Модель нестационарной диффузии адвекции радона системе грунт атмосфера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 39-45

УДК 517.958

МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ДИФФУЗИИ - АДВЕКЦИИ РАДОНА В СИСТЕМЕ ГРУНТ - АТМОСФЕРА* Р.И. Паровик1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Филиал Дальневосточного государственного технического университета (ДВПИ имени В.В. Куйбышева), 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Тушканова,

11/1

E-mail: [email protected]

Рассмотрена одномерная математическая модель нестационарной диффузии - адвекции радона в системе грунт - атмосфера. Получено аналитическое решение такой модели, согласно которому были построены кривые распределения концентрации радона в грунте и атмосфере.

Ключевые слова: радон, диффузия, адвекция, модель, грунт, атмосфера

© Паровик Р.И., 2010

MSC 65N80

MODEL FOR UNSTEADY OF DIFFUSION -ADVECTION OF RADON IN SOIL - ATMOSPHERE R.I. Parovik1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Branch of Far-Eastern National Technical University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Tushkanova st., 11/1, Russia

E-mail: [email protected]

We consider a mathematical model for unsteady transport of radon from the constant coefficients in the soil - atmosphere. An explicit analytical solution for this model and built at different times of his profiles.

Key words: radon, model, diffusion, advection, soil, atmosphere

© Parovik R.I., 2010

*Работа выполнена при поддержке гранта АВЦП «РНПВШ» № 2.1.1/544.

Введение

Изучение процессов переноса радона в системе грунт - атмосфера представляет определенный научный интерес. Это вызвано тем, что радон является индикатором напряженно-деформированного состояния геосреды и оказывает воздействие на некоторые геофизические поля [1]. Например, радон участвует в формировании электрического поля приземного слоя атмосферы и является одним из предвестников землетрясений, что в некотором смысле определяет актуальность исследования радона в различных системах и средах [1]-[3].

Исследование распространения радона в различных средах осуществляется с помощью математических моделей, которые учитывают различные механизмы переноса, в основном адвекцию и диффузию. Однако теоретические оценки этих параметров, которые были получены с помощью классических моделей, не позволяют объяснить аномально высокие значения объемной активности радона вблизи поверхности земли [4]. Следовательно, возникает необходимость в разработке математической модели, в которой присутствовали бы механизмы, ускоряющие диффузию и адвекцию. Например, это может быть модель аномальной диффузии и адвекции радона во фрактальной пористой среде [5] или модель обычной диффузии и адвекции, учитывающая акустические возмущения в грунте.

Однако на первом этапе моделирования сначала необходимо получить некоторое представление о переносе радона в системе грунт - атмосфера во времени и пространстве. Для этой цели необходимо разработать модель нестационарного переноса радона в системе грунт - атмосфера и получить ее аналитическое решение.

Постановка задачи

Согласно теории эманационного метода в радиометрической разведке перенос радона из пористого однородного грунта к земной поверхности осуществляется с помощью механизмов диффузии и конвекции [4].

В данной работе мы будем рассматривать адвекцию как перенос, который может включать в себя либо конвекцию, либо фильтрацию. Будем считать характеристики переноса постоянными заданными величинами. Тогда задача нестационарного переноса радона в системе грунт - атмосфера (г, г >0) может быть представлена в виде:

дА д2А (г, г) дА (г, г) . , , Л Л

¿7 = дг2 +дг Х г) - А , г >

дA д 2A (z, t ) дA (z, t )

— Da dh1 + Va dz ^A(z, t), z < 0 (1)

Dg

dA (z, t )

. , ,, ^ dA (z, t)

+ vg A (z,t) |z=0+0 = Da

z=0+0 dz

+ va A (Z, t) |z=0—0 '

z=0—0

д z

A (z, t)|z=0+0 = A (z, t)|z=0—0, lim A(z, t)= A-, lim A(z, t) = 0,

где Д?, Д - коэффициенты диффузии радона в грунте и в приземной атмосфере, м2/с; у?,уя - скорость адвекции радона сответственно в грунте и в приземной атмосфере, м/с; X - постоянная распада радона, 1/с; А^ - объемная активность радона, который находится в радиоактивном равновесии с радием (226^а) на заданной глубине в грунте (А^ = КешАяарД1 — п)), где - коэффициент эманирования радона,

отн. ед.; Аяа - удельная активность 226Ка, Бк/кг; р5 - плотность твердых частиц грунта, кг/м3; п - пористость грунта, отн. ед; А (г, г) - объемная активность радона в грунте, Бк/м3.

Методика решения

Упростим задачу (1), сделав следующее преобразование - замену вида:

A (z, t)= е-Яfu (xg, t), Xg = z + Vgt, A (z, t) = e-Xfu (xa, t), xa = z + vat. (2)

Подставляя выражения (2) в модельное уравнение и граничные условия (1), получим следующую задачу:

дu (xg,t) ^ д2u (xg,t)

д t

1-XA—eXt, xg > vgt,

д x2g

Dg

д u (xg, t )

д t

+ vgu (xg, t )

xg=vgt+0

u (xg, t)L„ =v„,+0 = u (xа, t)|

д u (xa, t ) _ D д 2u (xa, t ) x ^v t

— Da ^7^2 , xa < vat,

д x

g

д xa

= D дu (xa, t) g=vgt+0 = a д xa

(3)

+ va u (xa, t )|xa =Vat—0'

xa=Vat—0

X t

xa ^ —

, lim u(xg, t) = A—eXt, lim u(xa,t) = 0.

