Коэффициенты переноса в пятикомпонентных ионизованных смесях азота и кислорода с учетом электронного возбуждения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.932

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ПЯТИКОМПОНЕНТНЫХ ИОНИЗОВАННЫХ СМЕСЯХ АЗОТА И КИСЛОРОДА С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРОННОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ*

В. А. Истомин1, Е. В. Кустова?

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, vladimir_istomin@hotmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kustova@math.spbu.ru

1. Введение. Процессы переноса в газах на протяжении длительного времени являются предметом исследования кинетической теории [1-3]. В ранних работах предполагалось, что газ состоит из бесструктурных частиц [1], затем модель газа последовательно усложнялась: были учтены внутренние степени свободы, рассмотрены различные условия отклонения от равновесия [2, 3]. Однако влияние электронного возбуждения частиц на процессы переноса до последнего времени остается малоизученным. Первой попыткой учесть возбужденные электронные состояния атома стали работы по исследованию теплопроводности и диффузии в плазме водорода вблизи химического равновесия [4, 5]. В работе [6] изучаются процессы переноса в ионизованных квазинейтральных атомарных смесях N/N+/6^ и 0/0+ /е-.

В настоящей работе построена теоретическая модель для изучения процессов переноса в более сложных газах — пятикомпонентных смесях азота N/N2^+ /е~ и кислорода О/О2/О+/0+ /е~. Предлагается математическая модель для расчета коэффициентов теплопроводности и электропроводности, диффузии и термодиффузии, сдвиговой и объемной вязкости с учетом электронных, вращательных и колебательных степеней свободы нейтральных молекул и электронного возбуждения нейтральных атомов. Модель использует первое приближение метода Энскога—Чепмена кинетической теории процессов переноса. Проведен расчет коэффициента теплопроводности в диапазоне от 500 до 50000 К, оценивается вклад внутренних степеней свободы и неравновесной ионизации.

Проведенное в данной работе исследование может использоваться при расчете тепловых потоков в высокотемпературных течениях газа, например, при моделировании входа космического летательного аппарата в атмосферу планеты.

2. Система уравнений в однотемпературном приближении и вычисление коэффициентов переноса. В данной работе рассматриваются квазинейтральные слабоионизованные пятикомпонентные смеси азота ^^ /^/Щ/е- и кислорода О/О2/О+/0+ /е- в отсутствии магнитного поля. Под слабоионизованной понимается плазма, в которой свободных электронов и ионов много меньше, чем атомов и молекул. Явление квазинейтральности в плазме означает, что плотность отрицательных зарядов с хорошей точностью равна плотности положительных зарядов.

*Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 13.G25.31.0076) и РФФИ (гранты №11-01-004008 и №12-08-00826).

Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© В.А.Истомин, Е. В. Кустова, 2012

В отличие от нейтральных газов, которые можно охарактеризовать тремя пространственными параметрами (радиусом действия межмолекулярной силы, средней длиной свободного пробега и масштабом изменения макроскопических характеристик), в физике плазмы начинают играть роль по меньшей мере еще два пространственных параметра — дебаевский радиус и, в случае присутствия магнитного поля, циклотронный радиус [2]. Дебаевская длина определяется как расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в нейтральной среде, состоящей из положительно и отрицательно заряженных частиц. Так как электроны — очень легкие частицы и движутся значительно быстрее ионов, они будут очень быстро приходить в равновесие (относительно иона, помещенного в начале координат). В таком случае дебаевский радиус значительно превышает расстояние между частицами, вследствие чего газ можно описать уравнением Больцмана (включающем силу Лоренца), в котором вместо кулоновского используется потенциал, экранированный на длину дебаевского радиуса [2].

В таком случае справедлива однотемпературная модель, основанная на следующем соотношении характерных времен процессов: Ttr < Trot < Tvibrr < Tei ^ Treact ~ Tioniz ~ 9, где Ttr —характерное время поступательной релаксации, Trot —характерное время вращательной релаксации, Tvibrr — характерное время колебательной релаксации, Tei — характерное время электронной релаксации, Tioniz — характерное время ионизации, Treact — характерное время химических реакций, 9 — характерное время изменения макропараметров. Данное условие соответствует слабому отклонению от термического равновесия и сильному отклонению от химического и ионизационного равновесия.

