CC BY
46
Механика жидкости и газа 1212 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4(3), с. 1212-1214
УДК 532.546
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ В ОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ
© 2011 г. Ю.С. Федяев
Орловский госуниверситет
fedyaevys@gmail.com
Поступила в редакцию 16.06.2011
Ставится плоскопараллельная задача эволюции границы раздела жидкостей различных вязкостей и плотностей в однородном анизотропном слое пористой среды. Исследование задачи сведено к решению системы интегрального и дифференциального уравнений при заданном начальном условии. Предложен численный алгоритм решения этих уравнений на основе метода дискретных особенностей. Исследованы конкретные задачи эволюции границы раздела жидкостей.
Ключевые слова: плоскопараллельная фильтрация, анизотропная пористая среда, эволюция границы раздела жидкостей.
1. Плоскопараллельная стационарная фильтрация несжимаемой жидкости в недеформируемом однородном анизотропном слое пористой среды (грунте) постоянной толщиной Н = 1 с тензором проницаемости К = (Ку), /, у = 1, 2 может быть описана обобщенным потенциалом ф и функцией тока у. Эти функции зависят от декартовых координат х, у, времени t (t — параметр) и удовлетворяют всюду в области фильтрации О (за исключением особых точек течения) системе уравнений
А Эф, к Эф_Эу
Кц —--г Ап —— ■
Эх
ду ду
(1.1)
К дФ + К Эф_ Эу
Ко1----Г Коо --- —------.
21 22
дх ду дх
Здесь ф = — (р + рП)/ц, р — давление, |1 — динамическая вязкость жидкости, р — плотность жидкости, П — потенциал массовой силы. Компоненты тензора проницаемости К — постоянные величины.
Уравнения (1.1) записаны в безразмерных величинах. Система уравнений (1.1) относится к эллиптическому типу, если компоненты тензора проницаемо сти удовлетворяют условиям Кц > 0,
И — К11К22 — (К12 + К21)2 / 4 > 0, (О)
где К — определитель симметричной части тензора проницаемости.
Поставим задачу эволюции границы раздела жидкостей Г на комплексной плоскости г = х + + 1у (физической плоскости). Граница Г делит
область фильтрации О на части О1 и О2 (О = = 01иО2). В области О1 движется жидкость постоянной вязкости Ц1 и плотности р1, а в области 02 — жидкость постоянной вязкости |Д2 и плотности р2. Считаем, что при движении одна жидкость полностью замещает другую (модель « поршневого» вытеснения). Течение жидкости в области О описывает обобщенный потенциал ф(г, 0 и функция тока у(г, {), которые удовлетворяют системе уравнений (1.1). Считаем, что на границе раздела жидкостей Г( капиллярные силы пренебрежимо малы. Тогда условия непрерывности давления и расхода жидкости на этой границе примут вид:
|!іф (2,0-|І2Ф (2,о = (р2-рі)П(г,0,
(1.3)
Здесь и далее «+» («-») обозначают предельные значения функций при подходе к границе Г со стороны (противоположной стороны) орта нормали п (орт п направлен внутрь области ^1).
Положение границы Г, в плоскости 2 в любой момент времени Ґ > 0 задаем параметрическим уравнением (5 - параметр)
2 = 2 (?, 5), 2 Є Г. (1.4)
В начальный момент времени Ґ = 0 положение границы Г известно
2о = 2(0, 5), 2о Є Го. (1.5)
Дифференциальное уравнение движения границы Г, имеет вид
ё2 = и+ (2, ,) + и (2, ,) & 2
2 єГ, •
(1.6)
Здесь и( г, 0 — и х (х, у, О + го у (х, у, t) — комплексная скорость фильтрации. Компоненты скорости фильтрации их и иу определяют первое и второе уравнения (1.1) соответственно.
Задача эволюции границы Г ставится в плоскости г следующим образом. Задано положение границы Г0, потенциал массовой силы П(г, t'), вязкости ц1; |Д2 и плотности ръ р2 жидкостей, тензор проницаемости К. Необходимо найти положение границы Г (1.4) при t > 0. Решение задачи состоит в интегрировании дифференциального уравнение (1.6) при начальном условии (1.5). При этом для нахождения скорости фильтрации и(г, {) необходимо отыскать обобщенный потенциал ф(г, {) и функцию тока у(г, {), которые удовлетворяют системе уравнений (1.1) и граничным условиям (1.3).
