CC BY
269
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПОМОЩИ БЛОЧНОГО ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРЫ УРАВНЕНИЙ,
ОПИСЫВАЮЩИХ ЕЁ ДВИЖЕНИЕ В СРЕДЕ MATLAB - SIMULINK
Юрий Артемьевич Можаев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул. Плахотного, д. 10, старший преподаватель кафедры специальных устройств и технологий, тел. 8-983-309-51-56, e-mail: [email protected]
В статье рассматривается задача динамики механической системы при помощи блочного построения уравнений, описывающих её движение, в среде Matlab - Simulink.
Ключевые слова: динамическая система, блочное построение, амплитудо - частотная характеристика, программное движение.
RESEARCH OF THE BEHAVIOR OF DYNAMICS OF MECHANICAL SYSTEMS WITH BLOCK BUILDING STRUCTURE EQUATIONS DESCRIBING ITS MOVEMENT IN THE ENVIRONMENT MATLAB - SIMULINK
Yuriy A. Mozhaev
Siberian State Geodetic Academy, 10 Plahotnogo, Novosibirsk, 630108, senior teacher, department of special devices and technologies, tel. 89833095156, e-mail: [email protected]
In this paper we consider the dynamics of a mechanical system with block construction of the equations describing its motion in the environment Matlab - Simulink.
Key words: dynamical system, building block, amplitude and frequency response, program motion.
Для моделирования поведения различных динамических систем,
используются ЭВМ. Существует большое количество алгоритмических языков, на которых может быть выполнено решение задачи. Выбор того или иного языка программирования зависит от многих условий. Часто решающую роль оказывает удобство программирования, наличие проверенных математических методов, легкость представления результатов моделирования. Такими
особенностями обладает пакет Matlab [3, 4], содержащий в своем составе инструмент визуального моделирования Simulink [1, 2 ].
Simulink - графическая среда имитационного моделирования, позволяющая при помощи блок-диаграмм в виде направленных графов, строить
динамические модели, включая дискретные, непрерывные и гибридные, нелинейные и разрывные системы. Simulink сочетает в себе наглядность аналоговых машин и точность цифровых вычислительных машин, а также обеспечивает пользователю доступ ко всем возможностям пакета Matlab, в том числе к большой библиотеке численных методов. Подготовка задачи для моделирования в Simulink проводится в следующей последовательности: 1 -выбор расчетной схемы, 2 - составление системы уравнений описывающих
исследуемый процесс, 3 - определение начальных условий, 4 - составление структурной схемы, 5 - моделирование возмущающих функций, 6 - определение исходных данных, 7 - составление модели в среде Simulink, 8 - включение средств визуализации, 8 - тестирование, 9 - решение, 10 - анализ результатов.
Пусть поведение механической системы описывается следующей системой дифференциальных уравнений
Исследования будем проводить при следующих параметрах: m = 9ёа, b = 0.245z , Io = 0.997ёа• і 2, щ = 1350A6, J3z = 84.375с-1, ^ = 0.4і ,M = 49.5ёа
, hc = 0.21 , Уо= 5001 n~2.
Опишем структуру программирования в Simulink и то, как производится реализация решений. Из уравнений (І) видно, что связанными являются только два уравнения по А и у, а % получается из А. Поэтому наш анализ
исследований и структура построения системы уравнений значительно упрощаются. При построении модели в Simulink за основу мы возьмём только два параметра А и у.
Так как в системе уравнений фигурируют переменные у, у, А, А, то у нас будут фигурировать 4 интегрирующих блока Integrator. Следует отметить, что y и у получаются из у и )'■, а А и А получаются из А и А путём
интегрирования. Этим переменным соответствуют следующие блоки: Integrator - A, Integrator 1 -A, Integrator2 - у, Integrator3 - у. Далее нам необходимо реализовать сначала правую часть уравнения у, так как она не зависит от
производной второго порядка. Для этого добавляем два блока усилителя, которые выполняют умножение по константе: Gain усиливает входной сигнал
переменной А, превращая её в сигнал 1.822-106А , Gainl усиливает входной сигнал А, превращая его в сигнал 168.75Л. Далее два сигнала суммируются в
блоке Add, превращаясь в -168.75Л -1.822 • 106А. После этого сигнал увеличивается блоком Gain2, превращаясь в сигнал
-0.182|-168.75А-1.822-106а|. Далее блок Addl суммирует три сигнала: 1 -
-0.182168.75А-1.822-106а|, 2 - задаваемая внешняя электродинамическая
сила в блоке Sine Wave Function, 3 - сигнал 0 • у (так как в правой части уравнения у не входит у, то его зануляем в Gain3). Далее суммарный сигнал подаётся на вход блока Integrator 2 - это и будет выражение для у .
А + 2 Pz А + соу А — — 2,у,
(І)
Теперь необходимо сформировать правую часть для А. Сигнал 2у
получается при помощи усилителя Gain4, далее этот сигнал вместе с сигналом
-168.75Л-1.822-10бА складывается в блоке Sum, и результирующий сигнал подаётся на вход блока Integrator.
