CC BY
23УДК 533.9
Статья публикуется по приглашению
Релаксационные процессы и коллективные колебания в системе классических кулоновских частиц (часть 1/3)
С.И. Яковленко (syakov@kapella.gpi.ru ) Институт Общей Физики Российской Академии Наук
Продолжение статьи смотри http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/024.pdf http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/025.pdf
1. Введение
2. Теоретические модели рекомбинационной релаксации плазмы
2.1. Традиционные модели
2.2. Нетрадиционная модель
3. О моделировании динамики многих частиц
3.1. Уравнения
3.2. Обработка результатов
4. Исследование релаксации динамической системы
4.1. Релаксация к метастабильному состоянию
4.2. Необратимая релаксация за счет внешней стохастизации
5. Метастабильное состояние
5.1. О нарушении принципа детального баланса
5.2. Необычные свойства метастабильного состояния
6. Корреляционные функции и коллективные колебания
6.1. Парные корреляционные функции частиц
6.2. Колебания дипольного момента системы частиц
6.3. О природе коллективных колебаний
7. Заключение
АННОТАЦИЯ
Дан обзор работ по исследованию метастабильного состояния системы классических кулоновских частиц. Анализ совокупности вычислительных экспериментов показывает, что система классических кулоновских частиц на начальном этапе релаксирует за счет явления перемешивания фазовых траекторий на части энергетической поверхности. Однако дальнейшая релаксация замораживается и при эволюции по динамическим законам система не совершает фазовый переход плазма-газ. Формируется метастабильное состояние. Явление заморозки рекомбинации классических кулоновских частиц объясняется сохранением энтропии ансамбля динамических систем и тем, что перемешивание фазовых траекторий имеет место не на всей энергетической поверхности, а лишь на той ее части, которая отвечает движению несвязанных частиц. Предположено, что такого рода свойствами обладают и другие фазовые переходы. Фазовому состоянию вещества соответствует область энергетической поверхности, где система является перемешивающейся. Переход же между различными фазами за счет эволюции по динамическим законам невозможен ввиду сохранения энтропии при динамическом движении. Фазовый переход осуществляется за счет внешнего стохастического воздействия. Рассмотрены коллективные колебания системы кулоновских частиц в метастабильном состоянии. Показано, что дипольный момент системы совершает колебания с частотой несколько меньше ленгмюровской и электроны некоторых энергетических групп колеблются в противофазе.
1. Введение
Основные цели этого обзора - обратить внимание на некоторые, необычные на первый взгляд свойства, динамики системы многих кулоновских частиц, продемонстрировать на примере этой системы недостаточность чисто динамических уравнений для обоснования статистической физики и представить новый взгляд на природу фазовых состояний вещества.
Немного предыстории. Работы по моделированию фундаментальных свойств системы многих кулоновских частиц ведутся нами уже более 10 лет (см., обзоры [1-3] и цитированную там литературу). При этом были получены результаты, которые не укладывается в привычную сейчас для многих физиков-теоретиков логическую схему построения статистической физики. Анализ численного моделирования динамики многих частиц (ДМЧ) показал, что устанавливается некоторое состояние, далекое от термодинамического равновесия, и дальнейшая релаксация «замораживается». Точнее говоря, дальнейшая релаксация к термодинамически равновесному состоянию имеет место лишь в той мере, в которой утрачивается обратимость по времени (временная симметрия) численного решения динамических уравнений.
Отсутствие динамической эволюции к термодинамически равновесному состоянию, наблюдаемое при моделировании ДМЧ, затрагивает известную фундаментальную проблему согласования обратимых законов динамики с экспериментально наблюдаемыми необратимыми явлениями. В этой проблеме нет окончательной ясности, несмотря на то, что над ней работали многие выдающиеся физики этого и прошлого столетий (в частности, Максвелл, Пуанкаре, Больцман, Планк, Гиббс). Основной вопрос можно сформулировать следующим образом.
Достаточно ли только обратимых уравнений динамики для описания всех неравновесных процессов или необходимо в той или иной форме ввести не содержащееся в динамических законах (внешнее) воздействие стохастического характера?
Ответ в духе Л.Больцмана был бы положительным: достаточно уравнений динамики [4]. При этом считается, что кинетические уравнения являются результатом некоторого огрубления системы динамических уравнений и при огрублении утрачивается часть информации и вследствие этого нарушается временная симметрия.
Если же отвечать в духе А.Пуанкаре, то надо смириться с тем, что трудности согласования уравнений классической механики с необратимыми процессами, наблюдающимися в природе, «не будут преодолены никогда» и это является «окончательным приговором механицизму» [5].
Невозможность полного обоснования статистической физики в рамках классической механики была продемонстрирована в работах Н.С.Крылова [6]. Это связано с невозможностью исключить подбор таких специальных начальных состояний, из которых система не релаксирует к распределению Гиббса. Крылов показал, что для обоснования статистической физики необходимо рассматривать только перемешивающиеся системы, а также предположить, что начальное состояние соответствует однородному распределению в области фазового пространства, имеющей простую форму. Однако равномерное начальное распределение, как показал Крылов, в рамках классической механики не может быть законом Природы. Равномерное начальное распределение не только не может быть получено как регулярное следствие классических законов, его даже нельзя ввести как постулат в рамках классической механики. Возможность разрешения этого противоречия Крылов искал в анализе способов приготовления начального состояния по законам квантовой механики. Эти исследования остались незавершенными 1
Несмотря на это, большинство физиков сейчас придерживается точки зрения Больц-мана о достаточности динамических уравнений для обоснования статистической физики. Наша позиция, подытоженная в работах [1-3], противоречит этой общепринятой точке зрения. Она ближе к точке зрения Пуанкаре. Согласно нашей позиции, надо признать, что некоторые кинетические эффекты, в принципе не описываются чисто динамическими уравнениями, поэтому надо, по крайней мере, частично отказаться от механистических воззрений.
Говоря немного конкретнее, результаты нашего моделирования ДМЧ [1-3] говорят о том, что трудности традиционных попыток обоснования статистической физики носят еще более глубокий характер, чем это следует из работ Н.С.Крылова [6]. Эти трудности связаны не только с выбором начальных условий. Дело в том, что перемешивание фазовых траекторий динамической системы может происходить не на всей энергетической поверхности в фазовом пространстве, а лишь на некоторой ее части. В таком случае эволюция системы по динамическим законам приводит к образованию некоторого метастабильного состояния, которому соответствует область перемешивания в фазовом пространстве. Дальнейшая релаксация уже не может быть описана лишь динамическими уравнениями. Для ее описания необходимо ввести внешнее по отношению к этим уравнениям воздействие стохастического характера. Иначе говоря, для описания релаксации к полностью термодинамически равновесному состоянию может быть недостаточно динамических уравнений.
