Научная статья на тему 'Сравнения для чисел полных отображений'

Сравнения для чисел полных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
128
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПОЛНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ / ПЕРЕСТАНОВКА / СТАТИСТИКА / ЧИСЛА ЭЙЛЕРА / СМЕЩЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВКИ / EULER''S NUMBERS / COMPLETE MAPPINGS / PERMUTATION / STATISTIC / WILSON THEOREM / DISPLACEMENT OF PERMUTATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Бондаренко Леонид Николаевич, Шарапова Марина Леонидовна

Для чисел стандартных полных отображений и для чисел стандартных сильных полных отображений получены сравнения по модулю простого числа. Доказательства основаны на рассмотрении свойств некоторых статистик и чисел Эйлера на соответствующих множествах перестановок. Получены аналогичные результаты для этих множеств с учётом знака их элементов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Comparisons for numbers of complete mappings

For the numbers of standard complete mappings and for the numbers of standard strong complete mappings, comparisons modulo a prime number are obtained. The proofs of them are based on properties of some statistics and Euler''s numbers on the related sets of permutations. For these sets, similar results taking into account the sign of permutations in them are also obtained.

Текст научной работы на тему «Сравнения для чисел полных отображений»

2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(26)

УДК 519.1:511.2

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЕЛ ПОЛНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1

Л. Н. Бондаренко*, М. Л. Шарапова**

* Пензенский государственный университет, г. Пенза, Россия **Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия

E-mail: leobond5@mail.ru

Для чисел стандартных полных отображений и для чисел стандартных сильных полных отображений получены сравнения по модулю простого числа. Доказательства основаны на рассмотрении свойств некоторых статистик и чисел Эйлера на соответствующих множествах перестановок. Получены аналогичные результаты для этих множеств с учётом знака их элементов.

Ключевые слова: полные отображения, перестановка, статистика, числа Эйлера, смещение перестановки.

Введение

Все перестановки симметрической группы Sn-1 над алфавитом {1,... ,n — 1}, вычитание из которых единичной перестановки е Е Sn-1 приводит к перестановке из Sn-1, определяют множество CM(Zn) стандартных полных отображений. Если сложение е Е Sn-i с перестановкой из CM (Zn) также приводит к перестановке из Sn-1, то все такие перестановки задают множество SCM (Zn) стандартных сильных полных отображений [1]. Рассматриваемое сложение (вычитание) перестановок выполняется посимвольно по modn, т.е. на аддитивной группе Zn, отождествляемой с множеством {0,1,... , n — 1}; такие операции с перестановками находят применение, в частности, в криптографии.

В работе [1] показано, что задачи вычисления чисел #CM(Zn) и #SCM(Zn) не являются #Р-полными, но являются трудными вычислительными проблемами.

В [2] доказан ряд утверждений о делимости перманента Pn = per(wfcm)n-1=0, где ш = exp(2ni/n) — корень n-й степени из единицы, а (n х п)-матрица Шура (^^П-^о встречается в теории чисел, теории кодирования, комбинаторном анализе и т. п. В [3] вычисление чисел Pn сведено к нахождению мощности множества CM(Zn) с учётом знака его элементов.

В настоящей работе получены некоторые сравнения для #CM(Zn) и #SCM(Zn), а также для мощностей множеств CM(Zn) и SCM(Zn) с учётом знака их элементов. Эти результаты связаны с нахождением сравнений по простым модулям для чисел Эйлера на соответствующих множествах перестановок.

1. Свойства некоторых статистик и отображений

При делении с остатком мощности некоторого множества на заданное число можно разбить это множество на части, для которых этот вопрос решается проще, а затем использовать полученные результаты. Этот подход удобно применять для достаточно сложных по структуре множеств перестановок, определяя понятие статистики как неотрицательной целочисленной функции, заданной для каждой перестановки рассматриваемого множества.

1 Работа поддержана грантом РФФИ №14-01-00273.

