CC BY
102
УДК 511.2 ББК 22.14
© В.А. Русанов, В.А. Данилов
ИДСТУ СО РАН E-mail: [email protected], [email protected]
© С.А. Бадмаев
Бурятский государственный университет E-mail: badmaevsa @mail.ru
Нетрадиционный подход к известным фактам теории чисел и поиск на его основе простых решений задач арифметики 1
Сделана «очередная» попытка кронекерского изучения некоторых общих проблем теории чисел, в весьма широком смысле относящихся к общей теории решений диофантовых уравнений. Т акой «элементарный» подход к некоторым известным фактам квадратичные формы числа почти непосредственно можно перенести на случай целостных колец Евклида (когда имеем деление с остатком). В данной постановке довольно просто получаются широко известные результаты (например, теорема Ферма-Эйлера), а также некоторые новые касательно квадратичных форм для представления простых чисел как таковых, так и удвоенных или утроенных, в частности.
Ключевые слова: деление с остатком, альтернативная делимость, квадратичная форма представления числа.
©V.A. Rusanov, V.A. Danilov
Institute of System Dynamics and Theory of Control, SB RAS, Ulan-Ude E-mail: [email protected], [email protected]
©S.A. Badmaev
Buryat State University, Ulan-Ude E-mail: [email protected]
Non-traditional approach to the known facts of number theory and the search for simple solutions of important problems of arithmetic on its base
An attempt of Kronecker’s study to examine some common problems in number theory, which in wide terms relates to the general theory of solutions of diophantine equations. Such an “elementary” approach to some well-known facts, quadratic forms of the number almost directly can be transferred to the case of the integral rings of Euclid (when we have a division with the remainder). In this formulation the widely known results (for example, Fermat-Euler theorem) are simply obtained, and also some new concerning quadratic forms as the same, and doubled or tripled, in particular.
Key words: division with the rest, alternative divisibility, quadratic forms of representation of number.
Введение
Классическая теория чисел обычно начинается с обоснования и применения операции «деления с остатком» причем либо к доказательству теоремы Евклида (алгоритм поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел), либо непосредственно к построению «разложения единицы» (равенство Виета) по двум взаимно (попарно) простым числам. При этом, как правило, выводится так называемое «основное свойство» простого числа по отношению к делимости произведения двух чисел. Именно с учётом этого свойства традиционно предлагается каноническое доказательство основной теоремы арифметики (ОТА) [1, c. 222]. Однако известно [2,3], что существуют «прямые» доказательства ОТА, в кото-
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации (проект № НШ-1676.2008.1).
рых данное свойство простых чисел не применяется вовсе. И как это часто бывает, когда взгляд под другим углом позволяет обнаружить новое и в старом, в одном из таких доказательств можно увидеть, как воспользоваться лишь делением с остатком, и тогда основное свойство простого числа, которое назовем альтернативной делимостью, не что иное, как одно из следствий ОТА.
Нестандартное доказательство основной теоремы арифметики
Ниже построим доказательство ОТА в области натуральных чисел, схема которого «безболезненно» переносится на случай колец [1], в которых имеется «деление с остатком» и спектральный базис простых элементов - нечто подобное множеству Б из [4, с. 22]; при этом получим развитие одной идеи из [2, сс. 17, 18], а вводимые понятия с учётом обозначений (к формулам деления) могут быть полезными операторами и операндами в алгоритмах решения диофантовых уравнений.
Пусть даны целые числа у и к>1. Известно [4,5], что деление у/к с остатком в области целых чисел определяется как целочисленное решение уравнения у=кх+г, где г - остаток как некоторое целое с условием 0<г<к; такая пара целых чисел х, г существует и она единственная. В итоге естественным путём обобщается классическое понятие делимости, которое имеет отношение к уравнению ]=кх с целочисленным (единственным) решением. Более того, в силу ограничения г<к уравнение у=кх+г только при нулевом остатке г=0 соответствует понятию делимости числа у на к; в связи с равенством у=кх числа к и х обычно называются делителями числа у или (со)множителями к так называемому разложению числа у в произведение. Такое обобщённое понятие деления можно назвать и «разложением в произведение (двух чисел) с учётом остатка». При этом, конечно, нужно иметь в виду, что разложение числа на два множителя по определению не предусматривает даже какого-либо понятия об остатке, а в области натуральных чисел нет понятия «нулевое число», как обычно, а потому нет и понятия «нулевого остатка». Следовательно, именно в случаях делимости (у делится на к) уравнение ]=кх+г не имеет решения в натуральных числах; более того, не имеет его и в случае, когда у<к.
