Сравнения для чисел полных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Теоретические основы прикладной дискретной математики №4(26)

УДК 519.1:511.2

СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЧИСЕЛ ПОЛНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1

Л. Н. Бондаренко*, М. Л. Шарапова**

* Пензенский государственный университет, г. Пенза, Россия **Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]

Для чисел стандартных полных отображений и для чисел стандартных сильных полных отображений получены сравнения по модулю простого числа. Доказательства основаны на рассмотрении свойств некоторых статистик и чисел Эйлера на соответствующих множествах перестановок. Получены аналогичные результаты для этих множеств с учётом знака их элементов.

Ключевые слова: полные отображения, перестановка, статистика, числа Эйлера, смещение перестановки.

Введение

Все перестановки симметрической группы Sn-1 над алфавитом {1,... ,n — 1}, вычитание из которых единичной перестановки е Е Sn-1 приводит к перестановке из Sn-1, определяют множество CM(Zn) стандартных полных отображений. Если сложение е Е Sn-i с перестановкой из CM (Zn) также приводит к перестановке из Sn-1, то все такие перестановки задают множество SCM (Zn) стандартных сильных полных отображений [1]. Рассматриваемое сложение (вычитание) перестановок выполняется посимвольно по modn, т.е. на аддитивной группе Zn, отождествляемой с множеством {0,1,... , n — 1}; такие операции с перестановками находят применение, в частности, в криптографии.

В работе [1] показано, что задачи вычисления чисел #CM(Zn) и #SCM(Zn) не являются #Р-полными, но являются трудными вычислительными проблемами.

В [2] доказан ряд утверждений о делимости перманента Pn = per(wfcm)n-1=0, где ш = exp(2ni/n) — корень n-й степени из единицы, а (n х п)-матрица Шура (^^П-^о встречается в теории чисел, теории кодирования, комбинаторном анализе и т. п. В [3] вычисление чисел Pn сведено к нахождению мощности множества CM(Zn) с учётом знака его элементов.

В настоящей работе получены некоторые сравнения для #CM(Zn) и #SCM(Zn), а также для мощностей множеств CM(Zn) и SCM(Zn) с учётом знака их элементов. Эти результаты связаны с нахождением сравнений по простым модулям для чисел Эйлера на соответствующих множествах перестановок.

1. Свойства некоторых статистик и отображений

При делении с остатком мощности некоторого множества на заданное число можно разбить это множество на части, для которых этот вопрос решается проще, а затем использовать полученные результаты. Этот подход удобно применять для достаточно сложных по структуре множеств перестановок, определяя понятие статистики как неотрицательной целочисленной функции, заданной для каждой перестановки рассматриваемого множества.

1 Работа поддержана грантом РФФИ №14-01-00273.

Например, статистика des(о) = #{г: 1 ^ г ^ п — 1, о* > о^+1, оп = 0} при фиксированном п ^ 2 описывает число спусков перестановки о = 01... оп-1 Е £п_1, т. е. спуск учитывается также на последнем символе перестановки, и индуцирует производящий многочлен Эйлера

п— 1

Ara-1(t)= £ tdesM = £ An-i,k tk, (1)

k=1

коэффициенты которого An-1,k = #{a : a E Sn-1, des(a) = k} называются числами Эйлера [4]. Так как #Sn-1 = An-1(1), остаток от деления #Sn-1 на n можно найти, используя остатки от деления чисел An-1,k, k = 1,..., n — 1, на n.

При исследовании делимости мощностей некоторых множеств перестановок полезно ввести некоторые отображения.

Зададим биекцию c : Sn-1 ^ Sn-1, определяющую дополнение a = ca к перестановке a = a1a2 ... an-1 E Sn-1, с помощью равенств ca^ = n — a^, 1 ^ i ^ n — 1.

Непосредственно из этого определения следует, что отображение c есть инволюция, а a + a = 0, причём элементарное равенство des(a) + des(a) = n влечёт соотношение tnAn-1(t-1) = An-1(t), т.е. An-1,k = An-1,n-k, k = 1,... ,n — 1.

