CC BY
14УДК 533.9
Статья публикуется по приглашению
Релаксационные процессы и коллективные колебания в системе классических кулоновских частиц (часть 2/3)
С.И. Яковленко (syakov@kapella.gpi.ru ) Институт Общей Физики Российской Академии Наук
Начало статьи смотри
http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/023.pdf Продолжение статьи смотри http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/025.pdf
1. Введение
2. Теоретические модели рекомбинационной релаксации плазмы
2.1. Традиционные модели
2.2. Нетрадиционная модель
3. О моделировании динамики многих частиц
3.1. Уравнения
3.2. Обработка результатов
4. Исследование релаксации динамической системы
4.1. Релаксация к метастабильному состоянию
4.2. Необратимая релаксация за счет внешней стохастизации
5. Метастабильное состояние
5.1. О нарушении принципа детального баланса
5.2. Необычные свойства метастабильного состояния
6. Корреляционные функции и коллективные колебания
6.1. Парные корреляционные функции частиц
6.2. Колебания дипольного момента системы частиц
6.3. О природе коллективных колебаний
7. Заключение
3. О моделировании динамики многих частиц 3.1. Уравнения
Постановка задачи и метод решения уравнений ДМЧ подробно отражены в обзорах [1,2]. Здесь мы лишь кратко сформулируем основные моменты в постановке задачи и обработке результатов.
Рассматривалась временная эволюция системы из п положительно и п отрицательно заряженных частиц, заключенных в куб с длиной ребра а такой, чтобы обеспечить задаваемую плотность заряженных частиц: Ые = N =п/а . В обсуждаемых здесь результатах расчетов абсолютная величина зарядов всех частиц бралась равной заряду электрона е. Массы частиц, как правило, брались равными массе электрона и протона (Н-плазма), в некоторых случаях массы частиц брались равными друг другу (ион-ионная или /-/-плазма).
Для того чтобы представлять результаты в универсальной форме, удобно измерять
1/3
величины, имеющие размерность длины в единицах Ne , пропорциональных среднему
межчастичному расстоянию, а величины, имеющие размерность времени - в единицах об-
2 1/2
ратного ленгмюровского периода 7ь=2я/Юъ, Wl= (4ne Ne/me) . При этом безразмерная система уравнений Ньютона для электронов и ионов имеет вид:
^ = <£ (-1) "(x ' "x ' k - Ж ,1 / ж 0 ) (18а)
' *к Ж k - Ж '
^ = м»2 (-')" (Жk -3Ж' )G(жk - Ж'|/ Ж0 ) (18б)
' *k Ж k — Ж,
Здесь xk - безразмерный радиус-вектор k-й частицы; T=t/TL - безразмерное время; м = me/mt - отношение массы электрона к массе иона (например, м = 1/1836 в случае Н-плазмы и м = 1 в случае /-/-плазмы); p = 1 для частиц с разными знаками зарядов, p = 2 для частиц с одинаковыми знаками зарядов. Функция G(x), ограничивает кулоновские силы на близких
-1 /3
расстояниях x < x0 = r0 Ne' (см. рис. 4). Она соответствует потенциалу, использованному
23
при получении формулы (4) и имеет вид: G(x > 1) = 1, G(x < 1) = x (8 - 9x + 2x ). Суммирование ведется по всем 2n частицам; индекс k-й частицы пробегает в уравнениях для электронов (18а) и ионов (18б) значения от 1 до n.
x
Рис. 4. Зависимость потенциальной энергии, силы электрон-ионного взаимодействия, а также поправочных функций от расстояния между центрами в модели однородно заряженных ядер. Сплошная кривая - моделирует потенциальную энергию электрон-ионного
взаимодействия -О^х)/х; пунктирная кривая моделирует силу электрон-ионного взаимодействия -О(х)/х2; штрих-пунктирная кривая дает поправочную функцию для потенциалов взаимодействия зарядов О^х); штриховая кривая дает поправочную функцию для сил взаимодействия зарядов О(х). х - расстояние между центрами сфер, измеренные в единицах радиуса сфер.
Начальные условия задавались с помощью генератора псевдослучайных чисел, обычно - в соответствии с однородным распределением электронов и ионов по пространству, и в соответствии с максвелловским распределением по скоростям с начальной температурой Т0. В ряде задач, например, при исследовании метастабильного состояния, начальными условиями служили координаты и скорости частиц, полученные на конец расчета, описывающего предыдущую стадию релаксации. В рассматриваемых в этой работе случаях граничные условия соответствовали зеркально отражающим стенкам.
Использовался алгоритм, выделяющий ближайшие соседи, для которых расчет движения осуществляется с более мелким шагом по времени [1,2]. Расчетный алгоритм был несколько модифицирован по сравнению с алгоритмом, использовавшемся в работах отраженных в [1,2]. Во-первых, выделялось не по одному, а по двум ближайшим соседям каждого знака [37]. Во вторых, была несколько уточнена разностная схема [38]. Ранее, при переходе к следующему большому шагу по времени, прогнозируемые смещения частиц на момент времени, равный половине большого шага, брались равными смещениям от момента половины предыдущего шага до начала текущего шага. Если оказывалось, что прогнозируемое смещение направлено навстречу скорости частицы (это возможно в точке поворота), то смещение полагалось равным нулю. В последних работах (после [38]) смещения вычислялись по известным на момент начала шага скоростям частиц и силам, действующих на них. Это повысило точность сохранения полной энергии системы в 5-7 раз.
3.2. Вычисляемые величины
Из различных характеристик системы многих кулоновских частиц, вычисляемых при рассмотрении ее эволюции, наибольший интерес представляют грубые параметры и различные функции распределения. И грубых параметров обычно вычислялись следующие:
£е - относительное изменение полной энергии системы (эта величина в какой то мере характеризует погрешность счета);
- кинетические энергии электронов и ионов (суммирование ведется по скоростям частиц одного заряда);
^е (0 = 1^ , ^ (0 = Х
п
п
2
2п 2п П / \
и) = 1 X• (> -гк|/г)
1 * к к=1 г 1 - Гк, 1=1 1 1
- потенциальная энергия системы;
п_(7) - число связанных электронов, т.е. электронов с энергией е <-1.5у Те. Здесь Gl(x) - функция, учитывающая искажение кулоновского потенциала взаимодействия на расстоянии между заряженными частицами меньшем суммы их радиусов г0 (см. текст, поясняющий формулу (4)).
Для полной энергии отдельной]-й частицы использовалось выражение:
+ Xг^• ^ ( - Гк| /Г).
т у2. 2
е 1 = ~Т - , 2 к =1 |Г1 - гк
Отметим, что полная энергия системы частиц не равна сумме полных энергий отдельных частиц.
При определении температуры электронов обычно использовалось выражений Те = (2/3)Ке. Как показывают вычислительные эксперименты, полученное таким путем значение температуры хорошо согласуется со значением, получаемым из сопоставления распределения по скоростям, получаемого в расчетах ДМЧ, с максвелловским распределением.
Степень идеальности (или неидеальности) плазмы можно характеризовать не только параметром у, но и другими безразмерными величинами:
1/3 = е 2(2 Ке )1 /3 5= п = ^ 009
Те ' Те' ' ° л/3бП5 л/5 '
где п0 = 4пг[Nе /3 - число частиц одного заряда в дебаевской сфере, гв =
Те
8ле2 Ne
- дебаевский радиус. Величина е Nе часто используется как единица измерения энергии.