По указанным причинам решение уравнения ]=кх+г с условием г<к в области натуральных чисел - это по сути дела вычисление остатка при заведомо «нестандартном» делении у на к. Косвенно формулу ]=кх+г можно принимать в качестве обобщения понятия деления (без остатка), но не в прямом, не в буквальном смысле. Когда у<к - т.е. число у не делится на к согласно обычному понятию делимости, и тогда такому числу у естественно «остаётся роль» остатка у=г<к.
В области целых чисел уравнение у=кх+г как формулу деления с остатком будем предъявлять в виде у=к[у/к]+г. Такой символ [у/к] в связи с ограничением г<к полностью согласуется с общепринятым обозначением целой части дроби у/к. Согласно известному определению целой части [у/к] дробного (вещественного) числа у/к уже обнаруживается остаток г=у-к[у'/к] к уравнению у=кх+г с решением х=[у'/к], где г - целое число, которое удовлетворяет 0<г<к. При этом у=к[у/к] справедливо тогда и только тогда, когда имеет место делимость у на к; в связи с этим равенство [у'/к]=у'/к может играть роль обозначения делимости. Однако отметим, что в области натуральных чисел целая часть [у/к] не определена, когда у<к (в области целых чисел [у/к]=0, когда 0<у<к). Тогда вместо у=к[у/к]+г нужно иметь в виду другое у=г - число у как остаток при «нестандартном» делении, о чём уже шла речь выше.
Для обозначения делимости будут полезны такие два варианта: у//к - у делится на к (у кратно числу к) и к\у - к делит у (второе принято в [5, с. 7]). Когда делимость отсутствует, будем применять (как указание на невозможность равенства [у/к]=уУк) обозначение у[/]к - у не делится на к (соответственно к[\]у - к не делит у). Наконец, что касается остатка г от
2 Нелишне отметить следующее: обозначение делимости с помощью двух чёрточек позволяет непосредственно упростить традиционное обозначение сравнения как «равенство» двух чисел по модулю третьего; например, сравнение чисел у, к по модулю т весьма удобно обозначать как у=к/т/ или ]=к_/т/, что хорошо согласуется с нашим обозначением делимости у-к//т, которая здесь имеет прямое отношение к определению сравнения в данном случае.
(полного или неполного) деления, для него тоже желательно иметь специальное обозначение г=\у:к\ - подобно известному обозначению {у/к} дробной части (0<{у/к}<1) некоторого числа ]/к как вещественного (ясно, что ^у':к^=к{у/к}<к). Элементарные свойства чисел и формула деления с остатком достаточны для доказательства следующего утверждения, которое можно назвать «основной леммой арифметики». Из неё одновременно вытекают и ОТА и основное свойство простого числа - альтернативная делимость - если р простое и при этом р\ук (ук//р), тогда присутствует либо р\у (у//р), либо р\к (к//р).
Лемма 1 (о двух делителях одного числа). Пусть два натуральных числа s и ґ делят натуральное п, и при этом ґ простое, но такое, что ,у[/]ґ, тогда п//5ґ.
Доказательство. Если предположить, что п - наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям леммы, и при этом оказалось п[/]й, тогда п<яґ. Иначе разность п-й будет совершенно в той же роли числа п, т.е. ^\(п-^ґ), Л(п-й), n-st[/]st, но к тому же обнаружится противоречивое неравенство п-й<п; например, для чисел 5=21, ґ=7, которые делят число п=42, имеет место неравенство п<5ґ, но здесь 5//ґ, - не удовлетворяется условие леммы 5[/]ґ. Итак, если п<5ґ, тогда окажется п=5т<5ґ, где т=п/5 - некоторое натуральное число, и при этом 1<т<ґ (при т=1 оказалось бы п=5, и возникло бы противоречие 5//ґ с условием леммы 5[/]ґ). В таком случае, поскольку здесь ґ простое, при (нестандартном) делении его на число т получается ґ=т[ґ/т]+^ ґ:т К где остаток \ ґ:т Г - натуральное число, удовлетворяющее неравенству \ ґ:т \<т. После умножения на число 5 появляются равенства 5-ґ=5-т[ґ/т]+ +,ґі ґ:т Г=п[ґ/т]+,ґі ґ:т Г. В итоге ещё одно число 5 ґ:тГ=5ґ-п[ґ/т] оказывается с теми же свойствами 5^ ґ:т гУ/л, 5 ґ:т \//ґ и ґ:т Г<5ґ, какими обладает п, при этом получаем противоречие 5 ґ:т Г<п, которое снимается лишь в случае п//5ґ. □ 3
Самые короткие (и прямые) доказательства ОТА неявно используют свойство натуральных чисел, которое можно было бы назвать их замкнутостью и которое связано с разложением чисел в произведение нескольких множителей. Как известно, любое целое число п разложимо в произведение каких-нибудь двух целых чисел (сомножителей) п=5ґ. В свою очередь, числа 5, ґ тоже разложимы ... и т.д.