Статистика des(a*) для расширения a* = a1 ...an-10 E Sn перестановки a E Sn-1 обладает свойством des(a*) = des(a) + 1, и справедливо простое равенство

1 n- 1

des(a) = -Y^ (ai+1 — a*), ao = an = 0, (2)

n i=0

где разности под знаком суммы вычисляются по модулю n.

На симметрической группе Sn в [5] применяются биекции t : Sn ^ Sn и u : Sn ^ Sn, задаваемые для перестановки п = п1... nn E Sn над алфавитом {0,1,... n — 1} соотношениями t п=п2 ... nnn1 и u п = п + 1 mod n, 1 ^ i ^ n.

Преобразования переноса t и единичного сдвига u позволяют ввести отношение эквивалентности на Sn: перестановки a, т E Sn называются эквивалентными, если найдутся такие целые числа k и m, что tkuma = т. Мощность фактор-множества по этому отношению эквивалентности вычисляется по формуле

1

-Е (n/d)(n/d)d d!, (3)

n d|n

где <^(п) — функция Эйлера [5].

Определение 1. Биекцию в : £п_1 ^ £п_1, задающую смещение перестановки о = о1... оп-1 Е £п_1, опишем выражениями

(в о)* = 1и-<71 о*,

а порядком ^(о) перестановки о Е £п_1 (относительно операции в) назовём наименьшее положительное целое к, для которого о = о.

Определение 1 позволяет аналогично работе [5] ввести отношение эквивалентности на 5га-1: перестановки о, т Е £п_1 назовём эквивалентными, если найдётся такое целое число к, что о = т; мощность соответствующего фактор-множества по этому отношению эквивалентности вычисляется также по формуле (3). Поэтому ^(о)|п, а мощность каждого класса эквивалентности, содержащего перестановку о Е £п_1, совпадает с порядком ^(о).

Лемма 1. Для о Е $п-1 справедливо равенство des(d о) = des(о).

Доказательство. Записывая, согласно определению 1, смещение в перестановки а = а1... ап_1 € в виде в а = (а2 — а^... (ап_1 — а1)(п — а^, где разности вычисляются по модулю п, и применяя соотношение (2), получаем требуемое. ■

Статистика ту(п) = ) : 1 ^ г < ] ^ п, п > п^} задаёт число инверсий

перестановки п € Бп [4], причём ту(а*) = ту(а) + п — 1. С помощью этой статистики определяется знак sgn(а) = (—1)1от(ст) перестановки а € $п-1.

Лемма 2. Если п нечётно, то sgn(d а) = sgn(а), а € $п-1.

Доказательство. Для перестановки п € Бп с п = 0, где 1 ^ г ^ п, легко устанавливается равенство ту(и-1п) = 1пу(п) + п — 2г + 1, применение которого совместно с определением 1 даёт требуемый результат. ■

Леммы 1 и 2 показывают, что по введённому отношению эквивалентности перестановки каждого класса эквивалентности на £п_1 характеризуются одинаковым числом спусков и при нечётном п имеют одинаковый знак.

Использование знака перестановок на Бп_1 позволяет определить производящий многочлен

п_ 1

Вп_1(*)= Е ^п(а) ^ = Е £п_1Л *к, (4)

сбйП—! к=1

коэффициенты которого Вп_1,к, к = 1,... , п — 1, также назовём числами Эйлера, но с учётом знака элементов множества £п_1.

Пусть множество Яп = {ге : г €{1,...,п — 1}, (г, п) = 1, е € 5п_1} образовано умножением чисел г из приведённой системы вычетов по модулю п на единичную перестановку е € £п_1 (умножение выполняется посимвольно по модулю п и #Яп = = <^(п)). Тогда имеет место следующее утверждение.

Лемма 3. Если ге € Яп, то Сев(ге) = г, а для простого нечётного числа п = р

справедливо равенство sgn(ге) = ( - ), где ( - ) — символ Лежандра.

