Релаксационное давление в смеси N2−n с учетом неравновесной реакции диссоциации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.011

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1

РЕЛАКСАЦИОННОЕ ДАВЛЕНИЕ В СМЕСИ N2^ С УЧЕТОМ НЕРАВНОВЕСНОЙ РЕАКЦИИ ДИССОЦИАЦИИ*

Е. В. Кустова1, М. А. Мехоношина2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kustova@math.spbu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, студент, fioresat@rambler.ru

1. Введение. В настоящей работе исследуется релаксационное давление в химически реагирующей смеси молекул и атомов азота N2—N с неравновесной реакцией диссоциации. Впервые релаксационное давление упоминается в работе Мандельштама и Леонтовича [1]. Данная величина описывает влияние неравновесных химических реакций (или других медленных процессов) на диагональные элементы тензора напряжений в случае, когда в системе происходят быстрые неупругие обмены внутренней энергией. В вычислительной гидродинамике релаксационное давление обычно предполагается пренебрежимо малым, однако это предположение является интуитивным. Систематических расчетов релаксационного давления в различных неравновесных условиях до настоящего времени не проводилось. Некоторые частные случаи рассмотрены в работах [2, 3].

Цель данной работы — оценить вклад релаксационного давления в тензор напряжений в химически реагирующем газе. Предлагается математическая модель для расчета релаксационного давления с учетом вращательных и колебательных степеней свободы молекул. Используется первое приближение метода Энскога—Чепмена, модифицированного для сильнонеравновесных течений [4]. Записана функция распределения и тензор напряжений первого порядка, релаксационное давление выражено как решение транспортной системы линейных алгебраических уравнений. Проведен расчет релаксационного давления при температурах 2000-10000 К; изучено влияние химического состава смеси на релаксационное давление.

Проведенные в настоящей работе вычисления требуются при решении задач, связанных с моделированием входа космических аппаратов в атмосферу планет, например, Земли или Марса.

2. Система уравнений в однотемпературном приближении. Рассмотрим смесь N2— ]М, в которой при столкновениях частиц происходят следующие микроскопические процессы:

— обмен поступательной энергией — быстрый процесс;

— обмен вращательной энергией — быстрый процесс;

— обмен колебательной энергией — быстрый процесс;

— реакция диссоциации—рекомбинации N2 + N2 ^ N + N + N2 — медленный процесс.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №11-01-00408) и Министерства образования и науки РФ (грант № 13.G25.31.0076). © Е. В. Кустова, М. А. Мехоношина, 2012

Для такой системы характерные времена процессов удовлетворяют соотношению

T~tr < Trot < Tvibr "С Tdiss ~ 0, (1)

где ttr — характерное время поступательной релаксации, trot — характерное время вращательной релаксации, т^ьг — характерное время колебательной релаксации, Tdiss — характерное время реакции диссоциации, в — характерное время изменения макропараметров. При соотношении характерных времен (1) справедливо однотем-пературное описание течения неравновесного газа [4].

Приведем набор макропараметров, дающих замкнутое описание течения в од-нотемпературном приближении: пдг2(г, t), njs[(r,t)—числовая плотность молекул и атомов азота, соответственно, v(r, t) — скорость газа, T(r, t) — температура газа (г — координата, t — время).

Система уравнений для макропараметров имеет вид

^+ncV-v + V-(ncVc) = Rdciss, c = N2,N, (2)

at

pf + v.p = o, (3)

p^+V- g + P:W=0, (4)

где p — плотность смеси, Vc — скорость диффузии частиц сорта с, Р — тензор напряжений, q — вектор потока тепла, U — полная удельная энергия, — изменение числовой плотности атомов или молекул азота вследствие реакций диссоциации и рекомбинации [4]. Система (2)—(4) описывает течение смеси газов с неравновесными химическими реакциями.

3. Тензор напряжений. В данной работе подробно исследуется тензор напряжений. Выражение для Р имеет вид

cij

где тс — масса частицы сорта с, сс = ис — v — собственная скорость частицы сорта с, ис — скорость частицы сорта с, fdj — функция распределения частиц по скорости и внутренней энергии. Из уравнения (5) следует, что вид тензора напряжений определяется функцией распределения fdj.