Замечание 1. Можно разложить любое п с помощью единиц п=п-1=1-п=-п-(-1)= =(-1)-(-п) - такое разложение назовем тривиальным представлением; обе единицы представимы в целых числах только тривиально.
Предположим, что после разложения натурального п в произведение образовалось семейство {а,Ь,с,...,ґ} всех множителей данного разложения (в количестве трёх, по крайней мере). При этом тот или иной множитель может появиться несколько раз в виде одного и того же числа. Любой другой порядок перемножения всех тех же чисел семейства {а,Ь,с,...,ґ} вновь приведёт к данному числу п и заодно к некоторому новому разложению п, но с теми же множителями. Более того, каждый множитель из данного семейства является делителем числа п. И такое число, к примеру, п/Ь уже можно разложить на множители а,с,...,ґ из прежнего семейства за исключением множителя Ь; при этом количество экземпляров числа Ь, если их было несколько, в новом семействе станет меньше ровно на единицу. Именно такое свойство натурального числа (в связи с разложением на множители) назовем замкнутостью. В связи с этим свойством давно принято обозначать разложение числа п=аЬс...ґ без какого-либо указания на способ (порядок) перемножения чисел как на нечто совершенно необязательное (в некоторых современных монографиях по арифметике, в отличие от [6, с. 14], неявно уже предполагается ненужным определять, что такое разложение натурального числа в произведение нескольких чисел, и убеждаться в замкнутости чисел относительно их разложений на основе переместительного и сочетательного законов).
Определение 1. Разложение числа в произведение нескольких множителей назовем полным как только любое дальнейшее разложение возможно лишь с использованием тривиального представления.
3 На основе той же самой схемы доказательства данная лемма 1 вполне очевидным образом обобщается (пролонгируется) и на случай двух взаимно простых чисел s, ?.
Согласно определению 1 любое разложение либо единицы, либо простого числа - полное, состоящее только из тривиальных представлений. Более того, в области натуральных чисел любой множитель полного разложения числа будет являться либо простым числом, либо единицей, поэтому каждое полное разложение натурального числа назовем разложением в произведение простых множителей.
Определение 2. Семейство всех простых множителей полного разложения натурального числа назовем спектром данного разложения.
Замечание 2. Согласно определениям 1 и 2 спектр любого полного разложения единицы является «пустым» семейством [2, с. 17], а спектр любого полного разложения простого числа состоит лишь из одного - того же данного числа. Более того, в силу свойства замкнутости чисел «прообразом» одного спектра является лишь одно число; все числа какого-либо спектра, перемноженные в любом порядке, определяют однозначно именно то число, из полного разложения которого изначально образовался данный спектр. По этой причине результат после удаления всех каких-либо возможных единиц как множителей из полного разложения числа назовем спектральным представлением (разложением) означенного числа.
Учитывая лемму 1 и все комментарии после неё, можно приступить к прямому доказательству ОТА, которая по существу утверждает некую «единственность» разложения натуральных чисел на простые множители, позволяя установить взаимно однозначное соответствие между числами и семействами простых чисел как спектрами; схема доказательства пригодна и в некоторых других случаях [1,4].
Теорема 1 (ОТА). Все спектры полных разложений натурального числа п одинаковы (равносильны, являются одним и тем же семейством).
Доказательство. Согласно замечаниям 1, 2 теорема 1 заведомо справедлива, когда п -либо единица, либо простое, поэтому пусть п=рд...ґ - некоторое спектральное представление числа п (с двумя или несколькими множителями) и пусть утверждение теоремы справедливо с любым числом, которое меньше п. Сначала отметим: если хотя бы одно число (например, р) из спектра {р,д,...,ґ} содержится в спектре {р,и,.,^} любого другого полного разложения числа п (п=ры.. .м>), тогда эти спектры одинаковы. Действительно, имеем п//р, как и для любого числа из данного спектра. Натуральное число п/р удовлетворяет неравенству п/р<п. По предположению теоремы, в частности для п/р, все спектры любых полных разложений совпадают. С другой стороны, любое полное разложение числа п/р, в силу свойства замкнутости чисел, получается из некоторого полного разложения п после исключения одного множителя р. Тогда, по крайней мере, одно из полных разложений числа п/р содержит {д,...,ґ} в качестве его спектра; все полные разложения его имеют один и тот же спектр (семейства {д,...,ґ} и {ы,...^} совпадают), следовательно, спектр любого полного разложения числа п, содержащего р, состоит из тех же «показателей» р, д, ..., ґ как теоретико-множественный спектр {д,...,ґ} полного разложения числа п/р с добавлением числа р.
