Исследование зон неустойчивости маятника с дополнительными внутренними степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

текущее положение плоскости переноса осей центровых отверстий детали. Этот угол характеризует текущее значение поворота детали в центрах станка.

Экспериментальная проверка показала хорошее совпадение с расчетами. Общая теория образования отклонений формы реальных поверхностей при обработке в центрах позволяет разработать эффективные способы снижения отклонений формы за счет ограничения и нормирования первопричин, ее порождающих: отклонения от соосности центровых отверстий и центров станка.

В этой связи можно утверждать, что геометрическая точность станка, а именно погрешность расположения центров в передней и задней бабках, является доминирующим фактором, влияющим на радиальное смещение детали при ее свободном вращении на центрах.

Библиографический список

1. Прилуцкий, В. А. Технологические методы снижения волнистости поверхности. — М. : Машиностроение, 1978. - 174 с.

2. Ломов, С. М. О точности формообразования поверхностей при обработке в центрах / С. М. Ломов, В. И.

Глухов // Автоматизация проектирования и математического моделирования криволинейных поверхностей на базе ЭВМ : сб. науч. тр. — Омск, 1979. — С. 28 — 31.

3. Ломов, С. М. Разработка и исследование способов повышения точности формы деталей при активном контроле в процессе круглого шлифования : дис. ... канд. техн. наук. — Омск, 1980. — 253 с.

ЛОМОВА Ольга Станиславовна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Химическая технология органических веществ», заместитель директора нефтехимического института по внеучебной работе. ЛОМОВ Станислав Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация», заместитель декана факультета информационных технологий и компьютерных систем по учебной работе. ЗАХАРОВ Станислав Евгеньевич, инженер кафедры «Транспорт и хранение нефти и газа, стандартизация и сертификация».

644050, г. Омск, пр. Мира, 11

Дата поступления статьи в редакцию: 07.04.2009 г.

© Ломова О.С., Ломов С.М., Захаров С.Е.

УДК 620.178: 621.382 Ю Д МОЖАЕВ

Новосибирский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗОН НЕУСТОЙЧИВОСТИ МАЯТНИКА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ВНУТРЕННИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

В статье рассматривается задача об устойчивости положений динамического равновесия перевёрнутого физического маятника с двумя дополнительными внутренними степенями свободы. Представлены результаты расчёта зон неустойчивости в случае вертикальной вибрации точки подвеса. Для исследований применяется метод «прямого разделения движений».

Ключевые слова: вибрация, динамическое равновесие, устойчивость, медленное и быстрое движения, вибрационная сила, медленная и быстрая силы.

Введение

В настоящей работе рассматривается задача о поведении маятника с вибрирующей осью подвеса, внутри которого встроены две упруго связанные с ним массы. Автором этой статьи были составлены и решены дифференциальные уравнения, описывающие динамику такого маятника. Для решения задачи применяется метод прямого разделения движений (1,2].

Наиболее полное исследование данной проблемы было произведено И.И. Блехманом [3,4], который был одним из первых, кто рассмотрел поведение физического маятника при добавлении к нему дополнительной степени свободы [5].

Основной вывод работы [5] состоит в том, что верхнее положение маятника при отсутствии вибрации является неустойчивым, при наличии таковой является, наоборот, устойчивой.

1. Схема исследуемой системы и уравнения её движения

Схема рассматриваемой нами системы представлена на рис. 1. Упругие характеристики точки подвеса линейны и подчиняются закону Гука. Линейный и угловой коэффициент жёсткости кф, а также линейный демпфирующий элементе коэффициентом демпфирования сф постоянны. Две дополнительные мае-

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (ВО). 2009

сы ш равноудалены от оси симметрии маятника на расстояние b и от оси подвеса на расстояние 1, а также связаны с маятником одинаковыми упругими элементами жёсткости kz и линейными демпфирующими элементами сг. Маятник имеет массу М, момент инерции относительно центра тяжести I и расстояние от точки подвеса О до центра тяжести С равное h(.. Ось маятника О совершает периодические колебания в вертикальном направлении по периодическому закону у =f(Qt). Обобщённые координаты системы - угол отклонения маятника от вертикали (р и отклонения z,, z2 масс m от их положения внутри маятника, соответствующего статическому равновесию упругих элементов.