Распределения частиц по энергиям вычислялись на основе подсчета времени пребывания частиц в соответствующем энергетическом интервале. Вычислялись также физические величины для различных интервалов полной энергии электрона е.
О вычислении других характеристиках плазмы ниже говорится при обсуждении соответствующих результатов моделирования.
4. Исследование релаксации динамической системы 4.1. Релаксация к метастабильному состоянию
Релаксация параметра неидеальности. В работах [39-42] исследована свободная релаксация из начального сильно неидеального состояния в метастабильное состояние. Ре-
зультаты численных расчетов релаксации средней кинетической энергии для различных начальных Ые, Те , а также ионных конфигураций показывают (см. рис. 5а), что при достаточно низкой начальной температуре Те0 = Те(1=0) (у0 >> 1) степень идеальности плазмы у является функцией только безразмерного времени ¿-Ю (или МТ\). Эта зависимость хорошо аппроксимируется простым выражением: у = Тd/t + унш, где та и унш - подгоночные параметры (см. рис. 5).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Т
0.1 1 10
т
Ь)
Рис. 5. Релаксация к метастабильному состоянию. Релаксация степени идеальности плазмы у (обратной кинетической энергии электронов) к квазистационарному значению:
а) в электрон-ионной плазме при разной плотности электронов и разных значениях начальной температуры Т0 (случай неподвижных ионов):
-3 -3
- Ыг = Ые = 1014 см ; Т0= 0,001 эВ; А - Ыг = Ые = 1017 см ; Т0 = 0,01 эВ;
-3 -3
о - = Ые = 1020 см ; Т0 = 0,1 эВ; V - N = Ые = 1023 см ; Т0 = 1 эВ.
Сплошная кривая - у = 0,5 / Т + 0,4.
Полное число частиц 2п = 1000; отношение массы электронов к массе ионов Д = me / mi =3 • 10 7 (массы ионов взяты достаточно большими, чтобы ионное движение было незаметным). Время измеряется в единицах обратной ленгмюровской частоты т = о^/.
б) в ион-ионной плазме (тонкая кривая, масса электрона равна массе иона), остальные величины те же, что и на рис. 5а.
Сплошная кривая - у = 0,55 /Т + 0,64 , т =
При этом для Н-плазмы:
Та - 0.08Т- 0.5-Юь-1; Унт - 0,35, а для ион-ионной плазмы с частицами одинаковой массы:
Та - 0.08Т- 0.5-Юь-1; Унт - 0,64.
Величина Та характеризует время релаксации к метастабильному состоянию. Обратим внимание на то, что она одинакова как для сильно различающихся, так и для одинаковых масс отрицательно и положительно заряженных частиц. Величина унт характеризует предельную неидеальность метастабильной плазмы, которая может иметь место при эволюции системы кулоновских частиц по динамическим законам. Даже если начальное состояние классической кулоновской плазмы сильно неидеально (у0 >> 1), за сравнительно короткий промежуток времени, порядка Ть/10 - 0.5-О-1, происходит нагрев электронов, и плазма становится ближе к идеальной у ^ унт.
В случае равных масс тi = те предельную степень неидеальности унт можно определить теоретически [40-42]. Для полной энергии системы, приходящейся на одну частицу, имеем:
(у) = 3/2 + 2и) .
Здесь (х) = | йУх(у)/т-у (у) - среднее значение величины х(у), взятое по микрополевому
распределению (16); и - потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу и измеренная в единицах Те.
Полагая, что в начальный момент времени как кинетическая, так и потенциальная энергия близки к нулю (это соответствует однородному по пространству начальному распределению с малой температурой), и учитывая, что энергия сохраняется, получаем в этом случае для метастабильного состояния: <и(унт)> =3/4. Табуляция зависимости и от у3 приведена в [33]. Значению <и(у)> =3/4 соответствует значение у = 0.64, что полностью согласуется с величиной унт - 0.64 полученной в результате моделирования ДМЧ.
В идеальной плазме время релаксации к метастабильному состоянию Та - 0.5-О)ь-1 мало по сравнению с временем е-е-столкновений (Та - (Ау3/2/Э)-Те, ср. с (14)). Метастабиль-
ное распределение характеризуется максвелловским распределением электронов по скоростям. Итак, из расчетов следует, что формирование максвелловского распределения происходит быстрее, чем за столкновительные времена.
Тот факт, что согласно моделированию ДМЧ релаксация происходит быстрее, чем это следует из кинетической теории, объясняет известный «парадокс Ленгмюра» [43]. Лен-гмюр установил, что максвелловское распределение электронов в плазме имеет место в широком диапазоне параметров даже тогда, когда столкновения между частицами не могут объяснить быстрой максвеллизации [44]. Природу релаксации к метастабильному состоянию можно понять на основе исследования скорости перемешивания фазовых траекторий в системе многих кулоновских частиц (см. ниже).
Расходимость фазовых траекторий системы. Как известно, в качестве меры локальной неустойчивости движения системы обычно используют показатель Ляпунова (см. например, [45,46]). Он определяется с помощью логарифма расстояния между близкими в начальный момент времени фазовыми траекториями системы. Если этот логарифм на достаточно большом интервале изменения расстояния между траекториями линейно растет со временем, то скорость его роста равна максимальному показателю Ляпунова.
В работах [47,3] вычислялись расстояния между изначально близкими траекториями в координатном и импульсном пространствах:
Здесь г1ь г2,г - координата, у1;г-, у2,г- - скорость / -й частицы для первого и второго расчетов. Эти величины вычислялись отдельно для электронов и ионов (Ог,е, и Оу,е, Му).
На интервале времени близком к половине ленгмюровского периода обнаружена экспоненциальная расходимость траекторий, как ионов, так и электронов, как в координатном пространстве, так и в пространстве скоростей (см. рис. 6). Далее рост расходимости замедляется ввиду ограниченности, как координат, так и скоростей частиц.
Показатель экспоненты, определяющей расходимость электронных траекторий в обоих пространствах для 2п = 1024 пропорционален величине Ь ~ (15±1)-Ть-1~ 2.4-©^ Это и есть показатель Ляпунова. По порядку величины он совпадает, как известно, с так называемой динамической или К-энтропией.
Расчеты с разным числом частиц п показывают, что для достаточно большого п > 1 00 зависимость Ь от п пропадает. При небольшом п расстояния между траекториями плохо аппроксимируются экспонентой. Были проведены расчеты с повышенной начальной температурой Т0 = 0.25 эВ. При этом, хотя тепловая скорость электронов увеличилась в 3.5 раза, показатель Ляпунова остался практически прежним: Ь ~ (14±1)-Тъ-1.
Dr
t/rL
a)
Dv
t/TL
б)
Рис. 6. Расстояние между близкими в начальный момент траекториями электронов и ионов в координатном пространстве (а) и пространстве скоростей (б).
