Научная статья на тему 'Математическое моделирование фрактальной размерности геосреды'

Математическое моделирование фрактальной размерности геосреды Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

CC BY
161
53
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ / ВРЕМЕННОЙ РЯД / ДРОБНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ / FRACTAL DIMENSION / TIME SERIES / THE FRACTIONAL DERIVATIVE

Аннотация научной статьи по наукам о Земле и смежным экологическим наукам, автор научной работы — Паровик Роман Иванович, Фирстов Павел Павлович, Макаров Евгений Олегович

Предложен алгоритм оценки фрактальной размерности с помощью временных рядов радоновых полей. Установлены некоторые закономерности фрактальной размерности с сейсмической активностью Южной Камчатки.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

MATHEMATICAL MODELING OF FRACTAL DIMENSION GEOMEDIUMAND

We propose an algorithm for estimating the fractal dimension of time series of radon fields. Some regularities of the fractal dimension with the seismic activity in South Kamchatka.

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование фрактальной размерности геосреды»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 2 (3). C. 42-49

УДК 517.955

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ГЕОСРЕДЫ Паровик Р.И.1,2, Фирстов П.П.3, Макаров Е.О.3

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Филиал Дальневосточного Федерального государственного университета, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Тушканова, 11/1

3 Камчатский филиал Геофизической службы РАН, 683006, г. Петропавловск-Камчатский, бул. Пийпа, 9

E-mail: [email protected]

Предложен алгоритм оценки фрактальной размерности с помощью временных рядов радоновых полей. Установлены некоторые закономерности фрактальной размерности с сейсмической активностью Южной Камчатки.

Ключевые слова: фрактальная размерность, временной ряд, дробная производная

(с) Паровик Р.И., Фирстов П.П., Макаров Е.О., 2011

MSC 00A71

MATHEMATICAL MODELING OF FRACTAL DIMENSION GEOMEDIUMAND Parovik R.I.1,2, Firstov P.P.3, Makarov E.O.3

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Branch of the Far Eastern Federal State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Tushkanova st., 11/1, Russia

3 Kamchatka Branch of Geophysical Service RAS, 683006, Petropavlovsk-Kamchatsky,

Piip Boulevard 9

E-mail: [email protected]

We propose an algorithm for estimating the fractal dimension of time series of radon fields.

Some regularities of the fractal dimension with the seismic activity in South Kamchatka.

Key words: fractal dimension, time series, the fractional derivative

(c) Parovik R.I., Firstov P.P., Makarov E.O., 2011 42

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время происходит интенсивное развитие дробного анализа и его приложений в различных областях знаний. С помощью дробного интегро-дифференцирования или дробного анализа можно строить адекватные математические модели природных, социальных и других явлений и процессов. Это возможно потому, что уравнения, описывающие эти явления, содержат новые параметры, которые учитывают свойства нелокальности по времени и координате.

В интерпретации экспериментальных данных эти параметры позволяют решениям соответствующих нелокальных уравнений наиболее точно их аппроксимировать и давать информацию о свойствах объекта изучения.

Необходимо отметить, что при решении дифференциального уравнения дробного порядка мы, с одной стороны решаем бесчисленное множество дифференциальных уравнений, а с другой получаем множество соответствующих им решений или различные функциональные пространства. Такое многообразие позволяет строить адекватные математические модели. На основе этой фундаментальной особенности дробного анализа и построена настоящая работа, в которой дробный анализ использован для целей исследования временных рядов экспериментальных данных мониторинга подпочвенного радона (22^п) с целью выделения и формализации предвестниковых аномалий сильных землетрясений района Южной Камчатки.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Уравнение миграции Rn в рыхлых отложениях, которые обладают фрактальными свойствами, может быть записано в терминах дробной производной Герасимова-Капуто порядка а в безразмерном виде:

даА «, Т) д 2А й, т) , , , ,

Эга =D ар ХА w, т)+ХА~, (1)

где А = А , т) - объемная активность Rn, которая нам известна из экспериментальных данных; 0 < а < 1 - дробный параметр, связанный с фрактальной размерностью геосреды; т = t/t0, ^ = x/l0 - безразмерные время и пространственная координата,

to - среднее врем «жизни» атома Rn; lo - диффузионная длина; А(^,0) - начальное распределение Rn; Ах - равновесное значение объемной активности радона (ОА Rn); D - коэффициент диффузии Rn в геосреде, X - постоянная распада Rn; D = Dt0/12 -безразмерный коэффициент диффузии; X = Xt0 - безразмерная постоянная распада.

