CC BY
19УДК 533.9
Статья публикуется по приглашению
Релаксационные процессы и коллективные колебания в системе классических кулоновских частиц (часть 3/3)
С.И. Яковленко ([email protected] ) Институт Общей Физики Российской Академии Наук
Начало статьи смотри
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/023.pdf http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/024.pdf
1. Введение
2. Теоретические модели рекомбинационной релаксации плазмы
2.1. Традиционные модели
2.2. Нетрадиционная модель
3. О моделировании динамики многих частиц
3.1. Уравнения
3.2. Обработка результатов
4. Исследование релаксации динамической системы
4.1. Релаксация к метастабильному состоянию
4.2. Необратимая релаксация за счет внешней стохастизации
5. Метастабильное состояние
5.1. О нарушении принципа детального баланса
5.2. Необычные свойства метастабильного состояния
6. Корреляционные функции и коллективные колебания
6.1. Парные корреляционные функции частиц
6.2. Колебания дипольного момента системы частиц
6.3. О природе коллективных колебаний
7. Заключение
Часть 3
6. Корреляционные функции и коллективные колебания
В этом разделе рассмотрены некоторые свойства системы кулоновских частиц, находящейся в метастабильном состоянии, описанном в п. 5. Эти результаты впервые опубликованы в работах [41,42,57,58].
6.1. Парные корреляционные функции частиц
О вычислении корреляционных функций. Как известно, парные корреляционные функции waЬ(га, гь) дают вероятность найти одновременно частицы а и Ь вблизи точек га и гь. В пространственно однородной изотропной плазме эти функции зависят лишь от рас-
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ»
364 Шр://7Ьигпа1.аре.ге1агп. ги/ай1с1е8/2000/025.р^
стояния между частицами г = га - гь . Соответственно, корреляционные функции вычислялись следующим образом.
Интервал равный половине длины ребра куба (0 < г < а/2) разбивался на большое число (в расчетах - двести) малых интервалов. На рассматриваемом временном промежутке перебирались все расстояния Гу между теми частицами г и у, для которых определяется корреляционная функция (например, электронами и/или ионами) и вычислялось число попаданий частиц в каждый из этих малых интервалов в течение расчетного времени.
При вычислении Гу использовались периодические граничные условия. Например, если оказывалось, что разность проекций радиус-векторов частиц на ось х выходит за половину длины ребра куба хг — х> а /2, то вместо нее бралась величина хг — х— а /2. При
хг — х у < — а /2, бралось хг — х+ а /2. Подчеркнем, что эти стандартные периодические
граничные условия использовались нами не при решении динамических уравнений, а лишь при вычислении корреляционных функций1. Тем самым как бы полагалось, что все пространство заполнено плотно упакованными кубиками с зеркально отражающими стенками. Это делается для того, чтобы избежать нефизического спада корреляционных функций на расстояниях сравнимых с половиной длины ребра куба.
В результате описанной процедуры вычислялась величина, пропорциональная г2~маЬ. Нормировка корреляционной функции определялась выражением:
При этом считалось, что количество попаданий в данный малый интервал задает значение функции г2~маЬ в центре интервала.
Вычислялись электрон-ионные и электрон-электронные корреляционные функции. Кроме того, электрон-ионные корреляции характеризовались функциями вычисленными для различных энергетических областей:
а) свободных электронов с энергией е > 1.5уГе;
б) электронов "квазиконтинуума" —1.5уТе < е < 1.5уТе;
в) электронов, которые условно можно считать связанными —1,5уТе > е. Результаты расчетов. Вычисленные электрон-ионные и электрон-электронные
корреляционные функции сравнивались с теоретическими выражениями, следующими из боголюбовской теории:
1 Обсуждение ненадежности использования периодических граничных условий в решении динамической задачи при исследовании фундаментальных свойств системы многих кулоновских частиц см. в [32]. Эффекты,
связанные с рассмотрением конечного числа частиц рассмотрены в [3,26,38].
у =, + (- =, + (- у у ). (19а)
Т г 2 х
Здесь, как и в (18): х = |га - г,^'3 - безразмерное межчастичное расстояние;р = 1, для частиц с разными знаками зарядов, р = 2, для частиц с одинаковыми знаками зарядов.
