ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.633

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

ХАНКИШИЕВ ЗАКИР ФАРМАН ОГЛЫ

Доцент кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного

Университета, Баку, Азербайджан

ДЖАФАРЛИ ШАХРИЯР БАХТИЯР ОГЛЫ

Магистрант кафедры Уравнений математической физики Бакинского Государственного

Университета, Баку, Азербайджан

Аннотация. В работе рассмотрена одна задача для уравнения параболического типа с интегральными условиями. Заменив интегральные условия на нелокальные граничные условия, к решению полученной новой задачи применен метод конечных разностей. Построена соответствующая разностная задача, аппроксимирующая эту задачу со вторым порядком точности, и дан алгоритм решения этой задачи. Определены достаточные условия для корректности и устойчивости алгоритма.

Ключевые слова: Уравнения параболического типа, интегральные условия, разностная задача, погрешность аппроксимации, корректность и устойчивость алгоритма.

1. Постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу для уравнения параболического типа:

найти непрерывную в замкнутой области Л ={0 < х < 1, 0 < t < Т} функцию и = и(х, £), удовлетворяющую уравнению параболического типа

(1)

дф^) = a2 д и(X t) + + f < х < I < t й т,

dt дх2

граничным условиям

1

1Бтах • и(х, ^йх = ¡лх (£),

0 0 < £ < Т,

1

J cosfi х ■ и( х, t )dx = [л2 (t),

(2)

и начальному условию

и(х,0) = р(х), 0 < х < 1.

(3)

Здесь а > 0, Ь, а, 5 - действительные числа, /(х, £), (£), /л2 (£), <р(х) - известные непрерывные функции своих аргументов.

2. Переход от интегральных условий к нелокальным граничным условиям.

Сначала рассмотрим первое интегральное условие в (2) и продифференцируем его по переменной £:

г . Ш(х,£) , ,,. I Бта х--1—- ах = /лг (£).

0 и1

С учетом уравнения (1), это равенство можем переписать в виде

о

i

i

sin« x •

Í 0 2 d u(x, t)

dx2

+ bu( x, t) + f (x, t)

dx = uU (t)

или в виде

l 2 2 r . d u(x, t) a I sinax--^—- dx +1

dx2

dx + b|sinax • u(x, t)dx + | sin« x • f (x, t)dx = /л[(t).

0 ^ 0 0 (4) Применением, два раза, формулы интегрирования по частям первому интегралу в левой части этого равенства получим:

d 2u(x, t) , du(x, t)

sina x--г— dx =sina x •

I si

-a

cosa

dx2 dx

i

x• u(x,t)|+aIsin ax• u(x,t)dx

0

2

du(x, t) , . du(x, t) -al cosax--dx = sinax•

'I c

x=0 0

Л

= sinax •

dx du(x, t)

dx

dx

x=0

-acosax • u(x, t)|^ —a2^ (t).

С учетом этого равенства и первого интегрального условия в (2), равенство (4)

принимает

следующий вид:

, ды(l, t) , ,, ч ч

smal--:--a cosa l • ы(1, t) + аы(0, t) = a ju} (t) +

dx

f

+ -

a

ju[(t) - bд (t) -| f (x, t )sina xdx

\

(5)

Это есть нелокальное граничное условие, соответствующее первому интегральному условию в (2).

Аналогичным образом, из второго интегрального условия получим следующее граничное условие:

cos pi •du^ - + p cos pi • u (l, t) = P2jU2 (t) +

dx

dx

+ ■

1

f

a

i

U'2 (t) - bu2 (t) -1 f (x, t) cosP xdx

\

(6)

Используя граничное условие (5), из граничного условия (6) исключим частную ды (I, г)

производную sin al •

dx du (0, t) dx

. Тогда после элементарных преобразований, получим: + a cos pi • u (0, t) - (a cosa l • cos pi + P • sin al • sin P l) • u(l, t) =

= a2 и (t)cospi - p2 и (t)sina/ +

cospi

a

U(t)-bu(t) -1 f (x,t)sin ax• dx

sinal

f

a

i

u'2(t) -bu2(t)-| f (x,t)cos Px• dx

Предположим, что sinal Ф 0. Тогда разделив обе части равенства (5) и последнего равенства на sinal, получим равенства, которых можем записать в виде

0

x=0

0

1

0

0

0

0

ди(0, t)

дх ди(1, t)

дх

+ yx u(0, t) + S1 u(l, t) = v1 (t), + y2 u(0, t) + 82 u(l, t) = v (t).