1 Н.С.Крылов родился в 1917 году, а умер в 1947 году не дожив до 30 лет и не успев осуществить своих творческих планов по обоснованию статистической физики. Но даже его незавершенные работы очень современны и представляют огромный интерес. Эти работы получили известность благодаря небольшому сборнику [6] изданному по инициативе и под редакцией В.А.Фока.
Точка зрения о недостаточности динамических уравнений для обоснования статистической физики получила некоторую поддержку математиков. Работы, подытоженные в обзорах [1,2] удостоены премии им. А.Н.Крылова [7]. Однако большинство физиков-теоретиков, по-видимому, с нашими выводами не согласно. В то же время, весомых возражений против гипотезы о внешнем (по отношению к динамическим уравнениям) стохастическом воздействии им найти не удается. Поэтому большинство специалистов предпочитает отмалчиваться по поводу результатов [1,2], противоречащих их мировоззрению и вести борьбу на уровне анонимных рецензий. Лишь А.А.Рухадзе и др. сделана наивная попытка [8,9] дать другую интерпретацию нашим вычислительным экспериментам. Разбор ошибок [8,9] см. в [10,3] и в цитированной там литературе.
Нам известна только одна публикация, где гипотеза внешней стохастизации получила прямую поддержку. В многогранной и глубокой книге Б.Б.Кадомцева [11] говорится, что «необратимость газа классических частиц и возможность его статистического описания определяется очень малым взаимодействием системы с необратимым внешним окружением». Там же дана ссылка на обзор [1], как на пример демонстрации того, что «без внешних шумов термодинамическое равновесие может не достигаться».
Содержание обзора. Проведенные за последние годы исследования подтвердили основное утверждение о наличии метастабильного состояния системы классических куло-новских частиц и позволили продвинуться дальше в понимании результатов моделирования. Удалось также сделать некоторые обобщения. В этой работе дан краткий обзор нынешнего положения дел.
В разделе 2 основное внимание уделено анализу принципиальных противоречий между поведением динамической системы многих кулоновских частиц и кинетическими моделями, основанными на принципе детального равновесия в традиционной формулировке. Для этого прослежена логика построения кинетических моделей основанных на принципе детального равновесия в его традиционной формулировке (п. 2.1.). Далее кратко сформулированы принципиальные противоречия (п. 2.2.) между этими моделями и результатами моделирования ДМЧ, подытоженными в работах [1,2]. Отмечено, в частности, что описать результаты моделирования удается только ценой отказа от принципа детального равновесия в традиционной формулировке.
В разделе 3 кратко изложена постановка задачи при численном моделировании
ДМЧ.
Раздел 4 посвящен рассмотрению релаксации системы кулоновских частиц. Продемонстрировано (п. 4.1.), что из начального состояния с очень малой кинетической энергией частиц плазма релаксирует к метастабильному состоянию за время соответствующее поло-
вине обратной ленгмюровской частоты. Это время совпадает со временем экспоненциального разбегания изначально близких фазовых траекторий системы, характеризуемым показателем Ляпунова. Это позволило объяснить известный «парадокс Ленгмюра». Последний состоит в том, что максвеллизация электронов происходит быстрее, чем это следует из характерных столкновительных времен кинетической теории. Парадокс Ленгмюра получает свое объяснение как свойство динамического перемешивания фазовых траекторий системы многих кулоновских частиц.
Согласно традиционным кинетическим представлениям должна иметь место дальнейшая релаксация, определяемая столкновениями. Она должна сопровождаться интенсивным разогревом свободных электронов. Однако рекомбинационная релаксация замораживается, в частности, не происходит существенного разогрева электронов. В п. 4.2. показано, что рекомбинация имеет место лишь в той мере, в которой численное решение утрачивает временную симметрию. Временная симметрия может утрачиваться как в результате накопления погрешностей численного счета, так и за счет специально организованного внешнего стохастического воздействия на систему.
В разделе 5 основное внимание уделено тому, что сам факт существования метаста-бильного состояния, обнаруженного путем моделирования ДМЧ, противоречит традиционным представлениям физической кинетики. Новые результаты моделирования ДМЧ как и прежние расчеты показывают, что в чисто динамической системе многих кулоновских частиц основа кинетического подхода - принцип детального равновесия (баланса) в его традиционной формулировке - нарушается. Нарушение этого принципа состоит в том, что детальное равновесие, как показали расчеты, имеет место в состоянии далеком от термодинамического равновесия (п. 5.1.). Согласно традиционным представлениям в отсутствие термодинамического равновесия детальный баланс переходов не должен иметь место - именно этот факт обуславливает релаксацию системы к термодинамическому равновесию.
Возникающие противоречия удается разрешить следующим образом (п. 5.2.). Надо признать, что уравнения динамики запрещают фазовый переход плазма-газ. Этот запрет обусловлен следующим обстоятельством. При рекомбинации в изолированном объеме энергия сохраняется, но энтропия изменяется. В то же время известно, что, при эволюции системы частиц по динамическим законам (как классическим, так и квантовым) энтропия остается постоянной (см., например, [12,13]). Запрет на фазовый переход при эволюции по динамическим законам обычно трактуют как парадокс. Однако на самом деле это реальное свойство динамических систем. Оно приводит к тому, что система кулоновских частиц оказывается перемешивающейся не на всей энергетической поверхности в фазовом пространстве, а лишь на той ее части, которая отвечает движению несвязанных электронов. Соответ-
ственно, принцип детального равновесия при рассмотрении динамической системы нельзя применять ко всей энергетической поверхности. Надо ограничить применимость принципа детального равновесия только теми областями на энергетической поверхности, в которых рассматриваемая система является перемешивающейся. Такому «урезанному» принципу результаты моделирования ДМЧ не противоречат.
В соответствии с этими представлениями введено понятие динамической и кинетической релаксации. Динамическая релаксация соответствует эволюции системы частиц по динамическим законам в той части энергетической поверхности, где эта система является перемешивающейся. Кинетическая релаксация требует внешнего стохастического воздействия, переводящего ее из одной области перемешивающихся состояний в другую область.
В связи с этим высказана общая гипотеза о природе фазовых состояний вещества. Согласно этой гипотезе фаза состояния вещества определяется той областью энергетической поверхности в фазовом пространстве, где система является перемешивающейся. Переход между разными фазами (т.е. участками энергетической поверхности, соответствующими разным значениям энтропии) не может осуществляться при эволюции системы по динамическим законам.
В разделе 6 рассмотрены результаты расчетов по исследованию свойств метаста-бильного состояния. Показано (п. 6.1.), что парные корреляционные функции, полученные в дебаевском приближении, хорошо описывают результаты численных расчетов даже за рамками применимости дебаевской теории (для неидеальной плазмы и при расстояниях меньших как дебаевского радиуса, так и среднего межчастичного расстояния). Рассмотрены коллективные колебания системы кулоновских частиц в метастабильном состоянии (п. 6.2.). Показано, что дипольный момент системы совершает колебания с частотой несколько меньше ленгмюровской, и электроны некоторых энергетических групп колеблются в про-тивофазе.
