Ступенчатая аппроксимация и Последняя теорема Ферма Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511. 5

СТУПЕНЧАТАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

ОВЧАРЕНКО И.Н., РЯБУХА В. Т.

[(1.5)”J+1, [(2.5)”J +1,..., которые соответствуют

скачкам этих функций. Для первой последовательности характерным является то, что именно ей

принадлежат составляющие a”, b”, c” уравнения

Ферма. Известно, что если из этой последовательности образовать разности первого порядка

Известное в настоящее время доказательство Последней теоремы Ферма английского математика Эндрю Уайлза из Принстонского университета базируется на знаниях математики, которые в эпоху Ферма не были известны. Предлагается принципиально новый подход к решению проблемы, который основывается на знаниях арифметики, получаемых в средней школе.

Введение

Более чем трехсотлетние неудачные попытки исследователей доказать Последнюю теорему Ферма породили мнение о том, что Пьер Ферма ошибся, утверждая, что доказал свою теорему.

Это мнение разделяют многие даже теперь, когда теорема доказана Эндрю Уайлзом, поскольку полученный им результат базируется на новейших достижениях математической мысли, которые в эпоху Ферма не были известны.

Если предположить, что доказательство теоремы все же существовало, почему в течение столь длительного времени никому так и не удалось отыскать путь, которым непосредственно шел к нему французский ученый? Не потому ли, что найденный им подход к решению проблемы базируется на тех знаниях математики, которые вскользь затрагиваются в начальных классах средней школы и не углубляются при дальнейшем обучении учащихся? Не по этой ли причине многие из нас в недоумении задумываются над казалось бы простым вопросом: почему целые числа на обычной школьной линейке и гибкой линейке закройщика смещены относительно друг друга? В большинстве случаев этот вопрос вызывает встречный: а разве они смещены?

Округление дробных чисел к целым — не тот ли скромный фрагмент арифметики, который, находясь в тени, постоянно ускользает из поля зрения исследователей, и который требует к себе уважения и самого пристального внимания ученых, занимающихся проблемой Ферма?

В математической литературе последних трех с половиной столетий отсутствуют какие-либо сведения о связи Последней теоремы Ферма с округлением чисел. Это означает, что исследователи такую связь не обнаруживали и не подозревали о ее существовании. Поэтому ступенчатые функции y1 = [”x] и y2 = [”x + 0.5], которые устанавливают эту связь, остались незамеченными (здесь x = 1,2,3,...; квадратные скобки обозначают целую часть числа).

В том, что эти функции действительно имеют непосредственное отношение к проблеме, можно убедиться, сопоставив свойства двух числовых последовательностей 1”,2”,3”,... и |(о.5)”J+1,

130

2 ” -1”,

3” -2”,

4” -3”,...,

второго порядка

(3” -2”)-(2” -1”) (4” -3”)-(3” - 2”)...

и т.д., в ” - м ряду мы получим одинаковые члены, равные ”!.

Проведя аналогичные действия над второй последовательностью, можно убедиться, что это чрезвычайно важное свойство сохраняется только для показателей ” = 1, 2 и 4.

Это обстоятельство дает ключ к проникновению в тайну Ферма и позволяет сравнительно простыми средствами показать [ 3 ], что если решения уравнения и существуют, то их следует искать только для

показателей ” = 2 m, что и доказывает теорему (здесь m - произвольное целое положительное число).

Предлагаемый ниже расширенный вариант этой работы, включающий разъяснения ключевых ее фрагментов, выполнен с учетом пожеланий, высказанных в процессе переписки по ней специалистами Математических институтов им. В.А. Стеклова (Санкт-Петербургское отделение) и им. Макса Планка (Бонн, Германия).

Авторы считают, что приведенное ниже доказательство теоремы является непосредственно тем, которым обладал Пьер Ферма.

Анализ проблемы

Последняя теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от нуля положительных целых чисел a, b, c и ” , для которых имеет место равенство

a” +b” =c” , (1)

где ” > 2.

В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для ” = 4 . Относительно же общего случая любого ” > 2 Ферма лишь написал, что он обладает таким доказательством.