Вообще говоря, выражение (19а) больше подходит для случая равных масс заряженных частиц. В электрон-ионной плазме рассматривались времена, на которых экранирование ионами не успевает установиться. В этом случае для описания экранировки электронами лучше использовать электронный дебаевский радиус:
г0 = Т2е =л/2г0. в е \4пв2 N е
Соответственно, для корреляционной функции имеем:
w„ь = 1 + (- = 1 + (- ,)р ^^ (19б)
Т г 2 X
Сопоставление вычисленных корреляционных функций с теоретическими обнаруживает неплохое согласие (см. рис. 1 2). Некоторые отличия возникают на совсем малых расстояниях (меньше половины от среднего межчастичного расстояния, х < 0,5), где виден вклад связанных частиц. В случае Н-плазмы распределение для частиц с энергией £ > -1.5у (свободных электронов и электронов квазиконтинуума) с точностью до сдвига, обусловленного нормировкой, практически совпадает с теоретической кривой. В случае частиц с равной массой распределение свободных и квазиконтинуальных частиц в области малых расстояний спадает, поскольку в случае равных масс из-за стеночной рекомбинации (подробнее см. [37,38]) связанных частиц оказывается несколько больше.
X
1Е + 2
1Е+1
1Е-1
1Е + 0 -
О
4
a)
X
1Е + 2
1Е+1
1Е + 0 -
1Е-1
W .
ег
О
4
х
b)
Рис. 12. Электрон-ионные (e-i) и электрон-электронные (e-e) парные корреляционные функции. Начальные условия взяты на конечный момент времени расчетов по установлению метастабильного состояния
(t0 ~ TL): x = rN13; 2n = 1024; Ni = N e = 1017 см-3; время наблюдения эволюции системы t = TL ;
а) Н-плазма (mi = 1836me). Средняя по времени температура Te = 0,17 эВ; жирная кривая -wei = 1 + (0,394/ x)e 2 22x , пунктир - распределение электронов с энергией е > -1,5уТе.
б) масса иона равна массе электрона (mi = me).Средняя по времени температура Te = 0,12 эВ; жирная кривая - wei = 1 + (0,558 / x)e 3'74x , пунктир - распределение частиц с энергией е > -1,5уГе.
Согласие результатов моделирования с теорией имеет место вне рамок применимости дебаевской модели. Во-первых, плазма неидеальна; во-вторых, согласие имеет место вплоть до расстояний меньших как дебаевского радиуса, так и среднего межчастичного расстояния. Этот факт согласуется с результатами работ [26,59], где обнаружена существенная "затяжка" применимости дебаевских представлений, а именно:
а) дебаевские термодинамические функции совпадали с расчетными вплоть до 8 ~ 1;
б) средний по большому промежутку времени потенциал вокруг неподвижного заряда, помещенного в центр куба, совпадал с дебаевской формулой для экранировки и на малых расстояниях меньших среднего межчастичного.
Результаты расчетов парных корреляционных функций свидетельствует в пользу сделанного выше предположения о том, что связанных состояний почти не образуется. Дело в том, что связанные частицы проводят много времени на расстояниях порядка среднего радиуса орбиты и поэтому вклад даже небольшого их количества заметен.
6.2. Колебания дипольного момента системы частиц
Зависимость дипольного момента от времени. Коллективные движения электронов системы должны проявляться, в частности, в зависимости от времени полного диполь-ного момента всей системы п положительно и п отрицательно заряженных частиц:
ных частиц.
Результаты расчетов (см. рис. 13) показывают, что электроны плазмы совершают некоторое упорядоченное движение, которое можно трактовать как коллективные колебания. Точнее говоря, центр тяжести электронов (а в случае равных масс, и центр тяжести ионов) совершает периодические колебания, которые становятся заметными после суммирования всех радиус-векторов электронов. Суммирование зануляет смещения за счет хаотического движения и на фоне этого хаотического движения становится заметной регулярная составляющая.
(20)
Здесь г(+), - траектории соответственно, положительно и отрицательно заряжен-
И
0.1
0.0
-0.1 0.1
0.0
-0.1 0.1
0.0
-0.1
о
4
8 10
Т
ь
a)
0.2
0.0
-0.2 0.2
0.0
-0.2 0.2
* 0.0
0.2
0 2 4
8 10
*/Т
ь
б)
И
о
20
40
60
80 100
Ит
ь
в)
Рис. 13. Зависимость от времени проекций полного дипольного момента системы кулоновских частиц на оси х, у, 2 (момент измерен в единицах пвЫ е 1/3):
а) короткий расчет, Н-плазма (mi = 1836те). Начальные температуры Тю = 0,22 эВ, Те0 = 0,2эВ, 2п = 1024, Ni = N = 1017 см-3; время наблюдения эволюции системы
0 < г < 10 Ть . В ходе расчета электроны несколько разогревались и электронная температура возросла до Те = 0,25 эВ.
б) короткий расчет, масса иона равна массе электрона (т{ = те). Начальная температура Т0 = 0,43 эВ, 2п = 1024, N1 = Nе = 1017 см-3, 0 < г < 10 Ть , Т=0,45 эВ.
