РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Акимов А.А.

к.ф.м.-н., доцент

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного Университета

Юраш Ю.С. Сафаргалина Э.И.

студенты

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного Университета

SOLUTION OF THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR SOME ELLIPTIC EQUATION

Akimov A.

Ph.D., associate professor Sterlitamak branch Bashkir State University

Yurash Yu., Safargalina E. students

Sterlitamak branch Bashkir State University

Аннотация

В статье рассматриваются краевая задача для сингулярного эллиптического уравнения. Доказывается теорема существования решения поставленной краевой задачи в классе гладких функций. Abstract

The article deals with a boundary value problem for a singular elliptic equation. An existence theorem is proved for the solution of the stated boundary value problem in the class of smooth functions.

Ключевые слова: краевая задача, эллиптическое уравнение, функция Бесселя, функция Грина. Keywords: boundary value problem, elliptic equation, Bessel function, Green function.

В данной работе рассмотрено уравнение эллиптического типа

Su + Яu = U + U, + PU + Я = 0, (1)

xx yy x ^

x

где p,XeR , в области эллиптичности D - бесконечной полосе, ограниченной прямыми x = 0, x = 1 и y = 0 .

Для уравнения (1) при p > 1, Я< 0 в области D поставлена краевая задача: Найти ограниченную на D функцию u(x, y) , удовлетворяющую условиям:

м(x, y) е C(D) n C2(D), (2)

Su( x, y) + Ям( x, y) = 0, (x, y) е D, (3)

u(1, y) = 0, 0 < y < (4)

lim u(x, y) = 0, 0 < x < 1, (5)

u(x;0) = r(x), 0 < x < 1, (6),

где

t( x) - заданная, достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию согласования

г(1) = 0.

В данной работе спектральным методом обоснована однозначная разрешимость задачи (2) - (6) при p>1

Я< 0 . Доказаны утверждения: Теорема 1. Если а) при p = 1 r(x) е C[0;1] П C2 (0;1), г(0) = Г (0) = г(1) = 0, б) при Р > 1 r(x) е C[0;1]n C2 (0;1), г(1)= 0, то существует решение задачи (2) - (6) при

p > 1, Я < 0

и оно имеет вид

a, tP ¡-^-

u(x,y) = ^Cnx 2 JE±(мЛЧм"~Лу ,

n=1 2

где Си определяются по формулам

1 p+1

2 -_

Cn = г2 2 \ jХ 2 r(x)jp-1 C"nX)fr •

J p+1 (№n ) 0 2

2

Теорема 2. Если существует решение задачи (2) - (6) при р > 1. Л<0 , то оно единственно. Рассмотрим уравнение эллиптического типа

8и + Ли = и + и, + Ри + Ли = 0, (7)

XX уу X ^

X

где , в области эллиптичности & - бесконечной полосе, ограниченной прямыми X = 0,

х = 1 и у = 0 .

Для уравнения (1) при р > 1 и Л < 0 в области О поставим краевую задачу:

Найти ограниченную на D функцию и(x, y), удовлетворяющую условиям:

и(x, y) е C(D) n C2(D), (8)

Su( x, y) + Ли( x, y) = 0, (x, y) е D, (9)

T(x)

u(1, y) = 0, 0 < y <+x, (10)

lim u(x, y) = 0, 0 < x < 1, (11)

u(x,0) = t(x), 0 < x < 1, (12)

где

t( x) - заданная, достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию согласования

г(1) = 0.

Отсутствие краевого условия на границе x = 0 объясняется следующим.

Преобразуем уравнение (1), положив x = , y = Получим уравнение

+ ищ + и^+Ли = 0. (13)

Область D взаимно-однозначно преобразуется в бесконечную область D' плоскости f ) , ограниченную линиями ^ = 0, f = 0 и ^ = 1. Задача (8) (12) для уравнения (7) в области D эквивалентна краевой задаче для уравнения (13) в области D', в которой не требуется задания краевого условия на линии ^ = 0.