Существование единственного полного доказательства теоремы для ” = 4, оставленное Ферма, вызывает известное любопытство [1, 2] и заставляет предположить, что в процессе решения задачи Ферма обнаружил некоторое очень важное отличительное свойство первой, второй и четвертой степени относительно остальных ” = 3, 5, 6,7, ..что позволило ему сформулировать необходимое условие разрешимости уравнения (1). Это потребовало

РИ, 2001, № 2

отдельной проверки случая n =4, поскольку существование решений уравнения для первой и второй степени позволяло Ферма предположить о его разрешимости и в четвертой.

Авторы данной работы считают, что им удалось обнаружить это отличительное свойство и полагают, что необходимое условие разрешимости уравнения (1) имеет вид

{(у - 0.5)n } = const, (2)

где n — фиксированное, у — произвольное целое положительное число; фигурные скобки означают дробную часть числа.

К этому выводу авторы пришли в результате анализа двух способов ступенчатой аппроксимации степенных функций, первый из которых предполагает формирование ступенчатой функции путем последовательного извлечения корня n - й степени из чисел натурального ряда и округлением получаемых значений в меньшую сторону до ближайшего целого числа, а второй - округлением до ближайшего целого числа.

Доказательством того, что условие (2) выполняется только для первой, второй и четвертой степени, служит следующее.

В связи с тем, что (2у - 1)n = 1 при у = 1, условие

Если бы целые числа ^i, ci в уравнении (4) всегда были разной четности, можно было бы считать утверждение Ферма о неразрешимости этого уравнения верным, так как его левая часть для нечетных показателей n > 3 не может быть целым числом.

В связи с этим возникает заманчивый вопрос: является ли условие

(с - 0.5)n - (a - 0.5)n є Z ,

полученное из уравнения (1) при замене в нем чисел а и с разной четности числами a - 0.5 и с - 0.5 соответственно, необходимым условием разрешимости уравнения Ферма, или нет? Авторы отвечают утвердительно: является.

В последнем выражении n > 3 — нечетное число, Z — множество целых отличных от нуля положительных чисел.

Прежде, чем перейти к доказательству сформулированного, докажем более слабое утверждение.

Лемма. Если уравнение Ферма ап + bn = cn разрешимо в целых отличных от нуля положительных

числах a, b, с (а — четное; b , c — нечетные числа) для целых нечетных показателей n > 3 , числа b и c должны удовлетворять условию

{(у - 0.5)n}

(2у -1)n

2

n

= const

будет выполняться при всех целых значениях у только для тех n , которые удовлетворяют сравнению

(2у -1)n = 1(mod2n). (3)

Так как 2у -1 = 3 является первообразным корнем по mod 4 и 2у -1 = 5 принадлежит показателю

2 n~2 при n > 3 , то сравнение (3) имеет место при всех у только для первой, второй и четвертой степени.

Это отличительное свойство, по мнению авторов, указывает на одно из направлений, в котором следует вести поиск решения математической проблемы, и позволяет выработать ранее не встречавшийся подход к доказательству теоремы, который наряду с целыми числами у предполагает использование чисел вида у - 0.5 .

Обратить внимание на числа этого вида заставляет и то, что деление обеих частей уравнения (1) на 2п

(например, при четном а и нечетных b, c) приводит его к виду

(c1 - 0.5)n - (b1 - 0.5)n = an , (4)

в котором они фигурируют.

(c - 0.5)n - (b - 0.5)n є Z , (5)

где Z — множество целых отличных от нуля положительных чисел.

Доказательство. Если уравнение Ферма разрешимо для любого нечетного показателя n > 3 , наряду со сравнением

cn = bn (mod 2 n) должно иметь место и сравнение

c = b(mod2n),

так как первые скобки правой части равенства

cn - bn = (c -b)(cn_1 + cn~2b + cn~3b2 + - + bn_1) содержат число четное, а вторые — нечетное.

Отсюда, используя известные свойства сравнений, тремя последовательными шагами

2c = 2b (mod 2 n),

2c -1 = 2b - 1(mod2 n),

(2c -1)n = (2b -1)n (mod 2n) мы и приходим к условию (5).