Например, статистика des(о) = #{г: 1 ^ г ^ п — 1, о* > о^+1, оп = 0} при фиксированном п ^ 2 описывает число спусков перестановки о = 01... оп-1 Е £п_1, т. е. спуск учитывается также на последнем символе перестановки, и индуцирует производящий многочлен Эйлера

п— 1

Ara-1(t)= £ tdesM = £ An-i,k tk, (1)

k=1

коэффициенты которого An-1,k = #{a : a E Sn-1, des(a) = k} называются числами Эйлера [4]. Так как #Sn-1 = An-1(1), остаток от деления #Sn-1 на n можно найти, используя остатки от деления чисел An-1,k, k = 1,..., n — 1, на n.

При исследовании делимости мощностей некоторых множеств перестановок полезно ввести некоторые отображения.

Зададим биекцию c : Sn-1 ^ Sn-1, определяющую дополнение a = ca к перестановке a = a1a2 ... an-1 E Sn-1, с помощью равенств ca^ = n — a^, 1 ^ i ^ n — 1.

Непосредственно из этого определения следует, что отображение c есть инволюция, а a + a = 0, причём элементарное равенство des(a) + des(a) = n влечёт соотношение tnAn-1(t-1) = An-1(t), т.е. An-1,k = An-1,n-k, k = 1,... ,n — 1.

Статистика des(a*) для расширения a* = a1 ...an-10 E Sn перестановки a E Sn-1 обладает свойством des(a*) = des(a) + 1, и справедливо простое равенство

1 n- 1

des(a) = -Y^ (ai+1 — a*), ao = an = 0, (2)

n i=0

где разности под знаком суммы вычисляются по модулю n.

На симметрической группе Sn в [5] применяются биекции t : Sn ^ Sn и u : Sn ^ Sn, задаваемые для перестановки п = п1... nn E Sn над алфавитом {0,1,... n — 1} соотношениями t п=п2 ... nnn1 и u п = п + 1 mod n, 1 ^ i ^ n.

Преобразования переноса t и единичного сдвига u позволяют ввести отношение эквивалентности на Sn: перестановки a, т E Sn называются эквивалентными, если найдутся такие целые числа k и m, что tkuma = т. Мощность фактор-множества по этому отношению эквивалентности вычисляется по формуле

1

-Е (n/d)(n/d)d d!, (3)

n d|n

где <^(п) — функция Эйлера [5].

Определение 1. Биекцию в : £п_1 ^ £п_1, задающую смещение перестановки о = о1... оп-1 Е £п_1, опишем выражениями

(в о)* = 1и-<71 о*,

а порядком ^(о) перестановки о Е £п_1 (относительно операции в) назовём наименьшее положительное целое к, для которого о = о.

Определение 1 позволяет аналогично работе [5] ввести отношение эквивалентности на 5га-1: перестановки о, т Е £п_1 назовём эквивалентными, если найдётся такое целое число к, что о = т; мощность соответствующего фактор-множества по этому отношению эквивалентности вычисляется также по формуле (3). Поэтому ^(о)|п, а мощность каждого класса эквивалентности, содержащего перестановку о Е £п_1, совпадает с порядком ^(о).

Лемма 1. Для о Е $п-1 справедливо равенство des(d о) = des(о).

Доказательство. Записывая, согласно определению 1, смещение в перестановки а = а1... ап_1 € в виде в а = (а2 — а^... (ап_1 — а1)(п — а^, где разности вычисляются по модулю п, и применяя соотношение (2), получаем требуемое. ■

Статистика ту(п) = ) : 1 ^ г < ] ^ п, п > п^} задаёт число инверсий

перестановки п € Бп [4], причём ту(а*) = ту(а) + п — 1. С помощью этой статистики определяется знак sgn(а) = (—1)1от(ст) перестановки а € $п-1.

Лемма 2. Если п нечётно, то sgn(d а) = sgn(а), а € $п-1.

Доказательство. Для перестановки п € Бп с п = 0, где 1 ^ г ^ п, легко устанавливается равенство ту(и-1п) = 1пу(п) + п — 2г + 1, применение которого совместно с определением 1 даёт требуемый результат. ■

Леммы 1 и 2 показывают, что по введённому отношению эквивалентности перестановки каждого класса эквивалентности на £п_1 характеризуются одинаковым числом спусков и при нечётном п имеют одинаковый знак.

