CC BY
28
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕВЁРНУТОГО ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА С ПРИСОЕДИНЁННЫМ ОСЦИЛЛЯТОРОМ, РАСПОЛОЖЕННЫМ НА ОСИ СИММЕТРИИ
Юрий Артемьевич Можаев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, д. 10, старший преподаватель кафедры специальных устройств и технологий, тел. 89833095156, e-mail: [email protected]
В статье рассматривается задача об устойчивости положений динамического равновесия перевёрнутого физического маятника с присоединённой к нему осциллятором, расположенным на оси симметрии.
Ключевые слова: вибрация, параметрическая неустойчивость, программное движение, устойчивость.
OF UNSTABLE INVERTED PHYSICAL PENDULUM WITH ACCESSION OSCILLATOR LOCATED ON THE SYMMETRY AXIS
Yuriy A. Mozhaev
Siberian State Geodetic Academy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plahotnogo, senior teacher, department of special devices and technologies, tel. 89833095156, e-mail: [email protected]
We consider the problem of the stability of the provisions of the dynamic equilibrium of the inverted physical pendulum with attached oscillator located on the axis of symmetry.
Key words: vibration, stability, parametric instability, program motion.
Известно, что при увеличении количества степеней свободы у системы, путем добавления дополнительной массы, меняется не только её динамика но и появляются новые зоны неустойчивости [1]. Мы проведем подобное исследование на примере перевернутого физического маятника, с присоединённым к нему осциллятором.
Уравнения, описывающие движение рассматриваемой системы будем составлять относительно центра жёсткости. В качестве обобщённых координат выберем линейные смещения центра жёсткости в направлении осей х и у и угол поворота р относительно оси z, перпендикулярной рассматриваемой плоскости. Выбор обобщённых координат, характеризующих линейные смещения центра масс механической системы неудачен с точки зрения значительного усложнения качественного понимания физических особенностей её движения, а также сравнения и интерпретации результатов эксперимента.
Исследование неустойчивости будем проводить по первому приближению. В результате полигармонического возбуждения целесообразно провести исследования влияние к -й (к = 2,3, п) гармоники на главную зону неустойчивости. В первом приближении к -я гармоника влияет на к -ю зону неустойчивости [1], а так как все зоны неустойчивости кроме первой (главной) зоны лежат да-
леко за пределами вибрационных испытаний, то ограничимся только первой гармоникой.
X
xi
X 2
Рис.1 . Модель перевёрнутого физического маятника с осциллятором на оси симметрии
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение системы с учётом sin(p) « p а cos(p)«1 примет вид:
(70 +m{l + z') )ф + с(рф + к(р(р = -2тфг{1 + z) +
(m(l + z} + Mhc)y(p + {m(l + z) + Mhc)x;
[М + т)х + схх + кхх = ~{m(l + z) + Мкс)ф2 ср +
<+{т(і + г} + МИс)ф + 2тфг + тї(р', (1)
Му + Суу + куу = F(t) + (т (/ + z) + Мкс)ф2 +
(tw (/ + г} + Мкс)ф(р - ту + 2тфгср - тг~,
mz + czz + kzz = тф (I + z)-my+ тх(р.
Пусть у системы обеспечивается программное движение вида
y = -y0cos(e-t)
(2)
Поскольку парциальные частоты осцилляторов как правило намного выше резонансных частот корпуса МП как абсолютно твёрдого тела на упругом подвесе, принимаем кфїо << кгШі 1. Тогда в зоне поперечных резонансов и в линейном приближении имеем [3]
^10 + т12^ф = (т1 + Mhc)x;
(М + т)х + схх + кхх = (m(l + г) + Мкс)ф; mz + czz + kzz = -my; y = -yocos(0-t).
(3)
<
Как видно из системы уравнений (3) в линейном приближении мы имеем неполное разделение колебаний - колебания вдоль оси г являются независимыми от остальных парциальных движений. Колебания по координатам р и х являются затухающими с течением времени. То есть в линейном приближении система является устойчивой. А колебания осциллятора происходят по закону
z(t) = 1 J ч Yl cos (в-1) +Yi —sin (в-1) К (r) 1 V } ж 1К (r) V 7
K (r)
К (r) = (1 -r2 ) +
r2; r:
в
а
а
m
(4)
Д = ?5£z. к =Ж
Az ’ Y1 2
а
z
а
z
Оценим устойчивость вертикальных колебаний МП под действием возбуждающей силы F (t) = F3 (в) cos (в-t).
Невозмущённое движение МП описывается уравнениями
(М + т)у + суу + куу = F{t) - mz; mz + czz + kzz = -my.
(5)
<
Если система автоматического управления обеспечивает заданный режим вертикальных колебаний (2), то тогда невозмущённое движение механической системы описывается уравнением (4) и уравнениями у = -у0 cos (в-t) и в = 0. Возмущённое движение МП будет иметь вид
ф = Ъ + (рв, z = z + ze, у = у + ув
(6)
Тогда используя подставляя (6) в (1) уравнения в вариациях можно представить в виде
тгв + с2гв + к-~в = -тув;
(М + т)хв+ сххв + кххв =(т{1 + г) + Мкс )фв + 2 тгфв + тгрв;
(12 + 2тЬ)фв +[с(р + 2тИ')фв +{к^ + {Мкс + т1)у^рв =(т1 +Мкс)х1
(7)
Если автоматической управляющее устройство компенсирует возмущение по у соответствующим изменением возбуждающей силы F (?), то ге = 0. Режим возмущённого движения будет устойчивым, если хв = 0 и Фв= 0.
Рассмотрим вначале частный случай системы, когда МП поворачивается относительно точки О, но горизонтальное смещение точки О равно нулю, и центр масс совпадает с центром жёсткости, то есть Ис = 0.