2. Поставленная задача эволюции границы раздела жидкостей формулируется на вспомогательной плоскости £, = ^ + ГЛ. Это позволяет значительно упростить систему уравнений (1.1). На плоскости £, течение происходит в области О и характеризуется обобщенным потенциалом ф(^, 0 и функцией тока у(£, 0. Область Б' связана с областью О гомеоморфным преобразованием
£ — г + кг
г—
С—4
1—|к|2
(2.1)
Здесь
к— [ К22— Кц— /(К12+ К21)] /(К22+ К11+ 2^) — комплексная константа, |к| < 1.
Используя интеграл типа Коши, исследование задачи эволюции границы раздела жидкостей сведем к решению системы интегрального и дифференциального уравнений вида:
/ (С, t) — Г / (т, t )П (т, С )Ш\Х —
ПГ;
— 2[^ф0(С,t) + аП(С,t)], се г/, (2.2)
х
Ц>(С, t)+
^ = (1— | к|2)х | К | гд/(т, 0 Шт
г;
дт т —£
(2.3)
Се г,
где
Щт,С) — — [(т — С)[|Ka|/|Ks 11п|т — с У,
а = (р 2 — Р1ИЦ2 + ^1), ^ = (^2 — Ц1ИМ2 + ^1), 1 е е (—1, 1), |К| — определитель тензора К, |Ка| —
— (К12 — К21)2/4, /(£, 0 — вещественная непрерывная на Г/ функция, и»(£, t) — заданное невозмущенное поле скоростей жидкостей вязкости Ц1 —
— Ц2 = 1 и плотности р1 — р2 = 1. Для интегрирования дифференциального уравнения движения границы (2.3) необходимо добавить начальное условие, которое следует из (1.5) с учетом (2.1). По найденному положению границы Г в плоскости £ определяем ее положение при t > 0 в физической плоскости г, используя преобразование (2.1).
3. Система уравнений (2.2), (2.3) решается численно на основе метода дискретных особенностей. Полагаем, что положение границы г; в момент времени /р, р = 0, 1, ..., задается множеством точек £Р, Г = 0, 1, т. В начальный момент времени точки £ °, Г = 0, 1, ..., т, разбивают границу г0 равномерно по длине на т частей. Интегральное уравнение (2.2) сводится в каждый момент времени ^р к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно функции /(£, 0. Совместно с интегральным уравнением численно решаются дифференциальные уравнения движения границы (2.3) для всех точек £0 , Г = 0, 1, т. Это позволяет найти положение границы
в последующие моменты времени /р.
Построенный численный алгоритм позволяет исследовать широкий класс задач эволюции границы раздела жидкостей в однородном анизотропном слое пористой среды. При этом задачи решаются на вспомогательной плоскости а затем с помощью преобразования (2.1) получаем решение на физической плоскости г. Конкретные задачи эволюции границы раздела жидкостей исследованы в [1, 2].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-01-97509).
Список литературы
1. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Математическое моделирование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей в анизотропном однородном слое пористой среды // Ученые записки Орловского гос. ун-та. 2010. №2 (36). Серия: Естественные, технические и медицинские науки. С. 49—55.
2. Федяев Ю.С. Исследование плоскопараллельной эволюции границы раздела жидкостей различных вязкостей в анизотропной однородной пористой среде // Ученые записки Орловского гос. ун-та. 2010. №4(38). Серия: Естественные, технические и медицинские науки. С. 33—41.
MATHEMATICALLY MODELING THE EVOLUTION OF A FLUID-FLUID INTERFACE IN AN HOMOGENEOUS LAYER OF AN ANISOTROPIC POROUS MEDIUM
Yu. S. Fedyaev
The problem of plane-parallel evolution of the interface between fluids with different viscosities and densities in homogeneous layer of anisotropic porous medium is formulated. Investigation of the problem is reduced to solving a system of integral and differential equations with given initial condition. A numerical algorithm for solving these equations using the method of discrete singularities is presented. Specific problems of evolution of а fluid-fluid interface are investigated.
Keywords: plane-parallel filtering, anisotropic porous medium, evolution of а fluid-fluid interface.