рр

Доказательство. Соотношение Сев(ге) = г устанавливается с помощью формулы (2), а равенство sgn(rе) = ( г ) получено И. И. Золотаревым (см. [6]). ■

р

Отметим, что применение операции композиции перестановок позволяет найти выражение для знака ге € Яп и при составном п.

2. Сравнения для чисел Эйлера на 5п_1

Известная теорема Вильсона [7] утверждает, что (р — 1)! = — 1 (тоС. р), где р — простое число. Так как Ар_1(1) = = (р — 1)!, новое доказательство этой теоремы

может быть получено с помощью явного выражения для чисел Эйлера Ар_1;к, к = = 1,...,р — 1.

Для чисел Ап,к, к = 1,... , п, методом математической индукции нетрудно доказать следующее известное рекуррентное соотношение [8]:

Ао,к = ¿ок, Ап,к = кАп_1,к + (п — к + 1)Ап_1,к_1, к € п ^ 1, (5)

в котором ¿у — символ Кронекера.

Действительно, если (5) верно для а € 5п_1 над алфавитом {1,... , п — 1}, то для получения п € Бп с Сев(п) = к из а € 5п_1 с Сев(а) = к символ 0 можно вставить к способами, а из а € 5п_1 с Сев(а) = к — 1 — (п — к + 1) способами.

С помощью формулы (5) находится рекуррентное соотношение

Ao(t) = 1, A„(t) = níA„_i(í) +1(1 - tX_i(t), n ^ 1, и известная формула Ворпицкого [8]

't + fc - Г

t — Е Ara,fc I

k=1 V n

а её обращение в смысле Мебиуса приводит к выражению для чисел Эйлера

fc-i • + 1\ — Е (—1)4 + (k - i)n. (7)

i=0 V г /

В частности, имеем An,i — Ara>ra — 1.

Малая теорема Ферма [7] и формула (7) сразу дают следующее утверждение, из которого легко выводится теорема Вильсона.

Теорема 1. Для простого p имеем Ap-1;k = 1 (mod p), k — 1,... ,p — 1.

Доказательство. Приведём косвенное получение сравнений теоремы 1 без использования выражения (7) для чисел Эйлера. При n — p приведённая система вычетов состоит из чисел r — 1,..., p — 1, порядок d(re) — 1, а для перестановок a G Sp-1 \ Rp порядок d(a) — p. Поэтому применение лемм 1 и 3 дает требуемый результат. ■

Отметим, что из равенства #Sn-1 — (n — 1)! при составном n непосредственно находим #Sn-1 = 0 (mod n). Мощность множества Sn_1 с учётом знака его элементов равна нулю, т. е. Bn-1(1) — 0, n > 2. Покажем, что и для множества с учётом знака его элементов существуют аналоги выражений (5) и (6).

Теорема 2. Числа Эйлера k, k — 1,..., n, с учётом знака элементов множества удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

Bo,k — ^ofc, B1,k — ^1fc, (8)

B„;fc — kB„_2,fc + (n — 2k + 1)Bn-2,fc-1 — (n — k + 1)Bn-2,fc-2, k G Z, n ^ 2,

справедливы также рекуррентная формула

Bo(t) — 1, B1(t) — t, Bra(t) — t(1 — t)((n — 1)Bra_2(t) + (1 — t)B;_2(t)), n ^ 2 (9)

и следующее выражение:

Bn(t) — A[(n+1)/2](t)(1 — t)[n/2], n ^ 0, (10)

где [•] — целая часть числа, а A[(n+1)/2](t) — многочлены Эйлера. В частности, имеем

|Bn,1| |Bra,ra| 1.