Описание неравновесного течения строится на основе функции распределения fi(r,u,t) (r — координата, и — микроскопическая скорость частицы, t —время, l — уровень внутренней энергии частицы). Для заданного соотношения характерных времен процессов в отсутствии массовых сил и магнитного поля макроскопические уравнения для параметров nc(r,t), v(r,t) и U(r,t) имеют вид (см. [2, 3]):

dn, ~dt

с+ncV-v + V-(ncVc) = Riconiz + Rdciss, с =1,2, 3,4, 5, (1)

pf+V-P = 0, (2)

P^+V-q+P: Vv = 0, (3)

где nc — числовая плотность частиц сорта с, v — скорость газа, U — полная удельная энергия, включая электронные степени свободы нейтральных атомов, р — плотность, Vc — скорость диффузии частиц сорта с, P — тензор давлений, q — поток тепла, Rc°niz, Rdiss —релаксационные члены, описывающие изменение числа частиц за счет процессов ионизации и диссоциации. В отличие от уравнений, полученных в [2, 3], полная удельная энергия в уравнении (3), кроме энергии поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы, включает электронную энергию нейтральных молекул и атомов:

U = Etr + Eint, (4)

Eint,m°l = £el (n)+evibr (n,i)+ £r°t(n,i,j), Eint,at = £el(n), (5)

где Е, Еп — удельные поступательная и внутренняя энергии, п — электронный уровень, г — колебательный уровень, ] — вращательный уровень, £п — электронная энергия уровня п. Для ионизованных молекул и атомов, а также электронов

и = Егг . (6)

При вычислении числа уровней электронной энергии нейтральных атомов, учитываемых в работе, использовалась оценка, предложенная в [8]: есп < Ес — ДЕс, где Ес — энергия ионизации, ДЕс = 1000 см-1 —понижение потенциала ионизации за счет взаимодействия заряженных частиц. Энергии £п = £п/(Нс) (где Н = 6, 62 х 10-34 Дж-с — постоянная Планка, с = 3 • 108 м-с-1 —скорость света) и статистические веса дп нейтральных атомов брались из электронных таблиц, предоставленных авторами работы [8].

В нулевом приближении метода Энскога—Чепмена для нейтральных молекул и атомов функция распределения принимает вид максвелл-больцмановского распределения по скоростям, вращательной, колебательной и электронной энергии для молекул и по скоростям и электронной энергии для нейтральных атомов:

(0) ( ш^ \ 3/2 п / шс2 £ I \

^ =\2^т) ~г~^{Т)9с1 ехр \2кТ и = {п}' ^ = (7)

Здесь шс — масса частицы сорта с, Т — температура, к — постоянная Больцмана (к = 1, 38066 • 10-23 Дж-К-1), gcl — статистический вес (^п^ = gngigj), 2Ыг,с(Т) —статистическая сумма (2щ,с = 5^1^1 gcl ехР (—£сл/(кТ))), сс — собственная скорость. Для заряженных частиц функция распределения имеет вид максвелловского распределения по скоростям.

В нулевом приближении модифицированного метода Энскога—Чепмена тепловой поток и тензор напряжений имеют вид

Ч = Ус = 0, Р = р1, (8)

где р —давление, I —единичный тензор.

В первом приближении функция распределения определяется в виде

и = /с(10)(1 + ы, (9)

Ч>.с1 = --Ас1 ■ У1пТ - - УВас1 ■ <1Л - -Вс1 : Vv - -Рс1У ■ V - -Сс1, (10) п п z—' п п п

а

где рс1 — поправка первого порядка.

Поправка первого порядка зависит от градиентов всех макропараметров и содержит неизвестные функции Ас1, Dcl, Вс1, Ес1 и Ос1,, которые находятся из линейных интегральных уравнений [2, 3]. Дополнительные соотношения для обеспечения единственности решения этих интегральных уравнений следуют из нормировки функции распределения [3].

