CC BY
16
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
УДК 620.178.: 621.382
МЕТОД АНАЛИЗА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПАРЦИАЛЬНЫХ ПОДСИСТЕМ В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Юрий Артемьевич Можаев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного 10, старший преподаватель кафедры специальных устройств и технологий СГГА, тел. (383)3610731, e-mail: yura6810@mail.ru
В статье рассмотрен метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы, основанный в представлении между собой парциальных движений.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, сила инерции, степени свободы, парциальное движение.
METHOD OF ANALYZING THE INTERNAL OF PARTIAL SUBSYSTEMS IN A MECHANICAL
Yuri A. Mozhaev
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., senior lecturer in special equipment and technology, SSGA, tel. (383)3610731, e-mail: yura6810@mail.ru
This paper presents a method of preparation of differential equations of motion of a mechanical system, which is based in the representation of each partial motion.
Key words: differential equation, the inertial force, degrees of freedom, partial movement.
Полный анализ сложной системы при использовании современных способов математического и физического моделирования системы связан с большими материальными и временными затратами. Не всегда удается, даже при использовании современных программных комплексов, достаточно быстро и качественно провести необходимые исследования в области динамики системы. Для этого используют метод локального анализа и метод декомпозиции системы, то есть разбивают исследуемую систему на несколько взаимодействующих друг с другом парциальных подсистем [1, 2].
Для анализа динамических явлений в системах со связанными движениями на языке сил удобно использовать метод обобщенных реакций. Этот метод основан на анализе взаимодействия парциальных подсистем (движений). При этом обобщенная реакция является мерой воздействия других парциальных подсистем (движений) на рассматриваемую подсистему (движение) [2].
Система уравнений в представлении взаимодействующих движений имеет
вид:
Q Фс
Гс + q1A=Q1g •••••.jс+j=Q,
Ф
A
,g
., Q^C + Q
A = Q s SAsg ■
(1)
120
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
где Q^,....,QsA - обобщенные активные силы; Q сQs с - обобщенные
динамических связей (как активные, так и инерционные), учитывающие влияние других тел и движений системы на рассматриваемое движение.
В итоге можно сделать вывод, что мерой воздействия на определенную парциальную подсистему является обобщенная сила, возникающая в результате стороннего действия всех остальных подсистем. Своего рода обобщенная сила выполняет роль внешней активной силы, зависящей от различного рода переменных параметров. По характеру изменения этого силового фактора можно судить, как изменяется поведение данной подсистемы.
Рассмотрим методику предлагаемого подхода на конкретном примере. Мы исследуем модель перевернутого физического маятника с двумя смещенными относительно оси симметрии осцилляторами при несовпадении центра масс и центра жесткости в данной системе. Расчетная схема показана на рис. 1. Система имеет 5 степеней свободы и состоит из 5 взаимодействующих между собой парциальных подсистем. Условимся обозначать парциальные подсистемы следующими цифрами: 1 - колебания маятника вдоль оси x; 2 - колебания вдоль оси у; 3 - угловые колебания по р; 4 - колебания массы т-^ вдоль относительной координаты Zp 5 - колебания массы ^2 вдоль относительной координаты Z2. Исходную систему уравнений, описывающую кинематически и динамически независимые парциальные движения, можно представить в виде (порождающая система):
где Ср - коэффициент, характеризующий демпфирование при угловом перемещении; cx yZ - коэффициенты демпфирования при перемещении вдоль
эффициенты жесткости при линейных перемещениях вдоль осей у и z; М, mp ^2 - массы маятника и осцилляторов; 10 - момент инерции физического маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О.
1р + Срр + крр = 0;
Му + Суу + куу = F (t);
mz + czz + kzz = 0;
MX + cXx + kxx.
•A- Jv
(2)
осей x, у и z; кр - коэффициент угловой жесткости пружины; кх у
- ко-
121
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
X
X 2
Рис. 1. Модель перевернутого физического маятника с двумя осцилляторами
Мы рассматриваем автономную систему. На рис. 2 показаны силы инерции соответственно каждой степени свободы системы.
Силы инерции имеют следующие значения:
£Г II "ti: „о ф1 = тф- OCi; Ф2 = mizi; Ф у = Myc; 1
Ф2 х = m2Xc2; Ф2 = т2р • OC2; Ф2^ = m2z2; ФТ = Мф • hc С (3)
ф II Ф™ = тф2 • OCi; Ф1к = 2miZip; Ф = Мф • hc;
Ф2 у = m2у; Фр^ = т2р2 • OC2; Ф2к = 2m2 z2p; М Ф = 10ф.
Уравнение движения маятника по р с учетом воздействия на него
10ф + фф + фф = -Qyg. (4)
122
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
X
x,
Рис. 2. Расчетная модель исследуемой системы
В этом случае, принимая 8 рф 0,8х = 0,8у = 0,8z = 0, получим:
( (
Q(pg
1
8 р
Ф1 ' 8рс
г
+
1у
+
ф1 '8рс
V 1 1
(
+
V
(
Ф2п -8
рс,
+
V
\ ( +
V
\ ( +
V
\ (
Ф1 - 8рсЛ
1
Ф1х - 8^С1
2 у
ф2т - 8
^к - ^^рс*.