Сплошная линия соответствует параметрам: 2n = 1024, Ne = 10 см- 3 (TL =10 с); Ke(0) = 0.031n эВ, K(0) = 0.041n эВ, U(0) = - 0.0091n эВ; маркеры «+» - 2n = 1024, точность расчета повышена в 4 раза (остальные параметры те же); маркеры «о» - 2n = 1024, начальная температура повышена до T0=0.25 эВ, Ke(0) = 0.37n эВ, K(0) = 0.41n эВ, U(0) = - 0.0009n эВ (остальные параметры те же); пунктир - случаю 2n = 128, Ne = 1014 см-3, Ke(0) = 0.029n эВ, K(0) = 0.0045n эВ, U(0) = - 0.0098n эВ. Штриховая линия - зависимость const-exp(15-t/TL) = const-exp(2.4-OLt)-
Время перемешивания и релаксация. Приведенные выше результаты говорят о том, что рассматриваемая система классических кулоновских частиц является механической системой перемешивающегося типа. Перемешивающиеся системы, как известно, характеризуются тем, что область фазового пространства, отвечающая первоначальному макроскопическому состоянию системы, в ходе эволюции этой системы по динамическим законам существенно усложняет форму. При этом, хотя фазовый объем и связность начальной области сохраняются (вследствие теоремы Лиувилля и непрерывности уравнений движения), фазовые траектории системы перемешиваются так, что точки этой начальной области стремятся при возрастании времени к равномерному распределению по поверхности однозначных интегралов движения (обычно речь идет об энергетической поверхности).
Понятие перемешивания в статистическую физику на качественном уровне ввел Гиббс [48]. Пуанкаре подчеркивал важность этого понятия для применения вероятностных представлений [49,50]. Однако вопрос о связи понятия перемешивания с динамическими свойствами реальных объектов статистической механики был впервые четко поставлен Н.С.Крыловым [6]. Он в частности доказал, что для применимости статистической механики недостаточно гипотезы об эргодичности системы. Необходимо более жесткое требование - система должна быть перемешивающейся (в старой терминологии - размешивающейся). При этом время перемешивания (т.е. время, в течение которого начальная область равномерно, с требуемой точностью, расплывается по энергетической поверхности) и является временем релаксации системы к термодинамическому равновесию.
Приведенные выше результаты расчетов согласуются с этими представлениями Крылова, ставшими сейчас общепринятыми. Характерное время выхода параметра неидеальности на квазистационарное значение та ~ 0.08-Тъ ~ 0.5-ю-1 и характерное время разбе-гания фазовых траекторий 1/Ь ~ 0,07-Тъ ~ 0.42-©-1 совпадают.
Характерное время динамической релаксации Та ~ Ь"1 не следует из кинетических уравнений. Это динамическая характеристика системы. Поэтому упомянутый выше парадокс Ленгмюра не может быть объяснен на основе известных кинетических уравнений. Парадокс Ленгмюра получает свое объяснение как свойство динамического перемешивания фазовых траекторий системы многих кулоновских частиц, приводящее к обнаруженной нами динамической релаксации температуры электронов за время Та ~ 0.5 -Юъ-1.
Хотя система кулоновских частиц является системой перемешивающегося типа, имеет место одно существенно новое обстоятельство по отношению к общепринятой точке зрения. Динамическое перемешивание фазовых траекторий системы кулоновских частиц происходит не на всей энергетической поверхности.
Действительно, на временах порядка времени электрон-электронного столкновения согласно кинетической теории должно формироваться рекомбинационное распределение и происходить интенсивный рекомбинационный нагрев. Однако этого не наблюдается в численных расчетах. Имеет место заморозка, как рекомбинации, так и рекомбинационного нагрева. Естественно предположить, что динамическое перемешивание фазовых траекторий происходит не на всей энергетической поверхности в фазовом пространстве, а лишь на той ее части, которая отвечает в основном движению свободных электронов и электронов в квазиконтинууме. Дальнейшее перемешивание траекторий происходит лишь в той мере, в которой теряется временная симметрия численного решения динамических уравнений. Этот вопрос рассматривается ниже подробнее.
4.2. Необратимая релаксация за счет внешней стохастизации
Об утрате информации для грубых параметров. Рассматривалось несколько видов внешнего стохастического воздействия на систему кулоновских частиц, приводящего к потере временной симметрии численного решения [1,2]: а) погрешности численного счета; б) случайные перестановки скоростей электронов; в) неупругие отражения от стенок; г) случайные столкновения с гипотетическими двухуровневыми атомами и т.п. Остановимся сначала на влиянии численных погрешностей, исследованном в работах [3,47].
Исследовались причины расхождения грубых параметров для изначально близких фазовых состояний системы. Для того чтобы задать изначально близкие фазовые состояния мы использовали следующий прием. Рассчитывалась эволюция системы на небольшом промежутке времени (А/ = 0.1 Тъ), затем производился реверс. После реверса рассчитывалась эволюция системы на несколько большем промежутке времени (А/ = 0.12Тъ), затем снова проводился реверс и производился расчет до начального момента времени (А/ = 0.02Ть).
Расчеты показывают (см. рис. 7), что для изначально близких траекторий энергия системы энергия сохраняется все расчетное время с высокой точностью ее ~ 10-4%. Другие грубые параметры К(/), Ке(/), Ц/), п-(/) (см. п.3.2) начинают отличаться на величину порядка их характерного изменения лишь при / ~ Тъ ~ 6-ю-1. Время динамического перемешивания траекторий в фазовом пространстве, как следует из предыдущего обсуждения, на порядок меньше.
8
t/TL
а)
8K,e
t/TL
б)
8n-
t/TL
в)
Рис. 7. Изменение грубых параметров плазмы в случае изначально близких траекторий системы. Сплошные и пунктирные кривые соответствуют двум расчетам с близкими начальными значениями координат и скоростей частиц. Начальные параметры: 2п = 1024, Ne = 1014 см-3 (Ть =10-11 с); Ке(0) = 0.031п эВ, К(0) = 0.041п эВ, и(0) = - 0.0091п эВ, п-(0) = 107:
а) е - относительное изменение полной энергии системы (погрешность);
б) еКе = [Ке(0 - Ке(0)]/Ке(0) - относительное изменение кинетической энергии электронов;
в) еп_ = [п_(0 - п_(0)]/п_(0) - относительное изменение числа связанных частиц.
Электронный журнал «исследовано В России» 343 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/024.pdf
Все относительные величины - в процентах.
Большое отличие времени перемешивания траекторий от времени существенного расхождения грубых параметров объясняется тем, что точность решения динамических уравнений была довольно высока ~ 10-6. Для того чтобы вызванное этой погрешностью изменение состояния системы привело к расхождению фазовой траектории на величину порядка самого ее изменения необходимо время / ~ (1/Ь)1п(106) - Ть - 6-Юъ . Именно за это время фазовая капля размером, определяемым погрешностью счета, растекается по всей доступной динамическим уравнениям части энергетической поверхности в фазовом пространстве. Это время, на порядок большее, чем время динамической релаксации к метаста-бильному состоянию, определяет потерю временной симметрии численного решения уравнений ДМЧ.
Реверс системы. Неточность численного решения динамических уравнений должна сопровождается потерей обратимости численных расчетов ДМЧ (т.е. потерей временной симметрии численного решения динамических уравнений). Чтобы непосредственно продемонстрировать потерю временной симметрии был осуществлен реверс системы, т.е. проведены расчеты с изменением направления скоростей всех частиц в некоторый момент времени.
Результаты расчетов показывают (см. рис. 8), что за все рассмотренное время эволюции системы (2/ = 4-Ть) относительная погрешность в вычислении полной энергии системы очень мала ее ~ 10-4%. Однако даже при этой высокой точности расчетов поведение других грубых параметров системы К(/), Ке(/), Ц/), п-(/) демонстрирует на этих временах необратимый характер. Потеря временной симметрии, как и расхождение грубых параметров для изначально близких фазовых траекторий, возникает на временном интервале порядка ленгмюровского периода (/ ~ Ть).