Использование знака перестановок на Бп_1 позволяет определить производящий многочлен

п_ 1

Вп_1(*)= Е ^п(а) ^ = Е £п_1Л *к, (4)

сбйП—! к=1

коэффициенты которого Вп_1,к, к = 1,... , п — 1, также назовём числами Эйлера, но с учётом знака элементов множества £п_1.

Пусть множество Яп = {ге : г €{1,...,п — 1}, (г, п) = 1, е € 5п_1} образовано умножением чисел г из приведённой системы вычетов по модулю п на единичную перестановку е € £п_1 (умножение выполняется посимвольно по модулю п и #Яп = = <^(п)). Тогда имеет место следующее утверждение.

Лемма 3. Если ге € Яп, то Сев(ге) = г, а для простого нечётного числа п = р

справедливо равенство sgn(ге) = ( - ), где ( - ) — символ Лежандра.

рр

Доказательство. Соотношение Сев(ге) = г устанавливается с помощью формулы (2), а равенство sgn(rе) = ( г ) получено И. И. Золотаревым (см. [6]). ■

р

Отметим, что применение операции композиции перестановок позволяет найти выражение для знака ге € Яп и при составном п.

2. Сравнения для чисел Эйлера на 5п_1

Известная теорема Вильсона [7] утверждает, что (р — 1)! = — 1 (тоС. р), где р — простое число. Так как Ар_1(1) = = (р — 1)!, новое доказательство этой теоремы

может быть получено с помощью явного выражения для чисел Эйлера Ар_1;к, к = = 1,...,р — 1.

Для чисел Ап,к, к = 1,... , п, методом математической индукции нетрудно доказать следующее известное рекуррентное соотношение [8]:

Ао,к = ¿ок, Ап,к = кАп_1,к + (п — к + 1)Ап_1,к_1, к € п ^ 1, (5)

в котором ¿у — символ Кронекера.

Действительно, если (5) верно для а € 5п_1 над алфавитом {1,... , п — 1}, то для получения п € Бп с Сев(п) = к из а € 5п_1 с Сев(а) = к символ 0 можно вставить к способами, а из а € 5п_1 с Сев(а) = к — 1 — (п — к + 1) способами.

С помощью формулы (5) находится рекуррентное соотношение

Ao(t) = 1, A„(t) = níA„_i(í) +1(1 - tX_i(t), n ^ 1, и известная формула Ворпицкого [8]

't + fc - Г

t — Е Ara,fc I

k=1 V n

а её обращение в смысле Мебиуса приводит к выражению для чисел Эйлера

fc-i • + 1\ — Е (—1)4 + (k - i)n. (7)

i=0 V г /

В частности, имеем An,i — Ara>ra — 1.

Малая теорема Ферма [7] и формула (7) сразу дают следующее утверждение, из которого легко выводится теорема Вильсона.

Теорема 1. Для простого p имеем Ap-1;k = 1 (mod p), k — 1,... ,p — 1.

Доказательство. Приведём косвенное получение сравнений теоремы 1 без использования выражения (7) для чисел Эйлера. При n — p приведённая система вычетов состоит из чисел r — 1,..., p — 1, порядок d(re) — 1, а для перестановок a G Sp-1 \ Rp порядок d(a) — p. Поэтому применение лемм 1 и 3 дает требуемый результат. ■

Отметим, что из равенства #Sn-1 — (n — 1)! при составном n непосредственно находим #Sn-1 = 0 (mod n). Мощность множества Sn_1 с учётом знака его элементов равна нулю, т. е. Bn-1(1) — 0, n > 2. Покажем, что и для множества с учётом знака его элементов существуют аналоги выражений (5) и (6).

Теорема 2. Числа Эйлера k, k — 1,..., n, с учётом знака элементов множества удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

Bo,k — ^ofc, B1,k — ^1fc, (8)

B„;fc — kB„_2,fc + (n — 2k + 1)Bn-2,fc-1 — (n — k + 1)Bn-2,fc-2, k G Z, n ^ 2,

справедливы также рекуррентная формула

Bo(t) — 1, B1(t) — t, Bra(t) — t(1 — t)((n — 1)Bra_2(t) + (1 — t)B;_2(t)), n ^ 2 (9)

и следующее выражение:

Bn(t) — A[(n+1)/2](t)(1 — t)[n/2], n ^ 0, (10)

где [•] — целая часть числа, а A[(n+1)/2](t) — многочлены Эйлера. В частности, имеем

|Bn,1| |Bra,ra| 1.

