Модель субдиффузии радона во фрактальной пористой среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955

МОДЕЛЬ СУБДИФФУЗИИ РАДОНА ВО ФРАКТАЛЬНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ *

Р.И. Паровик1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: [email protected]

Рассмотрена модель субдиффузии радона без адвекции. С помощью функции Грина найдено решение модели. Показано,что оно является обобщением ранее известного классического решения.

Ключевые слова: функция Грина, обобщенная функция Райта, функция типа Миттаг-Леффлера

(с) Паровик Р.И., 2013

MSC 35C05

MODEL SUBDIFFUSION RADON IN FRACTAL

POROUS MEDIUM

R.I. Parovik1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: [email protected]

We consider a model of subdiffusion radon without advection. With the help of the Green’s function found a solution model. It is shown that it is a generalization of the previously known classical solutions.

Key words: Green function, generalized function Wright, function of Mittag-Leffler

(c) Parovik R.I., 2013

*Работа выполнена в рамках проекта №°12-ЬОФН-16 «Фундаментальные проблемы воздействия мощными радиоволнами на атмосферу и плазмосферу Земли» и при поддержке Министерства образования и науки РФ по программе стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на 2012-2016 гг.

Введение

Радон - радиоактивный газ, находящейся постоянно в геосреде и эманирующий в приземный слой атмосферы с разной интенсивностью в зависимости от деформационных возмущений и других факторов. Изучение радона как предвестника землетрясений официально началось в 1966 г. после сильного апрельского землетрясения в г. Ташкенте с М=5,2. Именно тогда были успешно спрогнозированы автершоки этого события по концентрации радона в грунтовых водах. Вследствие, чего в дальнейшем выросла практическая значимость математического моделирования процесса переноса радона.

В этой работе мы рассмотрим режим массопереноса радона в пористой фрактальной среде - режим субдиффузии. Субдиффузия радона - процесс диффузии радона во фрактальной пористой среде, который протекает медленнее обычного режима диффузии. Это обусловлено тем, что геосреда обладает сложной топологией каналов между порами. Каналы изгибаются, сильно изрезаны, а в некоторых случаях могут разрываться, например, в силу наряжено-деформированного состояния геосреды, поэтому процесс переноса радона замедляется.

Режим субдиффузии характеризуется дробным показателем в, который входит в уравнение диффузии как порядок дробной производной по времени. В работе [1] этот показатель соответствует доле каналов, открытых для протекания вещества. Такой процесс обычно называют нелокальным по времени, а фрактальную среду, в которой он происходит, средой с памятью. В этом работе мы рассмотрим режим субдиффузии радон с позиции математического моделирования.

Постановка задачи и методика ее решения

Будем искать объемную активность радона А (п, в) в области

П = {—^ < п < те, в > 0},

а также считать, что перенос радона осуществляется только с помощью диффузии. Уравнение переноса радона можно записать так:

— = Г)е 3 2АП в) - * (А (П, в) - Ате). (1)

Здесь Г)е - коэффициент диффузии, X - постоянная распада радона, Ате - равновесное значение объемной активности на некоторой глубине, производная порядка

0 < в < 1 понимается в смысле Герасимова-Капуто и определяется следующим образом:

двА (П, в) 1 } дА (п, С)(. ^)-в ^

—дГ~ = г(Г-з)/(1 -° ^

Для уравнения (1) известны граничные и начальные условия:

А (0, в)= 0, Иш А (п, в)= Ате,А (п, 0) = ф (п). (2)

П ^—те

Решим задачу (1)-(2) методом функции Грина. Для этого найдем функцию Грина из следующей задачи Коши:

дв 02В (п, в) _ д202В (п, в) -

дв в ) — Де дп ) +Х°2в (п, в )= 0 (3)

с2,в (п, 0) = 8 (п).

Здесь 8 (п) - функции Дирака. Сделаем преобразование Лапласа по в и косинус-преобразование Фурье по п уравнение (1). Получим следующее уравнение для трансформанты с учетом, что ^ [8 (п) (к)] = 1:

^2,в (к Р) = рв + Дек2 + X = рв + (Дек2 + X). (4)

Для изображения (4) известно [2], что обратное преобразование Лапласа по р дает:

1

G^ (k, в)= L

Рв + (Dek2 + Я)

(в) = вв—^в,в — [Dek2 + Я]вв . (5)

. z^

Здесь Ea в (z) = Е w—;—^ - функция типа Миттаг-Леффлера. Обратное преоб-п=о Г (аk + в)

разование Фурье для формулы (5) по k дает следующий результат:

G2^ (n, в) = Ц вв—1 Eв,в ^ [Dek2 — Я] вв) cos (kn) dk. (6)

o

Теорема. Функция Грина (6) при значении параметра в = 1 переходит в функ-

n2

-Яв-

цию G2)1 (n, в) =

e 4t De

2 Vх п Det

Доказательство. Доказательство. Пусть в (6) в = 1 , будем иметь:

G2,1 (n, в) = 1J E1,1 ([Dek2 — Я] в) cos (kn) dk = (7)

G2)1 (n, в) = ~j exp ([Dek2 — Я] в) cos (kn) dk.

o

Интеграл в формуле (7) можно вычислить по справочнику [3] его значение совпадает с функцией Грина для классического уравнения диффузии:

exp (-XQ - п2

^2,1 (п, в) = - г-^~4 ^ -. (8)

2у/ П £> е4

□

Отметим, что согласно справочнику [4] функция 8 является фундаментальным решением одномерного нестационарного уравнения диффузии с поглощением вещества.