В частности, необратимо ведет себя при прямой и обратной эволюции во времени число связанных частиц п-(/). Поэтому есть все основания считать, что рост среднего числа связанных частиц (если он наблюдается на временах превышающих время обратимости грубых параметров) обусловлен необратимым характером численного решения.
0.0002
0.00013 -5
510
„_5
-2.510 -0.0001
Л •••/V» • 1
•• • ' г г V • . 1
•Л 5 • / V/ • / * • / • • • • а а • • • • • • • 0 • •
ф • •*
0 0.2 0.4 0.6 0.;
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
^Ть
а)
еК,е
15 10 5
0
10
Дл д _ л Л
• • < ' * • • [ • • т • ' / Гд ' / • • Л
■
0 0.2 0.4 0.6 0.;
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
ИТ
ь
б)
п-
40
20
-20
-40
• • • • • • •
• • • • • •• •
• -г"—^ • у* "* * • ^ / '■ •
• • • • •
0 0.2 0.4 0.6 0.;
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
ИТЛ
ь
в)
Рис. 8. Изменение грубых параметров плазмы при реверсе системы. Сплошные кривые соответствуют движению в положительном направлении времени, пунктирные - обратному движению (от t = 271 е t = 0). Остальные характеристики те же, что и для рис.7.
0
Необратимое отращиваниерекомбинационного «хвоста». Как показывают расчеты, за времена / ~ Ть, на которых полное перемешивание фазовых траекторий уже давно произошло, диссипативный процесс рекомбинации практически еще не начался. В то же время, согласно имеющимся представлениям при рассматриваемых параметрах плазмы уже за время те - 0.5-Ть (14) должен был бы возникнуть интенсивный рекомбинационный поток и иметь место интенсивный рекомбинационный нагрев электронов.
Однако численные расчеты хорошо согласуются с микрополевым распределением (1 6), которое радикально отличается, как от рекомбинационного, так и от больцмановского распределений, а рекомбинационный нагрев аномально мал.
Дело в том, что отращивание рекомбинационного «хвоста» у распределения электронов по энергии имеет место лишь в той мере, в которой утрачивается временная симметрия численного решения. Это показывают расчеты функций распределения (см. рис. 9а) для различных временных интервалов до и после реверса системы. После реверса количество связанных электронов не возвращается к начальному значению, а продолжает расти.
Необратимый рост количества связанных электронов соответствует рекомбинацион-ной релаксации, которая при точных расчетах идет аномально медленно. В пользу этого говорит еще одно обстоятельство. Еще в работе [51] было установлено, что отращивание хвоста ускоряется, если расчеты проводить с ухудшенной точностью.
Для представленных здесь расчетов оценки дают замедление рекомбинации в несколько десятков раз по сравнению со временем рекомбинации, даваемым кинетической теорией. При рассматриваемых параметрах плазмы время рекомбинации составляет величину Г-1 - 0.57-Ть /(Л-у972) - 16-Ть, см. (12). Анализ результата другого, очень длительного расчета А/ ~ 200-Ть, в котором заведомо потеряна временная симметрия численного решения, показывает, что время рекомбинации, оцененное с учетом изменения температуры электронов, превосходит величину Г-1, определяемую формулой (12) в 60-80 раз (подробнее см. [3]).
Электронный журнал «исследовано В России» 346 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/024.pdf
/в)
Рис. 9. Функции распределения электронов по полной энергии е для различных интервалов времени.
Распределения получены усреднением по отрезку времени длиной, соответствующей ленгмюровско-
14 3 2 1/3
му периоду. Параметры расчетов: 2п=1024, N¡,=10 cм~ ; энергия измеряется в единицах е0 = 20е Ме , соответствующих энергии на расстоянии касания заряженных сфер г0; отмечена энергия дна ямы.
а) отсутствие перестановочной стохастизации. При / = 5Ть осуществлен реверс системы. Жирная линия - усреднение по 1-му ленгмюровскому периоду; пунктир - по 5-му периоду; сплошная линия - по 10-му; жирный пунктир - микрополевое распределение (16). Микрополевое и больцмановское (3) распределения построены для температуры Те = 0.023 эВ, соответствующей точке реверса;
б) перестановочная стохастизация через интервалы времени кратные т = 0.57^. Жирная линия - усреднение по 1-му ленгмюровскому периоду; пунктир - по 3-му периоду; сплошная линия - по 4-му. Микрополевое и больцмановское распределения построены для температуры Те = 0.033 эВ, соответствующей последнему моменту времени расчета;
в) перестановочная стохастизация через интервалы времени кратные т = 0.1Ть. Жирная линия - усреднение по 1-му ленгмюровскому периоду; пунктир - по 5-му периоду. Микрополевое и больцмановское распределения построены для температуры Те = 0.036 эВ, соответствующей последнему моменту времени расчета.
Рекомбинация при перестановочной стохастизации. Как было показано в работе [52] (см. также [1,2]), перестановка скоростей различных электронов, осуществляемая через некоторые временные интервалы, тоже приводит к отращиванию рекомбинационного хвоста функции распределения. Результаты последних более подробных расчетов [3] показывают, что рекомбинационная релаксация идет со скоростью, соответствующей кинетической теории, лишь если перестановочная стохастизация производится через интервалы свободного движения системы тр существенно меньшие те. При достаточно большом тр = 0.5-Ть - те релаксация идет в несколько раз медленнее, чем это следует из кинетической теории. В этом случае (как и при релаксации за счет накопления погрешностей) скорость рекомбинации существенно зависит от интенсивности внешнего стохастического воздействия (в данном случае - частоты перестановок). При уменьшении интервалов свободного движения до тр = 0.1-Ть - (1/5)-те характерное время рекомбинации достигает значения, порядка определяемого кинетической теорией, и дальнейшего радикального ускорения рекомбинации не происходит даже при очень сильном уменьшении интервала свободного движения - до тр = 0.01-Ть - (1/50)-те.
Отметим, что при сильном стохастическом воздействии больцмановское распределение устанавливается за время меньшее времени рекомбинации Г-1 (см. рис. 9 в). Дело в том, что установление больцмановского распределения происходит не столько за счет процесса образования связанных пар, сколько за счет рекомбинационного нагрева электронов. Это связано с большим энерговыделением на акт рекомбинации (см. конец п. 2.1).
Отметим, что исследовались и другие способы внешнего стохастического воздействия на систему классических кулоновских частиц. В частности моделировались упругие и неупругие столкновения электронов с атомами [1,2,36]. В тех случаях, когда внешнее стохастическое воздействие меняло энергию отдельных электронов, имела место рекомбина-
ционная релаксация. В то же время, когда моделировались упругие столкновения с бесконечно тяжелыми частицами, отращивание рекомбинационного хвоста практически не ускорялось.
Динамическая и кинетическая релаксация. Итак, из приведенных выше результатов можно сделать вывод, что при динамическом перемешивании фазовых траекторий системы имеет место релаксация к некоторому метастабильному состоянию. Это метастабиль-ное состояние можно характеризовать температурой, поскольку имеет место максвеллов-ское распределение по скоростям. Динамическое перемешивание траекторий имеет место не для всей энергетической поверхности в фазовом пространстве системы, а лишь для некоторой части этой энергетической поверхности. При этом полное термодинамическое равновесие, описываемое микроканоническим распределением, при эволюции по динамическим законам не достигается.