Заметим, что условие (5) не позволяет сделать вывод о разрешимости уравнения (1), так как можно указать бесконечное множество пар нечет-

РИ, 2001, № 2

131

ных целых чисел J и c, при которых оно выполняется для любого фиксированного нечетного n > 3 , хотя решений уравнения (1) для этих случаев не существует.

Однако то, что в левой части уравнения (1) числа а и b можно поменять местами, заставляет предположить, что в условии (5) нечетное число ь можно заменить четным а и получить необходимое условие разрешимости уравнения (1) в широком смысле этого слова.

Правомерность этого предположения подтверждает доказательство следующей теоремы.

Теорема. Если уравнение Ферма ап + bn = cn разрешимо в целых отличных от нуля положительных числах a, b, c для целых нечетных показателей п > 3, необходимым условием его разрешимости является условие

построенная из уравнения (7), на интервале [0; (kb)п ]

должна содержать ровно kl = kc - ka скачков, где k — произвольное целое положительное число.

В этом можно убедиться, опустив квадратные скобки в выражениях (8)-(10) и сопоставив поведение функций

У* = 4{ka)n + x, y* = П (ka)n + x + 0.5 , y* = ^(ka - 0.5)n + x + 0.5

на интервалах [0;(kb)n ] для одних и тех же значений аргумента x.

Нетрудно видеть, что для любых целых чисел a ,

(c - 0.5)n - (a - 0.5)n є Z , (6)

где a, c — числа разной четности; Z — множество целых отличных от нуля положительных чисел.

Доказательство. Доказательство будем вести от противного, предполагая, что уравнение (1) разрешимо в целых попарно взаимно-простых числах a, b, c (a — четное; b, c — нечетные числа) для любого нечетного показателя n > 3 . Такое ограничение правомерно, так как если теорема Ферма верна для показателя n , то она автоматически верна и для показателя mn , где m ф 0 , потому что если уравнение

amn + bmn _ ^n

имеет целочисленные решения (a, b, c), то уравнение (1) будет иметь целочисленные решения

(am, bm, cm ). Поэтому теорему Ферма достаточно доказать для n = 4 (это сделал сам Ферма) и для нечетных (либо простых) значений n > 3 .

В основе подхода к доказательству теоремы лежит то обстоятельство, что если уравнение Ферма

kc = ^ (ka)n + (kb)n (7)

разрешимо в целых положительных числах a, b, c, любая ступенчатая функция из трех семейств

у* = [n (ka)п + x ], (8)

у* = [^ (ka)п + x + 0.5] , (9)

у* = [^(*a - 0.5)п + x + 0.5] , (10)

k > 0 и x = xkl = (kb)n всегда имеет место у* > У* > У* , так как (ka)п > (ka- 0.5)n и

kc - 0.5 < ^(ka - 0.5)n + {kb)n < kc. Поэтому с учетом y* = y* + 0.5 для (8)-(10) всегда справедливо у* ((kb)n) = у* ((kb)n) = yk ((kb)n) = kc . Так как

yk (0) = yk (0) = Уk (0) = ka, kl = kc - ka.

Эта чрезвычайно важная особенность функций (8)-

(10) с одной стороны, а также тот факт, что все они характеризуются параметрами правой части равенства (7) и в то же время отличаются своим видом — с другой, в совокупности дают возможность записать уравнение Ферма (7) в другом виде и провести исчерпывающий его анализ относительно разрешимости в целых числах.

Для получения такого вида необходимо обратить внимание на то, что процесс формирования ступенчатых функций (8)-(10) состоит в последовательной подстановке значений x =1,2,3,... в выражения

^{kaf1 + x,

^(ka - 0.5)n + x

с последующим округ-

лением получаемых при этом значений в меньшую сторону до ближайшего целого числа—при формировании функций (8), и до ближайшего целого числа — при формировании функций (9), (10).