Доказательство. При установлении справедливости (8) методом математической индукции базис тривиален. Пусть (8) верно для Sra_ 2 над алфавитом {2,..., n — 1}. Тогда для получения п G с des(n) — k из a G Sn_2 с des(a) — k пара символов 01 вставляется k способами без изменения знака перестановок, так как число транспозиций чётно. Для получения п G с des(n) — k из a G Sn_2 с des(a) — k — 1 пара символов 01 вставляется (n — k) способами без изменения знака перестановок, а пара символов 10 вставляется (k — 1) раз с изменением знака перестановок. Для получения п G с des(n) — k из a G Sn_2 с des(a) — k — 2 пара символов 10 вставляется

(n — k +1) способами с изменением знака перестановок. Остальные вставки символов 0 и 1 разбиваются на пары, имеющие противоположные знаки.

Формула (9) проверяется с помощью (4) и (8), а из неё раздельно для чётных и нечётных n получается и соотношение (10). ■

Таким образом, явные выражения для чисел Bn,k, k = 1,... , n, можно получить, например, с помощью соотношений (7) и (10).

Значительно легче аналог теоремы 1 для чисел Эйлера Bp-1,k, k = 1,...,p — 1, с учётом знака элементов множества Sp-1 получить косвенно.

Теорема 3. Для простого p имеем В„_ 1 k = ( — ) (mod p), k = 1,... ,p — 1.

, \PJ

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1 для n = p, заметим, что приведённая система вычетов состоит из чисел r = 1,... ,p — 1, порядок d(re) = 1, а для перестановок а Е Sp-1 \ Rp порядок d(a) = p. Поэтому применение лемм 1, 2 и 3 даёт требуемый результат. ■

p-i ( k\

Так как ^ — =0 [7], тривиальным следствием теоремы 3 является сравнение

k=1 V pJ

Bp-1(1) = 0 (mod p), перекрываемое равенством Bn-1 (1) = 0.

3. Сравнения для чисел Эйлера на СМ(Ъп)

Введём множество перестановок СМ ).

Определение 2. Перестановки а, 4 Е Sn_1 назовём сопряжёнными относительно £ Е Sn_1, если а + 4 = £, а £ — единичная перестановка.

Все перестановки, удовлетворяющие определению 2, образуют множество СМ(^п). Следуя определению 2, можно задать перестановки, сопряжённые относительно любой т Е Sn_1, в частности, множество СМ(^п) всех стандартных полных отображений [1] является множеством всех перестановок, сопряжённых относительно £ Е Sn_1, причём справедливость равенства #СМ(^п) = #СМ(^п) очевидна.

Числа Эйлера Ап_1,к, к = 1,...,п — 1, на множестве СМ(^п) определим как коэффициенты многочлена Ап_1(1) вида (1), построенного на множестве перестановок СМ(^п). Аналогично числами Эйлера {Вп_1,к}П_ на множестве СМ(^п) с учётом знака его элементов будем называть коэффициенты многочлена Вп-1(£) вида (4), но построенного на множестве перестановок СМ(^п) с учётом знака его элементов.

При чётном п не существует сопряжённых перестановок а, 4 Е Sn_1 относительно £ Е Sn _1. Действительно, предполагая противное и суммируя все символы перестановок левой части равенства а + 4 = £, а также все символы правой части, легко получить противоречие. Поэтому в этом случае #СМ^п) = 0 и Ап_1(1) = _Вп_1(^) = 0.

При нечётном п находим #СМ(^п) = 1 (mod 2), так как в этом случае существует только одна самосопряжённая относительно £ Е Sn_1 перестановка а, определяемая равенством 2а = £.

Лемма 4. Если а Е СМ(Ъп,), п — нечётное, то des(а) + des(а) = п — 1. Доказательство. Применение формулы (2) к сопряжённым относительно £ Е Sn_1 перестановкам а, 4 Е Sn_1 сразу дает требуемое. ■

Отметим, что множество Яп = Кп П СМ) не содержит £ Е Sn_1. Поэтому по первой части леммы 3 имеем Ап_1,п_1 = Вп_1п_1 = 0, а по лемме 4 получаем равенство

tn lAn-\(t = i4n_i(t), т.е. Aln-i,fc = An_1,n_fc_1, k = 1,...,n — 2, и имеют место равенства degAn-1(t) = deg£>n-1(t) = n — 2.