Г 2 2 Л п2 + 4/../ ооб (2т - 82)
V
+
4К (хп)
Фв +
У
пА
р - 8/ Х П=^п (2т -82)
4К (хп)
+ (1 + 2/соб (2т))рв = 0;
<Рв +
2/
Уо1
2 2 Юр рр
Р
Ю
р
т
X
р
в
п
2ю
р
2т = в?, К (хп ) = (1 - 4х2п2) + 4
А
2
V ж У
22 X п •
А = ж,
Ар
Ю
р
(8)
Уравнение (8) является уравнением параметрических колебаний. Необходимо, чтобы «всплеск» ре (?) ^ 0 ,а не возрастал неограниченно в интервале всего режима виброиспытаний. Наша задача найти те параметры системы, при которых решения этого уравнения с течением времени стремились к нулю.
Г раницам, разделяющим области устойчивости и неустойчивости соответствуют решения уравнения (8) с периодом ж и 2ж, то есть области неограниченно возрастающих решений отделяются от областей устойчивости периодическими решениями с периодом Т и 2Т. Точнее, два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, два решения разных периодов области неустойчивости. Решения этого уравнения будем искать в виде ряда [1, 2]
<
2
Ре (ґ) = Х( А біп (кґ) + Бк соб (кґ))
к=1
где к = 1, 3, 5. для решений с периодом ж и к = 2,4,6..... для решений с пе-
риодом 2ж. Подставив (9) в (8) мы получим систему бесконечного числа линейных алгебраических уравнений. Условием независимости этих уравнений будет равенство определителя, составленного из коэффициентов стоящих перед
Ак и вк.
Для практики интересен главный резонанс соответствующий первой области неустойчивости. Для этого достаточно ограничиться первыми членами ряда, так как в первом приближении номер зоны неустойчивости соответствует номеру гармоник в ряде (3.9). В итоге получаем уравнение, связывающее параметры /л с п и у на границах области неустойчивости.
(1 - п2 )-^(1 + ^1соб (д2))
А
п-
р
ж
/71БІП (8г )
Л Л
Ар
п—- +
71
ж
\
/1(71 БІП (д2 ) (1 - п2 ) + /(1 + 7^0Б (д2 ))
= 0
(10)
22 2х п .
4К (хп) ’
бІп (82 ):
А 2 2Хп
ж
4К (хп) ’
008
1 - 4/п2
4К (хп)
Это уравнение мы будем решать относительно коэффициента возбуждения /
Так как отрицательный корень по структуре идентичен положительному, то его и записываем
(. - п2 )2 +
ґ А л2 п Ар V ж У
1 + 271 соб(82 ) +
(11)
Исследуем формулу (11) для исчезающее малого затухания А* и А г ^ 0. В итоге получим
(1 - п2 )(1 - 4^2 п2)
/ =
0
(12)
(1 - 2^2 п2)
Для установления структуры области неустойчивости, необходимо знать при каких значениях возбуждающей частоты система становится неустойчивой даже при малой амплитуде виброускорения у$. Из (12), что » 0 при /7—» 1
и п . Первый случай соответствует соотношению частот 6 = 2шфТо есть
2ж *
обыкновенному условию параметрического возбуждения. Во втором случае в = с2, то есть невозмущённое состояние становится неустойчивым в районе парциального резонанса, то есть когда частота возбуждения совпадает с собственной частотой относительных колебаний осциллятора.
Мы исследовали самый неблагоприятный момент, когда затухание практически отсутствует. Возбуждение параметрических колебаний возможно, если глубина модуляции параметров, количественно характеризуемая коэффициентом м, превышает некоторый критический уровень ц *. Но если учитывать затухание, то неустойчивость возможна только при больших значениях коэффициента возбуждения м. Для практики интересны минимальные значения коэффициента м при которых возможно возникновение неустойчивости. Полагая в
(11) п = 1 и п =
1
2х
найдём
М,
_ Аф
К (х)
ф
к V К (х) + 4х + 12х
4 ’
Мг
А
1 -
г
К
4х"
+
ф
V
2х к
+
V к 2
4
К (х) = (1 - 4х2) + 4
"Аг4 2
V к У
х
(13)
С другой стороны, коэффициент возбуждения равен
2М
ы
2 2 сф Рф
(14)
При з>0 =300 I / П , I = Рф = 0.4 г и соф = 600, коэффициент возбуждения
ф
—з
М = 1.042 • 10 . Так как сф << сг и учитывая, что Аф = к / Оф из (13) получим
ф
ф
О
2 2 1 _ Сф Рф _ Сф
ф
М
ф
у4
О
ф
ф
(15)
2
1
1
Из (15) получаем, что возникновение параметрических угловых колебаний возможно при Оф> 1000. Добротность ПЧ ЭДВ без нагрузки составляет
(5 -10). Таким образом, возможность появления параметрических колебаний необходимо учитывать при испытании тяжёлых приспособлений и ИИ и увеличении уровня динамического возбуждения _у0. Для предотвращения этих колебаний необходимо повышать жёсткость и диссипативные характеристики упругих подвесов. Наличие осциллятора значительно расширяет зону основного параметрического резонанса в = 2т^.
На рис. 2 заштрихованная область означает область неустойчивости в которой возможны параметрические колебания. Графические зависимости были построены для нулевого затухания, и как видно из этих графиков при росте параметра х зона неустойчивости сужается.
Х = 005
А
х=0.1
п
п
Рис. 2 Зависимость коэффициента возбуждения /л от параметра п
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: Изд-во техникотеоретической литературы, 1956. - 603 с.
2. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. - М.: Наука, 1976. - 432 с.
3. Остроменский П.И Вибрационные испытания радиоаппаратуры и приборов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. 173.
© Ю.А. Можаев, 2013