Поток тепла, тензор напряжений, скорость диффузии и плотность тока в первом приближении имеют вид

Ч = —Л'ут — ас + ]ТрсНсУс, (11)

с с

Р = (р - ре) I - 2 п Б - С V- VI, (12)

Ус = - Е В с ас - БтсУ 1п Т, (13)

J = Е псес^с = аС ф - Е ФсУТ, (14)

сС

где кс — удельная энтальпия частицы сорта с, п и $ — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости, рге1 — релаксационное давление, Псс и Птс — коэффициенты диффузии и термодиффузии, 8 — тензор скоростей деформации, ес — электрический заряд частицы сорта с, а^, фс —коэффициент электропроводности и электротермический коэффициент соответственно.

Коэффициент теплопроводности Л описывает перенос поступательной и внутренней энергии и определяется формулой

Л = Лгг + Лыг ■ (15)

Коэффициент электропроводности ас находится через коэффициент диффузии Псс следующим образом:

аЛ П^сРс ^ (16)

р \Шс ^ р )

Для решения линейных интегральных уравнений функции Ас\, Dc¡, Вс1, Ес1 и Ос1, раскладываются в ряды по системам ортогональных полиномов Сонина и Вальд-мана—Трубенбахера по собственным скоростям и дискретным уровням энергии соответственно [2, 3]. Функции Ас1, Ес1 и Ос\ раскладываются по двойным системам полиномов, выбор которых определяет функция распределения нулевого приближения. В случае ионизованного газа из-за слабой сходимости полиномов Сонина нельзя ограничиваться лишь первыми членами разложения [2]. В данной работе оставлены следующие члены разложения: г = р = 0; г = 1,р = 0; г = 2,р = 0; г = 0,р = 1. Подставляя данные разложения в интегральные уравнения для функций Ас;, Dc¡, Вс1, Ес1 и Ос1, получаем системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения а^р, ¿сг, Ъс, г, 1с,гр и 9с,гр. В свою очередь, коэффициенты переноса выражаются через коэффициенты разложения:

Л' V"4 5 пс тс пс

А =2^4 + ¿^——Сгги,сас,01, (17)

сс

=-<£<,, (18) п

= --<40, (19)

п

с

' Г)

рге1 = кТУ~]—дс10, (22)

п

с

сыг,с —внутренняя удельная теплоемкость при постоянном объеме. Для молекул она включает теплоемкость вращательных, колебательных и электронных степеней свободы, а для атомов — только электронных.

Используя стандартную процедуру метода Энскога—Чепмена [3] можно показать, что интегральные уравнения для неизвестных функций сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, включающим интегральные скобки в виде коэффициентов системы. Упрощая интегральные скобки с помощью допущений Мэ-зона и Мончика [9], можно выразить коэффициенты переноса как решения систем линейных алгебраических уравнений, которые решаются численно с помощью метода Гаусса [3]. Вывод систем алгебраических уравнений, а также преобразование интегральных скобок, подробно описаны в [2, 3]. Все коэффициенты переноса выражаются через омега-интегралы и интегралы, зависящие от дефекта резонанса внутренней энергии при неупругом столкновении:

а£ = £й+£У~£з; (23)

П^-интегралы вычисляются с помощью данных, предоставленных работе [7] для всех типов взаимодействий: нейтральная-нейтральная, нейтральная-заряженная, и заряженная-заряженная частицы. Для вычисления интегралов от Де необходимы дальнейшие предположения. Для нейтральных атомов данные интегралы можно аппроксимировать с помощью константы скорости дезактивации метастабильных уровней для перехода между первым и нулевым электронным состоянием [10]. Константа скорости дезактивации метастабильных уровней кю взята из [11, 12]: кю N = 10-19 м3/с; кю о = 8 • 10-18 м3/с. Для нейтральных молекул данные интегралы можно приближенно выразить через время вращательной релаксации [10].