Теперь покажем, что любое полное разложение числа п содержит хотя бы одно число (например, д) из спектра {р,д,...,ґ}. Пусть обнаружилось полное разложение, которое начинается с разложения п=у (1<і<п, 1<у<п) и которое не содержит д в качестве множителя. Имеем і[/]д и Д/]д, в силу предположения о справедливости теоремы, в частности, для і, у (простое д, являясь делителем числа і], п//д, здесь якобы не обладает свойством альтернативной делимости). Далее, в силу леммы 1 получаем п//ід, п//уд, откуда вытекает противоречие у'=д(п/(ід)); оно устраняется при наличии д в качестве множителя в любом полном разложении числа п.
Таким образом, мы пришли к однозначному определению спектра натурального числа посредством спектра какого-либо полного разложения этого числа. Осталось лишь отметить очевидное: для любого натурального числа существуют его полные разложения (а свойство альтернативной делимости простых чисел выступает следствием леммы 1, подобным окончанию доказательства теоремы 1). Ещё отметим, имеется «более прямое» доказательство ОТА [3, с. 48, 49], которому не нужны ни деление с остатком, ни вспомогательные утверждения, а только замкнутость чисел и лишь тривиальная разложимость простого чис-
ла на множители (см. замечание 1 и абзац после него); однако уточним, неясно, как перенести такой метод доказательства на случай других целостных колец [1,4,7].
К прямому доказательству теоремы Ферма-Эйлера
Основная теорема арифметики называется именно так, поскольку из неё вкупе со свойством замкнутости чисел почти непосредственно вытекают многие важные и вспомогательные утверждения, в частности, как лемма 1. При этом самое большое значение она имеет при решении некоторых диофантовых уравнений. Однако применять ОТА «всюду и везде» - это чаще всего «стрельба из пушки по воробьям»; например, свойства взаимно (попарно [5]) простых чисел [1,2,4] можно выяснять, пользуясь только вспомогательными утверждениями типа леммы 1.
Оказывается, что и теорема Ферма-Эйлера о представлении некоторых простых чисел суммой квадратов [2, с. 117; 4, с. 342] тоже не требует мощных средств к её доказательству, заодно и те утверждения (см. ниже), которые связаны с другими квадратичными формами 4, например, аа+5ЬЬ или аа+7ЬЬ.
Определение 3. Целые і,у,.,т, выступающие в качестве делителей (в частности, самих себя), назовем сопричастными (делителями) и обозначим их сопричастность через і \у\...\т, если при любом п из п//і, п//у, ..., п//т следует п//іу...т.
Нетрудно видеть, что единица и любое т, не равное нулю вместе составляют пару 1\т сопричастных чисел,5 а поскольку взаимно простые числа, согласно определению, не имеют общих простых делителей (и никаких других, кроме единиц), лемма 2 предлагается без доказательства как очевидное следствие из ОТА.
Лемма 2. Целые числа і, у, ., т - сопричастные тогда и только тогда, когда каждое из них не равно нулю, и при этом они попарно (взаимно) просты. □
Любые два различных простых числа являются и взаимно простыми, и сопричастными (см. лемму 1). Сопричастность любых двух взаимно простых натуральных чисел следует из обобщения леммы 1 (сноска 3). В свою очередь, «взаимная простота» двух сопричастных чисел к, т (попарная простота нескольких) ещё более очевидна. Предположение существования общего простого делителя р у чисел к, т приводит к противоречию р(к/р)(т/р)[/]кт (к отсутствию их сопричастности).
Следующее утверждение можно назвать обобщением основного свойства (альтернативной делимости) простых чисел на случай сопричастных чисел. Простое доказательство его приведём, поскольку из него получаются хоть и очевидные, но полезные следствия. Более того, вкупе с леммой 1 можно вновь убедиться в «фундаментальном» свойстве простого числа - в альтернативной делимости.
Теорема 2 (об альтернативной делимости по сопричастности [5, с. 12]). Пусть даны числа п, к, т, а также делимость пк//т, при этом к\т, тогда п//т.
Доказательство. Поскольку числа к, т - сопричастные, постольку здесь имеет место делимость пк//кт. Сокращение числа к (по закону о сокращении одинаковых сомножителей) приводит к искомой делимости п//т. □
Следствие 1. 0<п<т ^ пк[/]т, если к\т. □
Следующую теорему по существу можно трактовать как развитие следствия 1.
