Метод функции Грина для одного дифференциального уравнения дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 17-23

УДК 517.955

МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА*

Р.И. Паровик1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Филиал Дальневосточного государственного технического университета (ДВПИ имени В.В. Куйбышева), 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул.Тушканова, 11/1

E-mail: [email protected]

Рассмотрено дифференциальное уравнение дробного порядка 0 < в < 1. Построена функция Грина для такого уравнения и показано, что в случае в = 1 найденное решение переходит в ранее известное классическое решение.

Ключевые слова: функция Грина, задача Коши, оператор Герасимова - Капуто

© Паровик Р.И., 2010

MSC 35C05

THE METHOD OF GREEN‘S FUNCTION FOR ONE DIFFERENTIAL EQUATION OF A FRACTIONAL

ORDER

R.I. Parovik1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Branch of Far-Eastern National Technical University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Tushkanova st. , 11/1, Russia

E-mail: [email protected]

The differential equation of a fractional order of 0 < в < 1 is considered. Green’s function for such equation is constructed and is shown that in a case в = 1 the found decision passes in earlier known classical decision.

Key words: Green’s function, problem of Koshi, ground, Gerasimov - Kaputo operator

© Parovik R.I., 2010

*Работа выполнена при поддержке гранта АВЦП «РНПВШ» № 2.1.1/544.

Введение

В настоящее время проявляется повышенный интерес к изучению производных дробного порядка. Это связано с тем, что многие процессы и явления не поддаются описанию в рамках классической теории дифференциальных уравнений целочисленных порядков. Это происходит потому, что процессы и явления устроены довольно сложно, имеют нелинейный характер и являются нелокальными как по времени, так и по пространству. Такие процессы и явления принято описывать с помощью теории дробного исчисления [1, 2].

Изучению нелокальных процессов и явлений посвящены многие статьи и монографии как российских [1]-[5], так и зарубежных авторов [6]-[9]. В одной только книге [2] автор ссылается на тысячу литературных источников. Это говорит о том, что математический аппарат дробного исчисления бурно развивается, что, в свою очередь, определяет необходимость исследования новых дифференциальных уравнений дробного порядка.

Постановка задачи

Задача. Найти решение и(х,у) для дифференциального уравнения дробного порядка

деленная в смысле Герасимова - Капуто [10]; а, Ь, 2 - заданные константы.

Уравнение (1) может быть использовано при описании массопереноса вещества или теплопереноса в среде с фрактальными свойствами. Тогда в этом случае дробная производная в уравнении (1) - это производная по времени ?, а - коэффициент диффузии, Ь - коэффициент распада или теплоотдачи, 2 - источник. Показатель порядка в производной по времени, как это показано в работе [11], соответствует доле каналов, открытых для протекания во фрактальной среде. Такой процесс называют нелокальным по времени, а фрактальную среду, в которой он происходит - средой с памятью.

Метод функции Грина

Найдем функцию Грина для следующего уравнения (1) без источника:

(1)

которое удовлетворяет начальному условию

и (х, 0) = ф (х)

и определено в области

д в

Q = {(x,у) : те < x < —^,О < у < T}, u(x,у) є C(Q), є L [О, T] Vx є R,

дув

дв Gв (x,у) д2Gв (x,у)

-----------------a----------------

дув a дx2

+ bGв (x, у) = О,

(2)

Gв (х, 0) = 5 (х),

где 5 (х) - функции Дирака. Сделаем преобразование Лапласа по x и у. Получим

следующее уравнение с учетом

aa2 / (pв + b)

< 1:

а-

G5 (а, p) = ~H----------------а2

p)5 — aa2 + b

а-

(pe + b) ^ 1 —

aaz

pe+b

n=0

(pi5 + b)

И+1

(3)

Для выражения (3) известно обратное преобразование Лапласа по p согласно соотношению [6]:

L

n

а n+в — 1

( p ) =

n!pа в

(pа — a)

n+1

, n є N.

Тогда получим

g5 (x y)= L 1

ana 2n—1

n=0

(pв + b)

n+1

(у) = Е

n=0

aa

2n 1

n!

