Математическое моделирование эволюции границы раздела жидкостей в однородном анизотропном слое пористой среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа 1212 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4(3), с. 1212-1214

УДК 532.546

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ В ОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

© 2011 г. Ю.С. Федяев

Орловский госуниверситет

[email protected]

Поступила в редакцию 16.06.2011

Ставится плоскопараллельная задача эволюции границы раздела жидкостей различных вязкостей и плотностей в однородном анизотропном слое пористой среды. Исследование задачи сведено к решению системы интегрального и дифференциального уравнений при заданном начальном условии. Предложен численный алгоритм решения этих уравнений на основе метода дискретных особенностей. Исследованы конкретные задачи эволюции границы раздела жидкостей.

Ключевые слова: плоскопараллельная фильтрация, анизотропная пористая среда, эволюция границы раздела жидкостей.

1. Плоскопараллельная стационарная фильтрация несжимаемой жидкости в недеформируемом однородном анизотропном слое пористой среды (грунте) постоянной толщиной Н = 1 с тензором проницаемости К = (Ку), /, у = 1, 2 может быть описана обобщенным потенциалом ф и функцией тока у. Эти функции зависят от декартовых координат х, у, времени t (t — параметр) и удовлетворяют всюду в области фильтрации О (за исключением особых точек течения) системе уравнений

А Эф, к Эф_Эу

Кц —--г Ап —— ■

Эх

ду ду

(1.1)

К дФ + К Эф_ Эу

Ко1----Г Коо --- —------.

21 22

дх ду дх

Здесь ф = — (р + рП)/ц, р — давление, |1 — динамическая вязкость жидкости, р — плотность жидкости, П — потенциал массовой силы. Компоненты тензора проницаемости К — постоянные величины.

Уравнения (1.1) записаны в безразмерных величинах. Система уравнений (1.1) относится к эллиптическому типу, если компоненты тензора проницаемо сти удовлетворяют условиям Кц > 0,

И — К11К22 — (К12 + К21)2 / 4 > 0, (О)

где К — определитель симметричной части тензора проницаемости.

Поставим задачу эволюции границы раздела жидкостей Г на комплексной плоскости г = х + + 1у (физической плоскости). Граница Г делит

область фильтрации О на части О1 и О2 (О = = 01иО2). В области О1 движется жидкость постоянной вязкости Ц1 и плотности р1, а в области 02 — жидкость постоянной вязкости |Д2 и плотности р2. Считаем, что при движении одна жидкость полностью замещает другую (модель « поршневого» вытеснения). Течение жидкости в области О описывает обобщенный потенциал ф(г, 0 и функция тока у(г, {), которые удовлетворяют системе уравнений (1.1). Считаем, что на границе раздела жидкостей Г( капиллярные силы пренебрежимо малы. Тогда условия непрерывности давления и расхода жидкости на этой границе примут вид:

|!іф (2,0-|І2Ф (2,о = (р2-рі)П(г,0,

(1.3)

Здесь и далее «+» («-») обозначают предельные значения функций при подходе к границе Г со стороны (противоположной стороны) орта нормали п (орт п направлен внутрь области ^1).

Положение границы Г, в плоскости 2 в любой момент времени Ґ > 0 задаем параметрическим уравнением (5 - параметр)

2 = 2 (?, 5), 2 Є Г. (1.4)

В начальный момент времени Ґ = 0 положение границы Г известно

2о = 2(0, 5), 2о Є Го. (1.5)

Дифференциальное уравнение движения границы Г, имеет вид

ё2 = и+ (2, ,) + и (2, ,) & 2

2 єГ, •

(1.6)

Здесь и( г, 0 — и х (х, у, О + го у (х, у, t) — комплексная скорость фильтрации. Компоненты скорости фильтрации их и иу определяют первое и второе уравнения (1.1) соответственно.

Задача эволюции границы Г ставится в плоскости г следующим образом. Задано положение границы Г0, потенциал массовой силы П(г, t'), вязкости ц1; |Д2 и плотности ръ р2 жидкостей, тензор проницаемости К. Необходимо найти положение границы Г (1.4) при t > 0. Решение задачи состоит в интегрировании дифференциального уравнение (1.6) при начальном условии (1.5). При этом для нахождения скорости фильтрации и(г, {) необходимо отыскать обобщенный потенциал ф(г, {) и функцию тока у(г, {), которые удовлетворяют системе уравнений (1.1) и граничным условиям (1.3).

