CC BY
58
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 2 (3). C. 42-49
УДК 517.955
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ГЕОСРЕДЫ Паровик Р.И.1,2, Фирстов П.П.3, Макаров Е.О.3
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Филиал Дальневосточного Федерального государственного университета, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Тушканова, 11/1
3 Камчатский филиал Геофизической службы РАН, 683006, г. Петропавловск-Камчатский, бул. Пийпа, 9
E-mail: romano84@mail.ru
Предложен алгоритм оценки фрактальной размерности с помощью временных рядов радоновых полей. Установлены некоторые закономерности фрактальной размерности с сейсмической активностью Южной Камчатки.
Ключевые слова: фрактальная размерность, временной ряд, дробная производная
(с) Паровик Р.И., Фирстов П.П., Макаров Е.О., 2011
MSC 00A71
MATHEMATICAL MODELING OF FRACTAL DIMENSION GEOMEDIUMAND Parovik R.I.1,2, Firstov P.P.3, Makarov E.O.3
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Branch of the Far Eastern Federal State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Tushkanova st., 11/1, Russia
3 Kamchatka Branch of Geophysical Service RAS, 683006, Petropavlovsk-Kamchatsky,
Piip Boulevard 9
E-mail: romano84@mail.ru
We propose an algorithm for estimating the fractal dimension of time series of radon fields.
Some regularities of the fractal dimension with the seismic activity in South Kamchatka.
Key words: fractal dimension, time series, the fractional derivative
(c) Parovik R.I., Firstov P.P., Makarov E.O., 2011 42
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время происходит интенсивное развитие дробного анализа и его приложений в различных областях знаний. С помощью дробного интегро-дифференцирования или дробного анализа можно строить адекватные математические модели природных, социальных и других явлений и процессов. Это возможно потому, что уравнения, описывающие эти явления, содержат новые параметры, которые учитывают свойства нелокальности по времени и координате.
В интерпретации экспериментальных данных эти параметры позволяют решениям соответствующих нелокальных уравнений наиболее точно их аппроксимировать и давать информацию о свойствах объекта изучения.
Необходимо отметить, что при решении дифференциального уравнения дробного порядка мы, с одной стороны решаем бесчисленное множество дифференциальных уравнений, а с другой получаем множество соответствующих им решений или различные функциональные пространства. Такое многообразие позволяет строить адекватные математические модели. На основе этой фундаментальной особенности дробного анализа и построена настоящая работа, в которой дробный анализ использован для целей исследования временных рядов экспериментальных данных мониторинга подпочвенного радона (22^п) с целью выделения и формализации предвестниковых аномалий сильных землетрясений района Южной Камчатки.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнение миграции Rn в рыхлых отложениях, которые обладают фрактальными свойствами, может быть записано в терминах дробной производной Герасимова-Капуто порядка а в безразмерном виде:
даА «, Т) д 2А й, т) , , , ,
Эга =D ар ХА w, т)+ХА~, (1)
где А = А , т) - объемная активность Rn, которая нам известна из экспериментальных данных; 0 < а < 1 - дробный параметр, связанный с фрактальной размерностью геосреды; т = t/t0, ^ = x/l0 - безразмерные время и пространственная координата,
to - среднее врем «жизни» атома Rn; lo - диффузионная длина; А(^,0) - начальное распределение Rn; Ах - равновесное значение объемной активности радона (ОА Rn); D - коэффициент диффузии Rn в геосреде, X - постоянная распада Rn; D = Dt0/12 -безразмерный коэффициент диффузии; X = Xt0 - безразмерная постоянная распада.
Нахождение значений параметра а (т) и его вариаций во времени из уравнения (1), которое при а = const является уравнением субдиффузии [1]-[2], по известным экспериментальным значениям ОА Rn А (^, т), является целью данной работы.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ
Уравнение (1) можно упростить, если аппроксимировать диффузионный член следующим соотношением:
/ ^ ю А(т) (2)
Подставляя (2) в уравнение (1) приходим к уравнению
д0ат(т)А(п) = (О — X) А(т)+ ХА^ (3)
Известно, что среднее время “жизни” атома 1^п ?о = 1/Х, поэтому уравнение (3)
упрощается и его можно записать так:
д£<т )А(п )= А„ (4)
Начальное условие для (2) запишется так:
А (0)= Ао . (5)
Необходимо отметить, что упрощение уравнения (3) позволяет получить простое решение, которое в первом приближении можно рассматривать как математическую модель переноса радона во фрактальной среде.
