Метод анализа взаимодействия парциальных подсистем в механической системе Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОД АНАЛИЗА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ПОДСИСТЕМ В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Юрий Артемьевич Можаев

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного 10, старший преподаватель кафедры специальных устройств и технологий СГГА, тел. (383)3610731, e-mail: [email protected]

В статье рассмотрен метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы, основанный в представлении между собой парциальных движений.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, сила инерции, степени свободы, парциальное движение.

METHOD OF ANALYZING THE INTERNAL OF PARTIAL SUBSYSTEMS IN A MECHANICAL

Yuriy A. Mozhaev

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., senior lecturer in special equipment and technology, SSGA, tel. (383)3610731, e-mail: [email protected]

This paper presents a method of preparation of differential equations of motion of a mechanical system, which is based in the representation of each partial motion.

Key words: differential equation, the inertial force, degrees of freedom, partial movement.

Полный анализ сложной системы при использовании современных способов математического и физического моделирования системы связан с большими материальными и временными затратами. Не всегда удаётся, даже при использовании современных программных комплексов достаточно быстро и качественно провести необходимые исследования в области динамики системы. Для этого используют метод локального анализа и метод декомпозиции системы, то есть разбивают исследуемую систему на несколько взаимодействующих друг с другом парциальных подсистем [1, 2].

Для анализа динамических явлений в системах со связанными движениями на языке сил удобно использовать метод обобщённых реакций. Этот метод основан на анализе взаимодействия парциальных подсистем (движений). При этом обобщенная реакция является мерой воздействия других парциальных подсистем (движений) на рассматриваемую подсистему (движение) [2].

Система уравнений в представлении взаимодействующих движений имеет

вид

Q®c ЩА =Qlg,....,e/c +Q/=Qjg,-,Qs0c +Qsa =Qsg (i)

где 0^,••••,QsA - обобщенные активные силы; ^ф<с- обобщённые собственные силы инерции; Q^,....,Q^ - дополнительные обобщённые силы динамических связей (как активные, так и инерционные), учитывающие влияние других тел и движений системы на рассматриваемое движение.

В итоге можно сделать вывод, что мерой воздействия на определённую парциальную подсистему является обобщённая сила, возникающая в результате стороннего действия всех остальных подсистем. Своего рода обобщённая сила выполняет роль внешней активной силы, зависящей от различного рода переменных параметров. По характеру изменения этого силового фактора можно судить как изменяется поведение данной подсистемы.

Рассмотрим методику предлагаемого подхода на конкретном примере. Мы исследуем модель перевёрнутого физического маятника с двумя смещёнными относительно очи симметрии осцилляторами при несовпадении центра масс и центра жёсткости в данной системе. Расчётная схема показана на рис.1. Система имеет 5 степеней свободы и состоит из 5 взаимодействующих между собой парциальных подсистем. Условимся обозначать парциальные подсистемы следующими цифрами: 1- колебания маятника вдоль оси х, 2 - колебания вдоль оси у, 3 - угловые колебания по (р, 4 - колебания массы вдоль относительной координаты ^, 5 - колебания массы ^ вдоль относительной координаты ^. Исходную систему уравнений, описывающую кинематически и динамически независимые парциальные движения, можно представить в виде (порождающая система):

1ф + Сдуф + кфф = 0;

Му + суу + куу = ^(0; ^

тг + с2г + к22 = 0;

Мх + сгх + кгх.

•/V «/V

где с(р - коэффициент, характеризующий демпфирование при угловом перемещении; сх у 2 - коэффициенты демпфирования при перемещении вдоль осей X ,у и г; к^ - коэффициент угловой жёсткости пружины; кх у 2 - коэффициенты жёсткости при линейных перемещениях вдоль осей у и z; М массы ма-

ятника и осцилляторов; /0 - момент инерции физического маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О.

Мы рассматриваем автономную систему. На рис.2 показаны силы инерции, соответственно каждой степени свободы системы. Силы инерции имеют следующие значения

<Х\х = щхс ; Фу = туф -ОС1; Ф2 = ; Фу = Мус;

1

ф2х = т2\; ф2 = т2Ф • осЪ фг2 = т2*Ъ фТ =МР' кс> ф\у=т\Ус1’ Фу1 =тхф2 -ОС1; Ф1к=2т1г1ф; Фп =Мф2 -кс\ (3)

ф2у=т2У> Ф21 =т2(Р '0^2', ф2к=2т2^2(Р’ ^ =^0^-

Уравнение движения маятника по (р с учётом воздействия на него

10>Ф + с(рФ + к(р(р = -(2(рё (4)

В этом случае, принимая 8 (р ф 0,8х = 0,8у = 0, 8 г = 0 получим

Рис. 1. Модель перевёрнутого физического маятника с двумя осцилляторами

~<р£ -

8(р

Фу

срсл

+

/

+

+

ФуТ

Ф^7 • &&([)£

V 1 ^ 1

^<1>2 •

/

+

V V

+

У V Л г +

У ^ л г

+

У V л

рс.

