Research of parametric instability of motion program Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ

Юрий Артемьевич Можаев

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного, д. 10, старший преподаватель кафедры специальных устройств и технологий, тел. 89833095156, e-mail: yura82@mail.ru

В статье рассматривается задача об устойчивости положений динамического равновесия перевёрнутого физического маятника с двумя дополнительными внутренними степенями свободы.

Ключевые слова: вибрация, параметрическая неустойчивость, программное движение, устойчивость.

RESEARCH OF PARAMETRIC INSTABILITY OF MOTION PROGRAM

Yuriy A. Mozhaev

Siberian State Geodetic Academy, 10 Plahotnogo, Novosibirsk, 630108, senior teacher, department of special devices and technologies, tel. 89833095156, e-mail: yura6810@mail.ru

In this paper we consider the problem of the stability of the dynamic equilibrium of physical inverted pendulum with two additional internal degrees of freedom.

Key words: vibration, stability, parametric instability, program motion.

Для проведения вибрационных испытаний в настоящее время широко используются электродинамические вибрационные установки. Качество проводимых испытаний напрямую зависит от того, насколько будут малы динамические искажения задаваемых режимов вибрации. Для однокомпонентного вибростенда таковыми являются искажения следующего вида: появление дополнительных гармоник в возмущающей

электродинамической силе, динамическое гашение колебаний в задаваемом направлении и появление «паразитных» поперечных колебаний, ортогональных программному. В нашей работе мы ограничимся исследованием третьего типа искажения в представлении как неустойчивость вертикального режима вибрации [2], то есть программное движение подвижной части электродинамического возбудителя, задаваемое в вертикальном направлении будет считаться неустойчивым при возникновении движения ортогональные программному. Искажения возникают по причине того, что при воспроизведении вибрации подвижная механическая система представляет собой сложную колебательную систему, так как отдельные конструктивные её части, масса которых намного меньше массы этой системы в целом, могут совершать относительные колебания [з].

При анализе причин искажения режимов вибрации, связанных с механическими взаимодействиями в механической подсистеме, её представим как открытую систему под действием следящей электродинамической силы в виде перевёрнутого физического маятника с двумя осцилляторами (рис .1). Где Су- коэффициент, характеризующий демпфирование при угловом

перемещении; сх у 2 - коэффициенты демпфирования при перемещении вдоль

осей х ,у и z; ^ - коэффициент угловой жёсткости пружины; кх у 2 -

коэффициенты жёсткости при линейных перемещениях вдоль осей у и z;

М ,т,т

,^2 массы маятника и осцилляторов; /0 - момент инерции физического

маятника относительно оси проходящей через точку О.

перпендикулярной плоскости рисунка и

Рис. 1. Перевёрнутый физический маятник с осцилляторами

Уравнения описывающие невозмущённое движение запишем в виде

(М + т)у + суу + куу = ^(0 - - ди2^2’

+ с2*\ + ^ -1 = -Щ У\ т2?2 + с^2 + кг2г2 = ~т2 У-

Осцилляторы являются не только динамическими гасителями вертикального режима колебаний, но и являются одной из основных причин искажения исследуемого программного движения. Пусть автоматическое управляющее устройство обеспечивает режим вертикальных колебаний по закону

У = -У0соб(6-1) (2)

Тогда осцилляторы будут совершать колебания согласно (2)

У

1

I------ V’

4К (п)

2

К1 (п ) = (1 -П2) +

1

12^) = ■

У

008

Д.

п

V У

2пе-,

У =

уЩъ)

2

п12; к2 (п2 ) = (1 -п22) +

УО

Д

п

V У

п2

2;г£,

а.

а.