Нахождение значений параметра а (т) и его вариаций во времени из уравнения (1), которое при а = const является уравнением субдиффузии [1]-[2], по известным экспериментальным значениям ОА Rn А (^, т), является целью данной работы.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ

Уравнение (1) можно упростить, если аппроксимировать диффузионный член следующим соотношением:

/ ^ ю А(т) (2)

Подставляя (2) в уравнение (1) приходим к уравнению

д0ат(т)А(п) = (О — X) А(т)+ ХА^ (3)

Известно, что среднее время “жизни” атома 1^п ?о = 1/Х, поэтому уравнение (3)

упрощается и его можно записать так:

д£<т )А(п )= А„ (4)

Начальное условие для (2) запишется так:

А (0)= Ао . (5)

Необходимо отметить, что упрощение уравнения (3) позволяет получить простое решение, которое в первом приближении можно рассматривать как математическую модель переноса радона во фрактальной среде.

Считая в (4), что параметр а (т) изменяется от 0 до 1 дискретно, т.е. а (т) = а, к = 1,2,...,п, где п- количество экспериментальных данных. Мы получим к уравнений вида:

д0“ткА(п )= А„. (6)

Решение уравнения (6) согласно условию (5) можно получить интегральным преобразованием Лапласа

А так+^

А(т)= Ао + Т^Т • (7)

Левая часть уравнения (7) известна, т.е. А(т) = Ак. Известны значения Ах = А^к, которые мы вычислим с помощью методики работы [3] по формуле:

А„к = ^.

™к 1 _ т

А1(т) — значения объемной активности радона на глубине 21; А2(т) - значения

объемная активность радона на глубине г2, причем г2 = к ■ гъ к - коэффициент

пропорциональности; Т - численно находится из уравнения ХТк — Т + (1 — X)=0, X = А1(т)/А2(т).

Поэтому уравнение (7) мы можем записать в виде:

так + 1 А. —

*к(т ) = , *к (т)= (8)

Следующий этап - оценка значений ак по известным данным согласно выражению (8). Оценить значения ак можно с помощью метода наименьших квадратов или с помощью численных методов.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Было проведено сопоставление расчетных значений ак, полученных по предложенной методике (8) и ОА 1£п, зарегистрированной на станциях сети Петропавловск-Камчатского полигона, с сейсмичностью Южной Камчатки. С целью лучшей визуализации обоих параметров рассматривалась относительная ОА 1£п, которая бралась

как отношение текущих значений N к максимальному значению N0 на рассматриваемом участке. Рассматривалось проявление сильных землетрясений Южной Камчатки с М>5,5 в период с 2005-2010 гг. в динамике обоих параметров.

На рис.2 приведены кривые относительной ОА 1^п и расчетные значения показателя ак для землетрясения 4 августа 2004 г. с М=5,6, произошедшее на расстоянии 116 км.

1

0.9

=Г D.8 5

С

О 0.4

W л л а /Ла ^Ґ

Afv\f

2 as. г 1 ■

J 0.9

5

^ 0.8

О 0.5

0.4

3

13 авг 18 ас

2004-

/\ ниє, М=5.б 6

Зеїі ілетрясе ..

1

0.9

0.8

■й

С

0.7 а> го

г. а "

0.Є щ

ЇС

О

0.5 С ’S

0.4 jg Ю 0.3 °

Ч

0.2

0.1

О

0.54

Л

С

0.5 ®

О

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0.44 О

------N'iNO-----------alpha

Рис. 1. Кривые относительной ОА ^ и значений дробного показателя а в окрестностях землетрясения 4 августа 2004 г.: а) пункт Левая Авача; б) пункт ИКИР.

В значениях ОА 1£п перед событием с М = 5,6, произошедшим 4 августа 2004 г., в пунктах ЛВЧ и ИКР выделяются бухтообразные аномалии со временем упреждения около суток (рис.2). Эти аномалии, на основании синфазности их появления в трех пунктах - ИКИР, ЛВЧ, ПРТ, связываются с геодеформационной волной, возникшей на последней стадии подготовки землетрясения в результате квазипластического течения геометериала. При скорости распространения геодеформационной волны 30 км/сутки возникновение волны произошло за четверо суток до события [4].