В Заключении 7 подведены основные итоги.
Вопросы, достаточно подробно изложенные в обзорах [1,2], здесь подробно не излагаются.
2. Теоретические модели рекомбинационной релаксации плазмы
2.1. Традиционные модели
Принцип детального равновесия. Проследим кратко за логикой традиционных моделей исходя из самых общих кинетических принципов. Это необходимо для ясного понимания того, что результаты расчетов динамики многих частиц (ДМЧ) противоречат не какому-то частному упрощению, а основам кинетической теории.
Один из наиболее общих подходов, к анализу кинетики релаксации электронов по энергетической оси, основан на рассмотрении Марковской цепи, характеризуемой вероятностями перехода электрона w(t0^0; t,e) из состояния с энергией е0, реализуемого в момент времени t0, в состояние с энергией е, реализуемое в момент времени t. Вероятности переходов удовлетворяют условию нормировки: J w(t0, е 0; t, е)е = 1. Изменение распределения электронов по полной энергии f(t,e) при этом определяется очевидным уравнением
f(t, е) = J f (t', e')w(t', е'; t, е)е', (1)
которое, впрочем, можно получить [14] из уравнения Смолуховского. При рассмотрении дискретного спектра интегрирование заменяется суммированием.
Для стационарной функции распределения, определяемой как предел f0(е)= Hmw(to,е0;t е),
если он существует, справедливо уравнение
f0 (е) = J f0 (e')w(t', е'; t, е))е'.
Вычитая из его левой и правой части^о(е) и используя условие нормировки, приходим к равенству:
J [f, (е>(', е'; t, е) - f (е)w(t, е; f, е')] = 0.
Это равенство отражает очевидный факт: при стационарном распределении число переходов из данного энергетического состояния во все остальные равно числу переходов из всех остальных состояний в данное состояния.
Более сильным предположением о состоянии системы, чем стационарность, является предположение о детальном равновесии. Когда реализуется детальное равновесие, среднее по времени число переходов на достаточно большом временном интервале T между двумя произвольными состояниями е,е' равно числу обратных переходов:
1 T 1 T
W(t, е', е) = lim - J f (е>(, е'; t + т, е) = W(t, е, е') lim - J f (е')w(t + т, е'; t, e')df. (2)
T J. 0 T 0
Величину W^lfi ',е), мы будем далее называть матрицей переходов. В случае детального баланса она симметрична. Если случайный процесс однороден по времени, то вероятности переходов зависят только от разности моментов времени т для всех моментов времени t. Обычно усреднение по времени заменяют усреднением по ансамблю. В расчетах, представленных в п. 5.1, будет использовано усреднение по времени.
Принцип детального равновесия состоит в том, что в состоянии термодинамического равновесия системы (и только в нем) имеет место детальное равновесие, т.е. компенса-
ция в среднем числа переходов из £ в е' таким же числом обратных переходов в е' из £ для любых £,£'.
Можно показать, что равновероятность всех состояний (т.е. микроканоничность) системы частиц ведет к детальному балансу, если между всеми энергетически доступными состояниями возможны переходы (см., например, [15]). Если же термодинамического равновесия нет, а также нет постоянных внешних воздействий, нарушающих термодинамическое равновесие, то компенсация прямых и обратных переходов не имеет места. Эта некомпенсация обуславливает релаксационные процессы приводящие, в конечном счете, к установлению термодинамического равновесия.
Принцип детального равновесия является одним из основных положений статистической механики и физической кинетики. Однако не показано, что он в общем случае следует из динамических уравнений для многих частиц, как не доказано и предположение о релаксации изолированной динамической системы к микроканоническому распределению, а также эквивалентная этому предположению эргодическая гипотеза (см., например, [16]).
Общее свойство процесса рекомбинации. Итак, в рамках наиболее общего кинетического подхода процесс рекомбинационной релаксации электрона по энергетической оси описывается марковской цепью (уравнением Смолуховского). Еще до конкретного рассмотрения свойств процесса рекомбинации отметим важный факт.
Часто оказывается, что релаксация электронов по энергетической оси носит так называемый квазистационарный характер. Это означает, что быстро устанавливается квазистационарное распределение электронов по энергетической оси. Оно соответствует имеющимся значениям плотности и температуры свободных электронов Ne , Te, которые меняются медленно. При сформировавшемся квазистационарном распределении электроны постепенно перетекают из континуума (области, где £ > 0) в сильно связанные состояния (где е < 0, | e/Te | ^ то). При этом, хотя функция распределения электронов квазистационарна, детальный баланс не имеет места, поскольку система частиц не находится в термодинамическом равновесии.
Это иллюстрирует рис. 1. В состоянии термодинамического равновесия переходы из некоторой энергетической точки е1 в точку е2, лежащую левее по энергетической оси, компенсируются обратными переходами е1 ^ е2. При квазистационарной рекомбинационной релаксации для состояний с достаточно большой энергией связи е < 0, | e/Te | > 1 (подробнее см. ниже) переходы е1 ^ е2, компенсируются не обратными переходами е1 ^ е2, а переходами дальше е2 ^ е3 (е2 > е3) в область отрицательных энергий.
Детальное равновесие
£2
£1
таг
<-
|е|~Т
Рекомбинационная релаксация
£з £2
£1
Рис. 1. Иллюстрация характера переходов при детальном балансе я) и при рекомби-национной релаксации Ь) по энергетической оси.
При детальном балансе переходы £1 ^ £2 компенсируются обратными переходами £1 ^ £2. При квазистационарной рекомбинационной релаксации переходы £1 ^ £2, компенсируются не обратными переходами £1 ^ £2, а переходами £2 ^ £3, дальше в область отрицательных энергий.
Отсутствие детального баланса в неравновесной системе (в частности, при рекомби-национной релаксации) является, как уже отмечалось, основой основ статистической физики. Забегая вперед, отметим, что численные расчеты динамики многих частиц противоречат именно этому основному положению. Согласно моделированию ДМЧ [1-3] детальный баланс переходов может иметь место в системе далекой от полного термодинамического равновесия (см. п. 5.1). Это совершенно не укладывается в традиционные представления.