Дальнейшая релаксация, обусловленная динамической эволюцией системы, замораживается. Во всяком случае, в динамической системе она не имеет места на временах, предсказываемых кинетической теорией. В то же время, если временная симметрия численного решения по тем или иным причинам теряется, дальнейшая релаксация имеет место.
Релаксацию, имеющую место при наличии временной симметрии мы будем называть динамической релаксацией, а релаксацию, имеющую место при потере временной симметрии - кинетической релаксацией.
Подчеркнем, что кинетическая релаксация не содержится в динамических уравнениях - она имеет нединамическую природу. Иначе говоря, вслед за Пуанкаре, мы полагаем, что не все законы Природы могут быть объяснены на основе обратимых динамических уравнений.
Недостаточность классических представлений для обоснования статистической физики была показана Крыловым. Он показал, что для обоснования статистической физики необходимо рассматривать не просто эргодические, а именно перемешивающиеся системы и, кроме того, следуя Больцману, надо предположить, что начальное состояние соответствует однородному распределению в области фазового пространства, имеющей простую форму. Однако равномерное начальное распределение, как показал Крылов, в рамках классической механики не может быть законом Природы. Эту точку зрения поддержали В.А.Фок и А.Б.Мигдал (см. [6], с. 8).
Делаемые нами утверждения идут дальше в выявлении трудностей обоснования статистической физики. Если даже временно закрыть глаза на невозможность объяснения равномерного начального распределения, остается еще ряд важных вопросов, связанных со свойствами перемешивающихся динамических систем. Вопрос, связанный с изложенным
выше, звучит так. Может ли механическая система из многих частиц быть перемешивающейся, но не всей энергетической поверхности?
Из результатов наших вычислений следует, что такая ситуация возможна. В системе кулоновских частиц перемешивание имеет место лишь на той части энергетической поверхности, которая отвечает свободным состояниям электронов. Дальнейшее перемешивание, которое должно включать переходы между свободными и связанными состояниями электронов, не имеет места при эволюции по динамическим законам. Оно происходит за счет процессов с потерей временной симметрии, т.е. за счет кинетической, а не динамической релаксации. К этому вопросу мы вернемся после рассмотрения еще одного важного свойства метастабильного состояния.
5. Метастабильное состояние
5.1. О нарушении принципа детального баланса
Детальный баланс переходов. Были проведены расчеты, непосредственно демонстрирующие наличие детального баланса в метастабильном состоянии [3].
Матрица переходов Ж(т,е ',е) вычислялась в соответствии с формулой (2). Сначала определялись энергетические траектории частиц, т.е. зависимость энергии каждой i-й частицы от времени е^). Затем для каждого момента времени I вычислялись числа переходов электронов из одного малого энергетического интервала в другой, совершенных к моменту времени +т. В результате усреднения по всему рассмотренному временному интервалу определялась матрица переходов.
Временной интервал т, задающий переход, выбирался большим времени перемешивания фазовых траекторий системы, т.е. большим обратной величины показателя Ляпунова. Обычно мы ориентировались на характерное время электрон-электронных столкновений т = те (14). Разумеется, вычисление матрицы переходов производилось для моментов времени, когда метастабильное состояние уже установилось.
Расчеты показывают, что матрица переходов симметрична по е', е (см. рис. 10 а, б). Иначе говоря, для метастабильного состояния имеет место детальный баланс энергетических переходов. Это является прямым нарушением принципа детального баланса (6), поскольку метастабильное состояние сильно неравновесно и для него детальный баланс переходов, согласно обычным представлениям, не должен иметь места (см. выше п. 2.1).
fe)
i'i0
0.0i -
0.00i -
-в -6 -4 -2
W(t,e',e)
a)
6 в
e/T
e
i.5' i0
i*i0
5000
b)
e/T
e
0
2
4
0
/(е)
0.1
0.01
0.001
— 1 -3.4 1 1. 1 55
^УЧ^ЛГЬР
, 1 /
К/1 1 1 1 *Ч \1
-10
Ж(т,е ' ,е)
е/7
е
С)
2' 10
4
1.5' 10
1'10
5000
d)
е/7
е
Рис. 10. Функции распределения (а, Ь) и кинетическая матрица для прямых и обратных переходов из двух точек (связанные и свободные электроны) (Ь, а) для метастабильного (а, Ь) и термодинамически равновесного (с, а) состояний системы многих классических кулоновских частиц. Параметры расчетов: / = 67^ -время расчета, 2и=1024, Же=1014 см-3, средняя по расчету температура Те = 0.022 эВ для метастабильного и Те = 0.036 эВ для равновесного состояний.
Сплошные кривые на рис. Ь,ё - число переходов из данной точки (е1 или е2) в произвольную точку с энергией е; точечные кривые дают число обратных переходов из произвольной точки с энергией е в данную (е1 или е2). Отмечены две точки е1 и е2, баланс переходов для которых анализируется (е1 = -2.49Те, е2 = 2.25Те - для метастабильной плазмы; е1 = -3.4Те, е2 = 1.55Те - для термодинамически равновесной плазмы).
5
0
5
0
В частности, из рис. 10 а,б видно, что имеет место компенсация числа прямых и обратных переходов между состояниями лежащими выше и ниже горлышка стока. В то же время согласно (6),(10), вероятности таких переходов должны сильно (на экспоненциальный фактор) различаться. Переходы в энергетические состояния лежащие ниже горлышка стока должны при имеющейся степени ионизации компенсироваться не обратными перехо-
дами, а переходами в еще более глубокие состояния, как это следует из всех кинетических моделей, основанных на принципе детального баланса.
Отметим, что числа переходов в связанных состояниях не очень сильно отличаются от чисел переходов в свободных состояниях при близких по модулю полных энергиях. Иначе говоря, рекомбинационный процесс замораживается не потому, что для связанных состояний падает вероятность перехода, а потому, что имеет место компенсация переходов «вниз» детально обратными им переходами «вверх».
Заморозка рекомбинации нами связывалась с наличием аномального дрейфа электронов «вверх» по энергетической оси [1,2]. Анализ вида матрицы переходов показывает, что такой дрейф действительно имеет место. На рис. 1 0 б пики распределения чисел переходов смещены от энергетической точки, из которой рассматриваются переходы таким образом, что для глубоких связанных состояний должен иметь место дрейф «вверх», а для быстрых свободных электронов - дрейф «вниз».
Термодинамически равновесное состояние. Разумеется, детальный баланс должен иметь место и для больцмановского распределения (3). Это было проверено в [3] следующим образом. Сначала с помощью перестановочной стохастизации было получено состояние, характеризуемое больцмановским распределением. Затем расчет был продолжен уже без перестановок. Для этой дальнейшей эволюции системы была вычислена матрица переходов. Как и следовало ожидать, она оказалась симметричной, а распределение электронов по энергиям сохранило больцмановский вид (см. рис. 10 ^ё).
Этот результат не позволяет считать, что метастабильное (не больцмановское) состояние и есть термодинамически равновесное состояние для данной ограниченной системы частиц, а формирующееся в нем распределение отличается от больцмановского, например, из-за конечности числа рассматриваемых частиц (это подробно обсуждено в [3]). Расчеты показывают, что если под влиянием внешней стохастизации термодинамическое равновесие для данной системы достигнуто, то, как и следовало ожидать, оно хорошо описывается больцмановским распределением и для него выполняется принцип детального баланса.