В нулевом приближении метода Энскога—Чепмена функция распределения принимает вид

JO) _ ( тс Л3/2 пс ( тсс2с £ц \

Ioi*~\2nkTJ Zmt,c(T)^eXP{ 2 кТ кТJ' {)

Здесь Т — температура, пс — числовая плотность частиц сорта с, • — внутренняя энергия молекулы сорта с, находящейся на г-м колебательном и j-м вращательном уровнях, к — постоянная

Больцмана (к = 1,38066 • 10"23 Дж-К"1), sf, — статистический вес, Zint}C{T) — статистическая сумма (ZinttC = J2ij sij ехР {~£ij/{кТ))).

В нулевом приближении, подставляя распределение (6) в определение (5), получаем такое выражение:

Р =Р1, (7)

где р = пкТ— гидростатическое давление, I — единичный тензор.

В первом приближении метода Энскога—Чепмена имеем (см. [4])

= + (8) где (рСц — поправка первого порядка:

<Рсц = ~ -А^з ■ V 1п Т - - ^ • - -: V« - -^ V • V - -СсЦ; (9)

7Ъ 71 71 7Ъ 7Ъ

а

здесь В^р — неизвестные функции, <1С — диффузионная термо-

динамическая сила. Подставляя функцию распределения первого приближения (8) в определение тензора напряжений (5), получаем

р = {Р-Рге1)1-2ф-СУ -Л, (10)

где рге1 — релаксационное давление, — коэффициент сдвиговой вязкости, £ — коэффициент объемной вязкости.

Релаксационное давление появляется вследствие быстрых неупругих ТИ-, ГШ,-, УТ- и УУ-обменов поступательной, вращательной и колебательной энергиями и, кроме этого, замедленного процесса химических реакций, характерное время которого сравнимо с газодинамическим. В случае, если все быстрые процессы в системе являются упругими или резонансными, релаксационное давление равно нулю. Также Рге1 = 0, если в системе не происходит медленных процессов.

4. Коэффициенты переноса. Коэффициенты переноса, входящие в выражение (10), определяются через функции Ссц по формулам (см. [4])

кТ

г1= — [В,В], с = кТ , Рге1 = кТ[Р,С], (И)

[.Р, С] — интегральная скобка, которая в рассматриваемом здесь приближении вводится следующим образом:

[ВД = + (12)

С(1

%3к1г' 3' к'1'

г^кН'у' к'1'

где сг^^ы — дифференциальное сечение рассеяния в быстрых процессах, сРИ— телесный угол, в котором оказываются скорости частиц после столкновения, д — относительная скорость сталкивающихся частиц. Функции и определяются из

интегральных уравнений

\ - пспл

(I

п

1сг]<1 (-Р) — /СУ

2 С-гпЬ

3 су

' тсс2с 2 кТ

К

су

Г£с.1

V

кТ

(13)

, £,<¡¿88(0)

Е«, _ 1 т<Изз(0) 1 л(0) ^с

п2 1сц* + п1 аз Пс

<1

1 ,(0) Ее Д?88(0) (|/гТ + (4) + £с) /тсС2 з

(0)

рТсу \ 2 2

£• •

кТ

где 1с^с1 — линеаризованный интегральный оператор быстрых процессов [4], су — удельная теплоемкость при постоянном объеме, с^ — удельная теплоемкость внутренних степеней свободы при постоянном объеме, с^ = су — с4г = су — 3/(21?), Д — газовая постоянная смеси, с4г — теплоемкость поступательных степеней свободы,

ЯсИввС 0) -гсИзз(О)

с — релаксационные члены в нулевом приближении, ис — оператор столкновений, приводящих к химическим реакциям [4] в нулевом приближении, = оцу — (а^), и осреднение производится с учетом термически равновесного больцма-новского распределения по суммарной внутренней энергии £?•,

<ау> = г-Ьт) £ ехр ("&) ' (15)

'13

Единственность решений интегральных уравнений обеспечивается дополнительными условиями, следующими из нормировки функции распределения в первом приближении [4]:

Е / /&• = (16)

Е / /£•= °> (17)