Равновесное распределение. Равновесное распределение электронов в идеальной плазме, как известно, имеет больцмановский вид:
/в(е)= Сф) ^(-у) (3)
Здесь у = е/Т - полная энергия частицы; g(y) - плотность энергетических состояний; С -нормировочная константа. В численных расчетах частицы обычно считаются однородно заряженными, проницаемыми сферами малого радиуса г0/2 [17]. Поэтому для плотности энергетических состояний ниже использовано следующее выражение:
Е (у > 1.5у) = 2(у/гс)1/2, (4а)
Е ( у < 0, | у| > 1.5у) = 8П1 /2 Ыег1(в2 / Г^)1 /2) х2(х)/х )-| у| \ТЛ / е2) - аХ. (4б)
0
Здесь у = (2 Ые) е2 / Те - параметр неидеальности плазмы; Ые , Те - плотность и температура электронов; G1(x > 1) = 1, G1(x < 1) = 2.4х - 4х3 + 3х4 - 0.4х6 - множитель, описывающий
ях; х0 -корень уравнения ^ (х1)/ х1 = |у| - (Тег0 / е2). Для чисто кулоновского поля ^(у<-1.5у)
отклонение потенциала взаимодействия от кулоновского потенциала на малых расстояни
х
п3/2-у3/4|у|5/2 . Графики функций, аппроксимирующих силу и потенциал взаимодействия двух однородно заряженных сфер приведены ниже в п. 3.1.
В промежуточной области у|< 1.5у, где существенны многочастичные взаимодействия, больцмановское распределение несправедливо. При сравнении больцмановского распределения с результатами численных расчетов в разделах. 4 и 5 мы будем использовать линейную интерполяцию между значениями функции (4) в крайних точках у|= 1.5у. К обсуждению функции распределения в этой области мы вернемся в п. 2.2.
Для краткости, мы будем далее условно называть электроны с энергией у <-1.5у связанными электронами, электроны с энергией у >1.5у свободными электронами, а электроны с энергией |у|< 1.5у - электронами квазиконтинуума. При этом модуль энергии связанного электрона |е| будем называть энергией связи.
Следует, впрочем, сразу оговориться, что такое выделение связанных электронов весьма условно. В разделе 5 будут приведены соображения в пользу того, что в некоторых случаях электроны даже с большой отрицательной энергией не являются связанными.
Кинетическая матрица. Производя в уравнении (1) переобозначения г' ^ г + т, г ^ V, где т - малая величина, разлагая_Д+т,е) по т и используя условие нормировки, приходим к уравнению кинетического баланса:
^ = Д/(Г,е')к(е';в)-/(г,е)к(е;е')]е', (5)
где скорости переходов задаются кинетической матрицей:
К(е', е) = Нш|1 w(t, е; г + т, е')) = Нш|- w(t + т, е'; г, е)). т^01т ) 1т )
Здесь предполагается, что случайный процесс однороден по времени.
Принцип детального равновесия позволяет определить связь элементов кинетической матрицы:
/в (е')к(е', е)=/в (е)к(е, е'). (6)
В рамках приближения парных столкновений кинетическая матрица выражается через соответствующие сечения: К(е,е') = ЫеУ(е,е'), где У(е,е') = <о(е,е') v> - скорость столк-новительных переходов (о - сечение соответствующего перехода, V - относительная скорость сталкивающихся электронов, <...> - соответствует усреднению по функции распределения электронов).
Для парных столкновений принцип детального равновесия всегда выполняется. Более того, если взаимодействия частиц можно представить в виде совокупности разделенных во времени, завершенных элементарных актов (не обязательно бинарных), то принцип детального равновесия будет справедлив. Это следует из временной симметрии динамических уравнений (как классических, так и квантовых) описывающих элементарный акт. Однако в общем случае, когда взаимодействие частиц рассматриваемой системы нельзя представить в виде последовательности элементарных актов, принцип детального равновесия, как уже отмечалось, не выведен из законов динамики многих частиц.
Выражения для К(е,е') при столкновениях свободных электронов можно представить в виде [18,19]:
У 2 У
К (е + Ае, е))е • ёАе / Те =
пте
2те
Т V е у
Те
Ае
^ (е / Те, Ае / Те )• ёАе / Те
где
F Т, у ) =
у[%Гх exp(-у) - (у + 2)erf (4х) - 4exp(-y - x), у > 0 4пТх exp(-y) - (2 - y)erf (^х + у ) - 4^/(х + у) / х exp(-у - х), - х < у < 0
Отметим, что зависимость К-матрицы от передаваемой энергии Де имеет в нуле полюс третьего порядка.
Квазистационарное приближение. В рамках наиболее полного подхода, при описании рекомбинационной релаксации рассматривают дискретные уровни атомов. Высоковозбужденные состояния, представляющие здесь для нас наибольший интерес, можно счи-
2 4 2
тать водородоподобными состояниями с энергиями еп = -Яу/п , где Яу = тее 72 Г = 13,605 эВ, п - главное квантовое число. Для заселенностей Ып ^ _Деп) возбужденных уровней (п >1) используют так называемое квазистационарное приближение, т. е. для этих состояний в кинетическом уравнении (5) полагают производную по времени равной нулю.
В кинетической матрице Кп,п', как правило, учитывают столкновения со свободными электронами и спонтанные радиационные переходы, а при низкой степени ионизации -столкновения с тяжелыми частицами (см., например, [20-22]). Здесь будут учитываться только столкновения с электронами. Кроме того, плазма будет полагаться существенно переохлажденной, т.е. будут рассматриваться ситуации, когда степень ионизации плазмы много выше равновесной для данной температуры. Это позволяет пренебречь ионизацией из основного состояния.
Последнее из учитываемых состояний И1 (обычно И1~ 3(Яу/Те)1/2) считают заселенным по Больцману. В результате численного решения системы линейных уравнений находят коэффициенты заселения вп= Ып/Ые, пропорциональные заселенностям возбужденных состояний, ирекомбинационный поток Г (т.е. вероятность иону прорекомбинировать с электроном в единицу времени). Эти величины табулируют для различных значений плотности и температуры электронов, а также других, медленно релаксирующих («грубых») параметров плазмы. В случае, когда в кинетической матрице учитываются только столкновения с электронами Кп,п' = ЫеУпп', коэффициенты заселения вп являются функциями только температуры электронов Те.
Время установления квазистационарного значения заселенности уровня п определя-
ч-1
ется величиной тп
X Кп,п'
. Для применимости квазистационарного распределения
п' У
необходимо, чтобы для всех рассматриваемых состояний оно было много меньше времени рекомбинации тп << Г-1.
Одноквантовое приближение. Ввиду того, что при столкновениях со свободными электронами наиболее вероятны переходы между соседними уровнями п^ п±1, в рамках
так называемого одноквантового приближения учитывают только их. При этом кинетическая матрица становится трехдиагональной и система линейных уравнений допускает простое решение в виде конечной суммы. В результате, для коэффициентов заселения и для рекомбинационного потока справедливы выражения:
Г , ч , л\\ , , N в „ = — Hn)n 2exp(|yJ), Г ■
/ 2 \ 3/2
'2яй2Л
Ne )
KmeTey
(7)
Здесь х(и) = £ exp(ym) ; = - Ry/(n2Te) - энергия уровня n, отнесенная к температуре элек-
m=2V , m2
тронов.