При этом целочисленные значения независимой

переменной x = x*i , соответствующие началу каждой kl -й ступеньки функций (8), определяют выражением

x*i = (kb)n. (11)

Значения же x = У*і , соответствующие началу каждой kl -й ступеньки функций (10), определяют исходя из того, что для каждого из уровней kc - 0.5

132

РИ, 2001, № 2

всегда найдется пара соседних целочисленных значений аргумента x = хк1 -1 и x = хк1, для которых имеет место система неравенств

У

(ka - 0.5)n + xkl -1 < kc - 0.5

(ka - 0.5)n + xki > kc - 0.5,

где sk1 — дробное значение левой части равенства

(14) .

После несложных преобразований правой части

(15) с последующим приведением подобных членов получим:

eki -

_______________________^ki_______________________

Tl(kc - 0.5)n_1 + Tn2(kc - 0.5) n~2sk1 +... + єп~1 ’

откуда ~k1 > [kc - 0.5)n - [ka - 0.5)n и

xk1 < (kc - 0.5)n - (ka - 0.5)n +1.

Так как правые части последних двух неравенств отличаются на единицу, для 5^1 можно записать

(16)

где T Пі? — биномиальные коэффициенты.

В связи с тем, что (kc - 0.5) ^ да при k ^ да, из (16) непосредственно следует существование предела

lim = 0, поскольку его вычисление сводится к

k

~k1 = (kc - 0.5)n - (ka - 0.5)n +^k1, (12)

где 0 <Sk1 < 1 — дополнение правой части выражения (12) до ближайшего целого числа, причем

Sk1 = 0, если |kc - 0.5)nj=|ka - 0.5)nj, и Sk1 Ф 0, если kc - 0.5)n}*|ka - 0.5)nj.

Так как на границах интервалов [~и; xw ] всегда

должно иметь место = yk , подстановка (11) и

(12) в (8) и (10) соответственно с последующим приравниванием их правых частей приводит к равенству

kc - 0.5)n + Sk1 + 0.5= n[ka)n + [kb)n , (13)

которое должно выполняться в случае разрешимости уравнения (1) . Выясним, для каких n это будет иметь место.

На первый взгляд, анализ тождественного преобразования (13) уравнения Ферма не позволяет ответить на этот вопрос, так как оно остается справедливым для любого n при замене в нем постоянной

0.5 любой другой а є (0; 1). Однако более внимательное его изучение свидетельствует о том, что в левой части выражения (13) квадратные скобки можно безболезненно опустить, провести анализ

величины 8k1, составляющий ядро всех рассуждений при предложенном подходе, и показать, что такой анализ провести невозможно в случае аФ 0.5 .

С учетом уравнения (7) перепишем равенство (13) в виде

n(kc - 0.5)n +^k1 + 0.5 = kc + £k1 (14)

и далее

(kc - 0.5)n + Sk1 = (kc - 0.5 + ek1)n, (15)

вычислению общеизвестного lim — = 0 , так как в

k k

последнем выражении суммой составляющих

Tn (kc - 0.5)n~2Sk1 + Tn (kc - 0.5Г~3єІ1 +... + 4'Г > 0

n-3 2

п—1

можно пренебречь. Поэтому для k > N, где N — неограниченно большое целое положительное число, равенство (13) может быть записано в виде

n(kc - 0.5)n + Sk1 + 0.5 = n(ka)n + (kb)n. (17)

Здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что, несмотря на возможность замены постоянной 0.5 в выражениях (9), (10) любой другой

а є (0; 1), анализ (17) не позволяет сделать какой-либо вывод о разрешимости уравнения (1) для этих случаев.

Действительно, замена в (9), (10) постоянной 0.5 любой другой а> 0.5 приводит к тому, что эти функции будут аппроксимировать соответствующие им непрерывные с погрешностью, предельное значение которой по абсолютной величине не превышает а единицы младшего разряда числа x.

Однако эта же погрешность воспроизведения будет обеспечена при замене в них постоянной 0,5 величиной 1 -а .

Эта неоднозначность приводит к тому, что замена в выражениях (9), (10), (17) постоянной 0.5 любой другой а и 1 -а приводит к равенствам

n{kc -a)n +41° +« = n(ka)n + (kb)n ,

n (kc - (1 -a))n +411~“) +1 ~a= n (ka)n + (kb)n ,

n (kc -a)n +41° +a = n (kc - (1 -a))n +41~a) +1 ~a> которые должны одновременно выполняться в случае разрешимости уравнения (1).

