CC BY
23
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ДВУЧЛЕННЫХ И ТРЕХЧЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
Мамедяров Даглар Мамедярович
канд. пед. наук, «Социально-педагогический институт» РФ, г. Дербент
E-mail: sakitorudjev@mail. ru
THE SOLUTION OF SOME BINOMIAL AND TRINOMINAL EQUATIONS OF THE HIGHEST DEGREES IN NATURAL NUMBERS
Daglar Mamedyarov
candidate of Pedagogical Sciences, "Social Pedagogical Institute ", Russia, Derbent
АННОТАЦИЯ
В статье рассматривается один из способов решения уравнений видов
хт — dym = zm и dxm — ут = zm в натуральных числах.
Автор не утверждает, что данные уравнения не могут иметь других корней.
ABSTRACT
In the article one of the ways of solving the equations of xm — dym = zm and dxm — ym = zm types in natural numbers is described. The author does not claim that these equations cannot have other roots.
Ключевые слова: сочетания; система уравнений; бесконечное множество решений.
Keywords: combinations; set of equations; infinite aggregate of solutions.
Рассмотрим выражение Сдп — C^ — С2п = T, где А, В, и С — последовательные члены некоторой арифметической прогрессии. Используя определение числа сочетаний, после некоторых преобразований приходим к выражению
(An)2 — (А2 — В2)2п2 = (Вп)2. Введя новые обозначения An = х,
А2 — В2 = d,n = y,Bn = z получаем уравнение х2 — dy2 = z2. Например, из тождества С8n — — С\п = 6п2 + п получаем (8п)2 — 48п2 = (4n)2 = т2 или х2 — 48у2 = z2. Из тождества С] — С£п — С= 18п2 приходим к
(9п)2 — 72п2 = (3п)2 или х2 — 72у2 = z2.
^ created by free version of
S DociFreezer
В общем виде получаем уравнение х2 — йу2 = г2. [1. с. 36, с. 37, с. 38]. о Решим уравнение х2 — 48у2 = г2.
Представим число 48 в виде разности А2 — В2, то есть решим уравнение А2—В2 = 48. Отсюда (А — В)(А + В) = 48.
т, 1ЛГ А —В = 1 А —В = 2 ^г А —В = 3
Имеем системы 1} {А + В = 48 2) {А + В = 24 3) {А + В = 16
4) {А—В=4 5){А — В = 6 ) {А + В = 12 ){А + В = 8
Из первой системы получаем А = 24,5 (не натуральное число). Из второй системы имеем: А = 13, тогда В = 11, й = 132 — 112 = 169 — 121 = 48.
Из третьей системы имеем: А = 9,5 (не натуральное число).
Из четвертой: А = 8, тогда В = 4, й = 82 — 42 = 48.
Из пятой: А = 7,В = 1,й = 72 — 1 = 48. Если А = 13,Ь = 11то х = 13п,
у = п, г = 11п, где п - произвольное натуральное число. Пусть п = 2, тогда
х = 26,у = 2,2 = 22.
Проверка: 262 — 48 • 22 = 222 = 484.
Если А = 8, В = 4,х = 16,у = 2,2 = 8,
Проверка: 162 — 48 • 22 = 64.
Если А = 7, В = 1,х = 14,у = 2,2 = 2,
Проверка: 142 — 48 • 22 = 4.
о Решим уравнение х2 — 72у2 = 22.
Имеем: А2 — В2 = 72, (А — В)(А + В) = 72. Получаем следующие системы
(А — В = 12(А — В = 23(А — В = 3 (А — В = 4 ) {А + В = 72 ){А + В = 36 ){А + В = 24 ) {А + В = 18
А — В = 6 А — В = 8
А — В = 6 5) + В = 126 {
1А + В = 12 ' и + В = 9' Так как АиВ натуральные числа, то решения будут иметь уравнения 2, 4, 5. Из (2) системы получаем: А = 19, тогда В = 17, х = 19п,г = 17п,у = п. Из (4) системы получаем: А = 11, В = 7, х = 11п,у = п, г = 7п. Из (5) системы получаем: А = 9, В = 3,х = 9п,г = 3п,у = п.
!!\ сгеа1ес1 Ьу ^ее уегсюп о{
д РооРгеегег
Пусть п = 3, тогда из (2) имеем х = 57, у = 3,г = 51.
Проверка: 572 - 72-32 = 512.
Из (4) имеем х = 33,у = 3,г = 21.
Проверка: 332 - 72-32 = 212.
Из (5) имеем х = 27,у = 3,г = 9.
Проверка: 272 - 72-32 = 92.