Считая в (4), что параметр а (т) изменяется от 0 до 1 дискретно, т.е. а (т) = а, к = 1,2,...,п, где п- количество экспериментальных данных. Мы получим к уравнений вида:
д0“ткА(п )= А„. (6)
Решение уравнения (6) согласно условию (5) можно получить интегральным преобразованием Лапласа
А так+^
А(т)= Ао + Т^Т • (7)
Левая часть уравнения (7) известна, т.е. А(т) = Ак. Известны значения Ах = А^к, которые мы вычислим с помощью методики работы [3] по формуле:
А„к = ^.
™к 1 _ т
А1(т) — значения объемной активности радона на глубине 21; А2(т) - значения
объемная активность радона на глубине г2, причем г2 = к ■ гъ к - коэффициент
пропорциональности; Т - численно находится из уравнения ХТк — Т + (1 — X)=0, X = А1(т)/А2(т).
Поэтому уравнение (7) мы можем записать в виде:
так + 1 А. —
*к(т ) = , *к (т)= (8)
Следующий этап - оценка значений ак по известным данным согласно выражению (8). Оценить значения ак можно с помощью метода наименьших квадратов или с помощью численных методов.
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Было проведено сопоставление расчетных значений ак, полученных по предложенной методике (8) и ОА 1£п, зарегистрированной на станциях сети Петропавловск-Камчатского полигона, с сейсмичностью Южной Камчатки. С целью лучшей визуализации обоих параметров рассматривалась относительная ОА 1£п, которая бралась
как отношение текущих значений N к максимальному значению N0 на рассматриваемом участке. Рассматривалось проявление сильных землетрясений Южной Камчатки с М>5,5 в период с 2005-2010 гг. в динамике обоих параметров.
На рис.2 приведены кривые относительной ОА 1^п и расчетные значения показателя ак для землетрясения 4 августа 2004 г. с М=5,6, произошедшее на расстоянии 116 км.
1
0.9
=Г D.8 5
С
О 0.4
W л л а /Ла ^Ґ
Afv\f
2 as. г 1 ■
J 0.9
5
^ 0.8
О 0.5
0.4
3
13 авг 18 ас
2004-
/\ ниє, М=5.б 6
Зеїі ілетрясе ..
1
0.9
0.8
■й
С
0.7 а> го
г. а "
0.Є щ
ЇС
О
0.5 С ’S
0.4 jg Ю 0.3 °
Ч
0.2
0.1
О
0.54
Л
С
0.5 ®
О
0.44 О
------N'iNO-----------alpha
Рис. 1. Кривые относительной ОА ^ и значений дробного показателя а в окрестностях землетрясения 4 августа 2004 г.: а) пункт Левая Авача; б) пункт ИКИР.
В значениях ОА 1£п перед событием с М = 5,6, произошедшим 4 августа 2004 г., в пунктах ЛВЧ и ИКР выделяются бухтообразные аномалии со временем упреждения около суток (рис.2). Эти аномалии, на основании синфазности их появления в трех пунктах - ИКИР, ЛВЧ, ПРТ, связываются с геодеформационной волной, возникшей на последней стадии подготовки землетрясения в результате квазипластического течения геометериала. При скорости распространения геодеформационной волны 30 км/сутки возникновение волны произошло за четверо суток до события [4].
В пункте ЛВЧ наблюдается синхронное поведение кривых для обоих параметров (рис. [2), а для пункта ИНС предвестниковая аномалия в значениях показателя ак выглядит достаточно убедительно (рис. 2), с выходом на стационарный уровень 13 августа. Это указывает на то, что пористые свойства рыхлых отложений при прохождении гнодеформационной волны изменяются и дробный показатель акможет служить еще одним параметром для выделения и формализации предвестниковых аномалий.