Теорема 3 (об инвариантности полного семейства остатков) 6. При к\т, т>1, остатки \к:т\, \2к:т\, ..., \(т-1)к:т\ образуют {1, 2, ..., т-1}={ ...:тГ} - семейство всех остатков от «нестандартного» деления на т.
Доказательство. Для т=2 теорема суть тавтология: {1} - семейство остатков от деления на 2 любого нечётного (сопричастного с «двойкой») числа к, а при любом другом соответ-
4 В теории чисел терминология «квадратичных форм» канонически устоявшаяся [2, с. 130].
5 Взаимно простые числа 0 и 1, а также 0 и -1, по определению 3, не являются сопричастными (делителями).
6 По существу теорема 3 и следствие 2 - это хорошо известные факты, однако, например, в [5] к их доказательству пролегает долгий путь от алгоритма Евклида через «вычеты» как через обобщение понятия остатка.
ствующем т в этом можно убедиться, используя следствие 1. Если предположить, что какое-нибудь число как остаток делителя т отсутствует в данном наборе остатков, тогда найдутся два числа у>0, г>0 и одинаковые остатки \yk.m М 1к :т \ с условием: у<г<т. В таком случае, используя деление с остатком, получим гк-ук=т[гк/т]+"! гк.т \-т[ук/т]-\ук:т\=т([гк/т]-[ук/т]), однако делимость т\((г-у)к) не совместима с утверждением следствия из теоремы 2. □
Следствие 2 [5, с. 46] 7. Если даны целые а, Ь, д, 0<Ь<д и присутствует а\д, тогда среди чисел а+Ь, 2а+Ь, ..., (д-1)а+Ь, а также а-Ь, 2а-Ь, ..., (д-1)а-Ь, существует (единственное)
число, которое делится на д. □
(Например, в случае делимости а\Ь и только тогда, в первом или во втором ряду обнаружится, согласно одному из неравенств -д<Ь/а<0, 0<Ь/а<д, нулевое число 0= =(-Ь/а)а+Ь=(Ь/а)а-Ь; оно и будет тем единственным, которое делится на д).
Теперь сформулируем важную лемму, о справедливости которой возможно подозревал и Ферма с целью обосновать разложение некоторых простых чисел в сумму квадратов. Схема доказательства леммы представляет самостоятельный интерес, поскольку она применима во многих случаях к доказательству делимости, например, чисел вида аа+2, аа+3 на соответствующие простые числа.
Лемма 3. Пусть р=4п+1 - простое число, п=[р/4], ^р:4^=1. Тогда в семействе О={2, 3, ..., р-2} найдётся такое число х, что обеспечится делимость р\(хх+1).
Доказательство. Предположим, что лемма не верна для некоторого р>5, т.е. р[\](хх+1) при любом х от 1 до р-1 (ясно, почему числа 1 и р-1 заведомо не вошли в семейство О); заодно отметим и бесспорное р[\](хх-1) при любом х из О, в силу свойства альтернативной делимости числа р, т.к. имеем хх-1=(х-1)(х+1) и очевидные неравенства х-1<р, х+1<р. Далее, в силу теоремы 3 для каждого х<р найдётся одно и только одно некоторое у (у<р), но другое число по предположению, с остатком \ух:р\=р-1 в соответствующем равенстве ху=р[ху/р]+р-1, согласно формуле деления с остатком в итоге р\(ху+1). Принимая обозначение х|у для такой пары чисел, условимся называть её «приятельской»; например, 1|р-1 -приятельская пара, но она вне семейства О, другая пара 2|(р-1)/2 находится именно в О. Таким образом, имеем: первое - для каждого х найдётся «приятель» у и они, образуя вместе пару х|у, могут быть «приятелями» только друг другу, второе - количество чисел в О равно 4п-2=(р-1)-2, из которых получаются 2п-1 приятельских пар.
Однако обнаруживается, что количество таких «пар» должно быть чётным; вместе с некоторой парой х|у из О числар-х, р-у тоже находятся в О и образуют другую приятельскую пару р-х|р-у. Действительно, 1<р-х<р-1 и 1<р-у<р-1, а совпадения р-х=х или р-х=у невозможны, т.к. 2[\]р и к тому же р[\](р-х)х+1, т.к. имеет место равенство (р-х)х+1=рх-(хх-1), где р[\]хх-1. С другой стороны, р\((р-х)(р-у)+1) в силу (р-х)(р-у)+1=ху+1+р(р-х-у). В итоге между разными х|у и р-х|р-у установилось взаимно однозначное соответствие. Такое противоречие устранимо лишь при р\(хх+1) с некоторым х<р-1. □
Теперь нетрудно убедиться в справедливости теоремы Ферма-Эйлера на примере классического «неопределённого спуска», который по существу можно назвать «монотонным» и который может начинаться с числа хх+1 из леммы 3.