у

вn+в—1

д (-b)

E

в ,вn+в

—byв) =

= у в - 1

Е

n=0

•в\ m 2n—1

ayv a

n!

-l^l

(n +1,1) в (n + 1), в

— byв

(4)

где 1^1 (x) = 1^1

(а, а) (М, в)

x

=Е

xkГ (а + аk)

- обобщенная функция Райта. Об-

к=о к!Г (д + в к)

ратное преобразование Лапласа выражения по х (4) дает, согласно преобразованию

L [tk] =

k!

p

k+1

выражение

ayi

в

2

№

G) (x, y)= ув—1 Е

(n + 1, 1)

(в (n + 1), в)

— byв

(5)

п=о п!Г (1 - 2п)

Теорема 1. Функция Грина (5) при значении параметра в = 1 переходит в

х

функцию G1 (x, у) = e by ^ 1 — erfc ^

2^ay

Доказательство. Пусть в выражении (5) в = 1 будем иметь:

ау\п .х2/

Gl (x у) = Е

и=0

и!Г (1 — 2n)

1^1

(n +1,1) (n + 1, l)

— by

(6)

В выражении (6) обобщенную функцию Райта выразим через функцию Куммера согласно

1^1

(а, 1) (М, 1)

x

г (а)

Г (М)

1 F1 (а, М, x) ,

получим

1^1

(n + 1,1) (n + 1, l)

— by

= 1F1 (n + 1, n + 1, —by) = e

= e—by

(7)

1

n

Перепишем решение (6) с учетом формулы (7) в виде

~ (ЧУ

G1 (x у)= e—by£0 -ЩГ—ъГ) . (8)

п

Сделаем в выражении (8) замену п ^ -- и получим

n

x

Gl (x,у) = e—by Е \ . (9)

п

Воспользуемся известным соотношением Г (г) Г (1— г) = —:—т и найдем:

81п(пг)

Gl (x, у) = e—by Е-^гЧ;

n

x

-=о -!Г ( —- + 1

x \ . /ш\ „ /и

n

81П

(™\г( и

= e—by Е^^------------------------, = e—by( 1 — erfJ -і-

n=o -!п V V2vay

С другой стороны, рассмотрим дифференциальное уравнение

д G (х у) д (х у)

“дГ_=а^2— (х,у) • (10)

Преобразование Лапласа (10) по координате х, а затем по у с учетом начального условия дает следующее:

ю-1

G (ю, р) =-----—2—тт • (11)

р - (аю2 - Ь)

Сделаем обратное преобразование Лапласа (11) по параметру р и получим:

G (ю, у) = ю-1е(аю2-Ь)у = е-Ьую-1ваую2 • (12)

Обратное преобразование Лапласа (12) по параметру ю приводит к уравнению

у-\-1<ж

G (х, у) = е-Ьу I ю-1еюх+аую2йю• (13)

У -1<ж

Введем следующие обозначения в выражении (13): г = Щ, о = юх - и деформируя

х2

контур Ханкеля, например как в работе [2], получим выражение

^ -^о 2п-1

п!

а-1 eа+ш2dа = e-yb J e(J Е nl dа =

Ha Ha и=0

-уь у ^ eаа2n-1dа = e-yb Е —

и0 и! '

Ha -=о Ha

-=о

e° а2и 1

d а = e

— e-yb.

и!Г (1 — 2и)

(14)

Здесь мы воспользовались интегральным представлением гамма-функции [12]. Выражение (14) совпадает с точностью до множителя с выражением (9) и, следовательно,

Gl (п, в ) = G (п, в ) = e-xe [ 1 — erf с

n

2л/5Єє

Теорема доказана. □

Замечание 1. Решение задачи Коши для уравнения (1) без источника можно записать с помощью функции Грина (4):

u (x,у)= J Ge (x — %,у)ф (%) d%.

