CC BY
74
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 17-23
УДК 517.955
МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА*
Р.И. Паровик1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Филиал Дальневосточного государственного технического университета (ДВПИ имени В.В. Куйбышева), 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул.Тушканова, 11/1
E-mail: romano84@mail.ru
Рассмотрено дифференциальное уравнение дробного порядка 0 < в < 1. Построена функция Грина для такого уравнения и показано, что в случае в = 1 найденное решение переходит в ранее известное классическое решение.
Ключевые слова: функция Грина, задача Коши, оператор Герасимова - Капуто
© Паровик Р.И., 2010
MSC 35C05
THE METHOD OF GREEN‘S FUNCTION FOR ONE DIFFERENTIAL EQUATION OF A FRACTIONAL
ORDER
R.I. Parovik1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Branch of Far-Eastern National Technical University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Tushkanova st. , 11/1, Russia
E-mail: romano84@mail.ru
The differential equation of a fractional order of 0 < в < 1 is considered. Green’s function for such equation is constructed and is shown that in a case в = 1 the found decision passes in earlier known classical decision.
Key words: Green’s function, problem of Koshi, ground, Gerasimov - Kaputo operator
© Parovik R.I., 2010
*Работа выполнена при поддержке гранта АВЦП «РНПВШ» № 2.1.1/544.
Введение
В настоящее время проявляется повышенный интерес к изучению производных дробного порядка. Это связано с тем, что многие процессы и явления не поддаются описанию в рамках классической теории дифференциальных уравнений целочисленных порядков. Это происходит потому, что процессы и явления устроены довольно сложно, имеют нелинейный характер и являются нелокальными как по времени, так и по пространству. Такие процессы и явления принято описывать с помощью теории дробного исчисления [1, 2].
Изучению нелокальных процессов и явлений посвящены многие статьи и монографии как российских [1]-[5], так и зарубежных авторов [6]-[9]. В одной только книге [2] автор ссылается на тысячу литературных источников. Это говорит о том, что математический аппарат дробного исчисления бурно развивается, что, в свою очередь, определяет необходимость исследования новых дифференциальных уравнений дробного порядка.
Постановка задачи
Задача. Найти решение и(х,у) для дифференциального уравнения дробного порядка
деленная в смысле Герасимова - Капуто [10]; а, Ь, 2 - заданные константы.
Уравнение (1) может быть использовано при описании массопереноса вещества или теплопереноса в среде с фрактальными свойствами. Тогда в этом случае дробная производная в уравнении (1) - это производная по времени ?, а - коэффициент диффузии, Ь - коэффициент распада или теплоотдачи, 2 - источник. Показатель порядка в производной по времени, как это показано в работе [11], соответствует доле каналов, открытых для протекания во фрактальной среде. Такой процесс называют нелокальным по времени, а фрактальную среду, в которой он происходит - средой с памятью.
Метод функции Грина
Найдем функцию Грина для следующего уравнения (1) без источника:
(1)
которое удовлетворяет начальному условию
и (х, 0) = ф (х)
и определено в области
д в
Q = {(x,у) : те < x < —^,О < у < T}, u(x,у) є C(Q), є L [О, T] Vx є R,
дув
дв Gв (x,у) д2Gв (x,у)
-----------------a----------------
дув a дx2
+ bGв (x, у) = О,
(2)
Gв (х, 0) = 5 (х),
где 5 (х) - функции Дирака. Сделаем преобразование Лапласа по x и у. Получим
следующее уравнение с учетом
aa2 / (pв + b)
< 1:
а-
G5 (а, p) = ~H----------------а2
p)5 — aa2 + b
а-
(pe + b) ^ 1 —
aaz
pe+b
n=0
(pi5 + b)
И+1
(3)
Для выражения (3) известно обратное преобразование Лапласа по p согласно соотношению [6]:
L
n
а n+в — 1
( p ) =
n!pа в
(pа — a)
n+1
, n є N.
Тогда получим
g5 (x y)= L 1
ana 2n—1
n=0
(pв + b)
n+1
(у) = Е
n=0
aa
2n 1
n!