В пункте ЛВЧ наблюдается синхронное поведение кривых для обоих параметров (рис. [2), а для пункта ИНС предвестниковая аномалия в значениях показателя ак выглядит достаточно убедительно (рис. 2), с выходом на стационарный уровень 13 августа. Это указывает на то, что пористые свойства рыхлых отложений при прохождении гнодеформационной волны изменяются и дробный показатель акможет служить еще одним параметром для выделения и формализации предвестниковых аномалий.

Рассмотрим сейсмичность Авачинского залива в июле - августе 2010 г. 30 июля 2010 г. произошло землетрясение в районе Авачинской котловины с М>6.3, а спустя две недели 15 августа в районе мыса Шипунский произошел рой землетрясений с Мшах=5,8 (53,56 с.ш.; 160,12 в.д.).

Рис. 2. Кривые относительной ОА Рп и значений дробного показателя аи в окрестностях землетрясения 30 июля 2010 г. в пункте КРМ.

На рис.3 представлены кривые экспериментальных данных в пункте КРМ: относительной ОА Рп и рассчитанных по формуле (8) значений аи, а вертикальными линиями отмечены моменты землетрясений. На обеих кривых можно выделить следующие этапы:

1 - начиная с 8 июля, наблюдается рост значений а от 0,6 до 0,85 вплоть до 17 июля;

2 - с 18 июля по 3 августа происходит незначительные изменения параметра а около 0,8;

3 - с 4 августа до 10 августа резкое снижение а от 0,825 до 0,63.

4 - с 11 августа до 13 августа резкий рост значений а от 0,63 до 0,85.

5 - с 14 по 20 августа незначительные отклонения значений а от 0,8.

Анализируя выделенные этапы поведения дробного показателя а и, сопоставляя даты наступления землетрясений можно сделать следующий вывод. Изменение параметра а, по-видимому, обусловлено деформационными процессами за счет ди-латансии геоматериала, которая возникает на последней стадии подготовки землетрясений. В пользу этого также говорит, что время упреждения для землетрясения 30 июля с М = 6,3 составляет около 20 суток, а для землетрясения 15 августа с М =5,8 всего 9 суток.

На рис. 4 представлены: расчетная кривая значений дробного параметра а, ее отфильтрованная кривая, относительная ОА Рп за июль 2008 г. по данным станции ИНС. Стрелкой отмечено землетрясение с М=6.2, которое произошло 24 июля 2008 г. в районе Южной Камчатки (50.97 с.ш., 157.58 в.д.)

На рис.4 видно, что со 2 июля по 8 июля наблюдается рост значений а от 0,7 до 0,9. С 9 июля по 15 происходит незначительное колебание а около значения 0,9. Далее с 16 июля до 20 июля наблюдается снижение а от 0,9 до 0,8 затем незначительный рост до 0,85 вплоть до 31 июля.

В этом случае, также как и перед землетрясением 30 июля 2010 г., происходит увеличение значений дробного показателя а почти на 30% за 25 суток до события.

Рис. 3. Кривые относительной ОА Rn и значений дробного показателя аи в окрестностях землетрясения 24 июля 2010 г. по данным пункта ИНС.

На рис.5 представлены экспериментальные данные по данным пункта ИНС за май-июнь 2007 г. Стрелкой отмечено землетрясение с М=6.4 (52.14 с.ш, 157.29 в.д.), которое произошло в южной части Камчатского полуострова.

Рис. 4. Кривые относительной ОА Rn и значений дробного показателя аи в окрестностях землетрясения 31 мая 2007 г. по данным пункта ИНС.

На рис.5 видно, что перед землетрясением за 30 суток наблюдается резкий рост а от 0,7 до 0,9, со значительными по амплитуде вариациями в дальнейшем. Так же можно заметить, так называемое, плато длительностью 5 суток, когда значения а меняются незначительно около значения 0,75. После плато значение а возрастает до 0,9 и происходит землетрясение. В этом случае кривая значений а напоминает логистическую кривую [5], которая присуще социальным, историческим и экономическим процессам.