в) длинный расчет, Н-плазма. Т0 = 0,22 эВ, Те0 = 0,2эВ, 2п =128, N { = N е = 1017 см-3, 0 < г < 100 Ть . В ходе расчета электронная температура возросла до Те = 0,3 эВ.
Амплитуда коллективных колебаний невелика, она соответствует смещению каждого электрона на расстояние порядка 1/20 от среднего межчастичного расстояния. Характерный временной масштаб коллективных движений по порядку величины согласуется с
ленгмюровской частотой. Однако в точности они не совпадают: в проведенных нами нескольких сериях расчетов частота обнаруженных колебаний в 1.5 - 2 раза меньше частоты ленгмюровских колебаний для Н-плазмы. В случае равных масс частота коллективных ко-
ионов и тоже в 1 ,5 - 2 раза меньше частоты ленгмюровских колебаний, которая должна иметь место для плазмы с равными массами положительных и отрицательных частиц (в этом случае в выражении для частоты ленгмюровских колебаний надо заменить те на приведенную массу пары частиц те/2).
Корреляторы дипольного момента. Хотя циклический характер зависимости от времени дипольного момента системы виден "на глаз", необходимы объективные характеристики, доказывающие наличие коллективных колебаний системы. В связи с этим были вычислены временные корреляторы различных проекций дипольного момента
Здесь а, в пробегают значения х, у, г, соответствующие проекциям дипольного момента на различные оси координат. Ввиду симметрии по а, в достаточно вычислять для каждого расчета лишь 6 из 9 корреляторов.
Результаты расчетов (см. рис. 14) показывают, что корреляционные функции имеют периодический характер и период их колебаний также несколько больше ленгмюровского периода 7ь
Особенно примечательно то, что взаимные корреляционные функции Яху, Ях2, Яу2 так же периодичны, как и автокорреляционные функции Яхх, Яуу, Я22, причем периодичность взаимных корреляторов даже более выражена.
лебаний, как и следовало ожидать, примерно в л/2 раз больше, чем для случая тяжелых
\
/
о
■1
- \ /"X
- V/ / /
1 1 1 1 1
о
3
4
т/Т
ь
Р^
Р^
1
0
■1
1
о
- \ /л
- / 4
р^
р^
р^
р^
о
1
3
4
т/Т
ь
Ь)
Рис. 14. Зависимость от времени корреляторов проекций полного дипольного момента системы куло-новских частиц. Параметры плазмы и расчета те же, что и на рис. 13: а) Н-плазма; б) масса иона равна массе электрона.
О спектре коллективных колебаний. Для получения спектра коллективных колебаний вычислялись фурье-преюбразования от корреляторов:
Полученные спектры (см. рис. 15) демонстрируют тот факт, что имеют место коллективные колебания с частотой, несколько меньшей ленгмюровской. Однако наличие шумов и сравнительно небольшое число частиц в расчетах не дали возможности надежно определить контур спектральной линии дипольного излучения метастабильной плазмы. Вычисление фурье-компонент непосредственно от проекций полного дипольного моменты не дало интересных результатов - спектр почти полностью исчезал на фоне шумов.
\2
/
0.6 0.4
0.2
0.4
0.2
0.0
0.4
0.2
0.0 0.4
0.2
0.0 2.0
1.0
0.0 0.4
0.2
0.0
0
\
3
ю/ю
ь
И
о
1
3
ю/ю
Ь)
ь
Рис. 15. Спектры корреляторов дипольного момента системы. Параметры плазмы и расчета те же, что и на рис. 13:
а) Н-плазма; б) масса иона равна массе электрона.
6.3. О природе коллективных колебаний
Ленгмюровские колебания и колебания дипольного момента. Следует, прежде всего, напомнить, что в рассматриваемой области энергий и для неидеальной плазмы с п£> < 1, у ~ 1 нет малого параметра необходимого при построении количественной теории. В обсуждении результатов численных расчетов приходится опираться на качественного характера рассуждения вблизи границы применимости принятых теоретических представлений.
Для плоской продольной волны в плазме из уравнения Власова следует дисперсионное соотношение, связывающее волновое число к = 2п/% (где % - длина волны) с частотой ю коллективных колебаний электронов:
ю2 = юЬ + 3к2у2 + /уьюЬ = юЬ • (1 + 6к2е + /уь) (21)
Здесь
4П (2 к2 < )
/
1
2к2 гп2
V Пе
- декремент бесстолкновительного затухания, найденный Ландау (выражение приведено для максвелловского распределения электронов).
Дисперсионное уравнение (21) справедливо для достаточно длинноволновых лен-гмюровских колебаний, когда к 2г2е ~ к2у2 / ю2ь << 1.