Рассмотрим сейсмичность Авачинского залива в июле - августе 2010 г. 30 июля 2010 г. произошло землетрясение в районе Авачинской котловины с М>6.3, а спустя две недели 15 августа в районе мыса Шипунский произошел рой землетрясений с Мшах=5,8 (53,56 с.ш.; 160,12 в.д.).
Рис. 2. Кривые относительной ОА Рп и значений дробного показателя аи в окрестностях землетрясения 30 июля 2010 г. в пункте КРМ.
На рис.3 представлены кривые экспериментальных данных в пункте КРМ: относительной ОА Рп и рассчитанных по формуле (8) значений аи, а вертикальными линиями отмечены моменты землетрясений. На обеих кривых можно выделить следующие этапы:
1 - начиная с 8 июля, наблюдается рост значений а от 0,6 до 0,85 вплоть до 17 июля;
2 - с 18 июля по 3 августа происходит незначительные изменения параметра а около 0,8;
3 - с 4 августа до 10 августа резкое снижение а от 0,825 до 0,63.
4 - с 11 августа до 13 августа резкий рост значений а от 0,63 до 0,85.
5 - с 14 по 20 августа незначительные отклонения значений а от 0,8.
Анализируя выделенные этапы поведения дробного показателя а и, сопоставляя даты наступления землетрясений можно сделать следующий вывод. Изменение параметра а, по-видимому, обусловлено деформационными процессами за счет ди-латансии геоматериала, которая возникает на последней стадии подготовки землетрясений. В пользу этого также говорит, что время упреждения для землетрясения 30 июля с М = 6,3 составляет около 20 суток, а для землетрясения 15 августа с М =5,8 всего 9 суток.
На рис. 4 представлены: расчетная кривая значений дробного параметра а, ее отфильтрованная кривая, относительная ОА Рп за июль 2008 г. по данным станции ИНС. Стрелкой отмечено землетрясение с М=6.2, которое произошло 24 июля 2008 г. в районе Южной Камчатки (50.97 с.ш., 157.58 в.д.)
На рис.4 видно, что со 2 июля по 8 июля наблюдается рост значений а от 0,7 до 0,9. С 9 июля по 15 происходит незначительное колебание а около значения 0,9. Далее с 16 июля до 20 июля наблюдается снижение а от 0,9 до 0,8 затем незначительный рост до 0,85 вплоть до 31 июля.
В этом случае, также как и перед землетрясением 30 июля 2010 г., происходит увеличение значений дробного показателя а почти на 30% за 25 суток до события.
Рис. 3. Кривые относительной ОА Rn и значений дробного показателя аи в окрестностях землетрясения 24 июля 2010 г. по данным пункта ИНС.
На рис.5 представлены экспериментальные данные по данным пункта ИНС за май-июнь 2007 г. Стрелкой отмечено землетрясение с М=6.4 (52.14 с.ш, 157.29 в.д.), которое произошло в южной части Камчатского полуострова.
Рис. 4. Кривые относительной ОА Rn и значений дробного показателя аи в окрестностях землетрясения 31 мая 2007 г. по данным пункта ИНС.
На рис.5 видно, что перед землетрясением за 30 суток наблюдается резкий рост а от 0,7 до 0,9, со значительными по амплитуде вариациями в дальнейшем. Так же можно заметить, так называемое, плато длительностью 5 суток, когда значения а меняются незначительно около значения 0,75. После плато значение а возрастает до 0,9 и происходит землетрясение. В этом случае кривая значений а напоминает логистическую кривую [5], которая присуще социальным, историческим и экономическим процессам.
На рис. 6. показаны кривые относительной ОА 1£п и значений дробного показателя аиза период 2005-2010 г. по данным пункта ПРТ. Жирными линиями отмечены землетрясения Южной Камчатки с М>5.5. В 2005 году 7 июля в Авачинском заливе (52.87 с.ш.,160.10 в.д.) произошло землетрясение с М=5.8. В 2006 году в основном сейсмическая активность проявлялась в июле-августе. Сильное землетрясение в этот период произошло 24 августа с М=6.5 у Южного побережья Камчатки (51.15 с.ш.,
Рис. 5. Кривые относительной ОА Rn и значений дробного показателя ак за период 20052010 г. по данным пункта ПРТ.