п =

в

а

П2 =

в

а

А* = —

2 а

к7

2 21

а г = ^;

1

,Го=-

а

а

к

2_ 2 2

Ш1

т2

1

1 2т1’ 2 2т2 (3)

Пусть уравнения возмущённого движения системы имеют вид, учтём при этом что система не имеет возмущений по о

Ф = 0 + (Ра, \ = 2х + 2хй, 2х = 2х + 2хй, у = у + уа• (4)

Автоматическое управляющее устройство компенсирует возмущение по у соответствующим изменением силы, тогда уз = 0, тогда используя (4) уравнения в вариациях запишем в виде

2 2

2 л п ^1 п + 4 ,------------1= и 008

\/кЇК)

2т-З7

+ 4

22 п Х2

и 008

2т-З

ґ

+

+

АР о п-!- - 8

ж

1 + 2

г л 1+£

п У ^К1 (П^1)

(2т)

¡І 81П

2т-З

П

-8

22

п

^К2 (п^2)

¡І 81П

2т-З

008

л л

& = 4^22п2

у

V

.. и

г\а ^ г2а

л

А

п

а>

V V У у

2^12-1й + И*1 ^ ^ + -М =

2 2 ^ 2 2"

п %2 22а + п%2 — 22а + 22а = п %2 »%а-ж

у

(5)

в

п =

2а

ар а)™

Ц = —, 22 = —^, £

_/2

а

Ї

а

77

^1

т2

и = Т2, & = ^2 = — * 2т = в •

Т Рр

Границам областей неустойчивости соответствуют решения с периодом ж и 2ж. Эти решения также будем искать в виде [1]

Я

& (і) = I (Лк 8Іп (кґ) + Бк 008 (кґ))

к=1 я /

21а(|) = I (Лк' 8Іп (кґ) + Бк' 008

к=1

я /

^2а(|) = I ( Лк" 81п (к1) + Бк" 008

(6)

к=1

Для исследования главной зоны неустойчивости ограничимся первыми членами рядов (6) и подставив в (5),получим уравнение критических частот.

а11 а12 •• • • а16

а 21 а22 а26 = 0 (7)

а61 а62 • •• а66

Коэффициенты (7) имеют следующий вид

A^

a ~ =------— П + ^

12 n

{ \ 1+^

V 1y

+2

” *A -

^Ki (n^i)

СОБ

f \

§Z\

V 1 y

+2

” **A -

VK2(*

СОБ

/ Л

l^z

V Z2 y

22 2; * sin

VK1(”^1)

/ \ ^Z1

V 1 y

+2

£

”

\

JK2 (n*2)

Б1П

1

f \ SZ

V zy

y

°13 = 4^22”2;

Aty

a^ т = —- ” + ^

21

n

a14 = 0; a15

22 2; * sin

VK1(”4)

4 — h~ 2”2; a^ = 0;

1 2 ’ 16 ’

/ \

^Z1 V 1У

+2

£

n

22

*2

\

1

a

22

1 — ” + ^

r \ 1 + ^

v 1y

+

” *1 A zx

СОБ

n

VK2(”*2)

” *2 A Z

Б1П

f \ sz

v -y

y

f \

5Z\

V 1У

+2

СОБ

n

Л

( \

V z 2 y

y

a23 = a31 = a=

31

*55

a.

0; a24 = 2 4h ”; a = 0; a26 = 4 — h, 2”2; 1 2

0; a^2 = 2 2. —” *2 ; a33 = 0; a34 = 0;

Az2 ”*2 n ; 22 a36 =1 ” *2 ; a41 = ” *1 ; a42 = 0;

i 2 2 1 - ” *1 ; A z Z1 a44 = ”*1 n ; a45 = 0 >; a46 =0;

2 2 —” *2 ; a52 = 0; a53 = 0; a54 = 0;

2 2 i ” *2 — 1 A z z2 a56 = ”*2 n ; a61 = 0 22 ; a62 = ” *1 ;

A z Z1 ”*1 1; 1 n i 2 2 a64 =1 ” *1 ; a65 = 0; are = 0. 66

y

(8)

Исследование зоны неустойчивости будем также проводить для исчезающе

/ Л

малого затухания при A@^ 0,A — ^ 0,Az ^ 0. В этом случае sin

Бт

(^Z2 )

= 0, cos

f Л

*z.

