов моделирования с экспериментальными данными.

Литература

1. Фирстов П.П. И др. Подпочвенный радон и градиент потенциала атмосферного электрического поля в районе Петропавловск - Камчатского геодинамического полигона в 1998-2005 гг. (Камчатка) / П.П. Фирстов, Е.А. Понаморев, Н.В. Чернева, А.В. Бузевич // Вестник КРАУНЦ. Сер. науки о Земле. - 2006. - № 1. - Вып. 7. - С. 102-109.

2. Фирстов П.П., Рудаков В.П. Результаты регистрации подпочвенного радона в 1997-2000 гг. на Петропавловск-Камчастком геодинамическом полигоне // Вулканология и сейсмология. - 2002. -№ 6. - С. 1-16.

3. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Solidi(b). - 1986. - Vol. 133. - P. 425-430.

4. Беданокова С.Ю. Математическое моделирование водного и солевого режимов в почвах с фрактальной организацией. автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Таганрог, 2007. - 16 с.

5. Мейланов Р.П., Шабанова М.Р Уравнение теплопроводности для сред с фрактальной структурой // Современные наукоемкие технологии. - 2007. - №8. - С. - 84-85.

6. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. - М.: Наука, 2007. - 167 с.

7. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

8. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов.

- М.: Наука, 2006. - 173 с.

9. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. - М.: Университетская книга, 2005. - 848 с.

10. Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. - 2000. - Vol. 339. - P. 1-77.

11. Mainardi F. Applications of integral transforms in fractional diffusion processes // Integral Transform. Spec. Function. - 2004. - Vol. - 15. - P. 477-484.

12. Zhou T., Li C. Synchronization in fractional-order differential systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2005. - Vol. 212. - P. 111-125.

13. Новиков Г.Ф. Радиометрическая разведка. - Л.: Недра, 1989. - 407 с.

14. Паровик Р.И. Моделирование процессов переноса радона 222 Rn в средах с фрактальной структу-

рой и его стока в приземный слой атмосферы // Вестник КРАУНЦ. Сер. Науки о Земле. - 2008.

- № 1. - Вып. 12. - С. 188-193.

15. Паровик Р.И., Шевцов Б.М. Моделирование процессов переноса радона в средах с фрактальной

структурой // Математическое моделирование. - 2009. - Т. - 21. - №8. - С. 79-85.

16. Паровик Р.И. Об одной нелокальной модели диффузии-адвекции радона во фрактальной среде // Докл. АМАН. - 2009. - Т.11. - №1. - C. 110-113.

17. Паровик Р.И. Нелокальная модель диффузии-адвекции радона в среде с фрактальными свойствами // Докл. АМАН. - 2010. - Т.12. - №1. - C. 98-101.

18. Паровик Р.И. Модель нестационарной диффузии-адвекции радона в системе грунт-атмосфера // Вестник КРАУНЦ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. - №1(1). - С. - 39-45.

19. Паровик Р.И. Решение задачи нестационарного переноса радона в системе грунт-атмосфера // Естественные и технические наук. - 2010. - №1. - С. - 348-349.

20. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения диффузии-адвекции радона во фрактальной среде // Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. - № 1(20). - С. 127-132.

21. Учайкин В.В. Метод дробных производных. - Ульяновск: Артишок, 2008. - 512 с.

22. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. - Amsterdam: Elsevier, 2006. - 523 p.

23. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. - 1948. - Т. 12. - С. 529-539.

24. Mathai A.M., Haubold H.J. Special Functions for Applied Scientists. New York: Springer, 2008. -464 р.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.03.11