Доказательство. При установлении справедливости (8) методом математической индукции базис тривиален. Пусть (8) верно для Sra_ 2 над алфавитом {2,..., n — 1}. Тогда для получения п G с des(n) — k из a G Sn_2 с des(a) — k пара символов 01 вставляется k способами без изменения знака перестановок, так как число транспозиций чётно. Для получения п G с des(n) — k из a G Sn_2 с des(a) — k — 1 пара символов 01 вставляется (n — k) способами без изменения знака перестановок, а пара символов 10 вставляется (k — 1) раз с изменением знака перестановок. Для получения п G с des(n) — k из a G Sn_2 с des(a) — k — 2 пара символов 10 вставляется

(n — k +1) способами с изменением знака перестановок. Остальные вставки символов 0 и 1 разбиваются на пары, имеющие противоположные знаки.

Формула (9) проверяется с помощью (4) и (8), а из неё раздельно для чётных и нечётных n получается и соотношение (10). ■

Таким образом, явные выражения для чисел Bn,k, k = 1,... , n, можно получить, например, с помощью соотношений (7) и (10).

Значительно легче аналог теоремы 1 для чисел Эйлера Bp-1,k, k = 1,...,p — 1, с учётом знака элементов множества Sp-1 получить косвенно.

Теорема 3. Для простого p имеем В„_ 1 k = ( — ) (mod p), k = 1,... ,p — 1.

, \PJ

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1 для n = p, заметим, что приведённая система вычетов состоит из чисел r = 1,... ,p — 1, порядок d(re) = 1, а для перестановок а Е Sp-1 \ Rp порядок d(a) = p. Поэтому применение лемм 1, 2 и 3 даёт требуемый результат. ■

p-i ( k\

Так как ^ — =0 [7], тривиальным следствием теоремы 3 является сравнение

k=1 V pJ

Bp-1(1) = 0 (mod p), перекрываемое равенством Bn-1 (1) = 0.

3. Сравнения для чисел Эйлера на СМ(Ъп)

Введём множество перестановок СМ ).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Определение 2. Перестановки а, 4 Е Sn_1 назовём сопряжёнными относительно £ Е Sn_1, если а + 4 = £, а £ — единичная перестановка.

Все перестановки, удовлетворяющие определению 2, образуют множество СМ(^п). Следуя определению 2, можно задать перестановки, сопряжённые относительно любой т Е Sn_1, в частности, множество СМ(^п) всех стандартных полных отображений [1] является множеством всех перестановок, сопряжённых относительно £ Е Sn_1, причём справедливость равенства #СМ(^п) = #СМ(^п) очевидна.

Числа Эйлера Ап_1,к, к = 1,...,п — 1, на множестве СМ(^п) определим как коэффициенты многочлена Ап_1(1) вида (1), построенного на множестве перестановок СМ(^п). Аналогично числами Эйлера {Вп_1,к}П_ на множестве СМ(^п) с учётом знака его элементов будем называть коэффициенты многочлена Вп-1(£) вида (4), но построенного на множестве перестановок СМ(^п) с учётом знака его элементов.

При чётном п не существует сопряжённых перестановок а, 4 Е Sn_1 относительно £ Е Sn _1. Действительно, предполагая противное и суммируя все символы перестановок левой части равенства а + 4 = £, а также все символы правой части, легко получить противоречие. Поэтому в этом случае #СМ^п) = 0 и Ап_1(1) = _Вп_1(^) = 0.

При нечётном п находим #СМ(^п) = 1 (mod 2), так как в этом случае существует только одна самосопряжённая относительно £ Е Sn_1 перестановка а, определяемая равенством 2а = £.