1 У
(фх ■ 8рс)
+
+
рс,
(
Фz~ -8рс,
2 У
+
2
\
+ +
Ф ir - 8
V
2к'° р2
+
Ф1х - 8Р + ((х - 8рс) V 2 У v 7
(5)
123
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
С учетом (2) выражение (5) примет следующий вид: ( -2^1 zi ( + zi ) ? -2^2Z2 (I2 + z2) ? -
Q?g —
m1 [(( + z1 )2 + b2) + m2 ((( + z2)2 + b22<P-+ mPlh - m2b2z2
(mb - m^b2)y cos (?)+ (hc + m(i + zi) + m2 (/2 + z2)) y sin (?) (Mhc + mi (/1 + zi) + m2 (/2 + z2 ))x cos (?) + )m2b2 - mibi)x sin (?)
+
В итоге имеем следующее дифференциальное уравнение по координате ? I о? + с?ф + k?y? — -2mizi (/1 + zi)? - 2m2 z2 (/2 + z2 )ф -
m1 ((i + z1) + b12) + m2 (M + z2) + b22])^^ mbh - m2b2z2 +
(6)
(mb - m^b2) y cos (?)+ (hc + m(i + zi) + m2 (/2 + z2)) y sin (?) [Mhc + mi (/1 + zi) + m2 (/2 + z2)) x cos (?) + (m2b2 - mibi) x sin (?). Обобщенную силу (5) можно записать в следующем виде:
Q?g — Q?x + Q?y + Q?z^+ Q?z2,
+
(7)
+
где Q?x, Q?y, Q?zi, Q?z^ - обобщенные динамические реакции, характеризующие влияние первой, второй, четвертой и пятой парциальных подсистем на данную подсистему.
Проводя аналогичные преобразования для остальных обобщенных координат, мы получим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую колебания исследуемой системы:
(М + mi + m2) x + cxx + kxx — - (Mhc + mi (/1 + zi) + m2 (/2 + z2)) ?2 sin (?)
+ (hc + mi (1 + zi) + m2 (2 + z2) )?cos (?) + (( + m2z2) sin (?) +
+ (2mizi + 2m2 z2)?cos (?);
(M + mi + m2)y + cyy + kyy — (Mhc + mi (/1 + zi) + m2 (/2 + z2)) ?2 cos (?) +
+ (hc + mi (1 + zi) + m2 (2 + z2))?sin(?) --(( + m2%2)cos(?) + (2mizi + 2m2z2?sin(?) + F (t);
124
Оптика, оптико-электронные приборы и системы
myZy + cZyZy + kzizy = myф (ly + zy ) + myфЬy - myy cos (ф) + myx sin (ф); m^Z2 + cz^Z2 + kz^Z2 = т^ф (I2 + Z2)- т^фЬ2 - m2y cos (ф) + m2x sin (ф);
10ф + Сфф + кфф = - 2myZyф (ly + zy) - 2m2 Z2ф (I2 + Z2) -
-(m1 ((ly + (2 + by2 j + m2 ((l2 + z2)2+ Ь22))ф + +mybyZy + m2p2Z2 + (myby - m2^)y cos (ф) +
+ (hc + my ( + zy) + m2 (l2 + z2))y sin(ф) +
+ {Mhc + my (ly + Zy) + m2 (2 + Z2)) x cos (ф) +
+(m2b2 - myby)x sin(ф).
В общем случае любую обобщенную силу можно представить как функцию от времени, так как, если составить любым известным методом систему дифференциальных уравнений и решить ее, то мы получим обобщенные координаты как функции от времени. И по виду обобщенной силы можно судить о поведении системы. Преимущество этого метода заключается не только в «быстроте», но и в том, что у каждого члена дифференциального уравнения просматривается четкий физический смысл, становятся более наглядными механизмы перекачки энергии между движениями системы.
Кроме того, этот подход позволяет проводить локальный анализ системы при ее последовательном усложнении с четким выделением дополнительных силовых факторов, появляющихся на каждом этапе усложнения системы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
у. Остроменский П.И., Родионов А.И. Составление и исследование дифференциальных уравнений движения механических систем методом обобщенных сил // Научный вестник НГТУ. - y997. - № y(3). - С. y2y-y40.
2. Остроменский П.И Вибрационные испытания радиоаппаратуры и приборов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, y992. - y73 с.
3. Егорова С. А., Кондратьев В. А. Об опыте применения приемов математического моделирования для целей проектирования // Вестник СГГА. - 2004. - Вып. 9. - С. y40-y43.
4. Вовк И.Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 20y2. - Вып. y (y7). - С. 94-Ш3.
Получено 08.y2.20y2
© Ю.А. Можаев, 2012
y25