Пример 1. Пусть аа+ЬЬ (а, Ь целые) удовлетворяет неравенствам р<аа+ЬЬ<рр и делимости р\(аа+ЬЬ), тогда существуют целые с, й, что p\(cc+dd) и при этом 0<сс+йй<аа+ЬЬ. Действительно, имеем нетривиальное разложение аа+ЬЬ=тр и, следовательно, неравенства 1<т<р. Тогда, кроме р, обнаружится другое простое д с делимостью д\(аа+ЬЬ). Теперь, если имеется делимость д\а, а заодно как следствие и д\Ь, то целые числа с=а/д, й=Ь/д были бы искомыми. Остаётся рассмотреть случай д[\]а (д[\]Ь как следствие). Воспользуемся тем, что среди чисел а-Ь, 2а-Ь, ..., (д-1)а-Ь найдётся такое ха-Ь (0<х<д), при котором имеем (ха-
7 Доказательство не приводим, но отметим, что здесь достаточно непосредственно учесть теорему 3 и формулу уа= =д[уа/д]+\ уа:д Г для различных чисел у от 1 до д-1 включительно. Тогда среди чисел семейства {*! .:д Г} найдутся два 5 и ґ с нужными остатками {5а:д Г=Ь и {ґа:д Г=д-Ь, и будем иметь (5а-Ь)//д и (ґа+Ь)//д.
Ь)//д. В этом можно убедиться, если привлечь разложение на множители с остатком Ь=д[Ь/д]+□ Ь:д□. В силу следствия 2 при некотором х имеет место (ха- □ Ь:д□ )//д, поэтому (ха-Ь)//д. В итоге по тождеству Фибоначчи (ах-Ь)(ах-Ь)+(а+Ьх)(а+Ьх)=(хх+1)(аа+ЬЬ) вновь обнаруживаются целые с=(ах-Ь)/д, й=(а+Ьх)/д. Они удовлетворяют искомым соотношениям 0<сс+йй=(хх+1)(аа+ЬЬ)/дд<аа+ЬЬ<рр в связи с тем же тождеством и в силу хх+1<дд. При этом р\(сс+йй), согласно ОТА, либо по лемме 1; т.о. всё готово к следующему этапу «спуска», если окажется, что р<сс+йй.
В заключение отметим, что такой «спуск» почти непосредственно обобщается, например, на случай трёх сопричастных чисел а, ЫЬ, к (см. теорему 4), когда (аа+ +ЫЬЬ)//к, где число к может не являться простым, но играть роль простого р; здесь и далее целое N выступает как коэффициент «обобщённой» квадратичной формы.
От старых к некоторым новым представлениям числа квадратичными формами
Все известные представления простых чисел квадратичными формами (например, аа+ЬЬ, аа+2ЬЬ, аа+3ЬЬ), опубликованные ещё со времён Эйлера, были получены и получаются до сих пор с помощью весьма изощрённых приёмов. В этом разделе предлагается простой метод получения тех или иных представлений либо непосредственно для некоторых простых чисел, либо для них с удвоением, а также и для утроенных. Например, к такому результату можно отнести вывод формы аа+ +5ЬЬ для всех чисел вида 2р, заодно и 3р, когда простое р>2 не представимо такой же квадратичной формой, однако делит некоторое число сс+5йй, где с, й - целые, но при этом р[\]с (р[\]й как следствие); часто отмечается случай 3-7=21=1-1 +5-2-2, где числа 3 и 7 не имеют той же квадратичной формы как у числа 21, но заметим 3-3=2-2+5-1 -1, 2-7=3-3+5-1 ■ 1. По мнению авторов, этот результат, оформленный ниже для чисел р, 2р, 3р, когда имеет место р\(сс+5йй), как несколько неожиданный возможно ещё не был опубликован, более того, имеем следующее обобщение:
Утверждение 1 (о представлении формой аа+5ЬЬ). Если нечётное д>1 делит сс+5йй, и при этом д\с\5й, тогда одно из д, 2д (когда 2д, то заодно и 3д, и наоборот) представимо как аа+5ЬЬ, где д, а, Ь - целые сопричастные числа 8.
Чтобы при доказательстве утверждения 1 можно было воспользоваться обобщением метода «монотонного спуска» (см. выше пример 1 и заключение), имеет определённый смысл выделить ещё одну лемму и одну теорему.