Лемма 4. Если а Е СМ(Ъп,), п — нечётное, то des(а) + des(а) = п — 1. Доказательство. Применение формулы (2) к сопряжённым относительно £ Е Sn_1 перестановкам а, 4 Е Sn_1 сразу дает требуемое. ■

Отметим, что множество Яп = Кп П СМ) не содержит £ Е Sn_1. Поэтому по первой части леммы 3 имеем Ап_1,п_1 = Вп_1п_1 = 0, а по лемме 4 получаем равенство

tn lAn-\(t = i4n_i(t), т.е. Aln-i,fc = An_1,n_fc_1, k = 1,...,n — 2, и имеют место равенства degAn-1(t) = deg£>n-1(t) = n — 2.

Если n > 1 имеет разложение n = П pordp(n) на простые множители, то аналогично

p|n

формуле для функции Эйлера <^(n) находится выражение

#Rn = n П (l — p), (11)

p|n V Р/

которое также показывает, что #Rn = 0 при чётном n. Формула (11) базируется на подсчёте количества представлений числа n — 1 суммой двух натуральных слагаемых r и s, взаимно простых с n.

Из предыдущих рассмотрений следует, что основные свойства чисел Ap_i,& наследуются числами Ap_i,fc. Поэтому аналогично теореме 1 доказывается

Теорема 4. Если простое p > 2, то Ap-1,k = 1 (mod p) для k = 1,...,p — 2; Ap_i,p_i = 0.

Следствие 1. Если простое p > 2, то #CM(Zp) = —2 (mod p). Числа #CM(Zn) при нечётных n = 1, 3,... , 25 приведены в [9]. Вычисления при составном n показывают, что n|#CM(Zn), но рассматриваемый подход даёт только следующее частное утверждение.

Теорема 5. p|#CM(Zps) при простом p > 2 и s > 1.

Доказательство. По формуле (11) имеем p|#-Rps, а для перестановок а Е CM(Zps) \ Rps имеем p|d(a). ■

Если на множестве CM(Zn) наряду с сопряжением относительно е Е Sn-1 рассматривать и обращение перестановки, то ^а-1^ = (R) 1 [3], а CM(Zn) разбивается на

шестёрки перестановок вида а, R, а-1, с-1, (R) 1 , j-, причём в некоторых ше-

стёрках могут встречаться и одинаковые члены. Можно показать, что при n = 6m + 5 имеются только шестёрки различных перестановок и одна тройка, содержащая самосопряжённую перестановку, т.е. #CM(Z6m+5) = 3 (mod 6).

В работе [2] для перманентов матрицы Шура Pn получены следующие результаты:

а) Pp = p! (mod p3) для простого p > 3;

б) Pp = 0 (mod q) для нечётных простых чисел p и q, связанных равенством p = 2qs + 1 при s ^ 1;

(ps-1)n

в) если ps|n при простом p и s ^ 1, то p(p-1)pS Pn.

Числа Pn при нечётных n = 1, 3,... , 33 приведены в [10], причём имеет место равенство BRn_1(1) = (—1)(n_1)/2n_1Pn [3]. Так как основные свойства чисел Bp_1,k наследуются числами iRp_1,fc, с помощью теоремы 3 получаем следующее утверждение.

Теорема 6. Если простое p > 2, то £>„_ 1 k = ( — ) (mod p) для k = 1,... ,p — 2;

, Vp/

BRp_i,p_i =

Следствие 2. Если простое p > 2, то BRp_1 (1) = (—1)(p+1)/2 (mod p).

p_i (—A (—1A

Доказательство. Так как _ = ° и [ — = (—1)(p_1)/2 [7], легко находим

k=i VpJ V p /

требуемый результат. ■

Таким образом, для перманента матрицы Шура при простом p > 2 также имеет место сравнение p-1Pp = —1 (mod p).

4. Сравнения для чисел Эйлера на SCM(Zn)

Множество всех стандартных сильных полных отображений SCM(Zn) [1] задаётся равенством SCM(Zn) = CM(Zn) П CM(Zn).

Числа Эйлера Rn-1,fc, k = 1,...,n — 1, на множестве перестановок SCM(Zn) определим как коэффициенты многочлена Rn-1(t) вида (1), построенного на множестве SCM(Zn), а числами Эйлера Bn-1,fc, k = 1,... ,n — 1, на множестве перестановок SCM(Zn) с учётом знака его элементов будем называть коэффициенты многочлена Bn-1(t) вида (4), но построенного на множестве SCM(Zn) с учётом знака его элементов.