Переменная £ формируется при помощи усилителя Gain5, где сигнал А умножается на константу mblx / /0 = 0.885. Для отображения результатов используется блок Scope, куда выводится необходимая нам переменная изменяющаяся от времени.
Для построения АЧХ в Simulink используется подпрограмма LTI Viewer [5]. Инструмент Simulink LTI-Viewer входит в состав пакета прикладных программ Control System Toolbox и предназначен для анализа линейных стационарных систем. С помощью данного инструмента можно легко построить частотные характеристики исследуемой системы, получить ее отклики на единичные ступенчатое и импульсное воздействия, найти нули и полюса системы, построить диаграмму Найквиста и Николса. Принцип измерения АЧХ такой: на вход системы подается сигнал с заданной амплитудой, на выходе системы снимается показание амплитуды; затем изменяется частота входного сигнала (при этом амплитуда поддерживается такой, как была установлена в начале), при этом снимаются показания амплитуды на выходе. Потом находится отношение амплитуд на выходе к входной для каждой частоты, получается АЧХ как безразмерная величина На рис.1 (б) изображены графики двух безразмерных амплитуд ускорений. Aout - снимаемая амплитуда на выходе
системы (в нашем случае амплитуды £ и у), Ain - снимаемая амплитуда на
входе системы (амплитуда электродинамической силы F (в)).
Как видно из графиков рис. 1 на частоте 1350 Гц наблюдается режим динамического гашения параметра у, а на частоте 1750 Гц наблюдается максимум амплитуды параметров у и Ё,.
Далее проведём исследования колебаний модели перевёрнутого физического маятника с четырьмя попарно равноудалёнными осцилляторами от оси симметрии и точки подвеса подвижной части электродинамического возбудителя рис. 2. Где су- коэффициент, характеризующий демпфирование
при угловом перемещении; cx y z - коэффициенты демпфирования при
перемещении вдоль осей x ,y и z; k - коэффициент угловой жёсткости
пружины; kx y z - коэффициенты жёсткости при линейных перемещениях
вдоль осей у и z; M ,^-2-3-4 массы маятника и осцилляторов; /0 - момент
инерции физического маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О. При этом mx = т2, тъ = т4, cz = cz ,
с^ = cz3,kz, = К2 , К, = kz,, l1 = l2 = l3 = l4 , z2 b1 = b2, b3 = b4 .
Рис. 1. К решению системы дифференциальных уравнений: а) - структурная схема в Simulink; б) - зависимости параметров у и с; от частоты
Рис. 2. Модель перевёрнутого физического маятника
Уравнения, описывающие колебательные движения системы в линейном приближении и учётом того, что парциальные частоты осцилляторов лежат значительно выше парциальной частоты угловых колебаний маятника, имеют вид
•• тЫл •• тЫ0 ••
4 = ~Г±Ь 1+^-Д2>
10 10
+ 2А^ + оУу А^ — — 2_у, Аг + 2/?^ А2 + со22 А2 = -Ту Аі = + ^2’
Аз = 2і + 22,
р±(<)
М
Структурная схема, составленная в пакете Simulink рис. 3 составлялась с учётом следующих физических параметров исследуемой системы:
т\ = т2 = 9ёа, т3 = т4 = 7ёа, М = 45ёй, п2 = с2 = 175с_1, п2 =с2 = 93.75с-1,
о\ = 2800Ао, о2 = 1500Ао, /\ = /2 = 0.25,/3 = /4 = 0.5.
Как видно из аналитических исследований рис.4, в районе двух парциальных частот осцилляторов 1500 и 2800 Гц наблюдается искажение вибрационного режима в рабочем направлении в виде гашения колебания, а в поперечном направлении в районе тех же частот наблюдается значительное усиление колебаний.
Аналитические исследования проводились при помощи дифференциальных уравнений, которые описывают колебательные движения механической системы, в линейном приближении без учёта нелинейных членов при помощи пакета Simulink путём блочного программирования. Построены амплитудо-частотные характеристики (АЧХ) в случае переменной амплитуды возбуждающей силы, зависящей от частоты. Показано, что в зоне парциальных резонансов наблюдается динамическое гашение задаваемого программного движения в вертикальном направлении и появляются интенсивные поперечные колебания в направлении ортогональному программному.
Рис. 3 Структурная схема, составленная в пакете Simulink для исследования системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания маятника с
четырьмя осцилляторами
Рис. 4. Зависимости уровня ускорений от частоты для физического маятника взаимодействующей с осцилляторами; у - в вертикальном
направлении, % - в поперечном направлении
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Герман-Галкин С.Г. MATLAB & Simulink. Проектирование мехатронных систем на ПК.- СПб.: КОРОНА - Век, 2008.
2. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления // М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.
3. Добонравов В.В.Основы аналитической механики. Учебное пособие для вузов М., «Высшая школа», 1976. 264 а
4. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения МАТЬАВ. СПб.: Питер, 2001.
5. Черных И. В. ЗГМЦЬШК- среда создания инженерных приложений / Под общ. ред. к.т.н. В. Г. Потемкина. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003.
© Ю.А. Можаев, 2012