Лемма 4. Если аа+ЫЬЬ, где а, Ь, N целые, и к>0 удовлетворяют к\(аа+ЫЬЬ), при этом а\к\Ы, тогда найдётся такое целое х, что 0<х<к и при этом (хх+Ы)//к.
Доказательство этой леммы целесообразно изложить двумя разными способами, чтобы отметить их самостоятельную ценность, что вполне можно использовать в дальнейшем (см. теорему 4, в частности). Один из них будет довольно простым, если использовать так называемое «разложение единицы» (равенство Виета), о котором шла речь с самого начала данной статьи и которое почти непосредственно следует из теоремы 3, как только остаток выбирается равным единице.
Для случая а\Ь (а, Ь - взаимно простые) найдутся целые 5, г и с ними разложение единицы as+Ьt=1. Тогда, в связи с обобщённым тождеством Фибоначчи получим (аг-ЫЬя)(аг-ЫЬ^)+Ы=(аг-ЫЬ5)(аг-ЫЬ5)+Ы(а5+Ьг)(а5+Ьг)=(гг+Ы55)(аа+ЫЬЬ). Применив формулу деления аг-ЫЬ^=к[(аг-ЫЬ^)/к]+□ (аг-ЫЬ^):к □, имеем х= □ (аг-ЫЬ^):к □ <к, а при нём и делимость (хх+Ы)//к, как следствие. В другом случае, когда сопричастность а\Ь не дана, можно воспользоваться рекомендацией из сноски 8.
Во втором способе доказательства можно воспользоваться данным а\к\Ы и как следствием Ь\к. Вновь (см. пример 1 и следствие 2) можно воспользоваться тем, что среди чисел Ь-а, 2Ь-а, ..., (т-1)Ь-а найдётся такое хЬ-а (0<х<к), при котором будем иметь (хЬ-а)//к. Далее, поскольку (ах+ЫЬ)Ь+(а-Ьх)а=аа+ЫЬЬ, с учётом теоремы 2 имеем (ах+ЫЬ)//к. Тогда обнаруживаются равенства к5=ах+ЫЬ, кг=а-Ьх, где 5, г - целые числа, и как следствие ещё два
8 При этом «реализуется» лишь одно из чисел или д, или 2д; утверждение 1 можно обобщить на случай д \ с (либо д \ 5й) с выделением общих делителей для с, й и применением теоремы 2.
к(5х+Ыг)=а(хх+Ы), к(5-гх)=Ь(хх+Ы). В результате по теореме 2 вновь приходим к делимости (хх+Ы)//к. □
Теорема 4. Пусть аа+ЫЬЬ (а,Ь,Ы целые) и к удовлетворяют к\(аа+ЫЬЬ) и 0<к< <аа+ЫЬЬ<кк, 0<(Ы+1)к<2(аа+ЫЬЬ), при этом а\кЫ. Тогда найдутся ненулевые целые числа с, й, доставляющие свойства 0<сс+Ыйй<аа+ЫЬЬ и к\(сс+Ыйй).
Доказательство. Как в примере 1, имеем нетривиальное разложение аа+ЫЬЬ= =тк. Следовательно, в связи с к<тк<кк, (Ы+1)к<2тк справедливо 1<т<к и Ы+1< <2т. Далее, можно предполагать а\т и ЫЬ\т. Иначе, если обнаружится некое простое д как общий делитель, например, чисел т и а, тогда будет иметь место д\ЫЬ. В итоге обнаружатся искомые с=а/д, й=Ь/д, делимость к\(сс+Ыйй) и сопричастность с\к\Ы (подобное будет и при простом общем делителе чисел т, ЫЬ). Поэтому, как во втором способе доказательства леммы 4, найдётся хЬ-а (0<х<т), при котором (хЬ-а)//т, и также обнаруживаются целые с=(ах+ЫЬ)/т, й=(а-Ьх)/т. С этими числами получим
0<сс+Ыйй=(хх+Ы)(аа+ЫЬЬ)/тт<аа+ЫЬЬ, согласно обобщённому тождеству Фибоначчи (ха+ЫЬ)(ха+ЫЬ)+Ы(хЬ-а)(хЬ-а)=(хх+Ы)(аа+ЫЬЬ) и неравенству хх+Ы<тт. Последнее неравенство справедливо в силу Ы+1<2т, 0<х<т, т.к. имеем хх+Ы<(т-1)(т-1)+Ы<тт; к тому же отметим, что с=(ах+ЫЬ)/т>0, если а, Ь - натуральные. Можно убедиться и в том, что й=0 (а-Ьх=0) не возможно, иначе получили бы равенства (ах+ЫЬ)Ь+(а-Ьх)а=аа+ЫЬЬ=тк=(ах+ЫЬ)Ь и как следствие Ь=1, поскольку ЫЬ\т, Ь\к и появилось бы противоречие кк=(ах+ЫЬ)(ах+ЫЬ)/(тт)=сс<кк. Осталось заметить, что т\(хх+Ы) следует из равенств т(сх+Ый)=а(хх+Ы), т(с-йх) =Ь(хх+Ы), как в конце доказательства леммы 4, поскольку число т выступает в роли числа к, и поэтому имеем искомую делимость сс+Ыйй=((хх+Ы)/т)к. □
Замечание 3. Отметим, что любой общий делитель чисел с, г делит хх+Ы, поэтому в качестве важной иллюстрации применения обобщённого метода из теоремы 4 к получению «монотонного спуска» можно рассмотреть:
Пример 2. Покажем, что в том случае, когда какое-нибудь нечётное число д>0 делит число вида сс+7йй и при этом дана сопричастность д\с\7й, обнаруживается равенство д=аа+7ЬЬ, где целые числа д, а, Ь тоже сопричастны 9.