Уравнения движения описанной системы, полученные методом обобщённых сил [6] и проверенные по Лагранжу и Нильсену |7], в представлении взаимодействующих движений имеют вид:

(/„ + т (I + z, )2 + т (I + z2 )* + 2тЬ2 + сгф + кг<р =

= mb('z, - z2) - 2ті,ф(1 + z,) - 2 ті2ф(І + z2) +

+(Mhc + 2 ml + mz, + mz2)ysin(<p)+

+(Ml\ + 2ml + mzt + mz2)gsin(tp) = 0, (i)

z, + 2Stz, + й>2z, =фЬ- ycos(cp) + ф2 (I + z,), z2 + 2£,z2 + <y/z2 = -фЬ - ycos(tp) + <pl (/ + z2), у = -y0cos(r),r = Clt,y0 = const.

Здесь

2m

, I0 = I + 2mP.

(2)

где

p=Ff(p,<p,z„z„z2,z2) + n<t>,(p,zllz2,r), 2l=F,i(w,z„zl,i!,zI) + »li(«),zl,z!,r), (з)

21 = Flt(v,<p,zx,zx.ivz1)+Cl<t>t7(<p,zx,zvT),

F -crV - kt<p + mb(28(z2 - z,) + a,2 (z2 - z,) + ф2 (z, - z2)) ^

(/„ + m(;+z,)J + m(; + z j)2)

(Ml\. + 2ml + mz,+ mz2 )gsin(<p)-2mi,p(l + z,)-2mz2p(l + Zj)

(/„ + ni(Uzl)2+/n(/+z2)2)

Fb = bFr + ф2 (1 + z,) - 28,z, - 0),JzM F., a-bFr+pt(l + z2)-2Sli2-o>l1z2,

(2ml + mz, + mz2)sin(<p)y0cos(r) n(/„ + m(l + z, )2 + m(l+z2)2 j

4> =

Ф. =-

(2ml

+ mz, + mz.

Ф,

(/0 + m(/ + Z|)2 + m(/ + z2)J)

k (2ml + mz, + mz2) sm (y) f(/0 + m(/+z,)2 + m(; + z2)2) 1

УоСОД(0

П

(4)

2. Решение задачи методом прямого разделения движений.

Уравнения медленных движений

Воспользуемся для решения задачи методом прямого разделения движений |2]. В этом случае уравнения движения (1) можно привести к (3) и далее форме Коши

В вибрационной механике принято называть Р , 1 — медленными, а Ф^, Ф2, Ф, - быстрыми си-

лами по соответствующим обобщенным координатам [2], т - быстрым временем, I — медленным временем.

Следуя этому методу, решение системы (3) будем искать в виде

ф = а(Ц + ч/а(1,т), г, = (Ц + ч/.^.т),

+ (5)

здесь а, г,, Ъ2 — «медленные», а ч/а, , у, — «быстрые» составляющие, с периодом 2п — по'быстрому времени т = Ш, причём их средние по т значения равны нулю

<Vo(t,T)> = 0, <ч»г (t,x)> = 0, <4/ (t,T)> = 0.

(6)

к 2 , С2

> *1

І-------------► х2

86

Рис. 1

(здесь и далее угловые скобки означают усреднение по т).

В соответствии с процедурой этого метода, перейдём от уравнений (1) для переменных <р, Zl, Ъ2 к системе интегро-дифференциальных уравнений для переменных. Для рассмотрения этих движений, следуя методике [2, стр. 55], эти члены войдут в правой части системы уравнений медленных движений под знаком осреднения, и с учётом этого придём к следующей системе уравнений:

Уравнения медленных движений

(/„ + т(1 + + /л(/ + г2)2 + 2тЬ2^а + сга + кга =

= (М1хс + 2 т! + mZ^ + тг2)дБіп (а)+Уа,

г,+2 ад+а>,г2,=У,.

ї2 + 78г22 + ш?22 = .