(7)

Здесь

Y\ = acosPl, S1=-(actgal■ cospl + p^sinpl), y2=———, 52=-a■ ctgal,

sinal

sinal

vx(t) =

a2 u (t)cospi - p2 u2 (t)sinal cospl

sinal

i

+

a2 sinal

л

(t) - bцх (t) - J f (x, t) sin a х ■ dx

u2(t)-bu(t)-Jf(х,t)cospх■ dx .

0 J

v2(t) =

+ -

1

a2 uu (t) cospl a 2 cospl

l

U (t) - bu (t) -J f (х, t )sina х ■ dx

Таким образом, мы привели задачу с интегральными условиями (1)-(3) к задаче с нелокальными условиями (1), (7), (3).

3. Построение разностной задачи, соответствующей задаче (1), (7), (3) . Оценка

погрешности аппроксимации.

В замкнутой области Б = {0 < х < 1, 0 < £ < Т} определим сеточную область акт = = {(хи,£. ), хи = пк, £ . = jт, п = 0,1,...,Ы, ] = 0,1,...,^, Ык = 1, j0т = Т}. Одновременно

примем обозначения

Б = {0 < х < 1,0 < £ < Т}, а>кт={хп, ), хп = пк, = jт, п = 1,2,..., N -1, j = 1,2,..., ^ } Значение сеточной функции у в узле (хп, ) сетки юкт обозначим через у].

Пусть а — действительный параметр. Из литературы известно, что при любом значении параметра а, разностные уравнения

У+1

У П

У

^ = a2

а

У1 +

У П-1

- 2 уП+1 +y£LHl_a. )УП.-1 - 2УП + У

1

П+1

h2

h2

+

+ b{oyn+1 + (1 - а)уп )+&, п = 1,2,..., N -1, j = 0,1,..., j -1,

(8)

где р] - сеточная функция, аппроксимирующая функцию /(х, £) в узлах сеточной

области Шкт. Очевидно, что значение сеточной функции р]п зависит и от параметра а . Легко

можно показать, что, например, при а = 0,5 и р] = /(хп, t] + 0,5 т), разностные уравнения (8)

аппроксимируют дифференциальное уравнение (1) с точностью 0(к2 +т2).

Теперь постараемся аппроксимировать граничные условия (7) со вторым порядком точности. С этой целью предположим, что уравнение (1) выполняется и на границах х = 0 и х = 1 области Б .

Разложим функцию и(х,£ ) по формуле Тейлора в окрестности точки (0,£ ) :

и(х, t.) = и(0, t.) + х

ди(0, tj) х2 д 2и(0, tj) х3 д Зи(х, tj) дх 2 дх2 6 дх3 '

0 < х < х.

Если в этом равенстве положим х = h, то получим справедливость равенства

о

1

2

a

о

Г

du(0,t.) h2 d2u(0,t,) h3 53u(x,tn)

u(h,t7) = u(0,t,) + h—+ ---^ +--^, 0 < x < h. (9)

у I " -\~i-j/ и - -\-i-j

дх 2 дх2 6 дх Если уравнение (1) выполняется и на границе х _ 0 области Б , то имеем

ди(0,t,) , д u(0,t, ) —= a2-Vм + ¿u (0, t,) + / (0, t,).

dt dx2 j

С учетом этого равенства и первого граничного условия в (7), в равенстве (9), приходим к равенству

ы(И,гу)-ы(0,гу) и (ды(0,гу) ^

]\ ] _ у (г У) - 7\ы(0, г}) - 8хы{/, г у) +—^^^ - Ьы (0, г;.) - / (0, г;.) ^ + о{и2).

И

Отсюда имеем:

ы(И, г у) - ы(0, г у) Иы (0, г у +) - ы (0, г}) ьи .

--^ + у^(0, г у) + ¿М/, г у) -—-у-^ + — ы (0, г у,

И у у 2а г 2а у

) -А / (0, tj) + o(h2).

2-а^/ (0, г-)+о{И 2

Аналогичным образом на правом конце получим справедливость равенства

ы(/, гу) - ы(/ - и, г;) и ы (1, г;+1) - ы (1, гу) ЬИ

} } ' + у 2 ы(0, г у) + ы(/, г у) + —--^ - — ы (/, гу) =

И у у 2а2 г 2а2

=у2(гу) + 2^1 (1, гу) + о(и2 )•

Отбросив в последних двух равенствах слагаемые порядка о{к2) и обозначив при этом приближенное значение ы (хи, г.) через у]п, получим равенства

^ + У1У +вуи -уИт+ ^у> _у«,)/(0,гу), (10)