При выполнении этого условия, действительная добавка к ленгмюровской частоте мала, а декремент бесстолкновительного затухания экспоненциально мал. Все коллективные колебания электронов происходят с частотой близкой к ленгмюровской, немного большей ее.
Итак, согласно имеющимся теоретическим представлениям частота колебаний должна быть немного большей ленгмюровской. Однако моделирование ДМЧ показывает, что частота колебаний дипольного момента системы заметно меньше ленгмюровской.
Может показаться, что это связано с ограниченностью рассматриваемого объема. Однако при длине ребра куба а = (п / Ые) 3 = 1.7 • 10-5 см поправка к ленгмюровской частоте в дисперсионном уравнении еще не очень велика: ю = юь •д/1 + б[(2п / а)гп ]2 «1.17 • юь .
Дело, возможно, в том, что для ленгмюровских колебаний рассматриваемая плазма не может считаться идеальной. Хотя параметр 8 = 2в6Ме / Т3, характеризующий степень идеальности термодинамических величин в рассматриваемом случае еще невелик 8 =0.075,
число электронов в дебаевской сфере уже меньше единицы: nD = (4п / 3)rDNe = 1 / л/36п8 =
0.34, дебаевский радиус заметно меньше среднего межчастичного расстояния: rDN13 ~ 0.35. Соответственно, если в оценке заменить дебаевский радиус средним межчастичным расстоянием, как большей величиной, то поправка к частоте колебаний окажется сравнимой с ленгмюровской частотой: ю ~ 2 юL . Однако, как уже отмечалось, численные расчеты дают частоту коллективных колебаний не большую, а меньшую ленгмюровской.
Тот факт, что наблюдается обратный эффект: частота коллективных колебаний оказывается меньше, а не больше ленгмюровской, можно связать с затуханием. Как известно, у гармонического осциллятора с собственной частотой ю 0 и коэффициентом затухания ю 0 а
частота колебаний уменьшается с ростом а: ю = ю0д/1 - а2 . Однако и это объяснение страдает существенным недостатком. В действительности не видно уменьшения амплитуды колебаний со временем даже на довольно длительном промежутке времени (см. рис. 13 с). В связи с этим необходимо предположить, что колебания имеют место под воздействием какой-то внешней вынуждающей силы.
Кроме того, возникает естественный вопрос о природе затухания, сдвигающего спектр колебаний в низкочастотную область. Поскольку в рассматриваемой области параметров декремент бесстолкновительного затухания сравним с единицей, то уменьшение частоты коллективных колебаний электронов можно связать с бесстолкновительным затуханием. Однако, это бесстолкновительное затухание может быть связано не с взаимодействием волны и быстрых электронов, находящихся с ней в фазе, как это имеет место для затухания Ландау. Оно может быть обусловлено взаимодействием коллективного поля и квазисвязанных частиц.
Противофазность колебаний свободных и связанных электронов. Как известно, период обращения частицы в кулоновском поле зависит только от энергии связи |е| и не зависит, в частности, от момента импульса. При этом движение совершается с кеплеров-ской угловой частотой
юв =
3 Т / U Л3
4 -=ЛГ'ю L e me V п
e2 N1/3 e
Итак, когда энергия связи электрона порядка энергии взаимодействия с другими электронами плазмы |е| ~ е2#13 (при этом радиус кеплеровской орбиты порядка среднего межчастичного расстояния), электрон вращается с частотой порядка ленгмюровской юе ~ юь. Соответственно, этот электрон должен эффективно взаимодействовать с коллек-
тивными колебаниями электронов плазмы: возбуждать в плазме колебания и испытывать воздействие плазменных колебаний.
Разумеется, приведенное выше дисперсионное уравнение нельзя непосредственно использовать для описания взаимодействия связанных электронов с коллективными колебаниями. Дело в том, что характерный размер области взаимодействия (радиус орбиты электрона) меньше или порядка среднего расстояния между зарядами. Однако, можно представить некоторые результаты численных расчетов косвенно свидетельствующие в пользу той точки зрения, что колебания квазисвязанных и свободных электронов сильно взаимодействуют.
Как видно из рис.16, центры масс свободных и квазисвязанных электронов колеблются в противофазе, так что вклад колебаний свободных электронов в дипольный момент в значительной мере компенсируется обратным движением электронов с энергией е < 1.5у. Противофазный характер колебаний свидетельствует, на наш взгляд, о вынужденном характере колебаний квазисвязанных электронов, возбуждаемых ленгмюровскими колебаниями свободных частиц.