+ = (18)

Е / /й +е«) = (19)

ч

Для решения интегральных уравнений функции FCij, разложим в ряды по системам ортогональных полиномов Сонина и Вальдмана—Трубенбахера. Полином Сонина определяют следующим образом:

1> + п+1)

в частности, при любых v

Sf> (ж) = 1, Sll){x) = v + 1-х. (21)

Полиномы Вальдмана—Трубенбахера задаются рекуррентными соотношениями

р-1 / ЕЬ pip-1) р(я)\

p(p)(£ij)= £а Р(р-1) i y\fcT ij ij / Р(ч) (no)

ij \ kT J kT ij ■Ч. /p(.D2\ ij ' v ;

i=o /

p(0) _ -I P(l) _ / £¿J \ £¿J c9o\

-1' "W/L AT' (23)

где (...) — операция осреднения (15).

Анализ правых частей интегральных уравнений (13), (14) показывает, что функции FCij, Gcij следует раскладывать по двойным системам полиномов: полиномам Сонина от безразмерной собственной скорости с основанием v = 1/2 и полиномам Вальдмана—Трубенбахера от приведенной внутренней энергии. Эти разложения имеют вид

= ЕМ" <*>

2кТ ) 13 \кТ

гр ч / \

Так как мы предполагаем, что атом не обладает внутренней энергией, при с = N получаем

(26)

= Сс = ^Зс.гМ ^ 2кТ ) ' ^^

Подставив разложение по полиномам для функций , в выражение для релаксационного давления рге1 = кТ [Т, С], с помощью нормировки полиномов получим

Рге1 = кту^ — дс ю. (28)

^^ п

с

В выражении (28) неизвестными являются только коэффициенты дс,ю- Систему алгебраических уравнений для определения дс<гр получаем из интегрального уравнения (14) путем подстановки в него разложения (25), домножения на комбинацию полиномов интегрирования по скорости и суммирования по внутренним индексам.

2

В результате получаем

^^ „ ПеЕеД^(0) (|АГ+(£дС)+£е)

2^2^РГГ'рр'9Ч,Г'Р' - п <1 г' р'

X ( + ^^6г06рЛ + ^—5г06р0 - ^ Е / (29)

где ес — энергия образования частиц сорта с. В рассматриваемом случае £N2 = О, = -С/2, где О — энергия диссоциации молекулы азота. Коэффициенты системы Ргг'рр' ~ интегральные скобки, которые для случая однотемпературного приближения определены в [4].

Дополнительные условия, обеспечивающие единственность решения уравнений системы (29), следуют из формул (17), (19) при подстановке в них разложения (25):

9с, оо Ve, — (ctrgc до + cintcgc0l) = 0. (30)

п

Сохраняя в разложении (25) только первые неисчезающие члены, из системы (29) получаем систему трех линейных алгебраических уравнений:

oNN, , oN2N, , oN2N, nN2 mcCjnt,c w

P01103N,10 + Pono ffNa.lO + Pooil #N2,01 —--j-X

(31)

Räiss(0) hkT+/£N2\\ + Räiss(0) (3ЛТ+ D)

X-----Tf-,

pl cv

oNN | oN2Nn | oN2Nn _ 3 nN2 w

РПООЙЧЮ + PnooS'Ns.lO + PoiloS'Ns.lO — 2~n~

Rdiss(0) (зкт+/ N2\\ + RdissiO) ,3kT + D\

ij

— (ctr,n<7n,io) H—— (ctr,n29n2, 10 + cint n29n2,01) = 0. (33)

n n

Чтобы рассчитать интегральные скобки ßrftppt в реагирующей смеси N2 — N в одно-температурном приближении с учетом неравновесной реакции диссоциации, вводим оператор осреднения на основе функции распределения нулевого приближения:

^ = 1/2 Е Е / ехр (-72 - - 4) all^n^

ъъ к к j j 11

(34)