Диффузионное приближение. Для больших n, т.е. малых энергий связи, дискретный спектр можно заменить непрерывным. Опираясь на то, что кинетическая матрица имеет полюс третьего порядка по энергии перехода (K(e,e') ^ 1/|е-е ), из интегрального кинетического уравнения (5) можно получить уравнение Фоккера-Планка [19]:
Э/ / дt = -дГ / де, Г = л(е)/ (е) - Э()/ (е)) / де = ВД/ (е) - В(е)Э/ (е) / де, (8)
где
Л(е) = J ёе'^е', е)(е'-е), Л = Л-ЭВ / де, В(е) = (1 /2) J ¿еХ(е', е)(е'-е)2 (9)
- коэффициенты дрейфа и диффузии по энергетической оси. Вывод уравнения Фоккера-Планка непосредственно из уравнения Смолуховского см., например, в [14]; связь коэффициентов дрейфа и диффузии с кинетической матрицей, характеризующей столкновения свободных электронов, подробно прослежена в [19].
Принцип детального баланса для диффузионного приближения можно получить из (6), подробнее см. [19]. Он связывает коэффициенты диффузии и подвижности соотношением:
Л(е )/в (е) = В(е )Э/В (е) / Эе. (10)
В квазистационарном приближении (дf/дt=0, r=const) уравнение Фоккера-Планка допускает общее решение. Учитывая соотношение детального баланса (10), сшивая рекомби-национное распределение с больцмановским вблизи нуля/(е—>0)=/В(е—>0) и используя условие отсутствия ионизации из бесконечно глубоких состояний _Де—-то)/В(е—-то) = 0 (следствие сильного переохлаждения плазмы), можно получить [23,24]:
е ^ '
fec(е) = Г-/в(е)S(е), Г = 1 /S(0), Б(е) = JB(е)/в(е). (11)
Эти выражения, в конечном счете, дают [19,25] (см., также [2]):
/ М = П_!. V 3 1 + У + 0,476у2 + 0,0657у3 .. = 4 2ьа П/2 еш Л Не (12.
Л^Ш 4 У у5/2 , 14 5,004 9 Те9/2' 1 ;
где
Л(у) = (1 / 2)1п(1 + 9/(4пу3)) (13)
- так называемый кулоновский логарифм. Моделирование динамики многих частиц показало [26], что это выражение справедливо вплоть до значения у ~ 0.46, когда Л ~ 1.2.
В работе [19] на основе решения нестационарного уравнения Фоккера-Планка показано, что характерное время установления квазистационарного рекомбинационного распределения совпадает с временем электрон-электронных столкновений:
т е = ((Т*2)/(4л/2Пе4 ЛНе), (14)
которое в идеальной плазме много меньше времени рекомбинации: теГ ~ у3.
Сравнение различных моделей. Когда можно пренебречь радиационными и другими переходами, одноквантовое приближение практически точно совпадает с результатами численных расчетов с полной кинетической матрицей (см. рис.2, для того, чтобы обе кривые на рис. 2 были видны, одна из них помножена на величину 1,1). Отличие диффузионного приближения от других кривых проявляется при уп - уп-1 > 1. Дело в том, что структура общих выражений для функции распределения и рекомбинационного потока в диффузионном (11) и одноквантовом (7) приближении одинакова. Фактически они отличаются заменой суммы на интеграл. Это прямо иллюстрирует кривая 4, которая соответствует выражению (7), в котором сумма Е(п) заменена интегралом
ф(уи )т
Б (п) = |
\ ¥т-1,тт2
Факт совпадения кривых 3 и 4 примечателен тем, что в этих моделях использованы разные выражения для сечений столкновительных переходов. При вычислении заселенно-стей дискретных состояний использована матрица переходов, опирающаяся на приближение Бете-Борна [27] (см. также [22]), в то время как при получении кривой 3 для коэффициента диффузии использовано классическое рассмотрение столкновения свободных электронов (т. е. формулы, приведенные выше).
Заселенности глубоко лежащих уровней существенно отличаются от непрерывной функции распределения для классических состояний. Однако заселенности высоковозбужденных состояний, а также даваемые различными кинетическими моделями рекомбинаци-онные потоки, при низких температурах электронов Те << Яу довольно близки. Дело в том, что рекомбинационный поток определяется высоковозбужденными состояниями с энергией связи порядка температуры уп ~ 1 ("горлышком стока"), для которых при низких темпера-
турах энергия перехода много меньше температуры: уп - уп-1 ~ уп/п << 1. В то же время заселенность нижних уровней в переохлажденной плазме не влияет на заселенность уровней в "горлышке стока", поскольку при уп>1 переходами «вверх» п^п+1, как уже отмечалось, можно пренебречь (подробнее см. [21,22]).
Де)
0.1
0.01
-15 -10 -5 0
г/Те
Рис. 2. Функции распределения частиц по полной энергии для различных кинетических моделей.
Штрих-пунктирная кривая 1,1хвп№егП'Те/2Яу - расчет с полной кинетической матрицей [22], данные для вп взяты при Ые = 1017 см-3, Те = 0,2 эВ (у = 0,421 ); пунктирная кривая - Рп^еп3Те/2Яу - одноквантовое приближение ; штриховая кривая - диффузионное приближение (12); сплошная кривая - одноквантовое приближение (7), в котором сумма Е(п) заменена интегралом Б1(п).
1
Как известно, при достаточно большом главном квантовом числе п >> 1, движение
электрона можно считать квазиклассическим. При Те << Яу квазиклассическое рассмотре-
1 /2
ние движения электронов для горлышка стока, где п ~ (Яу/Те) оправдано. В связи с этим отметим, что в публикациях [8,9], полемизирующих с результатами [1], содержится неверное утверждение, что классическое рассмотрение процесса рекомбинации вообще некорректно. Ниже мы практически везде будем иметь дело с переохлажденной низкотемпературной плотной плазмой и рассматривать функцию распределения электронов в той области энергий, где применимо классическое рассмотрение.
Наиболее просто скорость тройной рекомбинации можно оценить на основе известной модели Томсона [29,30]. Согласно Томсону число актов рекомбинации Г в единицу времени в единице объема определяется произведением вероятности столкновения зарядов
2 2 2 1/2 2 2 3
в единице объема ~ ЪУ^е ~ Л(е /Те) (2Те/те) Ые на вероятность ~ (е /Т) Ые того, что столкновение имело место на достаточно близком расстоянии (е2/Те) от третьего заряда, чтобы образовалось достаточно глубокое связанное состояние (|е| ~ Те,), находящееся ниже горлышка стока. Соответственно:
Г ~ Л(е2/Те)5(2Те/те)1/2#е3.
Эта величина отличается от той, которую дает диффузионная теория (12) всего лишь на по-
3/2
стоянный множитель (4/5)(4п /9) - 2.
