Об одной нелокальной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

А. А. Абашкин

Самарский государственный архитектурно-строительный университет,

443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mail: samcocaa@rambler.ru

Для обобщённого осесимметрического уравнения Гельмгольца исследована нелокальная краевая задача. Спектральным методом доказана единственность решения и найдены условия его существования. Приведена формула, в которой решение представляется в виде биортогонального ряда.

Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, функции Бесселя, нелокальная задача, базис Рисса.

Рассмотрим уравнение

2 р 1

Lu = uxx + uyy-\------иу + Ъ2и = 0, рфп+~, neZ (1)

У ^

в полуиолосе D = {(х,у) | 0 < ж < 1, у > 0}. Для уравнения (1) поставим следующую задачу. Задача. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (1) и следующим условиям:

и(х, у) € Cl(D U {х = 0, у > 0}) П C2(D); (2)

u(0, у) = и(1,у), их{ 0, у) = 0; (3)

lim и(х, у) = <р(х), 2р < 1,

2/->0+ /^Ч

lim у2р~1иу(х, у) = <р(х), 2р > 1; '

у->о+

lim lp [ и(х, —.(^ sm(2imx)dx = 0, I € N,

Jo V ’2^1(27m)2-62K (5)

limP [ u(x, — (^^+P)7r ~\(j _ ж) cos(2Tmx)dx = 0, lG N.

Jo ' 2д/|(27гп)2 — b2\'

Заметим, что подобная задача, но для уравнения Uxx + Uvv Н--------------------------Uv — b2u = 0,

У

была изучена в работах [1,2]. А для уравнения утихх + Uyy — Ъ2ути = 0, Ъ > 0, т > 0 подобные задачи рассматривались в публикациях [3,4].

Антон Александрович Абашкин, аспирант, каф. высшей математики.

Уравнение (1) является частным случаем двуосесимметрического уравнения Гельмгольца, которое подробно рассматривалось в монографии [5]. В частном случае при р = 0 уравнение (1) является уравнением Гельмгольца. Оно возникает при моделировании в волноводной электродинамике [6].

Теорема 1. Если решение задачи для уравнения (1) с условиями (2)-(5) существует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть и(х, у) — решение задачи (2)-(5) для уравнения (1). Рассмотрим функции

ьп = 4 / и(х, у) 8\п(2ттпх)с1х, (6)

Jo

ио = 2 / и(х,у)(1 — х)(1х, (7)

Jo

ип = 4 / и(х, у)(1 — х) со8(2ттпх)с1х. (8)

Jo

Так как и(х,у) является решением уравнения (1), выполняется соотношение

/* ^ / 2 р \

у [ихх + иуу Н-----иу + Ъ2и^ 81п(27гпж)с?ж = О,

которое интегрированием по частям можно привести к виду

V”

+ -^у1п ~ ((27Гп)2 - ъ2)уп = 0. (9)

При \2ттп\ > \Ь\ уравнение (9) заменой уп(у) = у~Р\У(у/8^,у), где зп = (2пп)2 — — Ь2, сводится к модифицированному уравнению Бесселя, поэтому решением уравнения (9) будет функция [7, с. 13]

уп(у) = Сгу-Р^^у) + С2у~рКр{ЛД^у), (10)

где /гу(-г), Ки(г) — модифицированные функции Бесселя.

Из условия (5) получаем, что С\ = 0 ввиду асимптотики функций К^(г) и 1и(г) при г —> оо [7, с. 32, с. 99]:

КЛг) - —7=1 1Лг) - Л=- (П)

V ^ V ^

Теперь, используя условие (4) и асимптотику для функции Макдональда [8, с. 246]

Ки(г) ~ ^,^1 ,, г^О, (12)

21-МжИ

найдём С*2 •

При 2р > 1 имеем

Ит0(у2р_1^п(у)) = С221_?^-^р =4^ р(ж) 8т(2тгггж)(*г.

Выражая из этого соотношения С*2, получаем

23~Р( /я~)Р Г1

С*2 =---- п— / <р(х) Бт(2ттх)(1х.

1 \Р) Jo

Тогда Уп(у) имеет следующий вид:

23~Р(^У _ П

Уп(у) =-----------У Р%(\/Ы/) / ф(х) 8т(2тгпх)йх. (13)

1 (Р) J о

При 2р < 1 имеем

Ит ^га(у) = С2Г^ = 4 [ <р(х) вт(27гпх)(1х.

у^о 21+р 70

Для С*2 получаем такое выражение:

2Р+з /-1

С*2 = ^77--. . ,_/ ю(х) 8\п(2ттпх)йх.