В случае Де = 0 коэффициенты теплопроводности вычисляются по упрощенным формулам, которые содержат только ^с^-интегралы и не зависят от дефекта резонанса. Если предположить, что Де = 0, коэффициенты теплопроводности будут определяться по более точным формулам.

3. Результаты. В работе проводился расчет коэффициента теплопроводности в квазинейтральных слабоионизованных пятикомпонентных смесях азота /е и кислорода 0/02/0+/0+/е в диапазоне температур 500-50000 К в отсутствии магнитного поля. В зависимости от температуры рассматриваются различные равновесные концентрации — в диапазоне 500-20000 К 46/46/2/2/4 и 48/48/1/1/2 [%] и в диапазоне 15000-50000 К 71/3/10/3/13 [%]. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными в [6, 13] для ионизованного атомарного азота ^^/е- и кислорода 0/0+ /е- с концентрацией 96/2/2 [%].

Влияние молекулярных компонент на коэффициент теплопроводности смесей азота и кислорода 0/02/0+/0+/е- Л' в диапазоне 500-20000 К

можно проследить на рис. 1. Как видно из графиков, коэффициент теплопроводности Л' возрастает и достигает своего максимума при наибольшей концентрации нейтральных атомов. При этом, начиная с 13000 К, учет молекулярных компонент значительно влияет на коэффициент теплопроводности, занижая его значение в несколько раз.

Изменение коэффициента теплопроводности в диапазоне температур 1500050000 К при концентрации 71/3/ 10/3/13 [%] приведено на рис. 2. Коэффициент Л' в

Рис. 1. Влияние молекулярных компонент на коэффициент теплопроводности X' смесей ионизованного азота N/N2^+ /N2+ /е- и кислорода O/O2/O+ /(Э+/е— для концентраций 46/46/2/2/4 и 48/48/1/1/2 [%].

диапазоне 15000-25000 К также возрастает с ростом температуры и достигает максимума при наибольшей концентрации атомов. В диапазоне температуры 30000-50000 К вклад электронов становится определяющим, и коэффициент теплопроводности возрастает тем быстрее, чем больше концентрация электронов.

5.5-, 5.04.54.03.53.02.5 2.0 1.51.0

0.5.

Теплопроводность [Вт/м/К]

у< V ♦ ■«

И .'« * X к ч ♦

» *

■■■■■■

-«— Ы/Ы2/Ы*/Ы2*/е" (71/3/10/3/13)[%] ОЮ2Ю'Ю*1е '<

(71/3/10/3/13)[%] >1-""

........^^......

' А . ' ' Т 1

' * -А—А А А

А N ♦ - №Ы*/е" (96/2/2) [%]

>'Температура [К] ▼ 0 4 0/07е (96/2/2) [%]

15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

Рис. 2. Влияние молекулярных компонент на коэффициент теплопроводности X' смесей ионизованного азота N/N2^+ /N2/е- и кислорода O/O2/O+ /O+/e— для концентрации 71/3/10/3/13 [%].

При расчете коэффициента теплопроводности учитывался дефект резонанса внутренней энергии Де. Кроме того, был проведен расчет при Де = 0. Оказалось, что для смесей азота и кислорода 0/02/0+/0+/е пренебрежение

дефектом резонанса дает погрешность не более 6%. Для смеси в

диапазоне температур 500-20000 К при концентрации 48/48/1/1/2 [%] максимальная погрешность достигает 6% при 2000 К, а в диапазоне температур 15000-50000 К при концентрации 71/3/10/3/13 [%] —1.5% при 15000 К. Для смеси 0/02/0+/0+/е- в диапазоне температур 500-20000 К при концентрации 48/48/1/1/2 [%] максимальная

погрешность достигает 3.5% при 20000 К, а в диапазоне температур 15000-50000 К при концентрации 71/3/10/3/13 [%] —6% при 22000 К.

Влияние внутренних степеней свободы на коэффициент теплопроводности смесей азота и кислорода 0/02/0+ /0+/е- Л' в диапазоне 500-20000 К и 15000-50000 К для концентраций 46/46/2/2/4 и 71/3/10/3/13 [%] можно проследить на рис. 3. Как видно из графиков, влияние внутренних степеней свободы на коэффициент теплопроводности Л' является определяющим в диапазоне температур 15000-35000 К.

