Решение большой теоремы Ферма методом деления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

РЕШЕНИЕ БОЛЬШОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ

ДЕЛЕНИЯ Ведерников С.И.

Ведерников Сергей Иванович - пенсионер, г. Москва

Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения X" и 7" на целочисленные множители в уравнении X" + У" = 7" при п > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.

УДК 512.1

Теорема:

для целого натурального числа п > 2 уравнение X" + У" = 7" не имеет решений в целых положительных числах X, У, 2. Доказательство.

Имеется X" + У" =7", где X, У, 2, п - натуральные положительные числа. 2 > X >У - взаимно простые числа, п > 2.

Исходя из того, что уравнение является частным случаем уравнения

X" + у" = 7" и в нём выделяются целочисленные значения X, 2 и У, можно утверждать, что если уравнение X" + У" = 7" при п > 2 не имеет целочисленных множителей для или , то оно не имеет решений в целых положительных числах.

Рассмотрим порядок выделения множителей числа У2 и целочисленных 2, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2] Имеем: X 2 + У2 = 7 2 « 5 2 + 1 2 2 = 1 3 2. Преобразуем выражение:

7 2 - X2 = У 2« 1 3 2 - 5 2 = 1 2 2 . (1) Разложим ф. (1) на множители:

(2)

7 — X = У2 <н> 1 3-5 = 8. (3) Сложим почленно ф. (2) и ф. (3):

откуда:

У1 + У2 2(9 + 4) 7 = = = 13' (4)

Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2):

2 Ух — У2 « 1 8 — 8 = 1 0; откуда: У1-У2 2(9-4)

Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае п = 2 уравнения возможно выделение целочисленных множителей и целочисленных

значений и

Произведём разложение на множители в уравнении Х" + У" = 2п при п > 2 . Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем 2 ", при п > 3 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.

Известно, что Ъ в исходном уравнении при чётном п не может быть чётным числом, а X и У одновременно нечётными, поэтому примем Ъ , X - нечётными числами, У - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и У в данном случае нет.

Рассмотрим первый случай, когда п > 2 чётное число. Случай 1.

Ъ, X - нечётные, У - чётное, п - чётное. Имеется:

Xй + У™ = 2п. Преобразуем исходное уравнение:

_ Х" = У". (!)

Разложим на множители ф. (1).

2Л + Х? = У"_т; (2)

2Л _ Х? = Ут. (3) Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:

2 ■ г? = Уп"т + Ут;

п уп-т.угп

^ = —5—; (4) а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:

2 ■ Х^ = Уп_т - Ут;

уп-т_ут

Х" =-(5)

Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Ъ и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел У" _т или Ут имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем 2 " " 1 , поскольку У" -число чётное и имеет множителем минимум одно число При этом и не

могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также и что противоречит условию о взаимной простоте Ъ, X и У.

Поэтому и должны состоять из различных множителей числа в той же

степени, в степени п.

Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел У" " т или Ут должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени п, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:

21 + X? = 2 ■ У?\ (6)

21 - XI = 2й"1 ■ У2П; (7)

имея в виду, что У" - число нечётное.

п п

Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение и Х?, 2 ■ Ух", а вместо Ут значение 2 "" 1 ■ У^.

п 2 ■ У" + 2й"1 ■ У," 2 ■ (Уп + 2п~2 ■ У2П) ,

_-1-£_ _ —-_ = у™ + 2П~2 ■ У™

= 1 ~ 2 = 1 ~ 2 -1 = _ 2П_2 ■ У™

Итак, имеем:

21 = У? + 2п~2 ■ У2П; (8)

X? = У? - 2п~2 ■ У2П. (9)

Поскольку XI является степенью числа X при чётном п > 4, то его можно разложить на множители.

Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности п - х степеней.

п П1--(п-2)-(п-1)

XI = (Ух — У/2"-2 ■ У2 ) ■ (У/1 - 1 + • • • + 2 П ■ У2" - !). (10)

п

Из ф. (10) следует, что разложение XI на целочисленные множители невозможно. Допустим:

п п

22 + Х2 = 2й"1 ■ У";

п п

г2-х2 = 2- г4п.

Из почленного сложения и вычитания ф. вышеизложенным имеем:

21 = 2п~2 ■ У3П + У";

XI = 2п~2 ■ У3П - Г4П. Разложим ф. (14) на множители.

П / П-2 ч / (п-2)-(п-1) \

X1 = ( 2— ■ У3 — У4 ) ■ ( 2 п ■ У3"- 1 + • • • + У4"- ^ . (15)

Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому - число

иррациональное, поскольку другим, меньшим может быть только 1.

п

Следовательно, XI невозможно разложить на целочисленные множители, что

п

однозначно и не допускает другой трактовки, а значит XI , и здесь же X" являются степенью иррационального числа, уравнение при чётном п > 2 не имеет

решения в целых положительных числах.

П/-— — п

При этом особо нужно отметить, что для //2 " -2 = 2 п при нечётном - = 2 к + 1 , характерен следующий ряд показателей:

п-2 0 4 8 12 16 20 „ 0

— -; -; —; —; —; — . . . , где первый показатель - - соответствует уравнению

п 2 6 10 14 18 22 г 2

X 2 + У2 = 7 2 при 21 = //2° = у/Т = 1 , что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей. Случай 2.