Сделаем преобразование Лапласа по переменной времени г для задачи (3). Приходим к следующей задаче для изображения:

d2F (xg, p) XA— d 2F (xa, p) , ,

Dg ті-pF (xg, pH“—Г = 0 Da---------^2-pf (xa, p) = °

dx2g

p — X

dxa

Dg

dF (xg, t )

dxg

+ VgF (xg, p)

xg=vgt+0

xg=vgt+0

(4)

= Da

dF (xa,p)

dxa

+ Va F (xa, p)|

xa=Vat 0

F (xg, p)

xa=Vat—0 :

A—

xg=Vgt+0

= F (xa, p)|xa=Va^0 , lim F(xg, p) = -----T, lim F(xa, p) = 0.

p — X

Решение дифференциальных уравнений в уравнении (4) известны, а с учетом краевых условий на внешних границах их можно записать следующим образом:

F (xg, p) = C1e

D A,

Dg +

p — X

, F (xa, p) = С2Є

(5)

Найдем константы интегрирования Сі и С2. Используем для этой цели краевые условия на внутренней границе раздела сред грунт - атмосфера задачи (4). Получим следующую алгебраическую систему уравнений:

—Vgt

С1Є

Vat

A—

С1Є

—Vgt1

p — X

= С2Є

___ Va^ W ~ ___ V A

Vg—vDgp)=C2e » a (Va+vDap)—p—X'

g

g

a

x

x

g

a

Решение для системы (6) имеет вид:

Vgt V — VVaL VP

C = A— (a + bVp) eV/Dg C = A—e VDa / a + bVP\ (7)

1 (p — X) (a + cVP) , 2 P — X \ a + c^J , ()

a = Vg — ^ b = — V/Da, c =— 'JD~a — \fDg.

Подставляя найденные константы (7) в решения для изображения (5), получим:

F (xg, p) =-і—- (V (a К ^ , F (xa, p)= (V a±M ) ,

p—XI (a+cv^) / p—X V a+cVpJ

(х? — У) = _ (ха — Уаг) = _

■Уд ^ уд Та'

Осталось перейти к оригиналу. Для этой цели воспользуемся таблицей перехода из справочника [6] и находим:

А- „ X г

^ А—е ,

A—e—Ta^ A—Л /—TaVX

p—X ^ 2 ie

p X

erfc( — VX7) + eTa^ erf^ + VXt

z 2

где erfc (z) = 1 — erf (z), erf (z) = 2n-1/2/e-x dx - интеграл вероятностей.

о

Введем следующие обозначения:

E+ = erfc ( —z— + VXt ) , E— = erfc i —z— + VXt ] , E0 = erfc i —z— + yVt

^2^/Ц?7 у \2\/ д?г у \2\/д?г

Найдем оригинал для выражения

(а+ьур)е—'ТаУр = уе—ТаУр + ^ у= _/с., = ь/с

(р — х) (а + с^р) (р — х) (г + ^р) (р — х) (г + ^р), ’ '

Для первого слагаемого оригинал примет следующий вид:

Уе т«^р ^УеХг / е—Та^ХЕ еТа^ХЕ+ ^ у2еУХа + 7 гЕ0

(р — %) (г + VP) 2 у Y+ ^ Y — \/Х у Г2 — !

для второго слагаемого - соответствующий вид:

Vpe—'^iVXe^^ ^e—^E— e^^E+V ^Y2eYT« + Y2tE0

(p — X) (y + VP) 2 \ Yiv7! Y — j f — X

В результате получим:

(т + £ УР)

e

(p — X ) (y i VP)

Xt ( (yi £ VX) e—TaVAE— (y — £ VX) eTaVXE^^ - - "'t і y2

2

i

Y + УХ Y-УХ

\ )

(£ — 1) Y2eYTa i Y tE0

i Y2—x ■

Найдем оригинал для первого изображения из уравнения (8):

/ (у +£ ур) є~х^Ур \ . я г Л~еХ? (у + е +Х?Е-

р - Х\ 7 + V? / 2 (у+ УХ)

A—eXt (y — £ VX) eTg Vх i XtEi A—eXt (£ — 1) y2eYTg i Y21

i A—eAÍ (£ — 1) Y2e^g +ï E0

2(у—УХ) 72 — Х '

Для второго изображения из уравнения (8) получим:

А-е^УР / У + £ ур\ ^

Р — х V Г + ур / ^

А-еХ г (1 — £) УХ е—Е— А-еХ г (1 — £) УХ ет^Л//ХЕ+ А- (1 — £) у2е^а + ^ гЕо

2 (у + УХ) 2 (у —УХ) + У2 — Х

Решения с учетом преобразования (2) окончательно запишутся таким образом:

А (г, г) = А- (1 —Л1), г > 0, А (г, г) = А-Я2, г < 0, (9)

[X Г* уг

—г\ — г\ — * 2г хг

(г + £ У^) е (У —£ У^ еУД?Е+ (1 — £) г2е УД?+Г Е0

Rl = ----И—-)----i

2^ Y i VX) 2 (y — VX)

Y2 — X

(1 — £ )VX e^

X

DaE— (1 — £ )VX e ^

X Yz

— — ^ift—Xt

DaEi (1 — £ ) Y2e y a e0

2ÍYi УХ) 2 (y — VX) "2 — X

Решение (9) имеет экспоненциальный характер, т. е. концентрация радона в грунте и в атмосфере падает по экспоненциальному закону. Оно несколько похоже на решение для стационарной атмосферы, ранее полученное автором в работе [7]. Проведем численное исследование решения (9).

Численное моделирование

В численном моделировании, для того чтобы на границе раздела сред грунт -атмосфера не получилось больших градиентов, параметры задачи брались соизмеримыми: Ба = 5 ■ 10-3 м2/с, Dg = 5 ■ 10-4 м2/с, уа = 10-3 м/с, = 10-4 м/с.

Расчетные кривые распределения концентрации радона, построенные для грунта и атмосферы, приведены на рисунке. Согласно графику, приведенному на рисунке (а), концентрация радона падает со временем к земной поверхности. Значения относительной объемной активности на границе раздела сред колеблются в диапазоне 0,05 ^ 0,15, что составляет около 0,1 от фонового значения объемной активности радона в грунте. В атмосфере за счет диффузии и конвекции концентрация радона стремится к нулю. Расчетные кривые распределения концентрации радона в системе грунт - атмосфера (б) построены согласно предположения о том, что конвекция радона в атмосфере отсутствует, т. е. уа = 0 м/с, а скорость адвекции радона для грунта принимает значение Vg = 5 ■ 10-2 м/с.

Кривые распределения концентрации радона в системе грунт - атмосфера в различные моменты времени г (1 - 1000 с; 2 - 2000 с; 3 - 3000 с): а - при уа = 10-3 м/с, у^ =10-4 м/с; б - при уа = 0 м/с, у^ = 10-2 м/с

Заметим, что кривые распределения концентрации радона в грунте и атмосфере похожи по форме на кривые распределения, полученные в работе [5], в которой рассматривалась задача о массопереносе радона из фрактального пористого грунта

Модель нестационарной диффузии - адвекции радона

ISSN 2079-664і

в приземный слой атмосферы. Механизмами переноса радона являлись супердиффузия и аномальная адвекция. Форма расчетных кривых похожа на форму расчетных кривых, характеризующих аномальную адвекцию. Поэтому можно сделать вывод о том, что увеличение значений скорости адвекции радона в однородном пористом грунте может соответствовать возникновению аномальной адвекции во фрактальном пористом грунте.

Заключение

Увеличение скорости адвекции в однородном пористом грунте приводит к накоплению радона вблизи земной поверхности. Этот эффект может быть вызван разрушением пористой структуры грунта в результате деформационных возмущений.

Увеличение скорости переноса радона к земной поверхности может быть вызвано также акустическими возмущениями в грунте в результате, например, образования трещин. Известно, что акустическое и электрическое поля связаны между собой, а радон, в свою очередь, оказывает влияние на формирование электрического поля приземной атмосферы.

Поэтому учет влияния акустических сигналов на процесс переноса радона в грунте является следующим этапом в развитии математической модели (1) с последующим ее обобщением на случай фрактальной пористой среды согласно работе [5].

Литература

1. Рудаков В.П. Мониторинг напряженно-деформированного состояния пород сейсмоактивного региона эманационным методом // Геохимия. 1986. № 9. С. 1337-1342.

2. Фирстов П.П., Рудаков В.П. Результаты регистрации подпочвенного радона в 1997-2000 гг. на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне // Вулканология и сейсмология. 2002. № 6. С. 1-16.

3. Куповых Г.В., Морозов В.Н., Шварц Я.М. Теория электродного эффекта в атмосфере. Таганрог: ТрГУ, 1998. 122 с.

4. Новиков Г.Ф., Капков Ю.Н. Радиоактивные методы разведки. Л.: Недра, 1965. 759 с.

5. Паровик Р.И., Шевцов Б.М. Моделирование процесса массопереноса радона (222Ип) из фрактальной среды в атмосферу // Мат. моделирование. 2009. № 8. Т. 21. С. 30-36.

6. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высш. шк., 1965. 455 с.

7. Паровик Р.И., Ильин И.А., Фирстов П.П. Обобщенная одномерная модель массопереноса радона (ОА 222Ип) и его эксхаляция в приземный слой атмосферы // Мат. моделирование. 2007. № 11. Т. 19. С. 43-50.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 11.09.10