0.4
V
<D
<D
V
И
V
<D
0 2 4
8 10
t/T
L
a)
V
И
V
0.4
<и
<и
0.0
-0.4 0.4
0.0
-0.4
О
4
10
/т
ь
Ь)
Рис. 16. Зависимость от времени проекций радиус-вектора центра тяжести электронов на оси х, у, 2 . Сплошные жирные кривые - центр тяжести свободных электронов; тонкие - центр тяжести электронов с энергией е < 1,5уГе.
Параметры плазмы и расчета те же, что на рис. 13.
Простейшая модель противофазности колебаний. Отметим, прежде всего, что основной вклад в колебания дипольного момента и центра масс дают возмущения с бесконечной длиной волны (все электронное распределение по пространству целиком смещается в какую-либо сторону). Предположим, что свободные электроны системы сместились на величину х1. Это смешение приведет к возникновению электрического поля Е1 = 4лeN е1 х 1. При N е1 = N е, т.е. когда учитываются только свободные электроны, динамика движения центра масс свободных электронов определится уравнением:
тХ1 = -еЕ1, или Х1 + ю ^ х1 = 0 . Как и следовало ожидать, свободные электроны будут колебаться с ленгмюровской частотой.
Предположим теперь, что эти колебания свободных электронов вызывают изменение движения связанных электронов. В этом случае поляризация связанных электронов будет частично компенсировать движение свободных электронов, и результирующее поле составит величину:
Е = 4^е (а1х 1 - а2х 2).
Здесь х2 - смещение связанных электронов, а1 = Nе1 / Ne, а2 = Ne2 / Ne соответственно, доли свободных и связанных электронов.
При этом уравнение движения отдельного связанного электрона имеет вид: х - Е / те = -еЕ ,
где Е - проекция на ось х кулоновской силы, действующей на отдельный электрон.
Если для простоты считать связанный электрон в отсутствие внешнего поля как бы осциллятором, колеблющимся с кеплеровской частотой, то уравнения движения центров масс связанных и свободных электронов примут вид:
Рассмотрим наиболее простую ситуацию, когда связанных электронов, участвующих в коллективных колебаниях, мало и смещение их центра тяжести относительно положения равновесия мало. Тогда, полагая а1=1, а2=0, получаем:
Здесь а1, а2 - амплитуды, ф1, ф2 - начальные фазы колебаний. Знак "минус" перед вторым членом во втором выражении отражает тот факт, что свободные и связанные электроны колеблются в противофазе. Эта противофазность наиболее заметна для электронов, близких к резонансу, т.е. для тех, которые вращаются с кеплеровской частотой, близкой к
ленгмюровской. Энергия связи таких электронов е ~ 1.9 • е2.
Разумеется, можно усложнить рассмотрение: а) аккуратнее провести усреднения, приводящие к колебательным уравнениям для центров тяжести; б) ввести затухание; в) точно решить колебательные уравнения (не использовать приближение малости числа связанных электронов), и т.д. Однако пока не видно, приведет ли это к более точным количественным результатам. В то же время суть явления противофазности колебаний видна и из приведенной простейшей модели. Ясно, что сильно взаимодействующие друг с другом электроны раскачиваются свободными электронами.
Некоторые выводы. Итак, как показано выше в разделе 4 при низкой начальной температуре электронов, соответствующей сильно неидеальному начальному состоянию плазмы, имеет место стадия релаксации температуры к более высокому значению. Стадия релаксации характеризуется универсальной безразмерной функцией. При этом имеет место предельное значение степени неидеальности плазмы (унш ~ 0,4 ± 1), которое может быть достигнуто в метастабильном состоянии, в отсутствие внешнего воздействия.
Некоторые свойства плазмы в этом предельно неидеальном, метастабильном состоянии характеризуются следующими свойствами.
1. Корреляционные функции положений заряженных частиц, получаемые на основе ДМЧ-расчетов обнаруживают неплохое согласие с выражениями, получаемыми на основе боголюбовской теории в дебаевском приближении, причем согласие результатов моделирования с теорией имеет место даже вне рамок применимости дебаевской модели, т.е. для неидеальной плазмы и вплоть до расстояний меньших как дебаевского радиуса, так и среднего межчастичного расстояния.
2. Результаты расчетов полного дипольного момента системы заряженных частиц показывают, что центр тяжести электронов (а в случае равных масс, и центр тяжести ионов) совершает периодические колебания. Характерный временной масштаб коллективных движений по порядку величины согласуется с ленгмюровской частотой. Однако в точности они не совпадают: частота обнаруженных колебаний в 1,5 - 2 раза меньше ленгмюровской частоты.