Корректность этой задачи для уравнения (7) в области D обоснована в известной работе Келдыша

[1].

В работе [2] были доказаны единственность и существование решения задачи, аналогичной (8) - (12) при X = 0, в произвольной ограниченной области, лежащей в полуплоскости y > 0 и ограниченной

линией X = 0. Была построена теория потенциала уравнения (1) при X = 0 и получена формула решения через функцию Грина. Для полукруга построена функция Грина и в явном виде выписано решение задачи.

В работе [3] для уравнения (7) при 0 < p < 2, X = 0 в четверти круга {(X, y) | X2 + y2 = 1, X > 0, y > 0} построено решение краевой задачи с нелокальным условием на

линии y = 0 в виде суммы биортогонального ряда. Решение этой задачи использовалось при построении решения задачи Трикоми.

В данной работе используется спектральный метод для решения задачи (8) - (12) при p ^ 1 и

X< 0.

Пусть функция u(x, y) является решением задачи (8) - (12). В уравнении (7) разделим переменные, представив

u(X, y) = X(x) • Y(y) * 0 (14)

и подставив (14) в (7):

X" (X)Y(y) + X(X)Y" (y) + px (X)Y(y) + XX(x)Y(y) = 0.

X

Поделив обе части последнего равенства на произведение X(X)Y(y) * 0, получим уравнение:

X"(X) Y"(y) p X (X)

-— +-— +—-^ + X = 0 . (15)

X(x) Y(y) X X(x)

Уравнение (16) перепишем в виде

X» pX'( X) Y "(y) ,

--1---=---X = —U , (16)

X(x) X X(x) Y (y)

где J - вещественная константа разделения.

Левая часть равенства (16) зависит только от X, а правая часть - только от y, поэтому равенство (16)

2

возможно тогда и только тогда, когда правая и левая части представляют одну и ту же постоянную — J . Тогда из соотношения (16) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка

X"(X) | p X (x) = _j2 X(x) x X(x)

Y"(y) , о _ „2

Y (y)

+ X = J

или равносильные им уравнения

X2X (х) + рхХ (X) + X2^2X(х) = 0, 0 < л < 1, (17)

У" (у) + (Я-м2 )У(у) = о, 0 < у < . (18)

Найдём общее решение уравнения (17). Заменяя в (17) функцию

1-р

X(х) = х 2 Z(мх)

20 The scientific heritage No 59 (2021)

и переменную Z = fJX , получим уравнение Бесселя

z2Z" + zZ'+ (z2 - v2)Z = 0,

где V = ^V(1 - P)2 = 1P - 1 = 1 (P - 1) при P > 1 Записывая общее решение уравнения Бесселя в виде

Z = C Jv (z) + C2^v (z),

где J - функция Бесселя первого рода, Yv - функция Бесселя второго рода, С и С2 - постоянные, получим общее решение уравнения (17) в виде

X (x) = x-v [CJV (ox) + C2Yv oo], v = P-1 (19)

Так как функция Y (o) при X —>■ 0 обращается в бесконечность, то ограниченным на [0;l] решением уравнения (17) будет функция (19) при С2 = 0 , то есть

1-P

X(X) = С1X 2 JP-1 (ox) • (20)

2

Найдём общее решение уравнения (18). Составим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (18):

к2 + (Л-о2) = 0 ^ к = ±д/(о2 -Л),

где О - Л > 0 , т.к. Л < 0 •

Тогда общее решение уравнения (18) имеет вид:

Y (у) = С + С e-^y,

с некоторыми постоянными С2 и С3. В полученном общем решении слагаемое

Сe О у — +a при y — +a , а слагаемое С3е У — 0 при у — +a. Поэтому ограниченным решением уравнения (18), обращающимся в нуль на бесконечности, является функция

Y (у) = С у.