Т(-р)(у/8^Р Уо 1 ^ 1 '

Функция ьп(у) тогда принимает следующий вид:

2 р+з _ г1

ьп(у) = уо ¥>(ж) 8т(27гт:)с*а;. (14)

При |27гп| < |6| уравнение (9) заменой уп(у) = у~РУ^(^—8пу) сводится к

уравнению Бесселя, решение которого имеет вид [7, с. 12]:

Уп(у) = Сзу~р^(\/-8пу) + САу-рУ¥{^Гпу), (15)

где Л,(г) — функция Бесселя [7, с. 12]:

СО /_____ 1 \ гп

^ = Е ,-г 2 , и(16)

' т!Г(т + V + 1)

771=0 4 7

Уи(г) — функция Вебера [7, с. 12]:

уи = —-—г(Л(-г) С08(г/7г) - ,]-и{г)), V £ Z. (17)

81П(г/7Г )

Учитывая асимптотику функций Бесселя и Вебера [7, с. 98]:

Л(г) = Мы.

4 ) \г

¥-'{г> = ]ЦгЫ

4 ) \г

для выполнения условия (5) требуется ПОЛОЖИТЬ Сз = 0.

Найдём С4., используя условие (4) и определения функций Бесселя (16) и Вебера (17). Тогда при 2р > 1 имеем

2 р г 1

Нт у2р~1уп(у) = С4.—;—г—;----------. . . = 4 / м(ж) 8т(27тж)с£ж.

у^У УУ> 8т(тгр)Г(-р + 1)(у^)Р Уо

Выражая С4 из этого соотношения, получаем

С4 = 2~р+2 ё'т(ттр)Т(—р + 1)(л/—8п)р [ <р(ж) 8ш(27гпж)с?ж.

■1о

В этом случае Уп{у) выражается следующей формулой:

Уп(у) = 2~р+2 8т(7Гр)Г(-р + 1 )Ы~8п)РУ~РУрЫ-8пУ) X

X / <£>(ж) 8т(27тж)с?ж. (18)

Jo

При 2р < 1

Ит и„(2/) = С^2¥^(-р^1) = 4 /0 ^ 8[п(27тпх)(1х’

а значит

2Р+2г(— р + 1) [1

С4 =-----;—. . , . - / ю(х) и\п(2ттх)йх

Ctg(7Гр)(х/=^Р Уо

И 1

«„(у) = ^ ^ ^=^у~рГр(у/=^у) [ <р(ж) 8т(27гпж)£гж. (19)

Найдём теперь щ(у). Аналогично предыдущим рассуждениям приходим к уравнению

«о Н----+ Ь2щ = 0.

Заменой зд(у) = у~р\¥(Ъу) оно сводится к уравнению Бесселя. Его решением будет функция ио(у) = С$у~р,]р(Ъу) + СбУ~рУр(Ьу). Ввиду условия (5) С5 = 0.

Найдём Сб из условия (4), опираясь на явный вид функции Бесселя (16) и Вебера (17). При 2р > 1 имеем

2 V г 1

Нт у2р~1ио(у) = Се—;—гзг7-—==2 / м(ж)(1 — х)(1х.

у^оу ии/; Ь8т(тгр)Г(-р + 1)ЙР Л

Преобразовав это соотношение, получим

Сб = 2~р+1 8т(тгр)Т(—р + 1)1? [ <р(х)(1 — х)(1х.

Jo

Тогда

щ(у) = 2~р+1 8т(7ф)Г(— р + 1)$у~рУр(Ьу) [ <р(х)(1 — х)с1х. (20)

■1о

а значит

При 2р < 1 имеем

Ит щ(у) = Се= 2 / Ф)(1 - Фх,

У^О 2Р 1(-р+1) 7о

Сб = П5Ш»г11/ ^>(1-^

И

= 2 с^(тг^ 1о ~ Х^Х' ^

Теперь найдём ип(у). Аналогично предыдущим случаям приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

■и" + ~ип ~ ((27тп)2 — Ъ2)ип = —Аттпуп. (22)

Уравнение (22)—линейное неоднородное дифференциальное уравнение, его решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное уравнение совпадает с уравнением (9), его решение имеет вид (10) при \2жп\ > \Ь\ и вид (15) при \2ттп\ < |6|.

Частным решением уравнения (22) будет функция СкУ~р+1 Кр- 1(у^гё)> если \2ттп\ > \Ь\, и функция С Jy~7^5+l —зпу), если \2ттп\ < |6|, где

тт( С1

Ск = —2Р-1рГ(р) Уо ^^8[п^27тпх^х’ 2Ру1’

2Р+57ГП Г1

Ск = -РГ(-Р)(У^)Р+- I ^ 2Р < !'

С! = + £Ф)аН2жпхт 2р>1]

°3 = I ф;) ^2жпх),1х- 2>,<1-

Тогда общее решение уравнения (22) имеет вид

ип(у) = С7у-р1р(^у) + С%у-рКр{^у), \2тт\ > |6|,

ип(у) = Сду~р,1р(л/-8пу) + Сту^Ур^-впу), \2ттп\ < \Ь\.