у
вn+в—1
д (-b)
E
в ,вn+в
—byв) =
= у в - 1
Е
n=0
•в\ m 2n—1
ayv a
n!
-l^l
(n +1,1) в (n + 1), в
— byв
(4)
где 1^1 (x) = 1^1
(а, а) (М, в)
x
=Е
xkГ (а + аk)
- обобщенная функция Райта. Об-
к=о к!Г (д + в к)
ратное преобразование Лапласа выражения по х (4) дает, согласно преобразованию
L [tk] =
k!
p
k+1
выражение
ayi
в
2
№
G) (x, y)= ув—1 Е
(n + 1, 1)
(в (n + 1), в)
— byв
(5)
п=о п!Г (1 - 2п)
Теорема 1. Функция Грина (5) при значении параметра в = 1 переходит в
х
функцию G1 (x, у) = e by ^ 1 — erfc ^
2^ay
Доказательство. Пусть в выражении (5) в = 1 будем иметь:
ау\п .х2/
Gl (x у) = Е
и=0
и!Г (1 — 2n)
1^1
(n +1,1) (n + 1, l)
— by
(6)
В выражении (6) обобщенную функцию Райта выразим через функцию Куммера согласно
1^1
(а, 1) (М, 1)
x
г (а)
Г (М)
1 F1 (а, М, x) ,
получим
1^1
(n + 1,1) (n + 1, l)
— by
= 1F1 (n + 1, n + 1, —by) = e
= e—by
(7)
1
n
Перепишем решение (6) с учетом формулы (7) в виде
~ (ЧУ
G1 (x у)= e—by£0 -ЩГ—ъГ) . (8)
п
Сделаем в выражении (8) замену п ^ -- и получим
n
x
Gl (x,у) = e—by Е \ . (9)
п
Воспользуемся известным соотношением Г (г) Г (1— г) = —:—т и найдем:
81п(пг)
Gl (x, у) = e—by Е-^гЧ;
n
x
-=о -!Г ( —- + 1
x \ . /ш\ „ /и
n
81П
(™\г( и
= e—by Е^^------------------------, = e—by( 1 — erfJ -і-
n=o -!п V V2vay
С другой стороны, рассмотрим дифференциальное уравнение
д G (х у) д (х у)
“дГ_=а^2— (х,у) • (10)
Преобразование Лапласа (10) по координате х, а затем по у с учетом начального условия дает следующее:
ю-1
G (ю, р) =-----—2—тт • (11)
р - (аю2 - Ь)
Сделаем обратное преобразование Лапласа (11) по параметру р и получим:
G (ю, у) = ю-1е(аю2-Ь)у = е-Ьую-1ваую2 • (12)
Обратное преобразование Лапласа (12) по параметру ю приводит к уравнению
у-\-1<ж
G (х, у) = е-Ьу I ю-1еюх+аую2йю• (13)
У -1<ж
Введем следующие обозначения в выражении (13): г = Щ, о = юх - и деформируя
х2
контур Ханкеля, например как в работе [2], получим выражение
^ -^о 2п-1
п!
а-1 eа+ш2dа = e-yb J e(J Е nl dа =
Ha Ha и=0
-уь у ^ eаа2n-1dа = e-yb Е —
и0 и! '
Ha -=о Ha
-=о
e° а2и 1
d а = e
— e-yb.
и!Г (1 — 2и)
(14)
Здесь мы воспользовались интегральным представлением гамма-функции [12]. Выражение (14) совпадает с точностью до множителя с выражением (9) и, следовательно,
Gl (п, в ) = G (п, в ) = e-xe [ 1 — erf с
n
2л/5Єє
Теорема доказана. □
Замечание 1. Решение задачи Коши для уравнения (1) без источника можно записать с помощью функции Грина (4):
u (x,у)= J Ge (x — %,у)ф (%) d%.