Чтобы построить конструкцию монотонного спуска по теореме 4, достаточно воспользоваться леммой 4 и обнаружить (хх+7)//д при некотором натуральном х<д. При этом следует учесть, что 3[\]сс+7йй, поскольку в данном случае «тройка» не является делителем сс+йй. Поэтому д>4, и к тому же (хх+7)/д>4, поскольку 4д=хх+7, 2д=хх+7 при нечётном д невозможны. Следовательно, условия теоремы 4 выполняются, среди которых д<хх+7<дд, (7+1)д<2(хх+ +7), если ещё не обнаружилось искомое равенство хотя бы и вида д=хх+7.
Когда д - простое число, тогда, очевидно, что процесс «спуска» можно продолжать до тех пор пока не обнаружится либо искомое д=аа+7ЬЬ, либо равенство вида 4д=аа+7ЬЬ, в котором а, Ь - обязательно чётные числа. В конечном итоге, цель будет достигнута. В свою очередь, при составных делителях д можно, в частности, воспользоваться ещё одним весьма простым общим утверждением (лемма 5, доказательство которой опускаем) как дополнением к теореме 4 на случай возможного отсутствия сопричастности чисел к, с, N.
Лемма 5. Пусть д=аа+ЫЬЬ, к=сс+Ыйй и с\й\Ы, тогда дк=&у+Мг при 5\г. □
Заключение
Перед авторами стояла задача в весьма сжатой, но замкнутой (самодостаточной) форме, изложить именно нетрадиционный взгляд на фундаментальные факты теории решений некоторых диофантовых уравнений, избегая по возможности ссылок на те разделы теории чисел, которые почти не затрагиваются современными университетскими программами. Это потребовало «изобретения» прежде всего, некоторых дополнительных числовых «кон-
9 Непосредственно обобщается результат, где делитель предполагается лишь только простым [8, с. 95].
струкций» (!,//, □ : □ ,|), в частности, для деления с остатком. К числу нерешенных проблем и вопросов (включая их методологический аспект), очерченных кругом данной работы и могущих побудить к самостоятельным теоретическим изысканиям, можно отнести следующие задачи квадратичных форм Е:=аа+МЬЬ к представлению чисел: для Г с коэффициентом N в классе чисел Мерсенна, для Г с отрицательным N (обобщение теоремы 4), для Г с «отрицательным натуральным» N, свободным от квадрата, в связи с решением уравнения Пелля [4, с. 340] методом «нетрадиционного спуска». Кроме того, результаты «технологии деления с остатком» позволяют надеяться на существенное упрощение доказательства частных случаев Последней теоремы Ферма, например, кубов [9] и пятых степеней (когда N=-
5 для Г), а также получать другие (прямые) доказательства на случай биквадратов и бикубов.
Литература
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977. - 496 с.
2. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. - М.: Наука, 1965. - 176 с.
3. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М.: МЦНМО, 2001. - 568 с.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1987. -416 с.
5. Виноградов И. М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981. - 176 с.
6. Дирихле П.Г.Л. Лекции по теории чисел. - М.: Объединённое науч. техн. изд-во, 1936. - 405 с.
7. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М.: Наука, 1982. - 240 с.
8. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: Мир, 1980. - 488 с.
9. Данилов В.А. Об элементарных доказательствах Последней теоремы Ферма для некоторых степеней: I. Случай кубов. (Препринт N 5). - Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. - 7 с.