5.2. Необычные свойства метастабильного состояния
О локальном термодинамическом равновесии. При рассмотрении кинетических процессов часто приходится сталкиваться с установлением так называемого локального термодинамического равновесия ЛТР. Например, внутри группы близких энергетических уровней атомов за счет взаимодействия с электронами плазмы часто устанавливается
больцмановское распределение, в то время как между такими группами уровней и для степени ионизации термодинамического равновесия нет [21,22] (см. рис. 11).
Рис. 11. Качественный вид заселенностей уровней атома при локальном термодинамическом равновесии (ЛТР). Внутри групп состояний m термодинамическое равновесие установилось (взаимообратные переходы компенсируются) и приведенные к статистическому весу gm заселенности уровней Nm внутри групп с энергиями Еь £2, £3 лежат на прямых. Между группами уровней с энергиями е1, е2, £3 детального равновесия нет переходы между ними взаимно не компенсируются
Естественно было бы предположить, что образование метастабильного состояния просто является следствием установления ЛТР между свободными и квазисвязанными электронами, а релаксация этих электронов в связанные состояния идет медленно. Поэтому достаточно лишь уточнить кинетические коэффициенты в теории рекомбинации. Несостоятельность этой точки зрения уже обсуждалась в п. 2.2, однако ввиду важности вопроса обсудим его теперь с точки зрения результатов, приведенных выше в п. 5.1 .
Ряд свойств, принципиально отличает обнаруженное метастабильное состояние от тех обычных ситуаций, когда имеет место ЛТР.
Во-первых, в случае обычного ЛТР, если применимо одночастичное приближение, имеет место больцмановское распределение. В наблюдаемом же метастабильном состоянии распределение совсем иное. Микрополевое распределение (16), хорошо описывающее результаты моделирования ДМЧ, радикально отличается от больцмановского распределения (4) в области сильно связанных состояний (|е| >> уге), где применимо одночастичное рас-
смотрение. Больцмановское распределение дает при |е| >> уте (е < 0) экспоненциальный рост с увеличением энергии связи электрона |е|, а микрополевое распределение дает в этой области резкий экспоненциальный спад. Ничего похожего не имеет места при обычном ЛТР.
Во-вторых, при обычном ЛТР не имеет место детального баланса переходов из группы состояний, находящихся в равновесии и другими группами состояний. Например, при установлении равновесия между группами близких уровней детальный баланс имеет место лишь для переходов между этими уровнями, находящимися в ЛТР. Однако между состояниями, находящимися в ЛТР и другими уровнями в обычной ситуации нет детального баланса переходов (если, конечно, не установилось полное термодинамическое равновесие). В рассматриваемом же метастабильном состоянии детальный баланс имеет место и для переходов из сильно связанных состояний с энергией £ << - уте во все другие энергетические состояния.
В-третьих, в случае обычного ЛТР за времена релаксации, определяемые кинетической теорией устанавливается полное термодинамическое равновесие, т.е. равновесие не только внутри группы равновесных состояний, но и между группами состояний находящихся в ЛТР (если, разумеется, нет внешних воздействий, приводящих к неравновесности). Просто ЛТР в некоторой группе энергетических состояний устанавливается быстрее по сравнению с остальными. В рассмотренном же здесь случае это не так. В той мере, в которой не потеряна временная симметрия численного решения динамических уравнений, не только не имеет места заметной рекомбинации (т.е. увеличения числа связанных электронов), но даже не устанавливается рекомбинационное распределение, определяющее величину рекомбинационного потока. Не наблюдается также и сильного рекомбинационного разогрева свободных электронов, который должен происходить намного быстрее, чем релаксация числа свободных электронов (см. конец п.2.1 ).
Интерпретация результатов расчетов. Все перечисленные выше отличия от обычных ситуаций можно объяснить, если сделать одно существенное предположение. Надо предположить, что область фазового пространства, отвечающая связанным состояниям электронов, является недоступной для траекторий системы, начинающихся из той области фазового пространства, которая отвечают свободным состояниям электронов.
В рамках такой трактовки, все электроны метастабильного состояния, в том числе и оказавшиеся в области отрицательных энергий далеко от границы континуума (с £ < - уте), не являются на самом деле связанными электронами. Они попадают в эту энергетическую область на сравнительно короткий промежуток времени за счет флуктуаций микрополей.
Это предположение на первый взгляд кажется странным. Не видно, по каким причинам свободный электрон не может стать связанным, например при столкновении двух электронов в поле иона (см. модель Томсона в п. 2.1). Однако надо помнить, что при рассмотрении кулоновских систем, вообще говоря, нельзя пренебрегать полями удаленных частиц. Хорошо известно, что хотя сила воздействия удаленных частиц падает пропорционально квадрату расстояния до данной точки, но и число частиц на данном расстоянии растет пропорционально этому квадрату расстояния. Поэтому коллективные поля, в принципе, могут влиять на тройные столкновения и запретить механической системе переход между связанными и свободными состояниями. Иначе говоря, если в результате столкновения двух электронов в поле иона один из них приобрел большую отрицательную энергию, то система частиц по каким-то причинам «не забыла» этого факта и через короткое время вернула электрон в область малых или положительных энергий. Такая ситуация, хотя и кажется странной, но в принципе возможна.
В идеальной плазме такого рода эффекты не очень существенны. Действительно, если ситуация хорошо описывается парными столкновениями, то достаточно стохастизиро-вать поступательные степени свободы. Поскольку для парных столкновений всегда выполнен принцип детального равновесия, неупругие парные столкновения обеспечат рекомби-национую релаксацию. Стохастизация же поступательных степеней свободы осуществляется сравнительно легко, поскольку в этой области фазового пространства система является перемешивающейся.
Именно поэтому эффект заморозки рекомбинации наиболее ярко проявляются, когда существенны многочастичные взаимодействия. Он обнаружен в расчетах для тех случаев, когда приближение идеальной плазмы начинает нарушаться. При многочастичных взаимодействиях, как показывают приведенные выше результаты расчетов, стохастизации поступательных степеней свободы не достаточно, чтобы началась эффективная рекомбинация.
Отметим, что в случае частиц равной массы, заметную роль в перемешивании свободных и связанных состояний частиц могут играть упругие столкновения со стенкой . Это приводит к более ускоренному отращиванию рекомбинационного хвоста при моделированию ион-ионной плазмы [37,38]. Отмеченный эффект просто понять, рассмотрев движение пары частиц в случае, когда одна из них сталкивается со стенкой. Хотя полная энергия пары при столкновении сохраняется, происходит перераспределение между энергией движения в центре инерции и энергией движения как целого. Это способствует образованию связанных состояний. Наиболее подробно процесс стеночной рекомбинации рассмотрен в [38]
В пользу предположения, что образование большого числа долгоживущих связанных состояний запрещают законы динамики многих частиц, говорит закон сохранения эн-
тропии для динамической системы. При рекомбинационной релаксации энтропия системы должна возрастать. Например, если рассматривать релаксацию электрона, на основе уравнения диффузии по энергетической оси (8), то при Г Ф 0, энтропия будет расти. Следовательно, прорекомбинировавшей и непрорекомбинировавшей системе кулоновских частиц отвечают существенно разные значения энтропии. В то же время, при эволюции системы по чисто динамическим законам энтропия, введенная обычным образом сохраняется (см., например, [12,13]). Обычно сохранение энтропии для динамических систем трактуют как парадокс и при рассмотрении конкретных явлений просто игнорируют. Однако для такого игнорирования нет никаких оснований. Из факта сохранения энтропии для ансамбля динамических систем следует, что если система достаточно точно следует динамическим законам, то рекомбинации и не должно быть. О том, что заморозка рекомбинации связана с законом сохранения энтропии динамической системы было сказано в работах [1,2,37].