Обобщение функции Грина на случай супердиффузии с дробным показателем

1 < а < 2 дается следующей формулой:

те

Gа,в (n, в) = вв—^в,в ([De |k|а — Я] вв) cos (kn) dk.

0

В работах [5]-[6] была найдена функция Грина в виде специальной функции Стокса

в случае, когда в уравнении (1) X = 0. Рассмотрим следующую задачу Коши:

двА (п, в) Д д2а (п, в) . - А (п в)= 0 (9)

----двв-------------Де дп 2 + (п,в )= 0, (9)

А (п, 0) = ф (п), Иш А (п, в)= 0.

п —— ±те

Согласно теореме о свертке двух функций, решение задачи (9) можно записать следующим образом:

те

А (п, в и/ ф (<§) ^2,в (п - I, вЖ.

те

Если в правой части уравнения (9) имеется функция источника Р(п,в), тогда решение задачи Коши имеет вид:

те 4 те

А (п, в) = / ф (<§) ^в (п - I, в Ж + /1 р (<§, т) Ов (п - I, в - .

— те 0 —те

Рассмотрим более общую задачу Коши:

дв ^а ,в (п, в) - д2а Оа ,в (п, в) , ^ ,п ^ п , .„а ^

двв Д-е дг]2а + -Оа,в (п, в)= 0,1 < 2а < 2, (10)

Оа,в (п, 0) = 8 (п).

Можно отметить, что при значении а = 1 задача (10) переходит в задачу (3). Применяя преобразование Фурье по в и Лапласа по п, получим соотношение для транс-

форманты:

Оав (к, р) = в 1 , , , Л = -Де |к|2а . рв + Л + /I

Это уравнение можно записать следующим образом:

Оа,в (кр) = рв +Л + X = р/ЧЛ ( , Л \ .

I + рв + V

В силу выполнения условия погрешности вида:

Л

p

< 1 имеем сумму убывающей геометрической

с (_ л)и

Gа,в (k,p) = Е ( в , Я)И+1.

n=0 (^в IЯ)

Обратное преобразование Лапласа согласно соотношению:

L—

1

, nIl

_n=0 (pа I Я)

приводит к следующему результату:

Е

n=0

вв n+в—^ я)Ч в (—Я вв

n!

Gа ,в (k, в )= Е

(—Л)п ввn+в—1 / д

n=0

n!

дЯ ) E0л <— Явв

Из литературы известно [7], что

(n I 1, 1)

(в n I в, в )

-Я вв

где 1^1 (n) = 1^1

(а, а) (М, в)

к=0 к!Г (д + в к) этому можно трансформанту можно записать так:

n

=Е

n kГ (а I аk)

- обобщенная функция Райта. По-

Gа,в (k, в) = Е

(n 11, n)

(в n I в, в )

-Я вв

n=0

n!

Обратное преобразование Фурье дает:

Gа,в (n, в) = Е

(n 11, 1)

(в n I в, в )

-Я вв

F—

n=0

n!

De |k|2^ И

1

n

1

1 “ В!вв^—1 |n| —n—1sin(аnn)Г(2аn11)

n=1

n!

1^1

(n I 1, 1)

(в n I в, в )

-Я вв

= (11)

Deвв

вв—1 “ \ n

№ «“l

2а

sin (апя) Г (2а n 11)

n!

l^l

(n 11,1)

(в n I в, в )

-Я вв

Можно показать, что функция Грина задачи (11) в случае, когда а = в = 1 переходит в известную функцию (7). Функция Грина Оа в (п, в) является решением уравнения субдиффузии, но и также супердиффузии. В литературе два обычно режима объединяют понятием «аномальная диффузия» [8].

n

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрен режим субдиффузии радона. Найдена функция Грина для задачи Коши субдиффузии радона во фрактальной среде. Рассмотрены обобщения задачи переноса радона в режиме субдиффузии и супердиффузии.

Библиографический список

1. Nigmatullin R.R. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol. 133. P. 425-430.

2. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. С. 800.

4. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. С. 576.

5. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения диффузии-адвекции радона во фрактальной среде // Вестник СамГТУ. Сер. Физико-математические науки. 2010. №1(20). С. 127-132.

6. Паровик Р.И. Метод функции Грина для одного дифференциального равнения дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2010. №1(1). С.17-23.

7. Kilbas A.A., Srivastava H.M.,. Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 c.

8. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. № 8. С. 847-876.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 27.09.2013