157.52). В 2007 году сильное землетрясение произошло 30 мая на территории Камчатского полуострова (52.14 с.ш., 157.29 в.д.) с М=6.4. В 2008 году сейсмическая активность увеличилась: произошли три события с М>5.5. 6 марта (51.52 с.ш.,
156.55 в.д.) М=5.5, 24 июля (50.97 с.ш., 157.58 в.д.) М=6.2, 18 сентября (51.94 с.ш., 158.36 в.д.) М=5.9. В 2009 году землетрясений с М >5.5 не было, но 14 января произошло землетрясение с М=5.4 (52.27 с.ш., 159.29 в.д.). В 2010 году усиление сейсмической активности пришлось на июль месяц, 30 июля в районе Авачинского залива (52.50 с.ш., 159.84 в.д.) произошло землетрясение с М=6.3.
На рис.6 видно, что времена указанных выше землетрясения совпадают либо с увеличением значений дробного показателя а либо с его уменьшением. С учетом того, что этот показатель связан с фрактальной размерностью среды, то он отражает структурное изменение геосреды под действием деформаций. Разнополярность аномалий указывает на то, что структура деформирования среды является мозаичной и фрактальной.
Как показано в работе [6], резкие изменения, в том числе кратковременные, напряженно - деформированного состояния контакта между блоками горный породы приводят к возникновению межблоковых перемещений. Которые, в свою очередь, проявляются в виде «квазивязкого» течения материала земной коры. По-видимому, процесс ползучести за счет квазивязкого течения горных масс порождает «геодефор-мационные волны», обусловленные взаимодействием отдельных блоков геологической среды. Геодеформационные волны изменяют структуру рыхлых отложений, что отражается в изменении показателя а и ОА 1£п. В зависимости от расположения пунктов регистрации относительно границ отдельных блоков, аномалии имеют различную форму (бухтообразные, ступенчатые) и различную полярность в зависимости от геолого-тектонических условий того или иного пункта регистрации относительно очага землетрясения.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Выявленная чувствительность параметра а к изменениям напряженно-деформированного состояния указывает на то, что этот параметр может служить для выделения и формализации предвестниковых аномалий сильных землетрясений в поле подпочвенного 1£п. С помощью этого параметра можно осуществлять мониторинг деформационных процессов в геосреде. Предложенная методика совместно с другими известными ме-
тодами анализа временных рядов увеличивает эффективность краткосрочного прогноза землетрясений района Южной Камчатки с К > 5,5.
В развитии модели (1) необходимо учитывать параметр D = D — X, который отвечает диффузионный механизм. Такое уточнение приведет к значительному усложнению решения уравнения (1) и к определенным трудностям в реализации алгоритма.
Литература
1. Нахушев А.М.Дробное исчисление и его применение. - М: Физматлит, 2003. - 272 с.
2. Meilanov R.P. The Fractal Concept in the Theory of a Thermal Field of the Earth //Thermal Field of the Earth and Methods of its study /Receiver of the proceedings. M.: Publishing house RUDN, 2000, pp.63-68. (In Russian).
3. Яковлева, В.С. Процессы переноса радона в неравновесных средах: Автореф. канд. физ.- мат. наук. - Томск: ТПУ, 2002. - 23 с.
4. Firstov, P.P., Yakovleva V.S., Shirokov et. а! The nexus of soil radon and hydrogen dynamics and seismicity of the northern flank of the Kuril - Kamchatka subduction zone // Annals of Geophysics. 2007.V. 50. N 4. P.
5. Нахушев А.М., Кенетова Р.О. Моделирование социально-исторических и этнических процессов. - Нальчик: Эль-Фа, 1998. - 172 с.
6. Попруженко С.В., Зубин М.И. Тектоника и некоторые особенности сейсмичности шельфовой зоны Авачинского залива и прилегающих районов // Вулканология и сейсмология. 1997. №2. С. 74-86.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 5.12.2011