Релаксация температуры электронов. Когда частицы оказываются в связанном
состоянии, в поступательные степени свободы выделяется энергия, равная энергии разрыва
*
их связи £ . Исходя из этого, решая совместно уравнение энергетического баланса и баланса числа частиц, можно получить следующие выражения для плотности и температуры свободных электронов в энергоизолированной плазме (подробнее см. [30, 2]):
0 = 1/п + 6(1/П -1);
Х(Л) = ] [1 + ¿(1 - у)]9/2у -15/2dy . п
Здесь п = Ые(т)/Ы0, 0 = Те(т)/Т0 - безразмерные значения плотности и температуры; Ы0 = N(0) Т0 = Т(0) - плотность и температура в начальный момент времени I = 0; т = ¿Т0 - безразмерное время; Г0 - рекомбинационный поток при начальных значениях плотности и температу-
*
ры электронов N0, Т0; ¿=2£ /3Т0- параметр, характеризующий энергию разрыва связи в единицах Т0.
При определении релаксации не учитывался обмен энергией между электронами и ионами. Скорость такого обмена пропорциональна отношению массы электрона к массе иона. Ниже рассматриваются небольшие времена, когда обменом энергии между электронами и ионами можно пренебречь. Если же положительные и отрицательные частицы имеют одинаковую массу (такие модели тоже рассматривались), приведенные выше формулы для п и 0 остаются справедливыми.
Обычно полагают, что электроны под воздействием столкновений релаксируют до
*
основного состояния. Тогда £ ~ У ~ Яу, где У - энергия ионизации атома из основного состояния. При этом на каждый акт рекомбинации выделяется энергия много большая температуры электронов У >> Те. Соответственно, характерное время релаксации температуры электронов оказывается много меньшим времени изменения плотности свободных электронов.
2.2 Нетрадиционная модель
Метастабильное состояние. Анализ результатов численного моделирования динамики многих кулоновских частиц показал [1,2], что, если на систему не оказывается внешнего стохастического воздействия, то релаксация идет не в соответствии с изложенными выше традиционными представлениями физической кинетики. Быстрее, чем за время электрон-электронного столкновения те, устанавливается максвелловское распределение электронов с температурой Те несколько большей, чем исходная температура Т0, опреде-
ляемая начальными условиями (см. ниже п. 4.1). При этом устанавливается необычное распределение по полной энергии. Оно совпадает с максвелл-больцмановским распределением для свободных электронов (£ > 1.5уТе ), но радикально отличается как от больцмановского (3), так и от рекомбинационного (11) распределений в области отрицательных энергий. Наиболее удивительно то, что для связанных электронов имеет место экспоненциальный спад функции распределения и скорость этого спада характеризуется параметром идеальности плазмы у. Дальнейшая релаксация замораживается.
Эти результаты были получены нами еще в конце 80-х годов. Перед их публикацией мы долго пытались найти объяснение, не требующее пересмотра основных положений статистической физики. В частности, мы пытались найти либо какую-нибудь ошибку в моделировании, либо интерпретацию на основе обычных кинетических моделей. Однако детальный анализ показал, что без нарушения принципа детального баланса в его традиционной формулировке результаты моделирования ДМЧ интерпретировать не удается. Рассмотрим наиболее естественные попытки дать простую интерпретацию результатам моделирования ДМЧ.
Радикальное отличие результатов моделирования ДМЧ от предсказаний кинетических моделей можно попытаться связать с несовершенством вычисления вероятностей переходов в используемых в настоящее время кинетических моделях. Казалось бы, можно предположить, что эффективность обмена энергией между свободными и связанными электронами по той или иной причине намного меньше, чем принято в имеющейся теории (рассматривающей при столкновении связанный электрон как свободный). Этим можно попытаться объяснить то, что процесс рекомбинации при моделировании ДМЧ идет медленнее, чем это следует ожидать из имеющихся кинетических моделей.
Однако, во-первых, такое предположение ни на чем не основано. Логика изложенных выше кинетических моделей вполне прозрачна и не видно, где бы могли быть ошибки. Основной вклад в скорость рекомбинации при низких температурах дают именно высоковозбужденные электроны. Их с хорошей точностью можно считать свободными при рассмотрении столкновений с электронами плазмы. Это показывает и сопоставление диффузионной теории с более точными моделями, использующими более другие выражения для сечений столкновения. Поэтому нет достаточных оснований для пересмотра в этом пункте сложившей теории рекомбинации.
Во-вторых, (и это главное) на основе предположения о замедлении энергообмена между свободными и связанными электронами не удается объяснить вид функции распределения, получаемой при моделировании ДМЧ. Если бы по мере перехода к более сильно связанным электронам имело место резкое уменьшение эффективности столкновений, то
согласно традиционной теории должно было бы наблюдаться увеличение, а не резкое экспоненциальное падение функции распределения. Действительно, при энергии связи, превышающей температуру электронов, если исходить из традиционной теории, переходы из более высоких состояний по энергетической оси компенсируются переходами в еще более низкие состояния (см. рис.1). Если вероятность перехода с ростом энергии связи падает, то функция распределения должна расти (см. также (7),(11)).
Можно было бы предположить, что расчеты проводились недостаточно долго. Однако они проводились на временах значительно превышающих время те установления функции распределения, вытекающее из кинетических представлений (14). Тем не менее, рекомбинационное распределение не установилось (это особенно подробно рассмотрено в [19], см. также [1,2]). Не было заметно и резкого роста температуры электронов, который должен был бы иметь место при рекомбинационной релаксации. Наконец, не только из теоретических оценок, но и из самого моделирования ДМЧ следует, что квазистационарное распределение (хотя и не совпадающее с рекомбинационным) на самом деле уже установилось: в каждую энергетическую точку совершается много переходов, но почти столько же переходов имеет место и из этой точки. Однако установившееся распределение не соответствует ни равновесному, ни рекомбинационному распределению.
Иначе говоря, дело не в том, что элементы кинетической матрицы, или коэффициент диффузии по энергетической оси малы по сравнению со значениями, даваемыми кинетической теорией. Дело в том, что переходы «вниз» по энергии вопреки кинетической теории компенсируются не дальнейшими переходами «вниз», а переходами «вверх». Имеет место метастабильное состояние (см. подробнее разделы 4 и 5) с распределением по полной энергии, радикально отличающимся от больцмановского.
Микрополевое распределение. Теоретические представления удалось согласовать с результатами численных расчетов только ценой отказа от принципа детального баланса в традиционной форме (6) или (10).
В работе [31] (см. также [1,2]) было предположено, что отношение коэффициента подвижности к коэффициенту диффузии имеет вид:
в
-1 +1 / 2у, у > ау С (У) + С2(у)у, у <|ау|. (15)
в / у, у < -ау
Здесь а = 1,5 и в =0,4 - подгоночные параметры, определяющие соответственно ширину области неидеальности (ср. (4)) и абсолютную величину коэффициента диффузии в отрицательной области энергий. Выражения для констант Сп(у), обеспечивающих условия сшивки, см. в [31,2, 32] и в Приложении 1.