Таким образом, ограниченное в области D решение уравнения (13), удовлетворяющее условию (11), есть функция

1-P ПИ

u(х, у) = X(x) • Y(у) = Сх 2 (o)eЧм у

2

с некоторой постоянной C •

По предположению u(x, у) решение задачи (14) - (18), то есть u(x; у) удовлетворяет условию u(1, у) = X(1) • Y(у) = 0, 0 < у < +a, откудаX(1) = 0 (21). Следовательно, функция

X (x) из представления (14) является решением следующей спектральной

задачи: найти значения параметра /Л и соответствующие им ограниченные на [0;1] функции Х(х) Ф 0, которые удовлетворяют уравнению (17) и граничному условию (21).

Для решения этой спектральной задачи воспользуемся ограниченным на [0;1] решением (14) уравнения (11), которое удовлетворим условию (21):

X (1) = С1 JpIl(м) = 0 о С1 JE±(м) = 0.

2 2

Исходя из последнего уравнения имеем J (/) = 0 и С Ф 0, так как в противном случае по-

P-2

лучим тривиальное решение X (X) = 0 . Поэтому / является корнем бесселевой функции 3 р _1 (V).

2

р -1

Так как нули функции Бесселя ^р-\ () при-> 0 положительны и счетны [9, с. 266], то обозначим

^Г 2

через /Лп, п е N - П -ый положительный корень функции

2

Итак, система функций

' 1-р

¡x 2 JE±(мпх)\ , (22)

2 ] п=1

где Мп - положительный вещественный корень бесселевой функции ^ р_\ () , является системой твенн

Мп }1=1

Р-2

собственных функций спектральной задачи (17), (21), соответствующей множеству собственных значений

Г

"и Jn=1

Из вышеизложенных результатов следует, что функция

1-p I—2—

Un(x,У) = x 2 Jp_i(M„x)e-М ~ly 2

удовлетворяет условиям (9) - (11).

Решение задачи (8) - (12) будем искать в виде суммы ряда

да ЬР I 2-

u(x,У) = XCnun(x,У)=XCnx 2 Jp-1 (finx)e-Mn ~Xy , (23)

и=1 2

где С - неизвестные пока коэффициенты.

Покажем, что функция u(x; y), определяемая формулой (23), удовлетворяет условию (12) и принадлежит классу (8) краевой задачи.

Удовлетворяя (23) граничному условию (12), имеем

т(x) = xcnx 2 jp-1 (Мп*), 0 < x < 1 (24)

п=1 2

или

Р-1 да

f(x)= x 2 T(x )=XCnJZ-1 (Mnx) . (24')

n=1 2

Таким образом, (24') есть разложение функции f (x) в ряд Фурье-Бесселя по функциям

J-1( Mnx)

2 ,

n=1

Из теории разложений Фурье-Бесселя [9, с. 277] следует, что

2 1

Cn = Г2 2 ^ ixf (XJ J«X)dX, (25)

J v+1 VJ n / 0

1 Р -1 Л

при условии V >--. В нашем случае V =-> 0 при р ^ 1.

2 2

Обоснуем равномерную сходимость ряда в правой части (24') к функции f (х) на [0;1]. Имеет место утверждение [9, с. 288]

Утверждение. Если f (х) определена и дважды дифференцируема на [0;1], /(0) = f (0) = 0, f (1) = 0, f (х) ограничена, то

|С1 <

C

(26)

On 2

где Сп определяются по формуле (25) и С - константа.

р_1

Потребуем, чтобы f (X) = X 2 Г^) удовлетворяла условиям теоремы 1.

1) Пусть р = 1, тогда f (X) = Г^) и условия f (0) = f (0) = f (1) = 0 очевидно равно-

условиям г(0) = г(0)= г(1) = 0 . Тогда из утверждения вытекает

Лемма 1: Если р = 1. г(x) Е С[0;1] П С2 [0;1). г(0) = Г (0) = г(1) = 0, то коэффициенты (25) удовлетворяют неравенству (26).