Так как множество Rn = Rn П SCM(Zn) не содержит как е Е Sn-i, так и е Е Sn-i, по лемме 3 находим ARn-1,1 = Rn-1,n-1 = 0 и Bn-1i1 = Bn-1,n-1 = 0. Очевидно, что при чётном n выполняются равенства #SCM(Zn) = 0 и Rn-1(t) = Bn-1(t) = 0; можно показать их выполнение и при n, кратном трём.

Из определения множества перестановок SCM(Zn) следует, что при а Е SCM(Zn) также и а Е SCM(Zn). Поэтому в силу равенства des(a) + des(a) = n получаем соотношение tnRn-1(t-1) = Rn-1(t), т.е. Rn-1,fc = Rn-1,n-k, k = 2,... ,n — 2, и имеют место равенства deg Rn-1(t) = deg Bn-1(t) = n — 2.

Аналогично формуле (11) при нечётном n > 1 находится выражение

#Rn = n п (1 — p), (12)

p|n V p /

которое также показывает, что #Rn = 0 при n, кратном трём.

На множестве SCM (Zn) аналогично теореме 4 доказывается

Теорема 7. Если простое число p > 3, то справедливы следующие соотношения: Rp-1,1 = 0; Rp_1,fc = 1 (mod p), k = 2,...,p — 2; Rp-1,p-1 = 0.

Следствие 3. Если простое p > 3, то #SCM(Zp) = —3 (mod p).

Вычисления при составном n показывают, что n|#SCM(Zp), но рассматриваемый подход даёт только следующее частное утверждение, аналогичное теореме 5 (в доказательстве вместо формулы (11) применяется (12)).

Теорема 8. p|#SCM(Zps) при простом p > 3 и s > 1.

В качестве аналога теоремы 6 отметим также следующий результат.

Теорема 9. Если простое число p > 3, то справедливы следующие соотношения:

Bp-1,1 = 0; Bp-1,fc = (mod p), k = 2,...,p — 2; Bp_1,p_1 = 0.

Следствие 4. Если простое p > 3, то Bp-1(1) = (—1)(p+1)/2 — 1 (mod p).

Доказательство. Так как V ( k ) =0 и ( 1 ) = 1, ( —1 ) = (—1)(p-1)/2 [7],

fc=Ap) \p) \ p J

легко находим требуемый результат. ■

Следствия 1 и 3 можно рассматривать как аналоги теоремы Вильсона для чисел стандартных полных отображений #CM(Zp) и чисел стандартных сильных полных отображений #SCM(Zp), но многие вопросы делимости этих чисел при составном n остаются открытыми.

Авторы благодарны рецензенту за внимательное прочтение статьи и ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hsiang J., Hsu D. F., and Shieh Y. P. On the hardness of counting problems of complete mappings // Discrete Mathematics. 2004. V.277. P. 87-100.

2. Graham R. L.and Lehmer D. H. On the permanent of Schur's matrix //J. Australian Math. Soc. 1976. V. 21 (Series A). Part 4. P. 487-497.

3. Бондаренко Л. Н. Перманенты и «аддитивные» задачи перечисления перестановок // Материалы VII Междунар. семинара «Дискретная математика и ее приложения» (29января-2февраля 2001г.). Ч. III. М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001. С. 335-338.

4. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 1. М.: Мир, 1990. 440 с.

5. Moser W. O. J. A (modest) generalization of theorems of Wilson and Fermat // Canadian Math. Bul. 1990. V. 33 (2). P. 253-256.

6. Мельников И. Г., Славутский И. Ш. О двух забытых доказательствах закона взаимности // Труды института истории естествознания и техники. Т. 28. История физико-математических наук. М., 1959. С. 201-218.

7. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.

8. Бондаренко Л. Н., Шарапова М. Л. Применение обобщенной формулы Родрига в комбинаторном анализе // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2011. №4(20). С. 44-58.

9. http://oeis.org/A003111 — Sloane N.J. A. The on-line encyclopedia of integer sequences.

10. http://oeis.org/A003112 — Sloane N.J. A. The on-line encyclopedia of integer sequences.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.