Наиболее подробная аргументация выбора отношения кинетических коэффициентов в форме (15) содержится в [1,2,32]. Качественный характер зависимости выражения (15) от энергии может быть получен из уравнения диффузии (8) при Г = 0. Предположение об отсутствии рекомбинационного потока сделано исходя из того, что энтропия в динамической системе должна сохраняться (подробнее см. ниже конец п. 5.2).
Оценка коэффициентов диффузии и подвижности по энергетической оси, следует из предположения, что в релаксации связанных электронов существенную роль играют мик-
- ( 2 \ 1/2 2 1/3
роскачки величиной Д£ ~ (Д£ ) ~ е Ne , обусловленные флуктуациями микрополей. Разумеется, выражение (15) противоречит соотношению детального баланса (10).
Из стационарного уравнения Фоккера-Планка при Г = 0 и при использовании (15), следует выражение, которое мы обычно называем микрополевым распределением:
У exp(- у), у > ау,
'(У ) =
Cзexp(C1y + С2у2/2), |у| <ау, (16)
С4 exp(Py / у), у < -ау.
Микрополевое распределение хорошо описывает все результаты численного моделирования, полученные в расчетах, где не потеряна временная симметрия динамических уравнений (см. разделы 4 и 5). Полученные на основе этого распределения термодинамические функции [33,34,1,2] переходят в выражения дебаевской теории в пределе идеальной плазмы.
Выбор кинетических коэффициентов в форме (15) предполагает, что имеется аномально мощный и аномально направленный дрейф связанных электронов по энергетической оси. Вывод о наличии такого дрейфа был сделан на основе анализа функций распределения, получаемых при численном моделировании. В разделе 5 наличие аномального дрейфа демонстрируется непосредственно.
Отметим также, что предположение о микроскачках величиной Д£ ~ (Д£2 )12 ~ е2 ^/3
приводит к более жестким по сравнению с известными требованиям к квазиклассичности спектра связанных состояний [1,2]. В связи с этим для экспериментального наблюдения метастабильного состояния, по-видимому, необходимо чтобы и отрицательно заряженные частицы были достаточно тяжелыми, т.е. вместо электронов были отрицательные ионы.
Кроме того, для экспериментального наблюдения метастабильного состояния плазмы необходимы условия, при которых мала внешняя стохастизация системы кулоновских частиц. В частности, столкновения с нейтралами должны происходить редко. Это приводит к требованию высокой степени ионизации метастабильного состояния. Различные модели
метастабильной плазмы рассмотрены в [33-35], однако пока не ясно, как экспериментально реализовать такие условия.
Как уже отмечалось, в этом обзоре мы сосредоточим основное внимание на соотношении фундаментальных положений динамики и статистики системы классических куло-новских частиц.
Сшивкарекомбинационного распределения с областью неидеальности. Как известно, в теории плазмы имеется известная трудность, выражающаяся в расходимости стат-веса высоковозбужденных связанных состояний, вычисляемого в приближении парных взаимодействий (4). Однако в теории тройной рекомбинации эта трудность не так заметна. Рекомбинационное распределение, как уже отмечалось, просто «пришивается» к больцма-новскому распределению в области энергий близких к нулю, т. е. там, где больцмановское распределение расходится. Рекомбинационный поток оказывается, однако, конечным. Это позволяет игнорировать расходимость выражения, фигурирующего под знаком интеграла (11) от больцмановского распределения.
Согласно логике работ [1,2] и соображениям, изложенным в разделах 4, 5, релаксация в спектре свободных электронов и электронов квазиконтинуума происходит быстро, за счет перемешивания фазовых траекторий системы кулоновских частиц при эволюции по динамическим законам. Рекомбинация же обусловлена внешним стохастическим воздействием. Внешняя стохастизация может быть существенной для связанных электронов и пренебрежимо малой для сильно взаимодействующих друг с другом электронов квазиконтинуума. Поэтому естественно рассмотреть ситуацию, когда рекомбинационная функция распределения «пришита» к микрополевому распределению [3] (такого рода сшивка с дискретным спектром рассматривалась в [36,2]).
Сохраним прежние соотношения (15) везде, кроме области сильно связанных электронов y < -(5/2)у/(у+Р). Будем считать, что в этой области связь кинетических коэффициентов определяется соотношением детального равновесия (10). Зависимость кинетических коэффициентов от энергии и вид функций распределения характеризует рис. 3.
Интегрирование уравнения Фоккера-Планка дает следующие выражение для функции распределения Frec(y,у) и для рекомбинационного потока:
Frec(y,у) = Г(у)-Ф(у,y)J[(x,уЩх,у)]-1 dx, Г(у)=|}[ф(х,у)в(х,у)]-1 dx. (17)
Они выражаются через равновесную функцию распределения Ф(у,у), справедливую, в отличие от больцмановского распределения (4) не только для связанных и свободных электронов, но и для квазиконтинуума. Ее явный вид см в Приложении 1.
В, А/В
Де)
0.1
0.01
а)
б)
е/Т
е
е/Т
е
Рис. 3. Зависимость кинетических коэффициентов (а) и функций распределения частиц по полной энергии у = е/Те (б) для сшивки микрополевого и больцмановского распределений.
На рис. 3а: пунктирная кривая - коэффициент диффузии (А1); сплошная кривая -отношение коэффициента подвижности к коэффициенту диффузии (А2). На рис. 3б: сплошная кривая - равновесное распределение (А3); пунктир - рекомбинационное распределение /гес(у,у) (12); штриховая кривая - рекомбинационное распределение ^гес(у, у) (17). Кривые приведены для у = 0,421.
2
0
5
0
5
1
Функция Ф(у,у) дает равновесное распределение, совпадающее с больцмановским при энергиях далеких от нуля, и совпадает с микрополевым распределением в квазиконтинууме (см. рис. 3). В диапазоне значений 0,1 < у < 0,8 с точностью до 1 % функцию Г (у) можно аппроксимировать простым выражением Г (у) = (0.1+0.69у1/2+4.3у2)Г(у). Отметим, что величина рекомбинационного потока Г (у) в этом диапазоне значений у изменяется почти на 5 порядков величины. Сшивка рекомбинационного распределения с микрополевым дает несколько большее значение для скорости рекомбинации по сравнению с традиционным выражением, получаемым сшивкой рекомбинационного распределения с
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" 3 2 6 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/023.pdf
больцмановским: г(у) > Г(у).
ЛИТЕРАТУРА
1. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И. Яковленко. Усп. физич. наук. 1994. Т. 164, № 3. С. 298. (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1994, 62(3),279-288)
2. S.A.Mayorov, A.N.Tkachev, S.I.Yakovlenko. Physica Scripta 1995. V. 51. P. 498-516.
3. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1998. - Т.37, № 1. - С. 47-68.