И 2а2 г 2а2 у 2а у

Ум - Ум-1 + у + С уу + И Ум' - ЬИ уу _у (г ) + И г (/г ) (11)

—+ уу0 уу + Уу _ У2(гу)+2021 (/,гу)• (11)

г 2а ^

Умножив обеих частей равенства (10) на--, а равенства (11) на-, полученные

2a2

V h J

f2a2 2a^ . 2a2 , 2a

h

равенства перепишем в следующем виде:

Ус'+1 - У0

- +

Т

- Ъ

V h2 h J

Уо У1--r~ Ум =vi,

h h

УМ+ - У М , 2aV^i; 20_ л1 м _( 2a2 2a2^2 ^

(12)

" + , у0 ,2 ум-1 т h 0 h2 -1

v h 2 h J

2а2 , , , ,(, \ 2а2

— У1(гу ), _ / {/, гу )- —

Введя параметр а, в разностные уравнения (12), приведем эти уравнения к следующему

Здесь ср0 = /(0,tj)- -О-Vi (tj), (p]N = /(l,tj)- -О-v2 (tj)•

виду:

+r - - Ъ (1 У0)-+1+ (1 ум )

Т

V

--— II If I / -I- ■ I — I III/ I--II I I/ -I- I I — /1 II/ 1 —

2a

--- (оуМ+1 + (1 -О") уМ )=Р0',

+^ (ау0+l + (1 -а) у0)- f- ал + (1 -а) yN-1)

т

2a2

2a2 8

V

h7

h

- b

(oy^ + (1 -а) yN)

= WN.

Присоединив эти разностные уравнения к разностным уравнениям (8), получим

однопараметрическое семейство разностных уравнений

у]1 - у] ^ -

т

2

-^-^ + (1 -а)yl)- *(руГ + (1 -а)у1)-

2a 8

h

У 1 - У

У П У П

(cyN+1 + (1 -а) yN )=W

1+1 -'1 Г У1+1 - 2 У j+1 + yj+' ^ У1-1 - 2 yj + УП+1

= a

а-

+ (1 -аУ

v h2 У ' h2 + b(cy j1 + (1 - а)yj )+wj, п = 1,2,..., N -1, j = 0,1,..., Jo -1,

2.

+

(13)

^^ + ^ ^ + (1 - а)yl)-22- fe + (1 - а)yN-1) т h h

^ 2a2 2a2 8

h2

h

- b

(cyi;1 + (1 -а) yN ) =

= WN.

Присоединим к этим разностным уравнениям начальные условия, полученные из начальных условий (3)

у0 = р(х ), п = 0,1,..., N.

(14)

Таким образом мы построили разностную задачу, соответствующую задаче (1), (7), (3).

4. Решение разностной задачи (13)-(14)

Разностные уравнения (13) можно записать в виде

к у0+1 - ь у1]+1 - ^ уы+1 = gj],

- ^УЛ + W J+1 - b^;; = g J, j = 1,2,..., N -1,

e1yj +1 - a2yJN+-1 + b2yiN;1 = gN,

(15)

J = 0,1,..., 10 - 1.

Здесь

c0 = 1 + ат

f 2a2 2a 2уг ^ - b

h1

h

b0 =

2a ат

h2

e0 =

2a 28хат

a 2ат

h

a=

h2

1 2a 2ат 1 1 a 2ат c = 1;--^--Ьот , b =■

2a 2у2ат

2a ат

h2

b = 1 + ат

h

2

f 2a2 2a 2 8

h2

h

- b

, g0J = т<р0 +

h

1 - (1 -а)т

h2

2a2 2a

h2

h

-b

У01 +

2a 2(1 -а)т J 2a 281(1 -а)т J J J a 2(1 -а)т J

+ — y1 +--- yN, gJ = wj + v, ' y J-1 +

h1

h

h1

f

+

1 2a2(1 -а)т _ . ^ 1--^—— + b(1 - а)т

h2

j a (1 -а)т j j j

У 1 +-г^-Уп+1, gN = wN

J

h

2a 2y9 (1 -а)т J

-—-— У0 +

h 0

<

e1 =

+

2a 2(1 -а)т h2

У.

N -1

+

1 - (1 -a)z

2a2

2a 282 , ^

2 - b

h

J

yN, j = 0,1,..., j0 -1.

В теории разностных уравнений, система (15) называется трехточечными разностными уравнениями. Потому что число неизвестных в каждом уравнении не больше трех.