РИ, 2001, № 2

133

Так как эти равенства выполняются только в пределе при к ^ да, становится невозможным проведение анализа выражения (17) относительно разрешимости уравнения (1) даже в простейшем случае n = 2 .

Вместе с тем, положение спасает то, что (1 -а) ^ 0.5 при а ^ 0.5 и 1 -а = 0.5 при а = 0.5 . В этом частном случае последнее равенство должно выполняться не только в пределе при к ^ да, но и для любого фиксированного значения к , а первые два из них автоматически трансформируются в равенство (17), которое и подлежит дальнейшему анализу для этих фиксированных значений.

С учетом изложенной выше методики преобразования (7) в (13), а затем (13) в (17) можно утверждать, что необходимым условием разрешимости уравнения Ферма является возможность трансформации его тождественного преобразования (17) в равенство (7) при всех целых значениях к .

Следовательно, поиск возможных решений уравнения (7) следует вести только для тех значений n ,

для которых в (17) величина 8^ = 0 при всех целых

значениях к . Остается выяснить это соответствие.

Для достижения этой цели необходимо вспомнить, что величина 8^ представляет собой дополнение правой части выражения (12) до ближайшего целого числа и равна нулю при всех целых значениях

к только тогда, когдаразность (кс -0.5)n - (ка - 0.5)n в выражении (12) — есть число целое.

Так как для чисел с и а разной четности это

возможно только для n = 2m , решения уравнения Ферма следует искать только для этих показателей.

Действительно, в случае нечетного n упомянутая разность не может быть целым числом при всех целых значениях к, так как числитель правой части равенства

(кс - 0.5)n - (ка - 0.5)n

(кс - ка)((2кс -1)

n—1

2

n—1

(2кс -1)Г1~2(2ка -1) +... + (2ка - 1)n_1) + 2^

есть число нечетное для нечетных значений к .

Таким образом, именно здесь, при анализе разности (кс - 0.5)n - (ка - 0.5)n, становится очевидным тот

факт, что приведенное авторами условие (6) (а следовательно, и (2)) действительно является необходимым условием разрешимости уравнения Ферма, что и доказывает теорему для нечетных значений n > 3.

Приведенное доказательство того, что (6) является необходимым условием разрешимости уравнения (1), не является единственным. Существуют, по

меньшей мере, еще два пути доказательства этого утверждения.

Первый из них предполагает непосредственную подстановку правой части равенства (16) в уравнение (15) и последующее его решение относительно

8кі. Интерес при этом представляют только положительные корни уравнения.

Второй путь предполагает анализ левой части равенства (14) и доказательство того, что при Ду * 0

ее дробная часть есть число иррациональное. В этом случае равенство (15) не может иметь места, так как его левая часть всегда есть число рациональное, а правая—иррациональное (например, потому, что ее биномиальное разложение содержит слагаемое ТХп(кс - 0.5) n~Xek1 ).

Рассмотрим более подробно каждый из этих путей.

1. Обозначим знаменатель правой части равенства

8кі

(16) символом q и подставим в уравнение (15).

q

После соответствующего преобразования правой его части и приведения подобных членов получим:

дк1 = ТХп(кс - 0.5) n“1

$к1

q

+ Т2(кс - 0.5)n_2

sh + | sm q2 ... qn

откуда следует, что одним из корней уравнения является 8кі = 0. Покажем, что остальные его корни не могут быть положительными.

Исключив из уравнения множитель 8^ и учитывая, что

1 т!(кс - 0.5)n_1 _ Т2{кс - 0.5)

q q

Т;3{кс - 0.5)n“34 + - + C1

0.5 )n“2 £кі

кі

q

запишем его в виде

тЩкс - 0.5)n-2skl + Т2{кс -0.5)n-34 + ••• + 4Г1

q

п ічп-2 5кі „3,, n r\n—3 5кі , “кі

S

n—1

= (кс - 0.5)n_2 -2- + Т3 (кс - 0.5)n_3 -3 +... + -

q2 q3 qn

Аналогично, исключив из уравнения множитель

1

q и осуществив перенос его правой части в левую, q

далее получим:

eh -

0.5)n_2 е 8к1 єкі q

о 2 А 8кі + „2 . .. +en~1 - +ькі

\П—Ъ .