о Решим уравнение х2 — йу2 = г2.
Пусть А = 4, В = 2, тогда й = 42 — 22 = 12, х = Ап = 4п, у = Вп = 2п.
Если п = 1,х = 4,у = 1,г = 2.
Проверка: 42 — 12 • 1 = 22.
Если п = 2,х = 8, у = 2, г = 4.
Проверка: 82 — 12 • 22 = 42.
Если п = 3,х = 12, у = 3,г = 6.
Проверка: 122 — 12 • 32 = 62.
Уравнение имеет бесконечное множество решений й = А2 — В2,х = Ап, у = п, 2 = Вп.
• Решение уравнений вида йх2 — у2 = г2.
Рассмотрим Сдп + Свп + С2п = Т, где А, В, и С - последовательные члены некоторой арифметической прогрессии. Используя определение числа сочетаний, после нескольких преобразований приходим к равенству
(А2 + В2)п2 — (Вп)2 = (Ап)2 или (А2 + В2)п2 — (Ап)2 = (Вп)2. После введения новых обозначений А2 — В2 = й,п = х,Ап = г, Вп = у или
Вп = г,Ап = у получаем уравнение вида йх2 — у2 = г2. Уравнение в общем виде имеет бесконечное множество решений. Например, пусть А = 5, В = 2,
тогда й = 52 + 22 = 29, х = п берем произвольно, у = Ап, г = Вп, или у = Вп, z = Ап.
Если п = 1,х = п = 1,у = 5, г = 2 или у = 2, г = 5. Проверка: 29 • 1 — 52 = 22 или 29 • 1 — 22 = 52.
created by free version of
Если п = 2,х = 2, у = 10, г = 4 или у = 4,г = 8. Проверка: 29 • 22 - 100 = 42 или 29 • 22 - 42 = 102. Решим несколько уравнений при фиксированном й. • Решим уравнение 5х2 — у2 = г2.
Имеем А2 + В2 = 5, отсюда А = 1,либо 2, В = 2 или В = 1. Тогда х = п, берем произвольно, у = п, г = 2п, или у = 2п, г = п. Пусть п = 3. Тогда х = 3,у = 3, г = 6 или х = 3,у = 6, г = 3. Проверка: 5 • 32 — 32 = 45 — 9 = 62 или 5 • 32 — 62 = 32. о Решим уравнение при фиксированных (1 и г. Например, 13х2 — у2 =
9.
Решение. Имеем: (Вп)2 = 9,Вп = 3 или Ап = 3. Если В = 1, то п = 3. Так как А2 + В2 = 13, А2 = 13 — 12 = 12 (не точный квадрат).
Если В = 3, то п = 1. Тогда А2 = 13 — 32 = 4, А = 2. Значит х = п, у = Ап, г = Вп. Пусть п = 2, тогда х = 2,у = 4,г = 6 или х = 2,у = 6,
Проверка: 13 • 22 — 42 = 62,13 • 22 — 62 = 42.
Теперь рассмотрим в общем виде уравнение хт — йут = гт где й > 1. По аналогии с решениями предыдущих уравнений должны иметь с1 = Ат — Вт, у = п,х = Ап, г = Вп. Докажем, что эти числа удовлетворяют нашему уравнению. Подставим в уравнение хт — йут = гт свои значения. Имеем:
(Ап)т — (Ат — Вт)пт = (Вп)т, (Ап)т — (Ап)т + (Вп)т = (Вп)т. Для уравнения йхт — ут = 2т, (1 = Ат + Вт, х = п, у = Ап или Вп, г = Вп или Ап. Тогда имеем (Ат + Вт)пт — (Ап)т = (Вп)т. Атпт + Втпт — АтВт = Втпт или Атпт + Втпт — Втпт = АтВт. Из равенства обеих частей следует справедливость нашего утверждения. Найдем решения уравнения х3 — йу3 = г3. Пусть А = 3, В = 1, тогда
й = 33 — 13 = 26, х = Ап, у = п, z = Вп, где п - произвольное натуральное число. Пусть п = 1, тогда х = 3,у = п = 1,г = 1.
z = 4.
created by free version of
Проверка: 33 — 26 • 13 = 13.
Пусть п = 2, тогда х = 6, у = 2,7 = 2.
Проверка: 63 — 26 • 23 = 23.
Теперь найдем решения уравнения х4 — йу4 = 74. Пусть А = 4, В = 3,тогда
й = 175, х = 4п,у = п^ = 3п. Уравнение имеет вид х4 — 175у4 = 74.
при п = 1, х = 4, у = 1,7 = 3.