Уравнения быстрых движений

(7)

Ч'г.+Ь = V,, + Ч'І,_Ь = V,Уг,- (11)

С учётом (11) система (8) примет следующий вид:

Я2с +2З.ЛФ,,.,, =

= 2ПЬзіп(а)Ь ‘ у0соз(т),

+ = 2Пат(а)у0соэ(т),

П?ц/а = а' ГЇУ,,-,, + П51'л(ог)Ь • Уосоз(г), (12)

с‘ = 1-2Ьа‘ =-----■*—

/„ + 2тЬ

Решение системы (12) будем искать в виде

К,-., = сов(г),

=А„„]5ш(г)+В,іМісої(г)1 (13)

і//а = Аазіп(т)+Васоз(т).

В результате получим следующие выражения:

П2(і/„ = а• П2[ц>1{ -Ь‘Пу05/л(а)сс«(г),

П2^,, + 2<У,П^, + + Пу0с°®(«)со5(г), . (8)

«V,, + 25, + гу,2 = -а),7Ьіра + Пу0со5(а)а«(г)

Здесь

Ь‘ = -

1„ + т(1 + г,) + т(1 + г2) +2л)62 2т/ + т2, + яі2г + М/і,

І„ + т(І + гі)і + т(1 + г2 )2 + 2 тЬ2

(9)

Уо - вибрационный момент, V,, V, - вибрационные силы. Эти величины вычисляются так

\-Рг(а.а,г,,г„гг,г2)

дФг

да

ЭФ..

¥а1+\ дг, ¥,ч + \дг, ч'г'

ЭФ.

ЭФ,

ЭФ,

(10)

, а + ^,а.г|+^,гр22 + ^,22!-\

| Эг Эг дт г) ) +

\-Рн{а,а,±^,±2.2г)

ЭФ

да

дФ,

ЭФ,

эг,

V», =^Уо5'П(«)Ф',,^.В,,-,1 =^-Уо5'Л(«)Ф2,,-^. д Ф1„«,УоСОД(д) д =^!^1Уо£0£(а)

п

(14)

А^а'А^.В^а-В,^-

у0зіп(а)Ь•

П

где

ф1.

4Р//1 ,г, 272(1-с‘72)

(і-с’72)2 + 40272 *' *’ (і-с'72)2 + 4£>272

, 4 £У 2

'•^"(1_^)2+40У’ "*,,“(1-72)2 + 40У’ (15)

п Л О

£> = -£-,7 = —.

<а.

3. Квазиравновесные положения маятника и их устойчивость

Если ввести потенциальную энергию медленных сил Пр, потенциальную энергию вибрационных сил Пу и потенциальную функцию 0 = 11,.+ Пу, то уравнения медленных движений (7) представятся в форме:

(іо + т(І + г,)г + +m(l+Z2У + 2ліЬ2/

2Г, + 23ж2. + со., Z. —--------,

1 ' 1 11 эг,

эя

.. . , эд

а + с а + ка = ,

да

ЭО

(16)

ІГ2 + 28,2.2 + <ух222 — —

эг,

Несмотря на громоздкий вид полученных интегро-дифференциальных уравнений, их приближённое решение можно найти довольно таки легко. Это объясняется тем, что для получения уравнений медленных движений достаточно найти лишь приближённое решение уравнений быстрых движений: эти решения входят в уравнения медленных движений под знаком осреднения. В частности, при решении уравнений быстрых движений (8) можно рассматривать медленные переменные а, 2,, как постоянные («замороженные»).

Для того, чтобы решить систему уравнений (8), удобно перейти к следующим переменным

Согласно уравнениям (7), положения квазиравновесия (динамического равновесия) маятника, то есть положения равновесия для медленных составляющих движения а = а', г, = г,', 7^ = 7^', найдутся из уравнений

(МИС + 2т1 + + тг.2)дз1п(а)+Уа =0,

0.

(17)

Запишем корни, полученные при решении системы (17)

а* = 0, г, = 0, г2 = о, а* = 7і, г, =0, 2^ = 0.

(18)

Обратимся к анализу полученных соотношений, рассмотрим устойчивость квазиравновесий системы

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (ВО). 2009 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

согласно (18), что соответствует вертикальному (верхнему и нижнему) положению маятника. Условия устойчивости рассматриваемых квазиравновесий сводятся к неравенствам:

д2Р да2

дгР

эг,2

э'2с

>0,

а»а’.2\ \ZjeZ2*

>0,

(19)

52./

>0

и»а\2

С учётом (18) все три уравнения (17) становятся независимыми. При 8г* 0 наблюдается асимптотическая устойчивость относительно г,, гг Из первого уравнения (19) получается следующее необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости относительно а*

Хсоз(а') — (£Ф\ +1 + 1 )соб(2оі*) +

+ Х(Ф'Ж Здесь

,Ф'

+*>

+ ф2 ф2

-г, г,-г,

)соэ(2а*) < 0. (20)

2т!..

