Решение граничных задач двухмерной фильтрации в анизотропно-неоднородном слое пористой среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика жидкости и газа 1038 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1038-1040

УДК 532.546

РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДВУХМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНО-НЕОДНОРОДНОМ СЛОЕ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

© 2011 г. В. Ф. Пивень

Орловский госуниверситет

oryol@au.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Ставятся и решаются фундаментальные граничные задачи стационарной двухмерной фильтрации в анизотропном и неоднородном слое пористой среды (пласте грунта): первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения. Предлагается метод решения этих задач. Если анизотропный слой однороден и границы канонические (прямая, эллипс), решения задач можно получить в конечном виде. В общем случае используется обобщенный интеграл типа Коши. Это позволяет редуцировать задачи к решению сингулярных интегральных уравнений на границах.

Ключевые слова: фильтрация, анизотропная неоднородная среда, граничные задачи, обобщенный интеграл типа Коши.

1. Двухмерную стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости в недеформируемом тонком слое пористой среды (пласте грунта) с тензором проводимости Р = (Р У) = И(Ку) ((К), /, у = 1, 2, - тензор проницаемости слоя, И — его толщина) описываем обобщенным потенциалом ф и функцией тока у — функциями декартовых координат точки М = (х, у) плоскости основания слоя. Они удовлетворяют в области О (за исключением изолированных особых точек этих функций, моделирующих произвольные источники (стоки) течения) известной эллиптической системе уравнений [1]:

Эф

Pu^+P12 дф=д^

P2

dx

Эф

12

дУ

Эф

дУ ’ Эу

21

„ д. д . V = — 1 + — і

dx ду

уравнения (1.2) с условием на границе о1 fM) — заданная функция):

ф+ (M) = f (M), M єоі

(1.3)

Вторая краевая задача: найти решение уравнения (1.2) с условием на границе С2:

^Эф(М) л+

dv M

= О, M є о

2

(1.4)

производная берется по конормали к границе С2.

Задача сопряжения: найти решение уравнения (1.2), удовлетворяющего на границе Г раздела областей В1 и В2 (В1 и В2 = В ) слоя, проводимости в которых Р1 и Р2 (Ра = каР, ка - постоянные, а = 1, 2), условиям сопряжения

(1.1)

- + P22 — —--------

Эх dy дх

Здесь Ри > 0, D(P) = PnP22 - (P12 + P21)2/4 > 0, D(Ps) — определитель симметричной части Ps = = (P + PT)/2 тензора P = (P j), PT = (P j) — транспонированный тензор.

Из системы (1.1) следует для ф уравнение эллиптического типа в дивергентной форме

/ -ч -ч Л

V • (P • Уф) — 0

k1

^Эф(М) Л+

ф+ (M) =ф— (M),

—

Эф(M)

(1.5)

dv

M

dv

M

M є Г.

Если область О ограничена сингулярной линией О0 = О01 и о02 и содержит бесконечно удаленную точку, то функция ф(М), помимо условий (1.3)—(1.5), должна удовлетворять также условиям [4]:

(1.2)

Границы области О и раздела слоя разных проводимостей моделируем простыми (без самопересечений) гладкими или кусочно-гладкими линиями (замкнутыми или разомкнутыми).

Первая краевая задача: найти решение

Pn (M)

ф+ (M) = О, M єоО1; Эф(M) Л+

dv

M

= О, M є о

О2

ф(m )=0(rMM О), \p(m) • ^(м)=0(rMMО) при r

(1.6)

(1.7)

2. Ведем две комплексные плоскости: фи-

зическую плоскость г = х + гу, где течение в области О описывают функции ф(г) и у(г), и вспомогательную плоскость £, = ^ + гП, где течение в области О характеризуется функциями ф(0 и у(0- Плоскости г и С, области О и О взаимосвязаны гомеоморфным (взаимно однозначным и непрерывным) преобразованием С = £( г), которое удовлетворяет уравнению Бельтрами (О(К5) — определитель симметричной части тензора К, О(К) = = О(Р^)/И2)

Ц( г) =

ЭС , „

ЗТ-^( г)^ = 0 дг дг

*11 - /(*12 + к21)

И г )| < 1

К22 + К11 + ^ /.)(К ) ’

Введем в плоскости £, комплексный потенциал Ж = ф + гу /Р', (Р' =у!О(1\) — (Ра) ), где