где есц = е^/кТ — безразмерная внутренняя энергия, mcd — приведенная масса сталкивающихся частиц, 7 = {mcd/{2кТ))1/2д — безразмерная относительная скорость. Оператор осреднения зависит от сечений всех упругих и неупругих столкновений с RT-, VV- и VT-переходами. В данном приближении •'-интегралы вводятся на основе оператора (34) и содержат дефект резонанса при всех неупругих соударениях. Используем предположения Е. Мэзона и Л. Мончика [5]. Во-первых, предполагаем, что вероятность столкновений, при которых происходит одновременное изменение вращательной и колебательной энергии, а также многоквантового обмена мала. Во-вторых, будем считать поступательное и внутреннее движение частиц независимым. С учетом этих предположений удается выразить все интегральные скобки через молярные доли химических компонентов, температуру, стандартные -интегралы от сечений всех упругих и неупругих столкновений и времена релаксации внутренней энергии T*ni, с = N, N2, г,р = 0,1.

Для приближенного расчета -интегралов использовалась модель межмолекулярного взаимодействия Борна—Майера [4]. Времена вращательной и колебательной релаксаций считаются независимыми и вычисляются, соответственно, с помощью формул Паркера и Милликена—Уайта [4].

Расчет интеграла от сечений реакции диссоциации / Бу^Р^ ййс рас-

смотрим подробнее. Интеграл содержит полиномы Сонина и Вальдмана—Трубенбахера, которые при г,р = 0,1 имеют вид (21), (23).

Учитывая закон сохранения энергии при столкновении частиц, интегральный

тс1гзз( 0)

оператор медленных процессов можно привести к виду

4Г(0) = -"г Е / С&ЧгЯПЫ, (35)

ы

где сиг = 1 — ехр (АГ/НТ), Аг —сродство химической реакции диссоциации. Для рассматриваемой реакции Аг имеет вид

К — универсальная газовая постоянная. При слабых отклонениях от равновесия Аг <С КГ, ишгЙ АГ/КГ

Если предположить, что сечение диссоциации <тдг не зависит от уровней внутренней энергии ! и;', получим

E/^V2^)4;S(0)^=0. (37)

Е / Sf/2PS]JcijS{0)düc + Е / (38)

j(0) p(l) Tdiss(

Видно, что ненулевыми остаются только члены

?(0)p(0)jd¿ss(0)d¿ у. / с(1) р(0) jdissi0)^ 1/2 77 ''I с / '

13 ~ Ц

Далее используются кинематические соотношения для парного столкновения. Введем понятие собственных скоростей молекул по отношению к некоторой системе координат, движущейся со скоростью v:

Сс = ис- V, Cd = Ud - V. (39)

Скорость центра масс и относительная скорость определяются соответственно соотношениями

G = цсйс + цdud, g = ud- йс, (40)

где ¡лс и Ud даются соотношениями: ¡лс = mc/(mc + m^), /х^ = md/(mc + nid). Соответствующие безразмерные скорости имеют вид

(тос + md \ 1/2 / \ _ / mcd \ 1/2 ^

1G~V)> go=[2kf) д-

В выражении для интеграла от сечений реакции диссоциации (35) перейдем к новым переменным. Тогда с учетом независимости сечения <т/?г от уровней ¿и ] получим

Е/^

*88{0)з[%р(р<Рдс = ш,

ЕЕ/71" Зпсп<*ехр ~ до)х

1з ы

, -1/2

2 /¿сСо + Чу/Рс^в, до • Со - ^д'о ) до(т/,гс12Ш3Оос13до. (43)

Переходим к сферическим координатам по Со и по Й- Интеграл по Со берется при помощи Г-функции, а для вычисления интеграла по до используем аналитические формулы, приведенные в [6]. В результате получаем

Е / (-£) - 1) , (44,

где <тс^—диаметр столкновения.

Систему (33) решаем методом Гаусса, а результат подставляем в формулу для релаксационного давления (28).

5. Результаты. В работе проводился расчет релаксационного давления — вклада химических реакций в диагональные члены тензора напряжений — в диапазоне температур 2000-10000 К.

Рис. 1. Зависимость релаксационного давления от температуры при концентрации атомов азота п^/п = 0,5 и давлении р = 105 Па.