;Я =

2деСІ1 У„2 ’

/„ = /„ + 2тЬ\5 = 2т/+ МЛ,.,е =

2т*Ь1 /,

1ь і

(21)

а = со5(а‘), о, = 1,о2 = — 1.

(22)

+ X(ф1 х ф1 +ф2 х фг ) < о (23)

л»' г, + 2а г,-*2 *,+га *|”га' * '

Или, учитывая соотношения (22),

аХ- (А — /Ф) < 0.

(24)

ятника и две зоны неустойчивости нижнего положения, когда при с’ = 0.88 наблюдается по одной. Следует отметить, что графики строятся при постоянной частоте возбуждения О, а меняется только парциальная частота осцилляторов <ог. В этом же случае, когда масса оказывается смещена относительно оси симметрии, наблюдается довольно сложная картина зон устойчивости и неустойчивости.

В заключение отметим, что из полученных соотношений легко получаются известные условия устойчивости маятника без дополнительной массы и маятника с дополнительной массой, находящейся на оси симметрии [2,5]. Так, прих = 0из (24) получается известное условие [5]

или

аХ — Л < 0

А при ^ = 0 получается известное условие [2], аХ — КО

2деП2 , о ~ <1.

Уо

(25)

(26) (27)

Коэффициент 4 — называется коэффициентом влияния дополнительных масс, ах — коэффициентом смещения масс.

4. Случай движения маятника

в поле силы тяжести

Рассмотрим вопрос об устойчивости квазиравно-весных положений маятника (18). Поскольку правые части двух уравнений (16), описывающих движение дополнительных масс, обращаются в нуль, по-пре-жнему при Ьг * 0 обеспечивается устойчивость дополнительных масс.

Положим

Заметим, что минимальное значение амплитуды скорости вертикальных колебаний оси маятника (Уо/П)"^ необходимое для обеспечения условия устойчивости его верхнего положения при наличии дополнительных масс т, может быть существенно уменьшено по сравнению со значением (у0 /0)П]111, необходимым при отсутствии этих масс. Отношения этих значений получается из формул (24) и (27)

<7 =

(у./п):

т!П. .

1

(28)

Следует отметить, если о, = 1, то это соответствует верхнему положению маятника, а2 = — 1 — нижнему. В итоге условие устойчивости (20) запишется в виде

СТМ£Ф\+Ь + 1) +

На рис. 2 представлена в плоскости г|2Д > 0 область неустойчивости нижнего положения маятника X < - (Л — хФ) и область устойчивости верхнего положения X < (Л—хФ) для значения параметров £ = 0.5, Э = 0.05, с" = 0.5 и х = 0.7. Значение коэффициента с* главным образом зависит от смещения Ь относительно оси симметрии, а также от массы осцилляторов. На рис. 3 представлен тот же график, но уже для с" = 0.88. Интересен сам характер поведения зон устойчивости и неустойчивости. При с’ = 0.5 наблюдается две зоны устойчивости верхнего положения ма-

В условиях рис. 3£ = 0.5, 0 = 0.05,4 = 0.5, с* =0.5 и X = 0.7 например, при т^2 = 0.9 получаем Л — хФ = 11, и Я = 0.3. При подобных параметрах рассматривалась задача в [5], но там масса была одна и располагалась она на оси симметрии, при введении дополнительной массы скорость значительно снизилась. Можно, путём варьирования параметров значительно снизить амплитуду скорости вертикальной вибрации. А также следует вывод что введение дополнительных масс значительно снижает минимальную скорость вертикальной вибрации, необходимую для устойчивости. Смещение масс относительно оси симметрии меняет не только характер зон устойчивости и неустойчивости, но и разбивает их на несколько зон.