Проверка: 44 — 175 • 14 = 256 — 175 = 81 = 34.
Пусть п = 2, тогда х = 8, у = 2,7 = 6.
Проверка: 84 — 175 • 24 = 4096 — 2800 = 1296 = 64.
Найдем решения уравнения йх3 — у3 = 73. Пусть А = 5, В = 2, тогда
й = 53 + 28 = 133, х = п, у = Лп или 5п, 7 = 5п или Лп.
Если п = 1,х = 1,у = 5 или 2,7 = 2 или 5.
Проверка: 133 • 13 — 53 = 23 или 133 • 13 — 23 = 53.
Если п = 2, х = 2, у = 10 или 4,7 = 4 или 10.
Проверка: 133 • 23 — 103 = 1064 — 1000 = 64 = 43 или
133 • 23 — 43 = 1000 = 103.
Решим уравнение при фиксированном значении й. • Решим уравнение х3 — 26у3=73.
Имеем: Л3 — В3 = 26, или (а — Ь)(а2 + аЬ + Ь2) = 26. Приходим к
а — Ь = 1 оч г а —Ь = 2 системам уравнений 1) 4 9 т9 ^ 2) 4 9 т9 .
^ 7 ш2 + аЬ + Ь2 = 26 71а2 + аЬ + Ь2 = 13
Решим первую систему. Имеем: а = Ь + 1. Подставим это во второе уравнение, получаем (Ь + 1)2 = (Ь + 1)Ь + Ь2 = Ь2 + 2Ь + 1 + Ь2 =
= 3Ь2 + 3Ь + 1 = 26 или 3Ь2 + 3Ь — 25 = 0. Решаем это как квадратное
, -3±79+300 ^ - тх
уравнение Ь =-. Это уравнение натуральных корней не имеет. Из
второй системы получаем а = Ь + 2. Отсюда
(Ь + 2)2 + (Ь + 2)Ь + Ь2 = Ь2 + 4Ь + 4 + Ь2 + 2Ь + Ь2 = 3Ь2 + 6Ь — 9 =
^ сгеа!ес1 Ьу йгее уетоп of
ю Роа^геегег
или Ь2 + 2Ь — 3 = 0. Решаем это уравнение Ь = —1 ± VI + 3 = —1 ± 2, Если
Ь = 1, тогда Л = 3, х = 3п, у = п, 7 = п. Если п = 1, х = 3, у = 1,7 = 1. Проверка: 33 — 26 • 13 = 1. Если п = 2, х = 6, у = 2,7 = 2. Проверка: 63 — 26 • 23 = 23 = 8. • Решим уравнение х4 — 240у4 = 7 4.
Имеем: Л4 — Б4 = 240, или (Л — Я)(а3 + а2Ь + аЬ2 + Ь3) = 240. Но здесь лучше решать уравнение (Л2 — Б2)(Л2 + 52) = 240.
Имеем системы: 1) { п п 2) { п п 3) ( ~ ~
' и2 + Я2 = 240 и2 + Я2 = 120 и2 + Я2 = 80
4)(А2—В2=45)(А2—В2 = 66)(А2—В2 = 57)(А2—В2 = 8 } (Л2 + Я2 = 60 7 (Л2 + Я2 = 40 7 (Л2 + Я2 = 48 7 (Л2 + Я2 = 30
Л2 — Я2 = 10 пч М2 — В2 = 12 1ЛЧ и2 — Я2 = 15
8) И2—в2 = 1° 9) (л2—в2 = 12 10)
71л2 + Я2 = 24 ) 1л2 + Я2 = 20 ) I
[Л2 + Я2 = 24 7 (Л2 + Я2 = 20 7 (Л2 + Я2 = 16" Так как Л и В натуральные, то для решения подходят системы 2, 4, 5, 7, 8, 9.
Из второй системы получаем Л2 = 62 (не точный квадрат).
Из четвертой: Л2 = 32 (не точный квадрат).
Из пятой: Л2 = 23 (не точный квадрат).
Из седьмой: Л2 = 19 (не точный квадрат).
Из восьмой: Л2 = 17 (не точный квадрат).
Из девятой: Л2 = 16, Л = 4, тогда 5 = 2.
Для решения подходят Л = 4, В = 2. Тогда х = 4п, у = п, 7 = 2п.
Пусть п = 1, тогда х = 4, у = 1,7 = 2.
Проверка: 44 — 240 • 14 = 24.
Если п = 2, х = 8, у = 2,7 = 4.
Проверка: 84 — 240 • 24 = 256 = 44.
о Решим уравнение х5 — 242у5 = .
