РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.633

РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

ХАНКИШИЕВ ЗАКИР ФАРМАН ОГЛЫ

Доцент кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного

Университета, Баку, Азербайджан

ИСМАИЛЗАДЕ ШАФАГ АЛИМОВСУМ ГЫЗЫ

Магистрант кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного

Университета, Баку, Азербайджан

Аннотация. В работе рассмотрена одна задача для уравнения гиперболического типа с интегральными условиями. После замены интегральных условий нелокальными граничными условиями, к решению полученной новой задачи применяется метод конечных разностей. Строится соответствующая разностная задача, аппроксимирующая эту задачу со вторым порядком точности, исследуется решение построенной разностной задачи и дается метод решения этой задачи. Определяются достаточные условия для корректности и устойчивости метода.

Ключевые слова: Интегральные условия, разностная задача, погрешность аппроксимации, корректность и устойчивость метода.

1. Постановка задачи

Найти непрерывную в замкнутой области Л = {0 < х < 1,0 < t < Т} функцию и = и(х, £), удовлетворяющую уравнению

5 u(Xt) = а2 5 u(Xt) + bu(x,t) + f (x,t),0 < x < l, 0 < t < T,

at2 ax2

(1)

граничным условиям

1

J С (x)u(x, t)dx = j (t),

0 0 < t < T, (2)

J c2 (x)u( x, t )dx = ju2 (t),

0

и начальным условиям

и(х,0) = <(х), =<(х), о< х<I.

(3)

Здесь а > 0, Ь — действительные числа, /(х, £), ^ (£), (£), с (х), с2 (х), < (х),< (х) — известные непрерывные функции своих аргументов.

Предположим, что функции с(х) и с2 (х) удовлетворяют следующим условиям:

| с;(х) = апсх( х)+а12 с 2(х)

1с2(х) = а21с; (х) + а22с2(х). Участвующие в последних условиях агу, ¡, у = 1,2 — произвольные постоянные. Из

условий (4) видно, что функции с (х) и с2 (х) — являются и дифференцируемыми функциями.

Для решения задачи (1)-(3) методом конечных разностей, сначала, используя условия (4), граничные условия (2) заменим нелокальными граничными условиями. После этого, к решению полученной новой задачи будем применять метод конечных разностей.

2. Замена интегральных условий (2) нелокальными граничными условиями Рассмотрим первое интегральное условие в (2) и два раза продифференцируем его по переменной t:

1 д2 и(х, t) „

—— их = ). дt

i

| сД х)-

Отсюда в силу уравнения (1) имеем:

i

|с (х)

д2u( х, t)

Эх2

+ bu( х, t) + f (х, t)

dx = u"(t)

или

J с (х) д ^^t) dx + b J с (х)и(х, t)dx +1 с (х) f (х, t)dx = ju"(t)

дх (5)

С другой стороны, применяя два раза формулу интегрирования по частям первому интегралу в (5), с учетом условий (4), после некоторых преобразований получим:

д и(х, t)

ди(1, t)

ди(0, t)

2 '-dx = ci(l) duxi:) - ci(0) du(0it)-(«iici(l) + ai2 ci(l))u(1, t) + дх 2 дх дх

1

| с1( х)

0

+ (^А (0) + а12 С2 (0))и(0, t) + (а121 + а12 а21 К ^) + (а11а12 + а12 а22 К (t У

С учетом этого равенства, равенство (5) принимает следующий вид: С (I) - с (0) ди(М + (апС1 (0) + а12с2 (0))и(0, t) - (а^ (I) + а12с2 (I))и(/, t) =

дх

дх

1

a

U"(t) - bji (t) - J ci (x)f(x, t)dx

-(ai2i

+ ai2 a2i )ui(t) -(anai2 + ai2 a22 jt). (6)

Аналогичным образом, из второго интегрального условия получим справедливость равенства

с2 (I) - с2 (0) ^^А + (а21С1 (0) + а22с2 (0))и(0, t) - (а2Л (I) + а22с2 (I))и(/, t) =

дх

i

a

дх

i

u2(t) - bj2 (t) - J с 2 (x)f (x, t )dx

(aiia2i + a2ia22 )Ui (t) - (a2iai2 + a222 )jU2 (t). (7)