Рассмотрим задачу Коши (1) при условии, что ф (х) = 2. Решение этой задачи можно
Ь
записать следующим образом:
u (x у) = Qyв 1Е
те і ayв x2
-=о
и!Г (1 — 2и)
1^1
(и +1,1)
(в (и + 1), в )
— byв
+
n
e
n
+Qye Е
те [ ayв a'2
-=о
и!Г (1 — 2и)
1^1
(и + 1,1)
(в (и + 1) + 1,5)
(15)
— byв
Замечание 2. Решение (15) можно записать в несколько другом виде, учитывая свойство обобщенной функции Райта [13]:
zl^l
(и + 1, 1) (в, а)
= 1^1
(и + 1,1)
(в - а, а)
—1^1
(и1)
(в - а, а)
Решение (15) можно переписать в виде
u (x, у) = Ьв 1
те і ay5 x2
-=о
и!Г (1 — 2и)
1^1
(и +1,1)
(в (и + 1), в )
— byв
Q {пув/**)
Ь-=о -!Г(1 — 2и)
1%
(и + 1, 1) (в и +1, в)
— Ьув
ayв x2
+Q Е
b = и!Г (1 — 2и)
1^1
(-, 1)
(в и + 1, в)
— Ьув
n
z
z
z
n
n
n
Теорема 2. Решение (16) при значении параметра в = 1 переходит в классическое решение:
( л Q
u (x, у) = —
(
V
' Г—
e V a
b
erfcl -—— — \/Ьу) + e V a erf с I
7 \2^ay v V 7 V
2^=y + Vby)
2^/ay )
(17)
/
Доказательство. Пусть в = 1, тогда в выражении (16) разность двух первых членов будет равна нулю. Остается следующее выражение:
u (x y) = T Е
Q (ay5 jx2 ^
bn=o и!Г(1 — 2и)
1^1
(и1)
(в и + 1, в)
— Ьув
Q ^ (ау х2) Г (и) f ( + 1 — )
Т Е ІГ/1 . n lFl (n и + 1, — —у) =
b —О и!Г (1 — 2и) Г (и + 1)
_ Q £ (ay/x2)nY(и,by)
b
-=о
и!Г (1 — 2и) ’
где у(n,z) - неполная гамма-функция, определенная как
Y(n, z) = — \F\ (n, n + 1, - z). n
Далее, используя выражение из справочника [12]
I= 2e И (V + V) + erf (Vi-V?)),
с помощью некоторых преобразований приходим к решению (17).
Теорема доказана. □
Замечание 3. Решение (15) можно представить через функцию Грина (4):
У
Q Г
u (x,у) = —Gв (x,у) + QJ Gв (x,у — п)dn.
В более общем случае, когда ф (х) и 2(х,у) функции, решение примет вид
те у
u ^у) = j G5 (x — %,у) ф (%) d% + j J Ge(x — %,у — n)Q (%, n) d%dn.
-те 0
n
n
oo
Заключение
В результате исследования в настоящей работе дифференциального уравнения дробного порядка (1), а также исследования автора, например в работе [15], можно прийти к выводу, что исследуемое уравнение является обобщением дифференциального уравнения целого порядка. Поэтому решению уравнения (1) присущи как ранее известные свойства, так и новые, которые обусловлены нелокальностью процессов и явлений, происходящих во фрактальных средах.
Литература
1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
3. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.
4. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.
5. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.
6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
7. Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. 2000. Vol. 339. P. 1-77.
8. Mainardi F. Applications of integral transforms in fractional diffusion processes // Integral Transform. Spec. Function. 2004. Vol. 15. P. 477-484.
9. Zhou Т., Li C. Synchronization in fractional-order differential systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2005. Vol. 212. P. 111-125.
10. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529-539.
11. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Solidi(b). 1986. Vol. 133. P. 425-430.
12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.
13. Mathai A.M., Haubold H.J. Special Functions for Applied Scientists. New York: Springer, 2008. 464 р.
14. Новиков Г.Ф. Радиометрическая разведка. Л.: Недра, 1989. 407 с.
15. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения диффузии-адвекции радона во фрактальной среде // Вестник СамГТУ. Сер. Физико-математические науки. 2010. № 1(20). С. 127-132.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.11.10