2) Пусть р > 1. Очевидно, в этом случае У(о) = 0,

сильны

/(0) =

P-1 2

P-3

P-1

■x 2 t(x) + x 2 Т (x)

——1 limT(x) = ——1 limT (x) • x

2 x—0 3-P 3 - Px—0 V 7

P-1 2 _

0

| x=0 X

если г(x) дифференцируемая функция на [0;1).

Поэтому справедлива

Лемма 2. Если р > 1. г(x)е С[0;1]п С2 (0;1). г(1)= 0 , то коэффициенты (19) удовлетворяют неравенству (26).

При наличии оценки (26) ряд в правой части формулы (24') сходится абсолютно и равномерно на [0;1] [9, с. 282]. Следовательно, при выполнении условий лемм 1 и 2 относительно г(X) имеет место равенство (24), значит, функция и(X; у), определяемая формулой (23), удовлетворяет краевому условию (12).

Очевидно, что

_л//п2 _ЛУ

u

,(x, у)< \C

jp_1 /„x)е^ _лу < с, • е-/п, v(x;у) е б.

да

Б числовым рядом ^^ (

п=1

да

/Лп ~ п . Так как ряд ^^ е /п сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд в (23) сходится абсолютно и

Значит, функциональный ряд в правой части (23) мажорируется на Б числовым рядом ^^ е

п=1

n=1

равномерно на Б , т.е. сумма и(х, у) ряда в (17) непрерывна на Б . Нетрудно показать, что

а ти

dxm д mu„

су

(x,у)<Conm • e, V(x;у)еD, (x, у )< Conm • e "On, V(x; у )e D.

Это значит, что производные т -го порядка от функции Ы^; у) в области О мажорируются схо

дящимся числовым рядом Г.

n=1

те /п . Поэтому ряд в правой части (17) можно почленно дифференци-

ровать сколь угодно раз, т.е. сумма этого ряда и(х, у)е Сда(Б). Итак, доказана теорема существования решения задачи (8) - (12)

3

Теорема 1. Если а) при р = 1 г(х)е С[0;1]пС2[0;1], г(0)=г (0) = г(1)= 0, б) при

Р > 1 г(х)е С[0;1]^ С2 (0;1), т(1)= 0, то существует решение задачи (8) - (12) при р > 1, Я < 0 и оно имеет вид

да 1—p

2 г (,, Jn—Xy

u(X y) = XCnX 2 Jp—1 JnX)e~

2

n=1

где C определяются по формулам

2 1 — Cn = ,2 2 \ ix 2 T(X)Jp—1 Jnx)dx.

VJn ) 0 2

Jp+1 v Jn ) 0

2

Список литературы

1. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области [Текст] / М.В. Келдыш // Доклады АН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2.

2. Пулькин, С.П. Некоторые краевые задачи

р

для уравнения Ы}х + Ыуу +--Ых = 0 [Текст] /

X

С.П. Пулькин // Уч. зап. Куйбыш. пединститута., 1958, Вып. 21.

3. Акимов А.А., Абдуллина Р.И.Решение задачи дарбу для телеграфного уравнения с отходом от характеристики // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2015. № 4. С. 29-35.

4. Акимов А.А. О единственности решения задачи типа Неймана для уравнения Чаплы-гина//Вестник Московского государственного областного университета. 2013. № 4. С. 38.

5. Akimov A., Safin E., Agafonova A. On uniqueness generalized problem of Tricomi for the Chaplygin equation // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. Т. 115. № 4. С. 895-899..

6. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций [Текст] / Г.Н. Ватсон. - Ч.1.- М: ИЛ, 1949.

7. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. [Текст] / А. Зигмунд. - М: Мир, 1965.

8. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Э. Камке. - М: ИЛ, 1949.

9. Толстов, Г.П. Ряды Фурье [Текст] / Г.П. Тол-стов. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960.