Рассмотрим задачу Коши (1) при условии, что ф (х) = 2. Решение этой задачи можно

Ь

записать следующим образом:

u (x у) = Qyв 1Е

те і ayв x2

-=о

и!Г (1 — 2и)

1^1

(и +1,1)

(в (и + 1), в )

— byв

+

n

e

n

+Qye Е

те [ ayв a'2

-=о

и!Г (1 — 2и)

1^1

(и + 1,1)

(в (и + 1) + 1,5)

(15)

— byв

Замечание 2. Решение (15) можно записать в несколько другом виде, учитывая свойство обобщенной функции Райта [13]:

zl^l

(и + 1, 1) (в, а)

= 1^1

(и + 1,1)

(в - а, а)

—1^1

(и1)

(в - а, а)

Решение (15) можно переписать в виде

u (x, у) = Ьв 1

те і ay5 x2

-=о

и!Г (1 — 2и)

1^1

(и +1,1)

(в (и + 1), в )

— byв

Q {пув/**)

Ь-=о -!Г(1 — 2и)

1%

(и + 1, 1) (в и +1, в)

— Ьув

ayв x2

+Q Е

b = и!Г (1 — 2и)

1^1

(-, 1)

(в и + 1, в)

— Ьув

n

z

z

z

n

n

n

Теорема 2. Решение (16) при значении параметра в = 1 переходит в классическое решение:

( л Q

u (x, у) = —

(

V

' Г—

e V a

b

erfcl -—— — \/Ьу) + e V a erf с I

7 \2^ay v V 7 V

2^=y + Vby)

2^/ay )

(17)

/

Доказательство. Пусть в = 1, тогда в выражении (16) разность двух первых членов будет равна нулю. Остается следующее выражение:

u (x y) = T Е

Q (ay5 jx2 ^

bn=o и!Г(1 — 2и)

1^1

(и1)

(в и + 1, в)

— Ьув

Q ^ (ау х2) Г (и) f ( + 1 — )

Т Е ІГ/1 . n lFl (n и + 1, — —у) =

b —О и!Г (1 — 2и) Г (и + 1)

_ Q £ (ay/x2)nY(и,by)

b

-=о

и!Г (1 — 2и) ’

где у(n,z) - неполная гамма-функция, определенная как

Y(n, z) = — \F\ (n, n + 1, - z). n

Далее, используя выражение из справочника [12]

I= 2e И (V + V) + erf (Vi-V?)),

с помощью некоторых преобразований приходим к решению (17).

Теорема доказана. □

Замечание 3. Решение (15) можно представить через функцию Грина (4):

У

Q Г

u (x,у) = —Gв (x,у) + QJ Gв (x,у — п)dn.

В более общем случае, когда ф (х) и 2(х,у) функции, решение примет вид

те у

u ^у) = j G5 (x — %,у) ф (%) d% + j J Ge(x — %,у — n)Q (%, n) d%dn.

-те 0

n

n

oo

Заключение

В результате исследования в настоящей работе дифференциального уравнения дробного порядка (1), а также исследования автора, например в работе [15], можно прийти к выводу, что исследуемое уравнение является обобщением дифференциального уравнения целого порядка. Поэтому решению уравнения (1) присущи как ранее известные свойства, так и новые, которые обусловлены нелокальностью процессов и явлений, происходящих во фрактальных средах.

Литература

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

2. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

3. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

4. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

5. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.

6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.

7. Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. 2000. Vol. 339. P. 1-77.

8. Mainardi F. Applications of integral transforms in fractional diffusion processes // Integral Transform. Spec. Function. 2004. Vol. 15. P. 477-484.

9. Zhou Т., Li C. Synchronization in fractional-order differential systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2005. Vol. 212. P. 111-125.

10. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529-539.

11. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Solidi(b). 1986. Vol. 133. P. 425-430.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

13. Mathai A.M., Haubold H.J. Special Functions for Applied Scientists. New York: Springer, 2008. 464 р.

14. Новиков Г.Ф. Радиометрическая разведка. Л.: Недра, 1989. 407 с.

15. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения диффузии-адвекции радона во фрактальной среде // Вестник СамГТУ. Сер. Физико-математические науки. 2010. № 1(20). С. 127-132.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.11.10