Ввиду условия (5) Ст = 0 И Сд = 0.

Теперь рассмотрим условие (4). При \2тт\ > |6| и при 2р > 1 имеем

Г(р) [1

Ит у2р~1ип(у) = С% , —. ,_= 4 / (р(х)(1 — х) сх^{2ттх)(1х,

у^оу пУУ> 8 2 1~р(^)р Уо

Т. е. _

23~р( /8~)р Г1

С*8 =----- п— / <р(х)( 1 — х)сх^(2ттх)(1х.

1 \Р) Jo

Тогда для ип(у) получим следующее выражение:

ип(у) = ~—У~рКр(л[^гУ) [ - ж)cos(27гnж)dж-

i (Р) Jo

ттп( /ч-')23-1 - Г1

^-1рГ(р) У~Р+1кр-^^у) уо Ф) 5т(2птс)<1х. (23)

А при 2р < 1 —

ЦШ Му) = с/-Щ+ =

21+Р 2 Р

= 4 / ср(х) (1 — х) со8(2ттпх)с1х. Jo

Из этого соотношения выражаем С&:

23+р ^ (р(х)(1 - х) с.о$(2ипх)(1х 2Р+6тгп(-р + 1) [1 . ^

С-8 =------, ч-,1----------------------;—„, , 7т / щх) ъ\щ2ттх)ах

Г(-р+1)(у^)Р+1 рГ(-р)(^)Р-2 Уо 1 ; 1 ;

и получаем представление для ип:

( 23+р Г* <р(х)(1 — х) сх^(2ттх)(1х

= ( г(-р + 1)(^+.----------------+

2р+6тгп(-р + 1) С1 . , . \ _йг. , ,— .

+ рГ(-р)(^)Р-2 у0 <р(х)ып(2тгт:)(1х \у рК¥(^у)+

2Р+57ГП

+

рГ(-р)(у^)р+1

При \2тт\ < |6| и 2р > 1 имеем

-1

у Р+1 Кр-1(у/(^у) [ <р(х)8т(2ттх)(1х. (24)

■)о

2Р [

Ит у2р~1ип{у) = Сю . _ — = 4 / <р(ж)(1 - х) соъ(21тх)(1х.

8т{ттр)Т(-р + 1){Л/-8)Р 7о

Отсюда

«г

Сю = 2 р+2 зт(7ф)Г(— р + 1)(\/—5^)р [ <р(х)(1 — х) сх^(2ттх)(1х

Jo

= 2_р+2 8ш(7гр)Г(— р+1)(л/—зп)рУ~рУрЫ~8пУ) [ х) сов(2ттх)с1х—

■1о

та8.в(жйГ(-р + 1)(^Г .,-P+lj__l(^)x

х / у?(ж) sin(27rra)cfe.

Jo

При 2р < 1 имеем

, . , r Ctg(7Tp)(^=^)P Ctg(7T(p - 1))(уГ=^Р 1

lim «.„(») = Сю 2iT(-p+l) + Cj-----2Р-‘Г(-р + 2)------ =

= 4 / <£>(ж)(1 — ж) cos(2irnx)dx.

Jo

В этом случае

l

2P+2p(_p _|- 1) /•

Сю =------;—. . , . - / <^(ж)(1 — ж) cos(2imx)dx+

Ctg(7J ^ A ; V '

0

1

2Р+5(-р + 2)ттГ(-р +1) f . .

H--------——-------------------------------------.. . . ^ / м(ж) sm(27rm;)cfe. (25)

pctg(7r(p - l))(y^V)p+2 J y j v ;

о

В итоге

l

/ 2Р+2Г(—p + 1) Г Un = ( ---;-. . , . - / lfi(ж)(1 — ж) С08(27ГПЖ)С?Ж+

Vctg(7Tp)(^=^)P J ^ A ^ V '

0

2Р+5(-р + 2)тгпГ(-р +1) f1 . \ _P ----

+ —. , ,----w+2- / ^(ж) sm(27rra)cfe у pYp{^/-sny)-

pctg{ir(p - 1 ))(V=^)P+ Vo /

----2 y-p+1j f v(x)Sm(2irnx)dx. (26)

pctg(7rp)(v/-s„)p+i 7o

Из формул (13), (14), (18)—(21), (23)-(26) следует, что если <£>(ж) = 0, то vn{y) = 0, ■Uo(y) = 0 и ип{у) = 0, но тогда и(х,у) = 0 в силу полноты системы {4sin 27гггж}^=1, {2(1 — ж)}, {4(1 — ж) cos 2ттх}™=1 [9], что завершает доказательство единственности решения. □

Теорема 2. Если <р(х) € (7(0,1], то решение задачи (2)-(5) для уравнения (1) существует и представимо в виде

СО СО

и(х,у) = и0{у) + £ ип(у) cos 2ттх + ^ vn(y)ж sin 2ттх. (27)

П=1 П=1

Доказательство. Поскольку системы функций {4 sin 27гпж}^1, {2(1 — ж)}, {4(1—ж)cos2ттх}™=1 и {х sm2Trnx}^=1, {1}, {cos2ттх}™=1 образуют базис Рисса [9], достаточно доказать равномерную сходимость ряда (27).