V 1У

= 0,cos 2

f л \8z

V Z2 y

= 0, K1 (n* ) = (1 — 4*12”2 )

= 0,

К2 (= ~4^2п21 . В этом случае вычисляя определитель (7), мы

получим уравнение и разрешая его относительно л, учитывая при этом только положительный корень, мы получим следующее выражение

( 4и2Ж!2 -1)( 4и2Ж22 -1) А

Л= («V -1)(«2*? -1)в

А = (4и2к^2х12Х22 + 4Л^222'12Ж22 - ЛЖ12Ж22) «6 +

+ (-4^2^22^22 - 4цк2%1 + ЛЖ12Ж22 + Г + ЛГ22) «4 - (9)

-(лг12 + лг22 + л) »2 + л;

в = (8^Ж12Ж22 + 8лж12ж22) «4 - ((4^ + 2л) Ж12 + (4л + 2^) г22) «2 + » + д

Мы будем исследовать случай условия возникновения параметрических колебаний даже при малых значениях коэффициента возбуждения л. Для удобства (3.33) преобразуем к виду

Кг,2-^К/-1)(»’ - V)«-»г2«.2 - •}) л = (»V - ■)("2г2= -1) в 1 '

где N, »2, N3 корни уравнения 6 степени, пропорциональные

собственным частотам связанных колебаний МП по <р, ^.

Коэффициент 0, когда числитель выражения (9) равен нулю. При

п = N, п = »2, п = », п = ,п = 1 мы имеем 5 интервалов

2г1 2г2

параметрической неустойчивости в окрестности 6 = юг^, 6 = ю2^ и 6 = О^,

6 = 02, 6 = .Где , О2, - собственные частоты МП.

Рассмотрим частный случай двух одинаковых осцилляторов равноудалённых от оси симметрии и точки подвеса возбудителя, а также имеющего одинаковые физические характеристики - шх = ш2, Д. = Д. ,

со2 = а2 . В этом случае и = 1,л = 1,^ = 1, г1 = Г Безразмерный параметр И2

характеризует смещение осциллятора относительно оси симметрии. Удаление осциллятора от оси симметрии рис. 2 приводит к расширению зоны устойчивости.

Далее нами исследовалась система с пятью степенями свободы при добавлении колебаний по дополнительной степени свободы в направлении обобщённой координаты х. Так как выражение получилось довольно громоздким, то мы ограничимся итоговыми результатами. Мы будем уже иметь 6 интервалов параметрической неустойчивости. При исследовании маятника с 4 осцилляторами как систему с 6 степенями свободы мы будем иметь 7 интервалов неустойчивости. При добавлении колебаний в направлении х будем иметь 8 интервалов неустойчивости. Как видно из исследований - при

увеличении числа степеней свободы системы мы будем иметь большее число зон параметрической неустойчивости.

X = 0.1, И2 = 0.25

X = 0.1,/г2 = 0.5

Рис. 2. Области параметрической неустойчивости для системы с двумя

одинаковыми осцилляторами

Как видно из исследований - при увеличении числа степеней свободы появляется большее число интервалов неустойчивости в районе конструкционных резонансов ПЧ ЭДВ. Система становится неустойчивой по отношению к «паразитным» поперечным колебаниям не только в зоне основного параметрического резонанса [з], но и появляются новые зоны неустойчивости в зоне парциальных частот осцилляторов и в зоне собственных частот связанных боковых колебаний. Наличие осцилляторов приводит к расширению зоны основного параметрического резонанса в районе удвоенной парциальной частоты угловых колебаний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: Изд-во техникотеоретической литературы, 1956. - 603 с.

2. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел - М.: Наука, 1976. - 432 а

3. Остроменский П.И. Вибрационные испытания радиоаппаратуры и приборов. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. - 173.

© Ю.А. Можаева, 2012