Зависимость релаксационного давления от температуры при фиксированном значении молярной доли атомов азота п^/п = 0.5 показана на рис. 1. Вклад релаксационного давления в тензор напряжений колеблется от 5 до 30% при высоких и низких температурах соответственно. Также следует отметить, что знак релаксационного давления меняется, причем нулевое релаксационное давление приблизительно соответствует случаю химического равновесия, когда = д. Знак релаксационного давления определяется направлением протекания химической реакции. В рассмотренном случае концентрация пс/п = 0.5 зафиксирована произвольно, химическое равновесие при таких концентрациях наблюдается при температурах 7500-8000 К. При

Т < 7500 К и фиксированной концентрации пс/п = 0.5 для выхода на химическое равновесие должна преобладать реакция рекомбинации, а при Т > 8000 К — реакция диссоциации. Таким образом, отрицательное релаксационное давление соответствует преобладающей реакции рекомбинации, а положительное — реакции диссоциации.

4000020000-

0-200002000 4000 6000 8000 10000 Т, К

Рис. 2. Зависимость релаксационного давления от температуры при различных значениях концентрации атомов азота и давлении р = 105 Па.

Зависимость релаксационного давления от температуры при различных значениях концентрации атомов азота показана на рис. 2. Можно видеть, что при высокой концентрации атомов величина релаксационного давления уменьшается, поскольку в данном случае уменьшается роль внутренних степеней свободы (напомним, что в данной работе атомы считаются бесструктурными частицами). При малых концентрациях атомов и низких температурах имеет место слабое отклонение от химического равновесия. В связи с этим величина релаксационного давления также достаточно мала. С ростом температуры (Т > 6000 К) степень диссоциации должна увеличиваться. Поэтому фиксирование концентрации атомов при значении п^/п = 0.1 приводит к сильным отклонениям от равновесия и, следовательно, к росту величины рге1. В целом можно отметить, что максимальный вклад релаксационного давления в нормальные напряжения может достигать 40%.

Зависимость безразмерного релаксационного давления (отнесенного к р) от температуры и гидростатического давления при п^/п = 0.5 показана на рис. 3. Видим, что в данных условиях вклад релаксационного давления в нормальные напряжения составляет менее 5% при температурах порядка 10000 К и менее 2% при температурах ниже 5000 К. С ростом температуры и гидростатического давления, а также при более существенных отклонениях от равновесия вклад релаксационного давления возрастает.

6. Заключение. В работе построена математическая модель для расчета релаксационного давления в смеси N2 — N с неравновесной реакцией диссоциации.

Результаты расчетов показали, что вклад релаксационного давления в тензор напряжений возрастает с ростом отклонения от химического равновесия. Увеличение концентрации атомов приводит к уменьшению релаксационного давления. В условиях слабого отклонения от химического равновесия релаксационное давление составляет

Рис.3. Зависимость отношения prei/p от гидростатического давления при Т = 5000 К, Т 10000 К, п-^/п = 0, 5 (а) и от температуры при р = 103 Па, р = 104 Па, п-^/п = 0.5 (б).

доли процента от гидростатического, и его вкладом в нормальные напряжения можно пренебречь.

Результаты работы могут применяться при расчете сопротивления и тепловых потоков в высокотемпературных течениях газа.

Литература

1. Мандельштам JI. И., Леонтович М. А. К теории поглащения звука в жидкостях // Журн. эксп. и техн. физ. 1937. Т. 7. №3. С. 438-449.

2. Brun R., Zappoli В. Model equations for a vibrationally relaxing gas. // Phys. Fluids. 1977. Vol.20. N9. P. 1441-1448.

3. Kustova E. V. On the Role of Bulk Viscosity and Relaxation Pressure in Non-Equilibrium Flows // Rarefied Gas Dynamics / ed. by Abe, Takashi. Proceedings of the 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Kyoto, Japan, 20-25 July 2008. Series: AIP Conference Proceedings. 2009. Vol. 1084. P. 807-812.

4. Нагнибеда E.A., Kycmoea E.B. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с.

5. Mason Е., Monchick L. Heat Conductivity of Polyatomic and Polar Gases //J. Chem. Phys. 1962. Vol. 36. P. 2746.

6. Алексеев Б. В. Математическая кинетика реагирующих газов. М.: Наука, 1982. 424 с.

Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.