Метастабильное состояние и теория динамических систем. Обсудим, в какой мере полученные нами результаты согласуются с теорией стохастических свойств динамических систем [45,46]. Точнее говоря, обсудим, известны ли в теории динамических систем аналогичные ситуации?
Свойства обнаруженного нами метастабильного состояния вызывают естественную ассоциацию с известной КАМ-теорией (теорией Колмогорова-Арнольда-Мозера). Один из важных выводов этой теории состоит в том, что малое возмущение интегрируемого гамильтониана не всегда приводит к перемешиванию фазовых траекторий на всей энергетической поверхности.
При выполнении некоторых условий (в частности, несоизмеримости, т.е. нерезо-нансности, собственных частот невозмущенного гамильтониана, конечности числа степеней свободы, и др.) всегда существует конечная (хотя и малая при большом числе степеней свободы) область фазового пространства, которая является как бы островком устойчивости. При выборе начальных условий на островке устойчивости система двигается только по так называемому инвариантному нерезонансному тору, являющемуся пространством меньшей размерности, чем энергетическая поверхность.
Такая ситуация в какой-то мере аналогична наблюдаемым нами эффектам. Инвариантный тор можно воспринимать как метастабильное состояние, аналогичное обнаруженному нами. Оно может разрушаться в результате внешнего стохастического воздействия и тогда система будет релаксировать к термодинамическому равновесию. После отключения внешнего стохастического воздействия, как и в нашем случае, термодинамическое равновесие будет сохраняться.
Итак неполнота перемешивания траекторий в фазовом пространстве, требуемая для объяснения возможности существования обнаруженного нами метастабильного состояния, не противоречит общим свойствам динамических систем. Такие системы в соответствии с КАМ-теорией в принципе могут иметь место.
Однако, не видно, чтобы для рассматриваемых нами систем кулоновских частиц были выполнены условия КАМ-теоремы. Исходной интегрируемой системой в данном случае можно было бы считать невзаимодействующие частицы. В то же время, известно, что такой гамильтониан неустойчив. Кроме того, в рассмотренных нами случаях взаимодействие частиц не мало (потенциальная энергия порядка кинетической). Уже поэтому условия КАМ-теоремы неприменимы. Не видно, можно ли найти интегрируемый гамильтониан, учитывающий кулоновские взаимодействия.
Отметим также, что мы проводили много расчетов с разными начальными условиями. Если удавалось проследить эволюцию достаточно долго с достаточно высокой точностью, то имела место релаксация к метастабильному состоянию. Исключением является ситуация, когда с помощью внешней стохастизации система переводилась в состояние близкое к термодинамическому равновесию (см. выше). Таким образом, мы имеем не небольшой островок, а большую область устойчивости, в отличие от ситуаций, где применима КАМ-теорема.
Итак, хотя свойства обнаруженного метастабильного состояния не противоречит теории динамических систем, тем не менее этот факт является новым для этой теории.
О природе фазовых состояний. Понятие фазы и фазового перехода вводится в термодинамике. Фаза - это термодинамически равновесное состояние вещества, отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества (например, жидкая и газовая фазы).
Согласно общепринятой точке зрения основные законы термодинамики получают в статистической механике более глубокое обоснование. Однако в вопросе о том, что такое фаза, статистические методы, пока не дали по сравнению с термодинамикой ничего существенно нового. При обосновании статистической механики вопрос о фазах обходят молчанием. Изложение вопросов, связанных с понятием фазы, помещают в разделах, посвященных не статистической механике, а термодинамике (см., например, [14,53]).
Никак не углублено понятие фазы и в кинетике. Известные фундаментальные кинетические уравнения, в частности уравнение Больцмана, обоснованы только для одной фазы (обычно - разреженного газа). Более того, если применить к фазовым переходам первого рода стандартные кинетические методы, то невозможно понять, почему возникают неравновесные метастабильные состояния вещества (например, перегретая жидкость и переох-
лажденный пар). Даже такие, казалось бы, сугубо кинетические процессы, как образование капелек жидкости в переохлажденном газе и пузырьков газа в перегретой жидкости, рассматривают на основе a priory введенного термодинамического понятия фазы. А именно, следуя Гиббсу [54], начинают сразу с рассмотрения зародыша новой термодинамической фазы с учетом поверхностных эффектов (см., например, [55,56]). При этом иногда приходится применять такие термодинамические характеристики как поверхностное натяжение к системам из двух-трех молекул (см., например, [14], с. 140).
Результаты моделирования динамики многих кулоновских частиц позволяют высказать гипотезу, по-новому интерпретирующую понятие фазового состояния и фазового перехода в термодинамике.
Согласно этой гипотезе фаза состояния вещества определяется следующими свойствами.
1. В рамках одной фазы система частиц является перемешивающейся.
2. Фазу состояния вещества определяет та область фазового пространства, на которой имеет место динамическое перемешивание.
3. Фазовые траектории, относящиеся к одной из фаз не переходят в область фазового пространства другой фазы. Фазовые переходы определяются необратимыми процессами, т. е. кинетической, а не динамической релаксацией.
В пользу третьего предположения, кроме приводимых результатов моделирования, говорит уже упоминавшийся выше закон сохранения энтропии в динамической системе. Как известно, при фазовом переходе скачком меняется энтропия системы. В то же время, при эволюции системы по чисто динамическим законам энтропия, введенная обычным образом, сохраняется. Следовательно, если двум областям фазового пространства, внутри каждой из которых система является перемешивающейся, соответствуют разные значения энтропии, то между этими областями не может быть динамического перехода.
В рамках такой концепции фаза становится понятием динамическим, а не кинетическим. Кинетика не может объяснить природу появления фазовых состояний вещества. Она может только описать процесс перехода между этими состояниями, свойства которых задаются динамикой взаимодействующих частиц. В то же время динамика, в отличие от кинетики, не может описывать фазовые переходы. Для описания фазовых переходов необходимо выйти за пределы динамических уравнений, обладающих временной симметрией.
Одним из способов выхода за пределы динамических уравнений является предположение о внешнем (по отношению к динамическим уравнениям) стохастическом воздействии. Отметим, однако, что интенсивность внешнего стохастического воздействия, требуемая, для эффективной кинетической релаксации может быть различной для систем, нахо-
дящихся в разных состояниях. Например, идеальная плазма оказывается более чувствительна к внешнему стохастическому воздействию, чем неидеальна.
Вопрос о свойствах гамильтониана, приводящих к перемешиванию лишь на части энергетической поверхности является очень сложным. Запрет на перемешивание фазовых траекторий по всей энергетической поверхности является, по-видимому, значительно более глубоким свойством динамики многих частиц, чем простая ситуация, рассматриваемая КАМ-теорией. Эта часть теории динамических систем, по-видимому, нуждается в существенном развитии. Пока остается надеяться только на вычислительные эксперименты.