Р' — проводимость слоя в плоскости О(Ра) —

определитель антисимметричной части Ра = (Р — — Р7)/2 тензора Р. Функция ЩО удовлетворяет всюду в области О (за исключением ее изолированных особых точек) вытекающему из системы (1.1) при учете (2.1) уравнению

дЖ

Ж

+ А (Ж - Ж) = 0

А =

Р' д 1п Р' Р' + Р дС

ЩО = [Ц (С, Т) / (т)Л — ^(С, т) / (тЩ,

2га £,

^; (3.1)

ОД,Т) и П2(£,т) — ядра, которые, в отличие от [3], выражаются в [4] через фундаментальные решения уравнения (2.2). Если/(т) — функция класса Гёльдера, то имеем предельные значения

ж± (С) =

(2.1)

= [Ц(£, т)7(т)Л -ЭД, т)7(т)Л ±

2л/ £,

(3.2)

7 (С)

2,

Се г,

.(2.2)

Искомый комплексный потенциал Ж(0 для первой и второй краевых задач представим в виде Ж(0 = ЩО + ЩО, Се В". Здесь ЩО - комплексный потенциал имеет заданные изолированные особые точки в отсутствие границ о1, 02 и, возможно, с0; Ж,(0 - комплексный потенциал возмущений, учитывающий эти границы.

В случае задачи сопряжения течение в областях В1 и В2 описывают комплексные потенциалы Ж1 и Ж2 (Жа = кафа + Ща1Р'), которые запишем в виде ЩО = ЩО + ЩО, Се ва, а = 1, 2. Далее, поставленные выше задачи (условия (1.3)-(1.7)) формулируются для ЩО. По найденному ЩО с использованием гомеоморфизма С = С (г) находим решения задач в виде Ж(г) = Ж[С(г)] и Жа(г)= = ЖаК(г)],а = 1, 2.

3. В частности, когда анизотропный слой од -нороден (компоненты тензора Р = (Р„) постоянные) и границы съ 02 и Г - канонические (прямая, эллипс), решения задач получаются в конечном виде [2]. В общем случае комплексный потенциал ЖДО представляем обобщенным интегралом типа Коши (функция 7т) непрерывна на кривой V е В'):

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Используя формулы (3.1), (3.2), из граничных условий для Ж.(0 получим относительно искомой функции/(т) сингулярные интегральные

/ / у-»/

уравнения на границах О1, о 2 и 1 , которые являются образами границ о1, О2 и Г. При этом условия на сингулярной границе о 0 (о 0 — образ границы О0) и в бесконечности учитываются фундаментальными решениями.

Таким образом, поставленные задачи редуцируются к решению найденных в работе [4] интегральных уравнений. Решения поставленных задач применено в [5] к нахождению дебита системы скважин в анизотропном пласте грунта.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-01-97509).

Список литературы

1. Радыгин В.М., Голубева О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высшая школа, 1983. 160 с.

2. Пивень В.Ф. Исследование граничных задач плоскопараллельных течений в анизотропной пористой среде // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, №9. С. 1286—1297.

3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.

4. Пивень В.Ф. Метод обобщенного интеграла типа Коши для двумерных задач фильтрации в анизотропно-неоднородном слое пористой среды // Труды Межд. школ-семинаров «МДОЗМФ», Орел. 2010. Вып. 8. С. 81 —88.

5. Пивень В.Ф. Задача о работе системы скважин в анизотропном пласте грунта // Труды XIV Межд. симпозиума «МДОЗМФ». Харьков—Херсон. 2009. С. 394—397.

THE ANALYSIS OF BOUNDARY PROBLEMS OF TWO-DIMENSIONAL FILTERING IN AN ANISOTROPIC INHOMOGENEOUS LAYER OF A POROUS MEDIUMХ

VF. Piven

Fundamental boundary problems of two-dimensional stationary filtration in an anisotropic and inhomogeneous layer of a porous medium (soil formation) - the first and second boundary value problem and the problem of coupling- are formulated and analyzed. A method for solving these problems is proposed. If the anisotropic layer is homogeneous with canonical boundaries (line, ellipse), solutions of the problems have a closed form. In a general case, generalized Cauchy type integral is used. This allows us to reduce the problem to the solution of singular integral equations on the boundaries.

Keywords: filtering, anisotropic inhomogeneous medium, the boundary problem, the generalized Cauchy type integral.