Установлено, что для нахождения решения разностной задачи (15) можно использовать следующий алгоритм:

сначала найти решения разностных задач Г- аи£ + си+1 - = , п = 1,2,..., N -1, К+1 = 0, и]м+1 = 0;

- a^j+1 + c1vj+1 - bV+1 = 0, n = 1,2,..., N -1,

,j+1

= 1, VN+1 = 0;

- alWj+i + c, wj+' -b.wj+i = 0, n = 1,2,..., N -1

J+1

j+1

+1

j+1 VN

(16)

(17)

(18)

После нахождения решений задач (16)-(18), решить следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно уУ+1 и у ¡+1:

;(c0 - b0v/+1 )yj+1 -(b0wj+1 + ^ )yNj+1 = gj + huj+1, - a2vN+\ y+1 - (a2wJN+\ + b2 )уГ = gN + a2uN+\.

(19)

В конце, решение задачи (15) определить равенствами

УП+1 = иП+1 + у^1 + уГ<+1, п = 0,1,...,N. (20)

Решении задачи (15), надо начинать с первого значения у, когда это значение равно нулю: у = 0.При этом значении у, правые части уравнений в (15) известны. Используя алгоритм (16) - (20), можем найти у^, п = 0,1,2,..., N. После этого взяв в равенстве (15) у = 1, получим разностную задачу относительно у2, п = 0,1,2,..., N. На этот раз в правых частях уравнений в (15) будут участвовать у1п, п = 0,1,2,..., N, значения которых найдены. Продолжив этот процесс последовательно, до значения у = у0 -1, можем найти решение разностной задачи (15).

Для решения трех точечной разностной задачи, можем использовать известный метод прогонки, разработанный для таких разностных задач. Для разностной задачи (16) алгоритм этого метода заключается в следующем:

сначала по рекуррентным формулам

b1

c1 - a1&n

n = 2,3,..., N - 2, а = —

(21)

j =

gj + aPi

c1 - a1a n

, n = 2,3,..., N -1, pj =

gj

вычисляются прогоночные коэффициенты ап+1, п = 2,3,..., N - 2 и р3п+х, п = 2,3,..., N -1. Затем по рекуррентным формулам

ип-1 =ап<+1 +ру, п = N -1, N - 2,...,2, = PN, вычисляется решение задачи (16).

(22)

0

an+1 =

c

1

c

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Impact Factor: SJIF 2021 - 5.81 PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

2022 - 5.94

Следует отметить, что решения разностных задач (17) и (18) также, определяются алгоритмом (21)-(22). Но решения этих задач не зависят от значений J . Поэтому эти задачи надо решить, всего один раз.

5. Корректность и устойчивость алгоритма метода прогонки

В предыдущем параграфе отметили, что алгоритм метода прогонки требует вычисления по формулам (21) и (22). В связи с этим вводится следующее определение:

Определение 1. Если коэффициенты разностной задачи (15) удовлетворяют условиям

С ^ 0, c - — 0, п = 2,3,..., N -1, тогда говорят, что алгоритм (21)-(22) метода прогонки корректен. С другой стороны, если при вычислении некоторого значения и J+1 допущена некоторая

погрешность, и если \an\> 0, тогда при вычислении значения и j+\, по формуле (22), эта погрешность будет расти.

Определение 2. Если выполняется условие \an | < 0, то алгоритм метода прогонки

(21)-(22) называется устойчивым. В [2] доказана лемма, определяющая достаточные условия для корректности и устойчивости алгоритма метода прогонки. Для разностных задач (16) или (17) или (18) эту лемму можно сформулировать следующим образом:

Лемма. Если коэффициенты разностных задач (16) или (17) или (18) удовлетворяют условию

|cj > -J + \b\, (23)

то алгоритм метода прогонки корректен и устойчив.

Найдем достаточные условия для выполнения условия (23). Из формул для

коэффициентов разностных уравнений в (15) видим, что

2 2 /->2 a ат , a ат . 2 a ат ,

- = -¡о- , b = -а, с1 =1+^а-boT .

Если а> 0 и b < 0,то все эти коэффициенты положительны и эти коэффициенты удовлетворяют условию (23).

Поэтому для корректности и устойчивости алгоритма метода прогонки справедлива следующая

Теорема 3. Если а > 0 и b < 0, то алгоритм метода прогонки (21)-(22) для разностных задач (16), (17, (18) корректен и устойчив.

ЛИТЕРАТУРА

1. Khankishiyev Z.F. Solution of one problem for a parabolic type linear loaded differential equation. The Reports of National Academy of Sciences of Azerbaijan, 2022, vol. LXXVIII, № 1-2, pp.8-13.

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва, «Наука», 1978, 592 с.