На рис. 6. показаны кривые относительной ОА 1£п и значений дробного показателя аиза период 2005-2010 г. по данным пункта ПРТ. Жирными линиями отмечены землетрясения Южной Камчатки с М>5.5. В 2005 году 7 июля в Авачинском заливе (52.87 с.ш.,160.10 в.д.) произошло землетрясение с М=5.8. В 2006 году в основном сейсмическая активность проявлялась в июле-августе. Сильное землетрясение в этот период произошло 24 августа с М=6.5 у Южного побережья Камчатки (51.15 с.ш.,

Рис. 5. Кривые относительной ОА Rn и значений дробного показателя ак за период 20052010 г. по данным пункта ПРТ.

157.52). В 2007 году сильное землетрясение произошло 30 мая на территории Камчатского полуострова (52.14 с.ш., 157.29 в.д.) с М=6.4. В 2008 году сейсмическая активность увеличилась: произошли три события с М>5.5. 6 марта (51.52 с.ш.,

156.55 в.д.) М=5.5, 24 июля (50.97 с.ш., 157.58 в.д.) М=6.2, 18 сентября (51.94 с.ш., 158.36 в.д.) М=5.9. В 2009 году землетрясений с М >5.5 не было, но 14 января произошло землетрясение с М=5.4 (52.27 с.ш., 159.29 в.д.). В 2010 году усиление сейсмической активности пришлось на июль месяц, 30 июля в районе Авачинского залива (52.50 с.ш., 159.84 в.д.) произошло землетрясение с М=6.3.

На рис.6 видно, что времена указанных выше землетрясения совпадают либо с увеличением значений дробного показателя а либо с его уменьшением. С учетом того, что этот показатель связан с фрактальной размерностью среды, то он отражает структурное изменение геосреды под действием деформаций. Разнополярность аномалий указывает на то, что структура деформирования среды является мозаичной и фрактальной.

Как показано в работе [6], резкие изменения, в том числе кратковременные, напряженно - деформированного состояния контакта между блоками горный породы приводят к возникновению межблоковых перемещений. Которые, в свою очередь, проявляются в виде «квазивязкого» течения материала земной коры. По-видимому, процесс ползучести за счет квазивязкого течения горных масс порождает «геодефор-мационные волны», обусловленные взаимодействием отдельных блоков геологической среды. Геодеформационные волны изменяют структуру рыхлых отложений, что отражается в изменении показателя а и ОА 1£п. В зависимости от расположения пунктов регистрации относительно границ отдельных блоков, аномалии имеют различную форму (бухтообразные, ступенчатые) и различную полярность в зависимости от геолого-тектонических условий того или иного пункта регистрации относительно очага землетрясения.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Выявленная чувствительность параметра а к изменениям напряженно-деформированного состояния указывает на то, что этот параметр может служить для выделения и формализации предвестниковых аномалий сильных землетрясений в поле подпочвенного 1£п. С помощью этого параметра можно осуществлять мониторинг деформационных процессов в геосреде. Предложенная методика совместно с другими известными ме-

тодами анализа временных рядов увеличивает эффективность краткосрочного прогноза землетрясений района Южной Камчатки с К > 5,5.

В развитии модели (1) необходимо учитывать параметр D = D — X, который отвечает диффузионный механизм. Такое уточнение приведет к значительному усложнению решения уравнения (1) и к определенным трудностям в реализации алгоритма.

Литература

1. Нахушев А.М.Дробное исчисление и его применение. - М: Физматлит, 2003. - 272 с.

2. Meilanov R.P. The Fractal Concept in the Theory of a Thermal Field of the Earth //Thermal Field of the Earth and Methods of its study /Receiver of the proceedings. M.: Publishing house RUDN, 2000, pp.63-68. (In Russian).

3. Яковлева, В.С. Процессы переноса радона в неравновесных средах: Автореф. канд. физ.- мат. наук. - Томск: ТПУ, 2002. - 23 с.

4. Firstov, P.P., Yakovleva V.S., Shirokov et. а! The nexus of soil radon and hydrogen dynamics and seismicity of the northern flank of the Kuril - Kamchatka subduction zone // Annals of Geophysics. 2007.V. 50. N 4. P.

5. Нахушев А.М., Кенетова Р.О. Моделирование социально-исторических и этнических процессов. - Нальчик: Эль-Фа, 1998. - 172 с.

6. Попруженко С.В., Зубин М.И. Тектоника и некоторые особенности сейсмичности шельфовой зоны Авачинского залива и прилегающих районов // Вулканология и сейсмология. 1997. №2. С. 74-86.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 5.12.2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.