3. Центры масс свободных электронов и квазисвязанных электронов с энергией е < -1,5уГе колеблются в противофазе, так что вклад колебаний свободных электронов в дипольный момент в некоторой мере компенсируется обратным движением квазисвязанных электронов.
4. Результаты расчетов временных корреляторов показывают, что они также имеют периодический характер и их период совпадает с периодом колебаний полного
дипольного момента системы. Взаимные корреляторы разных проекций диполь-ного момента так же периодичны, как и автокорреляционные функции, причем периодичность взаимных корреляторов имеет даже более четко выраженный характер. Полученные спектры корреляторов также демонстрируют тот факт, что имеют место коллективные колебания с частотой, несколько меньшей ленгмю-ровской.
5. Исходя из изложенного выше, можно высказать предположение, что уменьшение частоты колебаний по сравнению с ленгмюровской обусловлено бесстолкно-вительным затуханием, которое имеет место при взаимодействии колебаний электронов квазиконтинуума и коллективных колебаний свободных электронов плазмы.
Эти факты согласуются с гипотезой о том, что электроны метастабильной плазмы практически не образуют состояний, связанных с ионами, т.е. долгоживущих атомов. Период колебания связанного электрона должен быть существенно меньше ленгмюровской частоты.
7. Заключение
Итак, анализ совокупности вычислительных экспериментов показывает, что система классических кулоновских частиц на начальном этапе релаксирует за счет явления перемешивания фазовых траекторий на части энергетической поверхности (динамическая релаксация). Однако дальнейшая релаксация замораживается и при эволюции по динамическим законам система не совершает фазовый переход плазма-газ. Наблюдающееся замедленное образование связанных состояний (кинетическая релаксация) обусловлено потерей временной симметрии численного решения. Потеря временной симметрии имеет место, как при накоплении ошибок решения динамических уравнений, так и при специально организованном внешнем стохастическом воздействии.
Явление заморозки рекомбинации классических кулоновских частиц объясняется сохранением энтропии ансамбля динамических систем и тем, что перемешивание фазовых траекторий имеет место не на всей энергетической поверхности, а лишь на той ее части, которая отвечает движению несвязанных частиц. Это позволяет предположить, что такого рода свойствами обладают и другие фазовые переходы. Фазовому состоянию вещества соответствует область энергетической поверхности, где система является перемешивающейся. Переход же между различными фазами за счет эволюции по динамическим законам невозможен ввиду сохранения энтропии при динамическом движении. Фазовый переход осуществляется за счет внешнего воздействия, приводящего к кинетической релаксации. Отсюда
следует, что известный закон возрастания энтропии по крайней мере для фазовых переходов есть следствие незамкнутости реальных макроскопических систем.
Подытоживая, отметим следующее. Сформулированный во Введении вопрос о противоречии между обратимыми динамическими уравнениями и необратимыми релаксационными процессами затрагивает глубокие мировоззренческие аспекты, выходящие за круг чисто физических проблем. Вычислительные эксперименты наглядно показывают, что динамических уравнений недостаточно для описания всех релаксационных процессов. Необходимо ввести внешнюю по отношению к динамическим уравнениям стохастизацию, чтобы описать стадию кинетической релаксации. Взаимосвязь мировоззренческих аспектов и некоторых из рассмотренных здесь результатов обсуждалась в журнале «Вопросы философии» [61-65].
Основным здесь является вопрос о том, можно ли применять динамические законы ко всей Вселенной. В частности, можно ли считать Вселенную замкнутой. По-видимому, этот вопрос не имеет общего логического решения. Если же оставаться в рамках физики, то надо четко осознавать, что понятие замкнутой системы является лишь некоторой удобной идеализацией, которая в полном объеме никогда не реализуется.
Замкнутой системой считают такую, для которой можно пренебречь внешним воздействием за рассматриваемый промежуток времени. Например, вычисляя сечение столкновения двух молекул, их считают замкнутой системой на временах порядка времени столкновения. Такая идеализация удобна для разреженных газов. Однако на промежутке времени порядка свободного пролета никакую пару молекул нельзя считать замкнутой системой. Более того, в общем случае нельзя указать механическую систему, внешним воздействием на которую можно было бы пренебречь в течение сколь угодно длительного промежутка времени. Нет оснований считать, что такой изолированной системой является Вселенная.
Автор признателен А.Н.Ткачеву за плодотворное многолетнее сотрудничество в работе над обсуждаемым здесь кругом вопросов.