Данные исследования имеют широкое практическое приложение. Многие виброизолированные машины приводятся в рабочем диапазоне частот к расчётной схеме несущего тела, взаимодействующего с осцилляторами. При этом с помощью осцилляторов моделируются элементы машин, совершающие относительные колебания внутри машин.

Актуальной является задача о влиянии относительных колебаний конструктивных элементов нагруженного вибростенда на его программное движение [8]. Исследуемый физический маятник рассматривается в частном случае как математическая модель подвижной части вибровозбудителя с накладным столом. Роль осцилляторов играют концевые части накладного стола, которые совершают относительные колебания в высокочастотном диапазоне виброиспытаний. Именно относительные колебания конструктивных элементов вибростенда оказывают огромное негативное влияние на искажение задаваемого программного движения подвижной части вибровоз-

я

Рис. 2

будителя. Возникают нежелательные поперечные колебания, ортогональные к программному. В линейном приближении эффекты неустойчивости не наблюдаются. Лишь при рассмотрении нелинейной системы выявляется область параметров, при которых возникают нежелательные искажения. В результате исследований было установлено, что следует повысить изгибную жёсткость накладного стола. При этом зоны неустойчивости значительно сужаются. Данные исследования автор статьи рекомендует использовать организации ФГУП «НИИЭП», г. Новосибирск, которая производит вибрационные испытания радиоэлектронной аппаратуры, приборных устройств и различного рода изделий.

Заключение

В результате проведённых исследований были получены следующие эффекты: наличие дополнительных масс может стабилизировать ранее неустойчивые и дестабилизировать устойчивые положения равновесия маятника, атакже значительно снижается амплитуда скорости вертикальной вибрации верхнего положения маятника, необходимой для его устойчивого положения. В определённых областях изменения параметров мы имеем резкий характер изменения зон устойчивости и неустойчивости, а также меняется число этих зон.

Исследования проводились для систем, когда парциальные частоты осцилляторов лежат существенно выше резонансных частот несущего тела на упругом подвесе, в связи с этим влияние угловой жёсткости и углового коэффициента демпфирования с было пренебрежимо мало и в расчётах не учитывалось. В дальнейших работах планируется рассмотреть случай, когда учитывается угловое демпфирование и угловая жёсткость маятника, а также будет рассмотрена система с четырьмя степенями свободы, где дополнительная степень свободы будет представлена горизонтальным колебанием точки подвеса маятника. Особенно будет сделан подробный акцент на исследование новых эффектов от введения кф, сф и добавления дополнительной степени свободы.

Рис. 3

Данные исследования имеют практическую ценность в задачах виброизоляции, прежде всего изделий и объектов транспортного и точного машиностроения, техники больших скоростей движения, а также в задачах динамики вибростендов.

Библиографический список

1. Blekhman I.I., Sperling L. The setting up of the self — synchronization problem of the dynamic objects with inner degrees of freedom and method of its solution. Chapter 13 in selected Topics in Vibrational Mechanics, Edited by 1.1. Blekhman, World scientific, 2004, 209-234.

2. Blekhman 1.1. Vibrational Mechanics. Nonlinear dynamic effects, general approach, applications. World Scientific, 2004, Singapore, 2000.

3. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. — М. : Наука, 1971. — 896 с.

4. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. — М. : Наука, 1981. — 352 с.

5. Блехман И.И., Шперлинг Л. Поведение маятника Стефенсона-Капицы с внутренними степенями свободы / Управление в физико-технических системах И под ред. А.Л. Фрадкова. — СПБ. : Наука, 2004. — 272 с.

6. Остроменский П.И., Родионов А.И. Составление и исследование уравнений движения голономных и неголономных систем методом обобщенных сил // Научный вестник НГТУ. - 1997. - № 1(3). - С.121-140.

7. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. — М. : Наука, 1983. — Т. 2 : Динамика. — 640 с.

8. Остроменский П.И. Вибрационные испытания радиоаппаратуры и приборов. — Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 1992. — 173 с.

МОЖАЕВ Юрий Артемьевич, магистр техники и технологии по направлению «Прикладная механика», ассистент кафедры «Теоретическая механика и сопротивление материалов».

E-mail: [email protected]

Дата поступления статьи в редакцию: 24.04.2009 г.

© Можаев Ю.А.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N>2 <»0). 2009 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