CC BY
14
РЕШЕНИЕ БОЛЬШОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ Ведерников С.И. Email: Vedernikov1794@scientifictext.ru
Ведерников Сергей Иванович — пенсионер, г. Москва
Аннотация: великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Как показал С. Сингх [1], от Пифагора до П. Ферма, от П. Ферма до Э. Уайлса знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. В предлагаемой работе на базе школьных знаний показана невозможность разложения X" и Z" на целочисленные множители в уравнении X" + Y" = Z" при n > 2. Это значит, что теорема Ферма не имеет целочисленных решений. Ключевые слова: великая, теорема, Ферма, метод деления.
THE SOLUTION TO FERMAT'S GREAT THEOREM BY THE METHOD
OF DIVISION Vedernikov S.I.
Vedernikov Sergey Ivanovich — retired, Moscow
Abstract: Fermat's Great Theorem was proven twenty years ago. As shown by Singh [1], from Fermat to Wiles, this famous equation developed math. It would seem that the topic is closed, but many people, not just mathematicians, is haunted by the fact that in 1637 Pierre de Fermat stated that he found "amazing" solution to his theorem, despite the fact that the mathematical knowledge of that time were far from the knowledge of our time. In this paper, on the basis of school knowledge, shows the inability of the decomposition of and for integer multipliers in the equation when n > 2. This means that Fermat's Great Theorem has no integer solutions. Keywords: Fermat's Great Theorem. Division method.
УДК 512.1
Теорема:
для целого натурального числа п > 2 уравнение X" + Y" = Z" не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется X" + Y" = Z", где X, Y, Z, n - натуральные положительные числа.
Z > X >Y - взаимно простые числа, n > 2.
Исходя из того, что уравнение X2 + Y 2 = Z 2 является частным случаем уравнения X" + Y" = Z" и в нём выделяются целочисленные значения X, Z и Y, можно утверждать, что если уравнение Xn + Yn = Zn при n > 2 не имеет целочисленных множителей для X" или Zn, то оно не имеет решений в целых положительных числах.
Рассмотрим порядок выделения множителей числа Y 2 и целочисленных Z, X на примере Пифагоровой тройки (5; 12; 13). [2]
Имеем: .
Преобразуем выражение:
Z 2 — X2 = Y 2 <-> 1 3 2 - 5 2 = 1 2 2. (1)
Разложим ф. (1) на множители:
Z + X = Yi <-> 1 3 + 5 = 1 8 ; (2) Z — X = Y2 <-> 1 3 — 5 = 8 . (3)
Сложим почленно ф. (2) и ф. (3):
2 ■ Z = Yi + Y2 <-> 1 8 + 8 = 2 6; откуда:
Yl+YZ' 2(9 + 4) ^ = 2 =13. (4)
Вычтем почленно ф. (3) из ф. (2): X откуда:
X = ^ = = (5)
2 2 4 '
Из ф. ф. (2) и (3), а также из ф. ф. (4) и (5) видно, что в случае n = 2 уравнения X" + У" = Z" возможно выделение целочисленных множителей У" и целочисленных значений X и Z .
Произведём разложение на множители в уравнении X" + У" = Z" при п > 2 .
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X - нечётными числами, Y - чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет.
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1.
Z, X - нечётные, Y - чётное, n - чётное.
Имеется:
Хп + Yn = Zn.
Преобразуем исходное уравнение:
Zn_x" = yn. (1)
Разложим на множители ф. (1).
Z" + X" = У" - т ; (2)
Z" _ X" = Ут . (3)
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
n
2 ■ 7/í = yn~m -(- yíTi-
= (4)
а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
П
2 ■ = yn-m _ ym.
X" = F 2 F . (5)
Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел У"- т или Ут имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем поскольку - число чётное и имеет
множителем минимум одно число 2 " . При этом У" - т и Ут не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также Z" и X", что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому и должны состоять из различных множителей числа в той же
степени, в степени n.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел У"-т или Ут должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
ZI + Ú = 2 ■ У"; (6)
Zí-XJ = 2п~1-Y?) (7)
имея в виду, что У" - число нечётное.