о n—1 „ n—1

■ = 0,

q

134

РИ, 2001, № 2

И, наконец, исключив из уравнения множитель

~ kl

ski —, окончательно получим:

ТП (kc - 0.5) «-3| Ski +^-1 + - +

С я Яп~2 Л

^n—2 , „п—Ъ°kl , , kl

bkl ^bkl q ^ ^ П— 2

q q

V ^ J

= -T2(kc - 0.5) n~2.

Из (5), (6) следует, что решений уравнения (1) не существует также для случая c — четное; a , b — нечетные числа.

Следует ожидать, что достаточное условие разрешимости уравнения (1) нужно искать в отличительных свойствах первой и второй степени относительно четвертой. Есть основание считать, что таким условием по-видимому является

у + <> -1 - (у - 0.5)n = const,

Так как в левой части этого уравнения биномиальные коэффициенты и величины kc - 0.5, £ki, q положительны, а правая часть уравнения отрицательна, 8кі не может быть положительной величиной, что и требовалось доказать.

2. Перепишем равенство (14) в виде

±nl(2kc - 1)п + 2n 8kl = kc - 0.5 + skl.

В этом равенстве величина будет числом рациональным только в том случае, когда подкоренное выражение левой его части является одним

из членов числовой последовательности ln,2n,3n,••• Однако в случае Ski ф 0 это не может иметь места, так как уже при n = 3, k = 1 и c = 2

которое выполняется только для первой и второй степени.

Выводы

Изложенное выше позволяет сформулировать полученный авторами результат следующим образом.

В работе рассмотрены два способа ступенчатой аппроксимации степенных функций, первый из которых обеспечивает в точках, соответствующих целочисленным значениям аргумента, погрешность воспроизведения непрерывной функции, не превышающую единицы, а второй — половины единицы младшего разряда аргумента.

Сопоставительный анализ этих способов аппроксимации позволил авторам записать уравнение Ферма в другом виде и показать его неразрешимость для нечетных показателей n > 3 , доказав, таким образом, что утверждение Ферма верно.

(2kc)n - (2kc -1)n > 2 nSkl,

где {ikcf —ближайший член этой последовательности, следующий за членом (2kc -1)n.

Это еще раз подтверждает вывод о том, что (6) действительно является необходимым условием разрешимости уравнения (1).

Если в выражениях (8)-(10) число а заменить числом b и рассмотреть поведение аппроксимирующих функций на интервалах |р; (ka)nJ, наряду с

необходимым условием (6) разрешимости уравнения (1) может быть получено и условие (5).

Следовательно, предложенный подход к доказательству теоремы инвариантен к четности чисел a, b и позволяет единым способом образовать аппроксимирующие функции (8)-(10) из уравнения Ферма (7).

Ллитература: 1. Постников М.М. Теорема Ферма. М.: Наука, 1978. 177с. 2. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир,1980. 488с. 3. Овчаренко И.Н., Рябуха В.Т. Ступенчатая аппроксимация и Последняя теорема Ферма. Деп. в УкрНИИНТИ за № 1022 - 90 Ук. от 13.06.1990. Опубликовано в РЖ “Математика”, сводный том, ВИНИТИ , N 11, 1990.

Поступила в редколлегию 28.01.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Санников С.С.

Овчаренко Игорь Николаевич, бывший старший научный сотрудник Союзтурбогаза, ныне пенсионер. Адрес: Украина, 61127, Харьков, ул. Блюхера, 25, кв. 32.

Рябуха Виктор Трофимович, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ. Автор 38 изобретений в области проектирования специализированных математических и счетно-решающих приборов и устройств цифровых электроизмерительных, преобразовательных и вычислительных систем, неоднократный лауреат ВДНХ СССР. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

РИ, 2001, № 2

135