4. L.Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie. Leipzig: J.A.Barth, 1898, Bd. 2, S. II-III
5. H.Poincare. Revue de Metaphysyique et de Morale. 1893, 1, 534-537
6. Н.С.Крылов. Работы по обоснованию статистической физики. Изд. АН СССР, М.-Л. 1950. 207 с.
7. Премия А.Н.Крылова 1995 года - С.И.Яковленко, С.А.Майорову и А.Н.Ткачеву. Вестник РАН. - 1996. Т. 66, № 5. С. 457.
8. А.М.Игнатов, А.И.Коротченко, В.П.Макаров, А.А.Рухадзе, А.А.Самохин. УФН. -1995. -Т. 165, №1. -С. 113-117 (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1995, 38(11),109-112)
9. А.А.Рухадзе. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР. -1995. № 9-10. -С. 40. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 38-39)
10. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. УФН, 165, 117 (1995). (in Russian, for English translation see: Physics-Uspekhi 1995, 38(11), 113-114)
11. Б.Б.Кадомцев Динамика и информация. М.: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1997. - 400 с. IBSN 5-85504-008-9
12. J.Mayer, V.Goeppert-Mayer. Statistical Mechanics. Second edition. J.Wiley & Sons, NY 1977
13. N.N.Bogolubov, and N.N.Bogolubov (Jr) Vvedenie v Kvantovuyu Statisticheskuyu Mek-haniku (Introduction to Quantum Statistical Mechanics) Nauka, Moskow 1984 (in Russion)
14. М.А.Леонтович Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. -41 6 с.
15. Problems in Thermodynamics and Statistical Physics. Editor P.T.Landsberg, PRION London 1971
16. D.Ter Haar Elements of Thermostatistics. New York, 1966
17. R.Hockney and J.Eastwood Computer Simulations Using Particles McGraw-Hill, NY 1981
18. M.Gryzinski Phys. Rev. -1959. -V. 115, No 2. -P. 374-383,
19. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко Изв. ВУЗов, Физика. - 1994. - Т.37, № 9. - С. 3-19. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(9), 799-813
20. D.R.Bates, A.E.Kingston and R.W.P.McWirter. Pros. Roy. Soc. A267, 297 (1967)
21. Л.И.Гудзенко, С.И.Яковленко Плазменные лазеры. М.: Атомиздат, 1978. -256 с.
22. В.И.Держиев, А.Г.Жидков, С.И.Яковленко Излучение ионов в неравновесной плотной плазме. М.: Энергоатомиздат. 1986. - 160 с.
23. А.В.Гуревич. Геомагнетизм и аэрономия. - 1964. - Т. 4. - №1. - С. 3-16.
24. А.В.Гуревич, Л.П.Питаевский. ЖЭТФ. - 1964. - Т. 46, № 4. - С. 1281-1284.
25. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР.-1990. -№ 7.-С. 10.
26. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика -1992. - Т.35, № 2. - С. 10. - 1992 (in Russian, for English translation see: Sov. Phys. J 1992, 35, 108)
27. R.Mewe. Astronomy and Astrophysics. 1972, 20, 215
28. J.J.Tomson Phil. Mag. 47, 337 (1924)
29. E.W. McDaniel. Collision Phenomena in ionized Gases. J.Wiley & Sons, NY-L-S 1964
30. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Квантовая электроника, 20, № 2 с. 111 (1993)
31. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН СССР-1990. -№ 10, с. 18.
32. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1991 34(11) 3 (in Russian, for English translation see: Sov. Phys. J. 1991, 34, 951)
33. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1994 37(1) 8. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(1), 7-12)
34. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. 1994 37(1) 15. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(1),13-18)
35. С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1995. - Т.38, № 4. - С. 3. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1995 38(4), 329-335)
36. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1993. Т.36, № 1. С. 68-89 (in Russian, for English translation see: Russian Phys. J. 1993, 36, 55-73)
37. С.А.Майоров, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. -1993. -Т. 37, №11. -С. 44-56. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1994, 37(11), 1048-1058)
38. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН. - 1996. -№ 9-10. -С.3.
39. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Письма ЖТФ. - 1995. -Т. 21, №22. -С.90.
40. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Кр. сообщ. по физике ФИАН 1996. -№ 1-2. 39. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1996, No 1, 30-33)
41. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1996. - Т.39, № 10. - С. 3-15.
42. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. ЖТФ. - 1997. -Т. 68, №8.
43. A.T.Forester Large Ion Beams. J.Wiley & Sons, NY-C-B-T-S, 1988
44. I.Langmuir. Phys. Rev. 28, 585 (1925)
45. A.J.Lichtenberg and M.A.Lieberman. Regular and Stochastic Motion (Springer-Verlag New-York Inc. 1983
46. Г.М.Заславский. Стохастичность динамических систем. М.: Наука. 1979. - 271 с.
47. А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. ДАН 359(6) 765, 1998
48. J.W.Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics (Vol. II of his Collected Works), New-Haven, 1 948
49. H.Poincare. Reflexions sur la theorie cinetique des gas. J. Phys. Theoret. Et appl. 4e ser., 5, 369, 1906
50. H.Poincare. Termodynamique. Paris, Gauthier-Villars 1 908
51. С.А.Майоров, А.Н.Ткачев, С.И.Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1992. - Т.35, № 11. - С. 76-88 (in Russian, for English translation see: Russian Phys. J. 1993, 35, 1059-1069)
52. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Письма в ЖТФ -1991. -Т. 17, № 23. -С.
33
53. R.Kubo. Thermodynamics. North-Holland Publishing Company - Amsterdam, 1968
54. J.W.Gibbs, Sci. Pap. 1899, v.1, p. 15
55. Я.И.Френкель. ЖЭТФ, 1939, т. 9, с.95
56. Я.Б.Зельдович. ЖЭТФ, 1942, т. 12, вып. 11/12, с. 525.
57. Майоров С. А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН. -1995. -№ 9-10. -С.35-39. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 33-37)
58. Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН. -1995. - № 11-12. -С. 67. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 12, 25-29)
59. Майоров С.А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Письма в ЖТФ. -1988. -Т. 14. -С. 354.
60. Майоров С. А., Ткачев А.Н., Яковленко С.И. Кр. сообщ. по физике ФИАН 1995. № 910. -С.28. (in Russian, for English translation see: Bulleten of the Lebedev Physics Institute, 1995, No 9, 27-32)
61 . Яковленко С.И. Вопросы философии. -1 992. - № 2. -С. 1 41 .
62. Аршинов В.И., Свирский Я.И. Вопросы философии 1992. - № 2. -С. 145.
63. Моисеев Н.Н. Вопросы философии. -1992. - № 11. -С. 23.
64. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1993. - № 11. -С. 152.
65. Яковленко С.И. Вопросы философии. -1996. - № 2. -С. 41.