Если примем обозначения

&(t) =

i

a

i

Ui"(t) - bji (t) - J ci (x)f (x, t )dx

(aii + ai2 a2i

)Ui (t) - (aiiai2 + ai2a22 )jU2 (t),

S2 (t ) ^-T

a

j(t) - bU2 (t) - Jc2 (x)f (^ t)dx

(aiia2i + a2ia22 )Ui(t) -(a

(a2iai2 + a22

)j2(t),

то

полученные условия (6) и (7) можем переписать в виде

'i (i) - ci (0) ^^Т^ + (anCi (0) + ai2С2 (0))u(0, t) - (anCi (l) + anC2 (l))u(l, t) = ^ (t),

дх дх

2

a

0

2

a

0

0

0

0

С 2 (1) дЫ^ 1 ^ - С2 (0) 1 ^ + (а21С1 (0) + а22С2 (0))и(0' *) - (а21С1 (1) + а22С2 (1 )}*(!, *) = §2 (*)■

дх дх

ди (I, *) ди(0, *)

Исключив из этих двух граничных условии, сначала -, затем -, приходим

дх дх

к условиям следующего вида:

+ уи(0, *) + у2и(1, *) = у1 (*),

дх 0 < * < т,

ди(1' *) + 5 и(0, *) + 52 и(1, *) = у2 (*),

(8)

дх где

r = Cl(l) \a2l C1 (0) + a22C2 (0)) - C2 (l) • (ail C1 (0) + ai2C2 (0))

c1(0)c2(l) -c1(l)C2(0)

c (l) •ia^c, (l) -

Г2 =

c2 (l) • (а11 c1 (l) + ai2c2 (l)) - c1 (l) • (a21 c1 (l) + a22c2 (l))

c,(0)c2(l) - c1(l )c2(0)

c1 (0) • (a21 c1 (0) + a22c2 (0)) - c2 (0) • (a11 c1 (0) + a12c2 (0)) c,(0)c2(l) - c1(l)c2(0) '

_ c2(0) •(a11 c 1 (l) + a12c2 (l)) - c1 (0) • (a21 c1 (l) + a22c2 (l)) °2 =

8 =

с,(0)с2(!) -с,(!)с2(0) у (г) = С,(!)§2(г)-С2(1)§1(*) ^ = С1(0)§2(г)-С2(0)§1(*) 1 ( ) С1 (0)с2(I) - с1 (I)С2(0У 2( ) С1 (0)с2(I) - с1 (I)с2(0) ■

3. Построение разностной задачи

Построим разностную задачу, соответствующую задаче (1),(8),(3). Сначала в области Б построим сеточную область. С этой целью разделим отрезок [ 0,1 ] оси Ох точками хи = пк, п = 0X2'...' М, к = I/N, на N равных частей, а отрезок [ 0,Т ] оси О точками = ]г, у = 0,1'2'...' ]0, г = Т/]0, на у0 равных частей. Определим в области Б сетку ШНт={х„ )' п = 0Л'2'...' N' ] = 0X2,...,у0 }.

Известно, что, если функция и = и( х,*), удовлетворяющую уравнению (1), имеет в области Б = {0 < х < 1,0 <*< Т} ограниченные частные производные до четвертого порядка по каждой из переменных х и *, то имеет место равенство и(хп,*у+1) - 2и(хп,*у) + и(хп,*у-х) 2 и(х

П+1' * I ) 2и(хп ' ) + и (хп-1' *I ) _ ~ +

(9)

= a2-——^-:-" ' " +

т2 h2

+ Ъи(хп) + /(хп) + о(к2 + г2), п = 1,2,.., N -1, у = 1,2,..., у -1. Теперь разложим функцию и = и(х,* ), по формуле Тейлора в окрестности точки (0,* ) :

du(0,tj) х2 д2u(0,tj) х3 д3u(X,tj) ~

u(x,t,.) = u(0,t,) + х-— +--;+--т-^—, 0 < х < х.

J J дх 2! дх2 3! дх3

При х = к это равенство принимает вид

<0, ) к2 д 2ЦС — +--

дх 2! дх2 3! дх

ди(0, t,) h2 д2u(0, t,) h3 дъи(х, t,) u{h,t]) = u(0,t,) + h J + h--+ h--, 0 < х < h.