Рис. 3. Влияние внутренних степеней свободы нейтральных компонент смесей ионизованного азота N/N2/^ /К+/е и кислорода O/O2/O+/O+/e для концентраций 46/46/2/2/4 и 71/3/10/3/13 [%] на коэффициент теплопроводности .

4. Заключение. В работе построена математическая модель для расчета коэффициентов переноса в квазинейтральных слабоионизованных пятикомпонентных смесях азота N/N2^+^+ /е- и кислорода О/О2/О+ /0+/е- в отсутствии магнитного поля с учетом электронных, вращательных и колебательных степеней свободы нейтральных молекул и электронных степеней свободы нейтральных атомов.

Проведен расчет коэффициента теплопроводности в слабоионизованных пяти-компонентных смесях азота и кислорода О/О2/0+ /0+/е- в диапа-

зоне температур 500-50000 К для различных концентраций химических компонент. Оценен вклад внутренних степеней свободы в коэффициент теплопроводности. С ростом температуры внутренняя теплопроводность, начиная с некоторого значения Т, может превосходить поступательную теплопроводность в несколько раз.

Показано, что вклад дефекта резонанса внутренней энергии Де в коэффициент теплопроводности мал.

В последующих работах предполагается включить в рассмотрение электронные степени свободы ионизованных атомов и молекул, а также учесть различие температур электронов и тяжелых частиц.

Литература

1. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960. 510 с.

2. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

3. Нагнибеда Е.А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с.

4. Bruno D., Capitelli M., Catalfamo C., Laricchiuta A. Effect of electronic states on transport in magnetized hydrogen plasmas // Phys. Plasmas. 2007. Vol. 14. P. 072308.

5. Bruno D., Capitelli M., Catalfamo C., Laricchiuta A. Cutoff criteria of electronic partition functions and transport properties of atomic hydrogen thermal plasmas // Phys. Plasmas. 2008. Vol. 15. P. 112306.

6. Istomin V. A., Kustova E. V. Properties of Partially Ionized Atomic Gases with Electronic Excitation // 4th European Conference for Aerospace Sciences, Saint-Petersburg, 4-8 july 2011, Electronic Conference Proceedings (URL: http://eucass.ru/cs/upload/gF76bMq/papers/papers /293.pdf).

7. Bruno D., Capitelli M., Catalfamo C., Celiberto R., Colonna G., Diomede P., Giordano D., Gorse C., Laricchiuta A., Longo S., Pagano D., Pirani F. Transport Properties of High-Temperature Mars-Atmosphere Components // ESA, STR-256, 2008.

8. Capitelli M., Colonna G., Giordano D., Maraffa L., Casavola A., Minelli P., Pagano D., Pietanza L. D., Taccogna F. Tables of internal partition functions and thermodynamic properties of high-temperature mars-atmosphere species from 50 K to 50000 K // ESA STR-246, 2005.

9. Mason E. A., Monchick L. Transport properties of polar gas mixtures // Journ. of Chem. Phys. Vol. 36. P. 2746, 1962.

10. Istomin V.A., Kustova E. V., Puzyreva L. A. Transport Properties of Electronically Excited N2/N and O2/O Mixtures // AIP Conference Proceedings, Rarefied Gas Dynamics. Vol. 1333. P. 667-672. 2011.

11. Cenian A., Chernukho A., Borodin V. // Contrib. Plasma Phys. Vol. 35. P. 273-296.

1995.

12. Capitelli M., Ferreira C. M., Gordiets B. F., Osipov A. I. Plasma kinetics in atmospheric gases. Berlin: Springer-Verlag, 2000. 302 p.

13. Istomin V. A., Kustova E. V. Influence of Electronic Excitation on Transport Properties of Partially Ionized Atomic Gases // 28th International Symposium on Shock Waves, Manchester, 17-22 july 2011, Conference Proceedings.

Статья поступила в редакцию 23 декабря 2011 г.