Имеем: Л5 — Б5 = 211, или (Л — Я)(Л4 + Л3Я + Л2Я2 + ЛЯ3 + Я4) = 242. Получаем системы:
а — b = 1 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4 = 242
а — b = 2 '4 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4 = 121
а —Ь = 11
'4 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4 = 22'
1} (а4 + а3
2) (а4 + а3
3) ( ^ 3
ta4 + а3
Чтобы уравнение х5 — 242у5 = z5 имело корни, надо чтобы хотя бы одна из этих систем имела натуральные корни. Для примера решим вторую систему.
Из первого уравнения имеем а = b + 2. Подставим это во второе уравнение системы. После преобразований получаем уравнение
5Ь4 + 20Ь3 + 40Ь2 + 40Ь — 105 = 0 или Ь4 + 4Ь3 + 8Ь2 + 8Ь — 21 = 0.
Получим уравнение четвертой степени относительно Ь. Для решения применим схему Горнера и найдем натуральные корни данного уравнения.
Делитель 1 4 8 8 -21
1. 1 5 13 21 0
Данное уравнение имеет единственный натуральный корень Ь — 1, тогда а = 3,х = 3п,у = п,7 = Ьп. Пусть п — 2. Тогда х = 6,у = 2,7 = 2. Проверка: 65 - 242 • 25 = 25; 7776 - 7744 = 32. о Решим уравнение 72х3 — у3 = 73.
Имеем: Л3 + Б3 = 72, или (Л + Я)(Л2 — ЛЯ + Б2) = 72. Оно равносильно
Г Л+Я—%
совокупности системы: 1) )л2лр_|_г>2_ где % и а2 делители числа 72.
.Ао + О — С! 2
Не будем решать систему, пойдем другим путем. Л3 может принимать значения 1, 8, 27, 64, тогда Б3 — (71,64,45,8) .... Из них только 8 и 64 являются точными кубами. Получаем Л — 2, В — 4 или Л — 4, В — 2. Если Л — 2, В — 4, х — п, у — Лп, 7 — 5п. Если Л — 4, В — 2, х — п, у — 5п, 7 — Лп. Пусть п — 2, тогда х — 2, у — 4,7 — 8 или х — 2, у — 18,7 — 4. Проверка: 72 • 23 — 43 — 83 — 512 или 72 • 23 — 83 — 43. о Решим уравнение 272х4 — у4 — 74.
^ created by free versión of
é DociFreezer
Имеем: А4 + В4 = 272.А4 принимает значения 1, 16, 81, 256, тогда В4 принимает значения 271, 256, 191, 16. Итак, если А = 2, то В = 4, А = 4, В = 2 (271, 196 не точные степени). Тогда х = п, у = Ап, г = Вп или х = п, у = Вп,г = Ап. При п = 1,х = 1,у = 2,г = 4 или х = 1,у = 4,г = 2. Проверка: 272-1 — 24 = 44 или 272 • 1 — 44 = 24. Решим несколько уравнений при фиксированных (1 и г. Решим уравнение х2 — 80у2 = 4.
Имеем: 72 = 4, Вп = 2. Если В = 1,п = 2, А2 = 80 + 12 = 81,А = 9. Тогда х = Ап = 9 • 2 = 18,у = п = 2,г = Вп = 2. Проверка: 182 — 80 • 22 = 324 — 320 = 4. Ответ: х = 18, у = 2.
Если В = 2, п = 1, А2 = 80 + 4 = 84 (не точный квадрат). Для решения не подходит.
Решим уравнение х2 — 20у2 = 256.
Имеем: (Вп)2 = 256, Вп = 16. Представим 16 в виде произведения двух множителей. Это: 1-16; 16-1; 2-8; 8-2; 4-4.
1. В = 1,п = 16. Тогда А2 = 20 + 1 = 21 (не точный квадрат).
2. В = 16,п = 1. А2 = 20 + 256 = 276 (не точный квадрат).
3. В = 2, п = 8. А2 = 20 + 22 = 24 (не точный квадрат).
4. В = 8, п = 2. А2 = 20 + 64 = 84 (не точный квадрат).
5. В = 4,п = 4. А2 = 20 + 16 = 36, А = 6.
Если А = 6, В = 4, то х = Ап = 6 • 4 = 24,у = п = 4. Проверка: 242 — 20 • 42 = 576 — 320 = 256. Решим уравнение х4 — 240у4 = 4096.
Вп = У4096 = 8. Представим 8 в виде произведения двух множителей. Это: 1-8; 8-1; 2-4; 4-2.
1. В = 1,п = 8. А4 = 241 (не точная четвертая степень).