Предположим, что уравнение (1) выполняется и на границе х = 0 области V . Тогда с учетом уравнения (1) и первого граничного условия в (8), последнее равенство можем переписать в следующем виде:

и(Н, tJ) - и(0, tJ) ( Ък Л . „ . к и(0, tJ+1) - 2и(0, tJ) + и(0, tJ-1)

-к-+1" + 202 tJ)+га и(/, ^) - ^-т-=

= У i(tj) - f (0, tj) + o(h2 + г2). (10)

Предполагая выполнение уравнения (1) и на границе х = / области V , с учетом второго граничного условия в (8), аналогичным образом можем получить справедливость равенства и(/, t ) - и(1 - к, t ) Г Ък к и(1, t +1) - 2и(/, t ) + и(1, tJ-l)

-к-+^и(/, tJ)+И2- К tJ)+-т-=

= Vi(tj) + f(l,tj) + o(h2 + т2). (11)

j 2a2 j

Из первого начального условия в (3) имеем

и(хп,0) = и(хя), п = 0,1,...,N. (12)

Для аппроксимации второго начального условия со вторым порядком точности,

предположим, что уравнение (1) выполняется и на границе / = 0 области V. Тогда по

формуле Тейлора имеем:

, ди(х ,0) т2 д2и(х ,0) 3\

и(хп, Т) = и(хп,0) + т —^ + — ( ", ) + 0(т).

дt 2 дt

Отсюда получим, что

Т ( д2и(х 0) Л / \

и( хп, т) = р (хп) + тер 2 (хп) + — ^ а2 —+ Ъи( хп ,0) + / (хп ,0)) + 0(т3)

или

2

и( хп, Т) = р (хп) + ТР2 (хп) + Т— (а р хп) + Ър( хп) + / (хп ,0))+ о(т3)

или

С Ьт2^ ~2-2 -2

Ъ т а т т ( \

и(хп, т) = 1 + — Р1(хп) + тр2(хп) + ^-р'1(хп) + — /(хп ,0) + 0(т3). (13)

V 2 У 2 2

Отбрасывая в равенствах (9)-(11) слагаемые порядка 0(к2 +т2) и в равенстве (13) слагаемое порядка О(т3) и обозначив при этом приближенное значение и(хп, t ■) через у{,

получим следующую разностную задачу, аппроксимирующую задачу (1), (8), (3) с 0(к2 +т2):

точностью '"1

yi -у0 + fv + bh 1 + v h уТ -2y0 + yj-i _

+ + Iy0 + V2yN -2-_ J0 ,

h V i 2a2J 2a2 т2

n n ' у n _ ./ n+i _./ n ' у n

yji_zM±iiLL = a2 yj+i - 2уП + уП-i

2 7 2 ' n ■ J n

т h

_ -^—^^ + byj + f„;, n _ i,2,..., N -1, (14)

yN -yN-i + * + fs bh Ъ h yNNi -2yJN + yN-i _ 7. _ 12 7. i

h + y0 +Г2 - 2a2 JyN- 2a2 г _ fN, j _^., ■ - i

у0 _^i(x„), уП _V2(xn), n _ 0,i,..., N. (15)

Здесь

h h

f" _Vi(tj) - f (0, tj), fn _ f(xn, tj), n _ i,2,..., N -1, fN _v2(t;) + — f(l, tj),

P2(xn _)

i +

br2

<Pi( xn ) + T(p2( xn ) +

2 2 2

xn)+y f (xn ,0).

4. Решение разностной задачи

Задача (14)-(15) ест явная разностная задача. Явные разностные задачи имеют то преимущество, что зная значения решения на нижних слоях, по явным формулам можно найти значения решения на верхних слоях. Недостатком таких разностных задач является то, что для устойчивого решения таких задач требуется выполнение некоторого соотношения между шагами сетки. А это приводит к резкому увеличению слоев сетки. Поэтому при решении прикладных задач используют неявные разностные задачи. На основе разностной задачи (14)-(15) построим соответствующую неявную разностную задачу. Пусть а - действительный параметр. Рассмотрим следующую разностную задачу, зависящую от параметра а :

с Zi^il + (i - 2с) ^ + с +fvi + W-i + (i - 2-) yi +ayi+1)

h

h

h

, j+i

2a2

, j-i

+ V2 (qyN-1 + (i - 2с)yN + °Уы +) - -hr y0 - 2У + У0- _ f0,

2c t

уП+i - 2yn + yj-i

_ a

f „j-i

с

У£1 - 2yj-i + yn-i

,j-i

h2

+ (i - 2с)