2. Поставленная задача эволюции границы раздела жидкостей формулируется на вспомогательной плоскости £, = ^ + ГЛ. Это позволяет значительно упростить систему уравнений (1.1). На плоскости £, течение происходит в области О и характеризуется обобщенным потенциалом ф(^, 0 и функцией тока у(£, 0. Область Б' связана с областью О гомеоморфным преобразованием

£ — г + кг

г—

С—4

1—|к|2

(2.1)

Здесь

к— [ К22— Кц— /(К12+ К21)] /(К22+ К11+ 2^) — комплексная константа, |к| < 1.

Используя интеграл типа Коши, исследование задачи эволюции границы раздела жидкостей сведем к решению системы интегрального и дифференциального уравнений вида:

/ (С, t) — Г / (т, t )П (т, С )Ш\Х —

ПГ;

— 2[^ф0(С,t) + аП(С,t)], се г/, (2.2)

х

Ц>(С, t)+

^ = (1— | к|2)х | К | гд/(т, 0 Шт

г;

дт т —£

(2.3)

Се г,

где

Щт,С) — — [(т — С)[|Ka|/|Ks 11п|т — с У,

а = (р 2 — Р1ИЦ2 + ^1), ^ = (^2 — Ц1ИМ2 + ^1), 1 е е (—1, 1), |К| — определитель тензора К, |Ка| —

— (К12 — К21)2/4, /(£, 0 — вещественная непрерывная на Г/ функция, и»(£, t) — заданное невозмущенное поле скоростей жидкостей вязкости Ц1 —

— Ц2 = 1 и плотности р1 — р2 = 1. Для интегрирования дифференциального уравнения движения границы (2.3) необходимо добавить начальное условие, которое следует из (1.5) с учетом (2.1). По найденному положению границы Г в плоскости £ определяем ее положение при t > 0 в физической плоскости г, используя преобразование (2.1).

3. Система уравнений (2.2), (2.3) решается численно на основе метода дискретных особенностей. Полагаем, что положение границы г; в момент времени /р, р = 0, 1, ..., задается множеством точек £Р, Г = 0, 1, т. В начальный момент времени точки £ °, Г = 0, 1, ..., т, разбивают границу г0 равномерно по длине на т частей. Интегральное уравнение (2.2) сводится в каждый момент времени ^р к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно функции /(£, 0. Совместно с интегральным уравнением численно решаются дифференциальные уравнения движения границы (2.3) для всех точек £0 , Г = 0, 1, т. Это позволяет найти положение границы

в последующие моменты времени /р.

Построенный численный алгоритм позволяет исследовать широкий класс задач эволюции границы раздела жидкостей в однородном анизотропном слое пористой среды. При этом задачи решаются на вспомогательной плоскости а затем с помощью преобразования (2.1) получаем решение на физической плоскости г. Конкретные задачи эволюции границы раздела жидкостей исследованы в [1, 2].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 09-01-97509).

Список литературы

1. Пивень В.Ф., Федяев Ю.С. Математическое моделирование эволюции границы раздела «разноцветных» жидкостей в анизотропном однородном слое пористой среды // Ученые записки Орловского гос. ун-та. 2010. №2 (36). Серия: Естественные, технические и медицинские науки. С. 49—55.

2. Федяев Ю.С. Исследование плоскопараллельной эволюции границы раздела жидкостей различных вязкостей в анизотропной однородной пористой среде // Ученые записки Орловского гос. ун-та. 2010. №4(38). Серия: Естественные, технические и медицинские науки. С. 33—41.

MATHEMATICALLY MODELING THE EVOLUTION OF A FLUID-FLUID INTERFACE IN AN HOMOGENEOUS LAYER OF AN ANISOTROPIC POROUS MEDIUM

Yu. S. Fedyaev

The problem of plane-parallel evolution of the interface between fluids with different viscosities and densities in homogeneous layer of anisotropic porous medium is formulated. Investigation of the problem is reduced to solving a system of integral and differential equations with given initial condition. A numerical algorithm for solving these equations using the method of discrete singularities is presented. Specific problems of evolution of а fluid-fluid interface are investigated.

Keywords: plane-parallel filtering, anisotropic porous medium, evolution of а fluid-fluid interface.