2. В = 8, п = 1. А4 = 240 + 64 = 304 (не точная четвертая степень).
3. В = 2,п = 4. А4 = 240 + 24 = 256,А = 4.
created by free version of
4. В = 4, п = 2. Л4 = 240 + 44 = 496 (не точная четвертая степень). Для решения подходит Л = 4, В = 2, п = 4. Тогда х = Лп = 4-4 = 16, у = п = 4.
Проверка: 164 — 240 • 44 = 65536 — 61440 = 4096. Ответ: х = 16, у = 4. о Решим уравнение 13х2 — у2 = 36.
5п = 6. Представим 6 в виде произведения двух множителей. Это: 1 • 6;
1. В = 1, п = 6. Л2 = 13 — 1 = 12 (не точный квадрат).
2. В = 6, п = 1. Л2 = 132 — 62 (отрицательное число).
3. В = 2,п = 3. Л2 = 13 — 4 = 9, Л = 3.
4. В = 3,п = 2.Л2 = 13 — 9 = 4,Л = 2.
Для решения подходят Л = 3,5 = 2 и Л = 2,5 = 3. Тогда х = п = 3, у = Лп = 9 или х = 2, у = Лп = 4.
Проверка: 13 • 32 — 92 = 117 — 81 = 36 или 13 • 22 — 42 = 52 — 16 = 36. Ответ: х = 3, у = 9 или х = 2, у = 4. о Решим уравнение 257х4 — у4 = 1296.
Имеем: (Бп)4 = 1296, Бп = 6. Представим 6 в виде произведения двух множителей. Это: 1-6; 6-1; 2-3; 3-2.
1. в = 1,п = 6. Л4 = 257 — 1 = 256, Л = 4,х = 6,у = 24.
2. В = 6, п = 1. Л4 = 257 — 1296 (отрицательное число).
3. В = 2, п = 3. Л4 = 257 — 16 = 241 (не точная степень).
4. В = 3, п = 2. Л4 = 257 — 81 = 176 (не точная степень).
Для решения подходит Л = 4, В = 1. Тогда х = п = 6, у = Лп = 24. Проверка: 257 • 64 — 244 = 1296. Ответ: х = 6, у = 24.
Из решений вышеуказанных уравнений вытекает алгоритм решения уравнений вида хш — йуш = и йхш — уш = .
Алгоритм решения хш — йуш = в общем виде следующий.
6-1; 2-3; 3-2.
created by free version of
1. Вычисляем число й = Ат — Вт, где А и В натуральные числа, причем А>В.
2. Вычисляем х = Ап,у = п,г = Вп, где п - произвольное натуральное число.
Алгоритм решения при фиксированной й.
1. Решаем уравнение Ат — Вт = й в натуральных числах.
2. Вычисляем х = А п, у = п, = В п. Алгоритм решения при фиксированной г и й.
1. Находим Вп, для этого из фиксированной у извлекаем корень т степени.
2. Представляем полученный корень в виде произведения двух чисел, принимаем один из них за В, другой за п.
3. Вычисляем х = Ап,у = п.
Алгоритм решения йхт — ут = хт следующий.
1. Находим й. й = А2 + В2, где А и В любые натуральные числа.
2. Вычисляем х = п, у = Ап.
Алгоритм решения уравнения йхт — ут = гт при фиксированной й.
1. Решаем уравнение А2 + В2 = й.
2. Вычисляем х = п, у = Ап, г = Вп.
Алгоритм решения уравнения при фиксированной г и й.
1. Из г извлекаем корень т степени.
2. Представляем корень в виде произведения В п.
3. Выбираем В и п.
4. Вычисляем х = п, у = Ап. Выводы:
1. Уравнения хт — йут = гт и йхт — ут = гт в общем виде имеют бесконечное множество решений.
2. При фиксированной й уравнения имеют бесконечное множество решений, если уравнения Ат — Вт = й и Ат + Вт = й имеют натуральные корни. В противном случае мы не сможем найти корни этим способом.
^ сгеа!ес1 Ьу ^ее уетоп
д РооРгеегег
3. При фиксированной 7 и & уравнения имеют конечное число решений, если й — В2 = А2. В противном случае мы не сможем найти натуральные корни уравнения.
Примечание.
1. Для решения уравнения хт — йут = гт нужно, чтобы
2. Если й равно т — ой степени некоторого числа, то уравнения не будут иметь решения, так как это будет противоречить «Великой теореме» Ферма.
Список литературы:
1. Мамедяров Д.М. Неопределенные уравнения и их системы. Типография
d = Bm-Am где В > А.
№ 3, Дербент 2013. — 261 стр.
created by free version of