уП+i - 2уП + уП-I h2

+

yjj+i - 2yj+i + y

+ с

j+i n

,1+i ^

n—i

h2

+ b(oyn-i + (i - 2с)yi + qyj+i)+ fnj, n _ i,2,..., N -1

(16)

J

_ У N У N-i , л О yNN У NN-1 , _ yN У N-i

с-;--+ (1 - 2с)-;--+ с-

h

h

h

+ Si (сУ 1 + (1 - 2с) у0 +су0+1)+

+ 1 ¿2 +

bh 2a2

Y«,,j-i±n 9„-W ^W+iU h yJN+i - 2yN + yN- rj

|°yN + (1 - 2с)yJN +oyN r^Y-2-_ fN>

J 2a т

j _ 1,2,..., j-1,

У0 =р(хи), у: =р2(х„), п = 0,1,...,N. (17)

Следует отметить, что разностная задача (16)-(17) при любом значении а аппроксимирует задачу (1), (8), (3).

Перепишем разностную задачу (16)-(17) в следующем виде:

h с

-г+---с

2a т h

i

bh

с

,j+i

2с

Vi + o v 2a

1

2

У0

j+i

с h

У1

j+i

V2 с ZN+i _ g0-i,j ,

с

h2 yn-i + — - Ьс К1 уП++1 _

т

с

, j+i

-tZn-i + h

h

2a V h

с

+ — + с

s2 -

h2 bh 2a2

yj1 +¿1 сУ0+1 _ gj1j j _ 1,2,..., j -1,

n _ 1,2,..., N -1,

,j+i _ „j-i,j

(18)

у0 =Р1(хя), у! =р2(х„), п = 0,1,...,N. (19)

Исходя из уравнений (16), легко можно определить выражения , п = 0,1,..., N. При ] = 1, разностная задача (18)-(19) является линейной системой из N +1 алгебраических уравнений относительно у2,у2,..., у2, и правые части этих уравнений-

2

2

т

к

§01,п = 0,1,..., N' содержать в себя значения у° и у\, п = 0,1,..., N. А эти значения определяются из начальных значений (19).

Пусть найдено решение задачи (18)-(19) при у = 1. Тогда переходя к следующему

п 3 3 3

значению у = 2, получим новую разностную задачу относительно у0,уг,...,ум, и правая часть полученных разностных уравнений будут известными в силу найденных значений

2 2 Уo, У1 ,

Таким образом, переходя от слоя к слою и каждый раз учитывая найденные предыдущие значения у?,у?у?, мы можем найти решение задачи (18)-(19).

5. Применение метода прогонки к решению разностной задачи (18)-(19)

Сначала разностные уравнения (18) перепишем в виде

cyC1 - b0yj+1 + e0 yN1 = g0,

1+1 - b v1-1 = gj

b1yn+1 gn ■

a1y]n+1 + c1yn a2Ум\ + c2 yJN+1 + e1 y1- = gN ,

П = 1,2,.., N -1,

j = 1,2,..., j0 -1,

где

a =

c2 =

2a2

OT h2

h

2a2

2 f OT 2 ■ +---OT

h

V

" + 2a2

bh л

' J

b0 =

OT

e0 = -Yl OT

.2

2ot" 1 , 2 , от

c = —;—+1 - Ьот , b =

2

h2

h2

e = 8 от2, a =

OT

2

■ +

от 2 f _ bh

+ OT2\ 82 -

h

2a

Имеет место следующая Теорема. Пусть для каждого значения п = 0,1,..., N' решения разностных задач

,1+1 -

= 0,

u

11+1

n

j+1 _

- a1 + c^1 - bun- = glj, n = 1,2,..., N -1

= 0;

h

— I g = t2 g 1^ 2 P n n '

n = 0,1,..., N.

У, сеточные функции

(20)

(21)

i+1 i+1 i+1 u , v , w ,

n ' n ' n '

(22)

(- avi-1 + cvj+1 - bv1- = 0, n = 1,2,..., N -1,

,1+1 -

= 1, vj+1 = 0;

(23)

- a1 wj-+1 + cwj+1 - bw1++1 = 0, n = 1,2,..., N -1

1+1 -

w

1+1 _

= 0, wil = 1

(24)

соответственно, а у? + и уУ+ - решение следующей системы алгебраических уравнений:

\(с0 - Ъ0 V1+1 )у!+1 +(е0 - ЪМ+1 )уГ = §0 + Ъ и+1, Ке1 - а21 у+1 + (с2 - а2К+1 V Г = §М + а2иы\ .