Рассмотрим ряд из абсолютных значений коэффициентов при cos 2ттпх, то есть из \ип(у)\ при у ^ 5 > 0. Для каждого п все множители, входящие в оба слагаемых, при условиях теоремы имеют степенной характер при п —>■ оо, кроме множителей Kp(y/s^,y) и Kp+i(^/s^y), которые убывают экспоненциально. Таким образом, слагаемые ряда убывают экспоненциально, а значит, ряд J^°=i \ип{у)\ сходится равномерно.

По аналогичным соображениям равномерно сходится ряд J^°=i \vn{y)\-Из равномерной сходимости ряда X^Li \un{y)\ и ряда \vn{y) \ следует

равномерная сходимость ряда (27), что завершает доказательство существования решения исследуемой задачи. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лернер М.Е., Репин О. А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметричного уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравнения., 2001. Т. 37, №11. С. 1562-1564; англ. пер.: Lerner М.Е., Repin О. A. Nonlocal boundary value problems in a vertical half-strip for a generalized axisymmetric Helmholtz equation// Differ. Equ., 2001. Vol. 37, no. 11. Pp. 1640-1642.

2. Моисеев E. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения, 2001. Т. 37, № 11. С. 1565-1567; англ. пер.: Moiseev Е. I. Solvability of a nonlocal boundary value problem // Differ. Equ., 2001. Vol. 37, no. 11. Pp. 1643-1646.

3. Валитов И. P. Решение нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом / В сб.: Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. Тр. международной научной конф-дии. Т. 1. Уфа: Гилем, 2003. С. 100-110. [Valitov I. R. Solution of a nonlocal problem for a elliptic equation by the spectral method / In: The Spectral Theory of Differential Operators and Related Problems: Proc. of the International Scientific Conference. Vol. 1. Ufa: Gilem, 2003. Pp. 100-110].

4. Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом / В сб.: Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. Тр. международной научной конф-дии. Т. 1. Уфа: Гилем, 2003. С. 213-219. [Sabitov К. В., Sidorenko О. С. On the unique solvability of nonlocal problems for degenerate elliptic equations by the spectral method / In: The Spectral Theory of Differential Operators and Related Problems: Proc. of the International Scientific Conference. Vol. 1. Ufa: Gilem, 2003. Pp. 213-219].

5. Маричев О. И., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффидиентами. Самара: СГЭУ, 2008. 275 с. [Marichev О. I. Kilbas A. A.; Repin О. A. Boundary value problems for partial differential equations with discontinuous coefficients. Samara: SGEU, 2008. 275 pp.]

6. Плещинский H. Б. Модели и методы волноводной электродинамики. Казань: КГУ, 2008. 103 с. [Pleschinskiy N. В. Models and methods of waveguide electrodynamics. Kazan: KGU, 2008. 103 pp.]

7. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. C. Higher transcendental functions. Vol. II / ed. H. Bateman. New York - Toronto - Tondon: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 396 pp.; русск. пер.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т. 2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974. 295 с.

8. Olver F. W. J. Asymptotics and special functions / Computer Science and Applied Mathematics. Vol. XVI. New York - Tondon: Academic Press, 1974. 572 pp.; русск. пер.: Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

9. Моисеев Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения, 1999. Т. 35, №8. С. 1094-1100; англ. пер.: Moiseev Е. I. The solution of a nonlocal boundary value problem by the spectral method // Differ. Equ., 1999. Vol. 35, no. 8. Pp. 1105-1112.

Поступила в редакцию 01/XII/2010; в окончательном варианте — 15/VIII/2011.

MSC: 35J05; 35J25, 35В30

ON ONE NON-LOCAL PROBLEM FOR AXISYMMETRIC HELMHOLTZ EQUATION

A. A. Abashkin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering,

194, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443001, Russia.

E-mail: samcocaa@rambler.ru

Non-local boundary problem for the axisymmetric Helmholtz equation is explored. The uniqueness of the solution is proved by the spectral method. The conditions of solvability are found. The solution of the problem is constructed in the form, of the biorthogonal series.

Key words: Helmholtz equation, Bessel functions, non-local boundary problem, Riesz basis.

Original article submitted 01/XII/2010; revision submitted 15/VIII/2011.

Anton A. Abashkin, Postgraduate Student, Dept, of High Mathematics.