Приложение. Сшивка микрополевого и рекомбинационного распределений
Выбирая в качестве единицы времени ленгмюровский период Гь = ,
для коэффициента диффузии получаем:
А (у )
B(y, у) = л(у)у3/2
( ) B2 («у)- B («у), л B (ay) +-^-(y + ay),
B2 (y),
2 ay
У < -ay - ay < y < ay, У ^ ay
(А1)
где
Bi (y) = (8п / 3) • Iy /^ 1 + 6y + 0,75y2 + (п /16)y|3 , B2 (y) = 2гс[[ТУ • erf ((У) - 2 exp(- y)]
- коэффициенты диффузии для соответственно, связанных и свободных электронов (также см. [19]).
Для отношения кинетических коэффициентов имеем: -1 +1 / 2y, y > ay;
A(y, у) _ C () + C2 (y)y, |y| <ay; (А2)
в(у, у) = |р / У, - 5У/2(7 +в) < у < -ay; ( )
-1 - 5/ 2y, y < -5у/2(у +в);
Здесь использованы выражения для величин, обеспечивающих сшивку частей микрополевого распределения [1,2]:
C1 =[-1 +1 / (2ay) + в / У + в / y]], C 2 =[-1 +1 / (2ay) + e / у-в / y]oy), C 3 = ain*Jy exp[-ay(1 + C1 + C 2ay / 2)], C 4 = a1/2 .Jy exp[aв - ay(1 + 2C1)] ,
C
-1
ay
= 1 - (2 / Vn) • 7(3 / 2, ay) + (2C3 / л/п) ) exp(C1 y + C2y2 / 2) +(2C4у / Vn • в))^):
-ay
где а = 1,5, в = 0,4 ; у(а,х) = [ е '¿а - неполная гамма-функция .
Интегрирование уравнения Фоккера-Планка дает выражение для функции распределения Е(у,у) и для рекомбинационного потока в виде (17), где
ф1 и 7) У > а7;
4 (7)ф2 и 7), |у| - а7;
А (7)ф 3 (у, 7), - 57 /2( 7 +в) < У <-а7;
у <-5у /2( у + в)
ф(у, y)
(А3)
A4 (Y)ф 4 (y, Y),
Здесь
Ф1 (у,y) = 2л/у/пexp(-y), Ф2(y,y) = exp[c 1 (y> + C2(y>2 /2], Ф3(y,y) = exp(вy/Y), Ф 4 (y, y) = exp(- y)| y| "5/2, A2 (y) = Ф1 (aY, y) / Ф2 (aY, y) ,
A3 (y) = A2 (Y)Ф 2 (- aY, y) / Ф 3 (- aY, y) ,
A4 (y) = A3 (y)3 (- 5Y /2(Y + в), Y) / Ф4 (- 5Y /2(Y + в), y) .
ЛИТЕРАТУРА
1. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И. Яковленко. Усп. физич. наук. 1994. Т. 164, № 3. С. 298. (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1994, 62(3),279-288)
2. S.A.Mayorov, A.N.Tkachev, S.I.Yakovlenko. Physica Scripta 1995. V. 51. P. 498-516.
3. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1998. - Т.37, № 1. - С. 47-68.
4. L.Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie. Leipzig: J.A.Barth, 1898, Bd. 2, S. II-III
5. H.Poincare. Revue de Metaphysyique et de Morale. 1893, 1, 534-537
6. Н.С.Крылов. Работы по обоснованию статистической физики. Изд. АН СССР, М.-Л. 1950. 207 с.
7. Премия А.Н.Крылова 1995 года - С.И.Яковленко, С.А.Майорову и А.Н.Ткачеву. Вестник РАН. - 1996. Т. 66, № 5. С. 457.
8. А.М.Игнатов, А.И.Коротченко, В.П.Макаров, А.А.Рухадзе, А.А.Самохин. УФН. -1995. -Т. 165, №1. -С. 113-117 (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1995, 38(11),109-112)
9. А.А.Рухадзе. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР. -1995. № 9-10. -С. 40. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 38-39)
10. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. УФН, 165, 117 (1995). (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1995, 38(11), 113-114)
11. Б.Б.Кадомцев Динамика и информация. М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1997. - 400 с. IBSN 5-85504-008-9
12. J.Mayer, V.Goeppert-Mayer. Statistical Mechanics. Second edition. J.Wiley & Sons, NY 1977
13. N.N.Bogolubov, and N.N.Bogolubov (Jr) Vvedenie v Kvantovuyu Statisticheskuyu Mek-haniku (Introduction to Quantum Statistical Mechanics) Nauka, Moskow 1984 (in Russion)
14. М.А.Леонтович Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. -41 6 с.