(25)

(26)

Тогда сеточная функция

уп+ = и?1 + у^ + п = 01,..., N'

является решением разностной задачи (20).

Справедливость этой теоремы можно проверить прямой подстановкой выражения уУ+1, определяемые равенствами (26), в разностные уравнения (20).

<

h

c0 =

h

0

0

0

В силу этой теоремы, для нахождения решения разностной задачи (20), для каждого значения ], начиная с ] = 1, последовательно нужно решить разностные задачи (22), (23) и (24) и систему алгебраических уравнений (25).

Теперь перейдем к решению, например, разностной задачи (22), методом прогонки. С этой целью разностную задачу (22) перепишем в виде

[ей+1 - Ъ^+ = g1,

- а^Л + еУп+1 - Ъы^ = , п = 1,2,..., N -1,

^- а1Ы N-2 + е1Ы1^-1 = gN-1 .

(27)

Известно, что [2] алгоритм решения этой разностной задачи методом прогонки заключается в следующем:

сначала по рекуррентным формулам

а„ =-Ъ-, п = 3,4,..., N -1, а2 = —,

е а а е

1 = gLr+aJ^^ п = N, р_+1 = ,

С1 а1ап-1

(28)

определяются прогоночные коэффициенты ап и р_+1.

После этого, по рекуррентным формулам _ = ая¥_ +_, п = N - 2, N - 3,...,1, uN\ , (29)

Определяется решение разностной задачи (21).

Решения разностных задач (23) и (24) не зависят от значения j. Поэтому эти задачи достаточно решить один раз.

6. Корректность и устойчивость решения трехточечных разностных задач

В предыдущем параграфе ознакомились методом прогонки решения трехточечных разностных задач. Из алгоритма (28), (29) метода прогонки видно, что если при некотором значении п = п0, выражение c - а\ап-\ = 0, то этот алгоритм не пригодится для решения

рассматриваемой задачи, т.к. в этом случае в знаменателе будет ноль. В связи с этим вводится понятие корректности алгоритма метода прогонки [ 2 ]:

Определение 1. Если в алгоритме метода прогонки (28)-(29) выполняется условие С - а1 ап_х Ф 0, п = 3,4,..., N, то этот алгоритм называется корректным.

Пусть при вычислении значения uj+\, по формуле (29), допущена некоторая погрешность. Если при этом будет выполняться неравенство |аи+1| > 1, то при вычислении значения u j 1 по формуле (29), погрешность растет. Поэтому принимают следующее определение:

Определение 2. Если в алгоритме метода прогонки (28)-(29) выполняется условие |аи+1| < 1, п = 1,2,..., N - 2, то этот алгоритм называется устойчивым.

Для исследования корректности и устойчивости алгоритма метода прогонки (28)-(29) решения трехточечной разностной задачи (27), будем пользоваться известной леммой в [2, с.78]. Эту лемму для разностной задачи [27] можно сформулировать следующим образом:

Лемма. Пусть коэффициенты разностной задачи (26) удовлетворяют условиям

а Ф 0, b Ф 0, С Ф 0 и |q| > lal + bl. Тогда алгоритм метода прогонки (28)-(29) решения разностной задачи (27), корректен и устойчив.

c1

Используя эту лемму, найдем условия для корректности и устойчивости алгоритма метода прогонки для разностной задачи (27). В силу равенств (21), коэффициенты

2 о 2 2

, ат 2ат 1 , 2 , ат тт

а, Ъ и с определяются равенствами а =^Т, С =""^2—+1 - Ъат , Ъ = ^Т. Из этих

выражений а, Ъ и С видно, что а > 0, Ъ > 0, С > 0, если а > 0 и Ъ < 0. С другой стороны

с - а - Ъ = 1 - Ъат2 > 0. Таким образом, имеет место следующая

Теорема. Алгоритм метода прогонки (28)-(29) решения разностной задачи (27) корректен и устойчив при выполнении условий а > 0 и Ъ < 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ханкишиев З.Ф. Решение одной задачи для линейного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа с интегральными условиями. Вестник Бакинского Университета, серия физико-математических наук, 2021, №4, с.25-38.

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва, «Наука», 1978, 592 с.