Согласно отстаиваемой здесь позиции, принцип детального равновесия совместим с динамическими уравнениями лишь внутри тех областей, где систему можно считать перемешивающейся, т.е. для переходов в рамках одной термодинамической фазы вещества. Поправленному таким образом принципу детального равновесия не противоречат результаты обсуждаемых здесь расчетов. Действительно, если считать, что все электроны являются свободными, и что переходы в связанные состояния запрещены динамическими уравнениями, то получаемое распределение электронов по энергии не противоречит имеющимся представлениям. Для него выполнен принцип детального равновесия, а функция распределения совпадает с больцмановской в области энергий, где применимо одночастичное приближение (при е > уГе). Запрет же на переходы электронов в связанные состояния, как уже отмечалось, обусловлен законом сохранения энтропии в динамической системе.
ЛИТЕРАТУРА
1. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И. Яковленко. Усп. физич. наук. 1994. Т. 164, № 3. С. 298. (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1994, 62(3),279-288)
2. S.A.Mayorov, A.N.Tkachev, S.I.Yakovlenko. Physica Scripta 1995. V. 51. P. 498-516.
3. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1998. - Т.37, № 1. - С. 47-68.
4. L.Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie. Leipzig: J.A.Barth, 1898, Bd. 2, S. II-III
5. H.Poincare. Revue de Metaphysyique et de Morale. 1893, 1, 534-537
6. Н.С.Крылов. Работы по обоснованию статистической физики. Изд. АН СССР, М.-Л. 1950. 207 с.
7. Премия А.Н.Крылова 1995 года - С.И.Яковленко, С.А.Майорову и А.Н.Ткачеву. Вестник РАН. - 1996. Т. 66, № 5. С. 457.
8. А.М.Игнатов, А.И.Коротченко, В.П.Макаров, А.А.Рухадзе, А.А.Самохин. УФН. -1995. -Т. 165, №1. -С. 113-117 (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1995, 38(11),109-112)
9. А.А.Рухадзе. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР. -1995. № 9-10. -С. 40. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 38-39)
10. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. УФН, 165, 117 (1995). (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1995, 38(11), 113-114)
11. Б.Б.Кадомцев Динамика и информация. М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1997. - 400 с. IBSN 5-85504-008-9
12. J.Mayer, V.Goeppert-Mayer. Statistical Mechanics. Second edition. J.Wiley & Sons, NY 1977
13. N.N.Bogolubov, and N.N.Bogolubov (Jr) Vvedenie v Kvantovuyu Statisticheskuyu Mek-haniku (Introduction to Quantum Statistical Mechanics) Nauka, Moskow 1984 (in Russion)
14. М.А.Леонтович Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. -41 6 с.
15. Problems in Thermodynamics and Statistical Physics. Editor P.T.Landsberg, PRION London 1971
16. D.Ter Haar Elements of Thermostatistics. New York, 1966
17. R.Hockney and J.Eastwood Computer Simulations Using Particles McGraw-Hill, NY 1981
18. M.Gryzinski Phys. Rev. -1959. -V. 115, No 2. -P. 374-383,
19. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко Изв. ВУЗов, Физика. - 1994. - Т.37, № 9. - С. 3-19. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(9), 799-813
20. D.R.Bates, A.E.Kingston and R.W.P.McWirter. Pros. Roy. Soc. A267, 297 (1967)
21. Л.И.Гудзенко, С.И.Яковленко Плазменные лазеры. М.: Атомиздат, 1978. -256 с.
22. В.И.Держиев, А.Г.Жидков, С.И.Яковленко Излучение ионов в неравновесной плотной плазме. М.: Энергоатомиздат. 1986. - 160 с.
23. А.В.Гуревич. Геомагнетизм и аэрономия. - 1964. - Т. 4. - №1. - С. 3-16.
24. А.В.Гуревич, Л.П.Питаевский. ЖЭТФ. - 1964. - Т. 46, № 4. - С. 1281-1284.
25. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР.-1990. -№ 7.-С. 10.
26. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика -1992. - Т.35, № 2. - С. 10. - 1992 (in Russian, for English translation see: Sov. Phys. J 1992, 35, 108)
27. R.Mewe. Astronomy and Astrophysics. 1972, 20, 215
28. J.J.Tomson Phil. Mag. 47, 337 (1924)
29. E.W. McDaniel. Collision Phenomena in ionized Gases. J.Wiley & Sons, NY-L-S 1964
30. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Квантовая электроника, 20, № 2 с. 111 (1993)
31. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР-1990. -№ 10, с. 18.
32. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1991 34(11) 3 (in Russian, for English translation see: Sov. Phys. J. 1991, 34, 951)
33. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1994 37(1) 8. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(1), 7-12)
34. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1994 37(1) 15. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(1),13-18)
35. С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1995. - Т.38, № 4. - С. 3. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1995 38(4), 329-335)
36. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1993. Т.36, № 1. С. 68-89 (in Russian, for English translation see: Russian Phys. J. 1993, 36, 55-73)
37. С.А.Майоров, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. -1993. -Т. 37, №11. -С. 44-56. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(11), 1048-1058)
38. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН. - 1996. -№ 9-10. -С.3.
39. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Письма ЖТФ. - 1995. -Т. 21, №22. -С.90.
40. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН 1996. -№ 1-2. 39. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1996, No 1, 30-33)
41. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1996. - Т.39, № 10. - С. 3-15.
42. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. ЖТФ. - 1997. -Т. 68, №8.
43. A.T.Forester Large Ion Beams. J.Wiley & Sons, NY-C-B-T-S, 1988
44. I.Langmuir. Phys. Rev. 28, 585 (1925)
45. A.J.Lichtenberg and M.A.Lieberman. Regular and Stochastic Motion (Springer-Verlag New-York Inc. 1983
46. Г.М.Заславский. Стохастичность динамических систем. М.: Наука. 1979. - 271 с.
47. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. ДАН 359(6) 765, 1998
48. J.W.Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics (Vol. II of his Collected Works), New-Haven, 1 948
49. H.Poincare. Reflexions sur la theorie cinetique des gas. J. Phys. Theoret. Et appl. 4e ser., 5, 369, 1906
50. H.Poincare. Termodynamique. Paris, Gauthier-Villars 1 908
51. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1992. - Т.35, № 11. - С. 76-88 (in Russian, for English translation see: Russian Phys. J. 1993, 35, 1059-1069)
52. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Письма в ЖТФ -1991. -Т. 17, № 23. -С.
33
53. R.Kubo. Thermodynamics. North-Holland Publishing Company - Amsterdam, 1968
54. J.W.Gibbs, Sci. Pap. 1899, v.1, p. 15
55. Я.И.Френкель. ЖЭТФ, 1939, т. 9, с.95
56. Я.Б.Зельдович. ЖЭТФ, 1942, т. 12, вып. 11/12, с. 525.
57. Майоров С. А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН. -1995. -№ 9-10. -С.35-39. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 33-37)
58. Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН. -1995. - № 11-12. -С. 67. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 12, 25-29)
59. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Письма в ЖТФ. -1988. -Т. 14. -С. 354.
60. Майоров С. А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН 1995. № 910. -С.28. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 27-32)
61 . Яковленко С.И. Вопросы философии. -1 992. - № 2. -С. 1 41 .
62. Аршинов В.И., Свирский Я.И. Вопросы философии 1992. - № 2. -С. 145.
63. Моисеев Н.Н. Вопросы философии. -1992. - № 11. -С. 23.
64. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1993. - № 11. -С. 152.
65. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1996. - № 2. -С. 41.