2; X - нечётные, Y - чётное, п - нечётное. Имеем:

ХП + уп _ 2п

Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.

^2П 2 . ]£Пуп у2п _ ^2п

Преобразуем полученную формулу следующим образом:

7 2 " — X 2 " = У2 " + 2 ■ X" ■ У" = У" ■ (У" + 2 ■ X") . (1) Разложим ф. (1) на множители.

7" + X" = У" + 2 ■ X"; (2)

(3)

- чётное число, поэтому выразим его как Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:

2п + Хп = 2 ■ (2й"1 ■ Г/1 + Хп);

_ у^п _ 2" . уп

Примем:

в виде

(11) (12)

ф. (11) и (12), аналогичным

(13)

(14)

7" + х" = 2 ■ У2", где У2" - нечётное число, поскольку целое положительное число можно выразить п - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального. Итак, имеем:

7" + Х" = 2 ■ У2"; (4) 7" _ Х" = 2 " ■ г™. (5) Сложим почленно ф. ф. (4) и (5). Откуда:

или

7п = 2-(уГ + 2"-1-УГ) .

2 '

(6)

Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).

2 ■ Хп = 2 ■ У2П - 2" ■ У^. _ 2 ■ (У2п - 2й"1 ■ У?)

2 ;

Х" = У2" _ 2 "- 1 ■ У". (7) Из ф. ф. (6) и (7) видно, что У2" и У" не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте 7, Х, У; а ф. (6) и ф. (7), а 7" и Х" можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности п-х и суммы п-х степеней при нечётном n=2k+1. Разложим на множители ф. (6) и ф. (7).

= (у2 + . ■ уп-1 _ ... + 2 п ■ У^"1 ; (8)

= ^У2 - ■ Ух) ■ (У™-1 + ••• + ■ У^"1 ^. (9)

Как видно из ф. ф. (8) и (9), 7" и Х" нельзя разложить на целочисленные множители, поскольку они являются степенью иррациональных чисел, а значит, уравнение не имеет решений в целых положительных числах при

нечётном Случай 3.

- нечётные, - чётное, - нечётное. Кроме известного доказательства, что Ъ в уравнении не может

быть чётным числом при чётном п, заключающемся в неравенстве

суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая. Имеется:

Х" + У" = 7". (1) Вычтем из левой и правой частей уравнения (1)

где

7« _ 2 . уп = 2п ■ 11 - 2 ■ У™ = 2 ■ (2п_1 ■ г^1 - Уп); с нечётным Тогда:

Х" _ у" = 2 ■ а. (2)

Поскольку п чётное по условию, то можно разложить, как разность

п п п п

квадратов. Пусть Х? + У? = 2 ■ Ъ, а Х? _ У? = 2 ■ с, поскольку X и У нечётные числа. Тогда:

Х" _ у" = 2 ■ Ъ ■ 2 ■ с = 4 ■ Ъ ■ с. (3) Сравним ф. (2) и ф. (3).

2 ■ а = 4 ■ Ъ ■ с; или а ^ 2 ■ Ъ ■ с, т. к. а - нечётное число.

Итак: доказано, что 2 в уравнении Х" + У" = 2" не может быть чётным числом при чётном п > 4 и целочисленных решениях уравнения.

Рассмотрим доказательство невозможности чётного Ъ при нечётном п. X > У - нечётные, Ъ - чётное, п - нечётное.

Преобразуем уравнение Х" + У" = 2", вычтя из левой и правой его частей 2 ■ У" . Имеем:

Хп _ уп = 2П _ 2 . уп = 2 ■ (2п~1 ■ - Уп). (4)

Отметим, что 2 " " 1 ■ 2" — У" - нечётное число. Примем

Тогда ф.(4) примет вид:

Х" — у" = 2 ■ 2". (5) Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разницы квадратов и

Схп + у") ■ (хп - уп) = х2п -у2п = 2-г% -гп = 2- (г2 ■ ту1.

Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:

2 ■ Хп = гп + 2 ■ Выразим 2" = 2 " ■ 2". Тогда:

гп+ 2-г? 2 ■ (2й-1 ■ г? + г?) =--—- = —--^-— = 2й"1 ■ + (6)

2 . уп _ _ 2 .

- 2 ■ г? 2 ■ (2й-1 ■ г? - г?)

уп _ _£_ _ 4_£__ 2"-1 . — 2п (7)

Разложим ф. (6) на множители по формуле разложения на множители суммы нечётных п- х степеней.

Хп = 2п-1. гп + 2п = (у^т. + ^. (2("-ч2. -... + (8)

Разложим ф. (7) на множители по формуле размножения на множители разности п-х степеней.

уП = 2п-1. 2п _ 2п = - г2) ■ 2 п . г?-1+ ■■■ + г?-1 . (9)

Из ф. ф. (8) и (9) следует, что разложение Х" и У" на целочисленные множители невозможно, а значит не может быть чётным числом в уравнении (1).

Общий вывод: для рационального числа п > 3 уравнение Х" + У" = 2" не имеет решений в целых положительных числах

Список литературы

1. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.:МЦНМО, 2000. 286 с.

2. Серпинский В. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. 112 с.

3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Учеб. пособие. М. Высшая школа, 1984. 311 с.