Если n > 1 имеет разложение n = П pordp(n) на простые множители, то аналогично

p|n

формуле для функции Эйлера <^(n) находится выражение

#Rn = n П (l — p), (11)

p|n V Р/

которое также показывает, что #Rn = 0 при чётном n. Формула (11) базируется на подсчёте количества представлений числа n — 1 суммой двух натуральных слагаемых r и s, взаимно простых с n.

Из предыдущих рассмотрений следует, что основные свойства чисел Ap_i,& наследуются числами Ap_i,fc. Поэтому аналогично теореме 1 доказывается

Теорема 4. Если простое p > 2, то Ap-1,k = 1 (mod p) для k = 1,...,p — 2; Ap_i,p_i = 0.

Следствие 1. Если простое p > 2, то #CM(Zp) = —2 (mod p). Числа #CM(Zn) при нечётных n = 1, 3,... , 25 приведены в [9]. Вычисления при составном n показывают, что n|#CM(Zn), но рассматриваемый подход даёт только следующее частное утверждение.

Теорема 5. p|#CM(Zps) при простом p > 2 и s > 1.

Доказательство. По формуле (11) имеем p|#-Rps, а для перестановок а Е CM(Zps) \ Rps имеем p|d(a). ■

Если на множестве CM(Zn) наряду с сопряжением относительно е Е Sn-1 рассматривать и обращение перестановки, то ^а-1^ = (R) 1 [3], а CM(Zn) разбивается на

шестёрки перестановок вида а, R, а-1, с-1, (R) 1 , j-, причём в некоторых ше-

стёрках могут встречаться и одинаковые члены. Можно показать, что при n = 6m + 5 имеются только шестёрки различных перестановок и одна тройка, содержащая самосопряжённую перестановку, т.е. #CM(Z6m+5) = 3 (mod 6).

В работе [2] для перманентов матрицы Шура Pn получены следующие результаты:

а) Pp = p! (mod p3) для простого p > 3;

б) Pp = 0 (mod q) для нечётных простых чисел p и q, связанных равенством p = 2qs + 1 при s ^ 1;

(ps-1)n

в) если ps|n при простом p и s ^ 1, то p(p-1)pS Pn.

Числа Pn при нечётных n = 1, 3,... , 33 приведены в [10], причём имеет место равенство BRn_1(1) = (—1)(n_1)/2n_1Pn [3]. Так как основные свойства чисел Bp_1,k наследуются числами iRp_1,fc, с помощью теоремы 3 получаем следующее утверждение.

Теорема 6. Если простое p > 2, то £>„_ 1 k = ( — ) (mod p) для k = 1,... ,p — 2;

, Vp/

BRp_i,p_i =

Следствие 2. Если простое p > 2, то BRp_1 (1) = (—1)(p+1)/2 (mod p).

p_i (—A (—1A

Доказательство. Так как _ = ° и [ — = (—1)(p_1)/2 [7], легко находим

k=i VpJ V p /

требуемый результат. ■

Таким образом, для перманента матрицы Шура при простом p > 2 также имеет место сравнение p-1Pp = —1 (mod p).

4. Сравнения для чисел Эйлера на SCM(Zn)

Множество всех стандартных сильных полных отображений SCM(Zn) [1] задаётся равенством SCM(Zn) = CM(Zn) П CM(Zn).

Числа Эйлера Rn-1,fc, k = 1,...,n — 1, на множестве перестановок SCM(Zn) определим как коэффициенты многочлена Rn-1(t) вида (1), построенного на множестве SCM(Zn), а числами Эйлера Bn-1,fc, k = 1,... ,n — 1, на множестве перестановок SCM(Zn) с учётом знака его элементов будем называть коэффициенты многочлена Bn-1(t) вида (4), но построенного на множестве SCM(Zn) с учётом знака его элементов.