п п
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение Z" и X", подставив вместо У"- т значение 2 ■ У", а вместо значение
„ 2 ■ Уп + 2п~1 ■ У2П 2 ■ (Уп + 2П~2 ■ У2П) ,
1 ¿ _ v 1 ¿ J — л/п i on-2 . v"™.
22 =------ =-—---— = У/2 + 2
X- _ 2 ^ ! 2 г2 _ 2 ( 2 '2 У _ уп _ 2 2 . уП 2 2 1 2 ' Итак, имеем:
7Л = У" + 2п~2 ■ У2п; (8)
XI = У? - 2п~2 ■ У2п. (9)
п
Поскольку X" является степенью числа X при чётном п > 4, то его можно разложить на множители.
Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности п - х степеней. X" _ (^ _ //2п"2 ■ У2 ) ■ (У^" 1 + • • • + 2 2 1 ■ У2п " 1). (10)
п
Из ф. (10) следует, что разложение X" на целочисленные множители невозможно. Допустим:
г! + XI = 2"-1 ■ У3П; (11)
Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (11) и (12), аналогичным вышеизложенным имеем:
г! = 2 "- 2 ■ У3" + У4"; (13)
X! = 2 "-2 ■ У3" - У4" . 14) Разложим ф. (14) на множители.
II , 11-2 , / (П-2}(П~1) \
X! = ( 2~ ■ у3 - у4 j ■ (2 « ■ У3"- 1 + • • • + У"- 1 ] . (15)
Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k - ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому V 2 "- 2 - число иррациональное, поскольку другим, меньшим 2 ", может быть только 1.
п
Следовательно, X! невозможно разложить на целочисленные множители, а значит уравнение X" + У" = г" при чётном п > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
п/- — п
При этом особо нужно отметить, что для V 2 "- 2 = 2« при нечётном - = 2 к + 1 , характерен следующий ряд показателей:
п-2 О 4 8 12 16 20 „ О
- -; -; —; —; —; — . . . , где первый показатель - - соответствует уравнению
п 2 6 10 14 18 22 г 2 ■' ^
X 2 + У 2 = г 2 при 2! = л/2° = VI = 1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей. Случай 2.
Z; X - нечётные, Y - чётное, п - нечётное. Имеем:
Хп + Уп = гп.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
Х2п + 2 ■ ХпУп + У2п = г2п. Преобразуем полученную формулу следующим образом:
г2 " - X 2" = у2 " + 2 ■ X" ■ У" = У" ■ (У" + 2 ■ X") . (1) Разложим ф. (1) на множители.
г" + X" = у" + 2 ■ X"; (2) г"^" = У". (3) - чётное число, поэтому выразим его как Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
гп+Хп = 2- (2п~1 ■ У? + Хп);
^п__ 2" . уп
Примем:
Итак, имеем:
в виде
г" + X" = 2 ■ У2", гЭе У2" - нечётное число.
г" + X" = 2 ■ У2"; (4) г" - X" = 2 " ■ У". (5) Сложим почленно ф. ф. (4) и (5). Откуда:
или
^ 2 ■ {У2 + 2""1 ■ уу)
/ " 2 '
г" = у2" + 2 "- 1 ■ у". (6)
Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
2 ■ = 2 ■ У2П - 2п ■ У?. _ 2 ■ (У2п - 2""1 ■ У")
X" = У2" - 2 "- 1 ■ У". (7) Из ф. ф. (6) и (7) видно, что У2" и У" не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте г, X, У; а ф. (6) и ф. (7), а г" и X" можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности п-х и суммы п-х степеней при нечётном п=2к+1.
Разложим на множители ф. (6) и ф. (7).
с нечётным ( 2 п 1 ■ 1П _ Уп) _ а .
= (у2 + ■ ■ (у?-1 -■■■+ тЧг- ■ уп-^; (8)
= (у2 - ■ Щ ■ (УГ1 + - + ' УГ'1^- (9)
Как видно из ф. ф. (8) и (9) 1п и Хп нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение Хп + Уп _ 1п не имеет решений в целых положительных числах при нечётном Случай 3.