+

<7*,

(^2Г ' ^?С,

+ Фх • +

У

V

ф2 к'3*(рс2

+

2

+

^Ьс ' ] + • дЗфс )

(5)

С учётом (2) выражение (5) примет следующий вид

-

-2т^ + 71 Ф ~ 2^2^2 ^2+ г2 Ф~

г г

лЛ

2 2 I Г 2 2

/77] ^ ^ + /??2 ^2 + 72 + ^2 ^ + ^1^1% _ т2р2Т,2

V V у V У У

+(/77^^?1 — тп^Ь^У с°8 (р + Мкс+ту 1у + гу +ТП2 12+г2 -У8*11 9 +

+ Мкс+ту 1у + гу + т2 12+22 ^'С08 9 +(т2^2 -муЬу)х$,1П (р

п

А У\

ф,

2

хл ► 1

Рис. 2. Расчётная модель исследуемой системы В итоге имеем следующее дифференциальное уравнение по координате (р

1

( ( 2 ( 2 2^

1щ /| + Г| + />| + m2 /2 + -2 + ^2 Ф + /77l^l-] _ т2^2~2 +

V V / V J)

- W2^2)^cos Ф + Mhc+m 1 ^l + zl +w2 ^2 + z2 -^s^n Ф + + Mhc+my l\ +zy +ni2 12+z2 -*cos Ф +(m2^2 _w[^i)-xsin О

Обобщённую силу (5) можно записать в следующем виде

Q<pg = Q(px + + ^Zj + 0^2

(7)

где (^х, Q(py, , Q(pZ^ - обобщённые динамические реакции, характери-

зующие влияние первой, второй, четвёртой и пятой парциальных подсистем на данную подсистему.

Проводя аналогичные преобразования для остальных обобщённых координат мы получим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую колебания исследуемой системы:

2

М + т^+т2 х + схх + кхх = - Mhc+mj l\+z^ +^2 ^2+z2 Ф s^n Ф +

+ Mhc+m^ l\+z\ +M-2 12+z2 ^cos Ф + m\^\+m2^2 s^n Ф +

+(2m\z^ +2т2^2)фсоБ (p ;

2

(M + + m2)y + Cyy + kyy = Mhc+mj +^2 ^2+z2 Ф cos Ф +

+ Mhc + m^ l\ ++ ^2 ^2 + z2 Ф s^n Ф ~

- m-['z-[ + m2'z2 cos (p + (2m^ + 2т2^2)Ф sin (p +F^ t ;

/wjz'j + + kz^ = ^1 + Z1 + т\фЬ\ ~ m\У cos <P + m\* sin <P \

2 .

m2z2 + cz2z2 + ^2z2 = ш2^ ^2 + z2 _ пг2Ф^2 ~ m2У cos Ф + ш2^ s^n Ф >

, 2 , 2 7 2 , 2 -

— УУЬ^ /^ + Zj + by + УУ12 »2 z2 2 Ф

+77^^ + m2b2z2 + (щЬ\ - m2b2)y cos (p + ^

+ Mhc +m^ l\+Zi + m2 l2+ z2 у sin (p +

+ Mhc+mx l\+zx +m2 l2+z2 x cos qj +

+(m2b2 - sin (p

В общем случае, любую обобщённую силу можно представить как функцию от времени, так как если составить любым известным методом систему дифференциальных уравнений и решить её, то мы получим обобщённые координаты как функции от времени. И по виду обобщённой силы можно судить о поведении системы. Преимущество этого метода заключается не только в «быстроте» но и в том, что у каждого члена дифференциального уравнения просматривается чёткий физический смысл, становятся более наглядными механизмы перекачки энергии между движениями системы.

Кроме того, этот подход позволяет проводить локальный анализ системы при её последовательном усложнении с чётким выделением дополнительных силовых факторов, появляющихся на каждом этапе усложнения системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Остроменский П.И., Родионов А.И. Составление и исследование дифференциальных уравнений движения механических систем методом обобщенных сил // Научный вестник НГТУ, 1997, № 1(3), С. 121-140.

2. Остроменский П.И Вибрационные испытания радиоаппаратуры и приборов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1992. 173.

© Ю.А. Можаев, 2013