Так как множество Rn = Rn П SCM(Zn) не содержит как е Е Sn-i, так и е Е Sn-i, по лемме 3 находим ARn-1,1 = Rn-1,n-1 = 0 и Bn-1i1 = Bn-1,n-1 = 0. Очевидно, что при чётном n выполняются равенства #SCM(Zn) = 0 и Rn-1(t) = Bn-1(t) = 0; можно показать их выполнение и при n, кратном трём.

Из определения множества перестановок SCM(Zn) следует, что при а Е SCM(Zn) также и а Е SCM(Zn). Поэтому в силу равенства des(a) + des(a) = n получаем соотношение tnRn-1(t-1) = Rn-1(t), т.е. Rn-1,fc = Rn-1,n-k, k = 2,... ,n — 2, и имеют место равенства deg Rn-1(t) = deg Bn-1(t) = n — 2.

Аналогично формуле (11) при нечётном n > 1 находится выражение

#Rn = n п (1 — p), (12)

p|n V p /

которое также показывает, что #Rn = 0 при n, кратном трём.

На множестве SCM (Zn) аналогично теореме 4 доказывается

Теорема 7. Если простое число p > 3, то справедливы следующие соотношения: Rp-1,1 = 0; Rp_1,fc = 1 (mod p), k = 2,...,p — 2; Rp-1,p-1 = 0.

Следствие 3. Если простое p > 3, то #SCM(Zp) = —3 (mod p).

Вычисления при составном n показывают, что n|#SCM(Zp), но рассматриваемый подход даёт только следующее частное утверждение, аналогичное теореме 5 (в доказательстве вместо формулы (11) применяется (12)).

Теорема 8. p|#SCM(Zps) при простом p > 3 и s > 1.

В качестве аналога теоремы 6 отметим также следующий результат.

Теорема 9. Если простое число p > 3, то справедливы следующие соотношения:

Bp-1,1 = 0; Bp-1,fc = (mod p), k = 2,...,p — 2; Bp_1,p_1 = 0.

Следствие 4. Если простое p > 3, то Bp-1(1) = (—1)(p+1)/2 — 1 (mod p).

Доказательство. Так как V ( k ) =0 и ( 1 ) = 1, ( —1 ) = (—1)(p-1)/2 [7],

fc=Ap) \p) \ p J

легко находим требуемый результат. ■

Следствия 1 и 3 можно рассматривать как аналоги теоремы Вильсона для чисел стандартных полных отображений #CM(Zp) и чисел стандартных сильных полных отображений #SCM(Zp), но многие вопросы делимости этих чисел при составном n остаются открытыми.

Авторы благодарны рецензенту за внимательное прочтение статьи и ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hsiang J., Hsu D. F., and Shieh Y. P. On the hardness of counting problems of complete mappings // Discrete Mathematics. 2004. V.277. P. 87-100.

2. Graham R. L.and Lehmer D. H. On the permanent of Schur's matrix //J. Australian Math. Soc. 1976. V. 21 (Series A). Part 4. P. 487-497.

3. Бондаренко Л. Н. Перманенты и «аддитивные» задачи перечисления перестановок // Материалы VII Междунар. семинара «Дискретная математика и ее приложения» (29января-2февраля 2001г.). Ч. III. М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001. С. 335-338.

4. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 1. М.: Мир, 1990. 440 с.

5. Moser W. O. J. A (modest) generalization of theorems of Wilson and Fermat // Canadian Math. Bul. 1990. V. 33 (2). P. 253-256.

6. Мельников И. Г., Славутский И. Ш. О двух забытых доказательствах закона взаимности // Труды института истории естествознания и техники. Т. 28. История физико-математических наук. М., 1959. С. 201-218.

7. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.

8. Бондаренко Л. Н., Шарапова М. Л. Применение обобщенной формулы Родрига в комбинаторном анализе // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2011. №4(20). С. 44-58.

9. http://oeis.org/A003111 — Sloane N.J. A. The on-line encyclopedia of integer sequences.

10. http://oeis.org/A003112 — Sloane N.J. A. The on-line encyclopedia of integer sequences.