- нечётные, - чётное, - нечётное. Кроме известного доказательства, что Ъ в уравнении Хп + Уп _ 1п не может быть чётным числом при чётном п, заключающемся в неравенстве
суммы квадратов двух нечётных чисел и квадрата чётного числа, возможно ещё одно доказательство этого случая. Имеется:
Хп + Уп_1п. (1) Вычтем из левой и правой частей уравнения (1) 2 ■ Уп.
где
2п _ 2 ■ уп = 2п ■ 11 - 2 ■ Уп = 2 ■ (2п~1 ■ 1? - Уп);
7_п
Тогда:
Хп _ Уп _ 2 ■ а . (2) Поскольку п чётное по условию, то можно разложить, как разность квадратов.
п п п п
Пусть Х" + У" _ 2 ■ Ь, а Х" _ У" _ 2 ■ с, поскольку X и У нечётные числа. Тогда:
Хп _ Уп _ 2 ■ Ь ■ 2 ■ с _ 4 ■ Ь ■ с. (3)
Сравним ф. (2) и ф. (3).
2 ■ а _ 4 ■ Ь ■ с; и л и а =£ 2 ■ Ь ■ с, т. к. а - нечётное число. Итак: доказано, что 1 в уравнении Хп + Уп _ 1п не может быть чётным числом при чётном п > 4 и целочисленных решениях уравнения.
Рассмотрим доказательство невозможности чётного Ъ при нечётном п. X > У - нечётные, Ъ - чётное, п - нечётное.
Преобразуем уравнение вычтя из левой и правой его частей 2
Имеем:
Хп _ уп = 2п _ 2 . уп = 2 ■ (2п~1 ■ 11 - Уп). (4) Отметим, что 2 п" 1 ■ 1П _ Уп - нечётное число. Примем
Тогда ф.(4) примет вид:
Хп _ Уп _ 2 ■ 1п. (5) Представим уравнение (1) и уравнение (5) в качестве сомножителей разницы квадратов Хпи Уп :
(.Хп + Ум) ■ (Хп - Уп) = Х2п - У2п = 2 ■ 1% ■ 1п = 2 ■ (12 ■ Т)п. Произведём почленное сложение и вычитание уравнения (1) и уравнения (5), откуда имеем:
2 ■ Хп = 1п + 2 ■ 1%;
Выразим Тогда:
1п + 2-1? 2 ■ (2п~1 ■ Ц + Ц) Хп =---- =—---— = 2п~1 -11 (6)
2 . уп = 2п _ 2 . 2п.
1п-2-1? 2 ■ (2п~1 ■ Щ -1%) Уп =---- = —--^-— = 2п_1 -Ц -1%. (7)
Разложим ф. (6) на множители по формуле разложения на множители суммы нечётных п- х степеней.
Хп = 2п-1. 2п + 2п = (у 2п-1 . 2з + . (2("-1)2 ■ гг1 -■■■ + г?'1). (8)
Разложим ф. (7) на множители по формуле размножения на множители разности п-х
Yn = 2n-1 . Zn _ Zn = ^y2n~1 -Z3 - Z2) ■ (2.—TГL ■ zr1 + + Z^-^j. (9)
Из ф. ф. (8) и (9) следует, что разложение X" и Y" на целочисленные множители невозможно, а значит Z не может быть чётным числом в уравнении (1).
Общий вывод: для рационального числа п > 3 уравнение X" + Y" = Z" не имеет решений в целых положительных числах
Следует отметить интересный факт, связанный с показателем в котором при приближении показателя к бесконечности, при нечётном n, в частности,
(п — 1 ) становится бесконечно малой величиной, поэтому можно говорить о «практически» целочисленных решениях данного уравнения.
Список литературы / References
1. Сингх С. Великая теорема Ферма. М. :МЦНМО, 2000 г. 286 с.
2. СерпинскийВ. Пифагоровы треугольники. М.: Учпедгиз, 1959. 112 с.
3. ГусевВ.А., Мордкович А.Г. Математика: Учеб. пособие. М. Высшая школа, 1984. 311 с.