15. Problems in Thermodynamics and Statistical Physics. Editor P.T.Landsberg, PRION London 1971
16. D.Ter Haar Elements of Thermostatistics. New York, 1966
17. R.Hockney and J.Eastwood Computer Simulations Using Particles McGraw-Hill, NY 1981
18. M.Gryzinski Phys. Rev. -1959. -V. 115, No 2. -P. 374-383,
19. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко Изв. ВУЗов, Физика. - 1994. - Т.37, № 9. - С. 3-19. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(9), 799-813
20. D.R.Bates, A.E.Kingston and R.W.P.McWirter. Pros. Roy. Soc. A267, 297 (1967)
21. Л.И.Гудзенко, С.И.Яковленко Плазменные лазеры. М.: Атомиздат, 1978. -256 с.
22. В.И.Держиев, А.Г.Жидков, С.И.Яковленко Излучение ионов в неравновесной плотной плазме. М.: Энергоатомиздат. 1986. - 160 с.
23. А.В.Гуревич. Геомагнетизм и аэрономия. - 1964. - Т. 4. - №1. - С. 3-16.
24. А.В.Гуревич, Л.П.Питаевский. ЖЭТФ. - 1964. - Т. 46, № 4. - С. 1281-1284.
25. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР.-1990. -№ 7.-С. 10.
26. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика -1992. - Т.35, № 2. - С. 10. - 1992 (in Russian, for English translation see: Sov. Phys. J 1992, 35, 108)
27. R.Mewe. Astronomy and Astrophysics. 1972, 20, 215
28. J.J.Tomson Phil. Mag. 47, 337 (1924)
29. E.W. McDaniel. Collision Phenomena in ionized Gases. J.Wiley & Sons, NY-L-S 1964
30. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Квантовая электроника, 20, № 2 с. 111 (1993)
31. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР-1990. -№ 10, с. 18.
32. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1991 34(11) 3 (in Russian, for English translation see: Sov. Phys. J. 1991, 34, 951)
33. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1994 37(1) 8. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(1), 7-12)
34. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1994 37(1) 15. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(1),13-18)
35. С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1995. - Т.38, № 4. - С. 3. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1995 38(4), 329-335)
36. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1993. Т.36, № 1. С. 68-89 (in Russian, for English translation see: Russian Phys. J. 1993, 36, 55-73)
37. С.А.Майоров, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. -1993. -Т. 37, №11. -С. 44-56. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(11), 1048-1058)
38. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН. - 1996. -№ 9-10. -С.3.
39. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Письма ЖТФ. - 1995. -Т. 21, №22. -С.90.
40. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН 1996. -№ 1-2. 39. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1996, No 1, 30-33)
41. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1996. - Т.39, № 10. - С. 3-15.
42. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. ЖТФ. - 1997. -Т. 68, №8.
43. A.T.Forester Large Ion Beams. J.Wiley & Sons, NY-C-B-T-S, 1988
44. LLangmuir. Phys. Rev. 28, 585 (1925)
45. A.J.Lichtenberg and M.A.Lieberman. Regular and Stochastic Motion (Springer-Verlag New-York Inc. 1983
46. Г.М.Заславский. Стохастичность динамических систем. М.: Наука. 1979. - 271 с.
47. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. ДАН 359(6) 765, 1998
48. J.W.Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics (Vol. II of his Collected Works), New-Haven, 1948
49. H.Poincare. Reflexions sur la theorie cinetique des gas. J. Phys. Theoret. Et appl. 4e ser., 5, 369, 1906
50. H.Poincare. Termodynamique. Paris, Gauthier-Villars 1908
51. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1992. - Т.35, № 11. - С. 76-88 (in Russian, for English translation see: Russian Phys. J. 1993, 35, 1059-1069)
52. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Письма в ЖТФ -1991. -Т. 17, № 23. -С.
33
53. R.Kubo. Thermodynamics. North-Holland Publishing Company - Amsterdam, 1968
54. J.W.Gibbs, Sci. Pap. 1899, v.1, p. 15
55. Я.И.Френкель. ЖЭТФ, 1939, т. 9, с.95
56. Я.Б.Зельдович. ЖЭТФ, 1942, т. 12, вып. 11/12, с. 525.
57. Майоров С. А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН. -1995. -№ 9-10. -С.35-39. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 33-37)
58. Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН. -1995. - № 11-12. -С. 67. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 12, 25-29)
59. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Письма в ЖТФ. -1988. -Т. 14. -С. 354.
60. Майоров С. А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН 1995. № 910. -С.28. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 27-32)
61. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1992. - № 2. -С. 141.
62. Аршинов В.И., Свирский Я.И. Вопросы философии 1992. - № 2. -С. 145.
63. Моисеев Н.Н. Вопросы философии. -1992. - № 11. -С. 23.
64. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1993. - № 11. -С. 152.
65. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1996. - № 2. -С. 41.
