Кинетическое описание течений неравновесной реагирующей смеси СО2/О2/cо/с/о в пятитемпературном приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

КИНЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ РЕАГИРУЮЩЕЙ СМЕСИ СО2/О2/ОО/С/О В ПЯТИТЕМПЕРАТУРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Е. В. Кустова1, Е. А. Нагнибеда2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение

Развитие кинетической теории процессов переноса и релаксации в углекислом газе необходимо для многих важных приложений. Одно из них связано с теоретическим моделированием входа космического аппарата в атмосферу Марса, состоящую на 97% из молекул углекислого газа. Из экспериментов известно, что в потоке высокотемпературного газа у поверхности аппарата характерные времена неравновесных процессов сравнимы со средним временем изменения основных газодинамических параметров. В таких условиях уравнения динамики потока и кинетики неравновесных процессов должны решаться совместно, и оценка влияния кинетики на газодинамику и теплопе-ренос приобретает особую важность.

Теоретическому описанию неравновесных процессов в многоатомных газах и, в частности, в углекислом газе посвящено большое число работ. Обычно используемые в расчетах упрощенные однотемпературные и двухтемпературные модели кинетики CO2 [1-3] не учитывают реальную структуру молекул углекислого газа и сложную кинетику энергообменов, происходящих при их столкновениях. Поэтому их применение в расчетах реальных течений может привести к существенной погрешности.

Более строгие подходы основаны на методах кинетической теории и учитывают детальную поуровневую колебательную кинетику в CO2 [4] и многотемпературные колебательные распределения [5-8]. Такой подход обеспечивает хорошую точность результатов, однако его использование при решении конкретных задач обтекания оказывается весьма трудоемким и вызывает серьезные вычислительные трудности. Поэтому важной современной задачей является создание таких моделей кинетики и процессов переноса в потоках углекислого газа, которые, обладая достаточной строгостью, были бы пригодны для использования при численном моделировании неравновесных течений. Теоретическая модель, удовлетворяющая этим требованиям, была построена для трехкомпонентной смеси СО2/СО/О с учетом неравновесного возбуждения и диссоциации молекул СО2 [7] и использована при численном исследовании течения в ударном слое у космического аппарата MSRO (Mars Sample Return Orbiter) в режиме его входа в атмосферу Марса [9]. Были замечены различия результатов, полученных на основе строгого и приближенных подходов.

Настоящая работа посвящена обобщению модели, предложенной в [7], для пятикомпонентной смеси СО2/О2/СО/С/О с учетом неравновесного возбуждения и диссоциации не только молекул углекислого газа, но и двухатомных компонентов О2 и СО,

© Е. В. Кустова, Е. А. Нагнибеда, 2010

а также с учетом неравновесных обменных химических реакций, идущих в смеси. В работе приведена замкнутая система уравнений, описывающих течение рассматриваемой смеси в пятитемпературном приближении, и даются формулы для вычисления потоковых и релаксационных членов в этих уравнениях.

2. Кинетические процессы. Основные уравнения

Рассмотрим кинетические процессы, происходящие при столкновениях частиц в пятикомпонентной смеси CO2/O2/CO/C/O.

Линейная трехатомная молекула СО2 имеет три типа колебаний: симметричные, дважды вырожденные деформационные и антисимметричные с частотами vi, V2, V3 соответственно. Сложная колебательная кинетика процессов, происходящих при столкновениях компонентов смеси, включает внутримодовые обмены колебательными энергиями в каждом типе колебаний СО2 (VVm (m = 1, 2,3)) и в молекулах О2 и СО (VVo2 , VVco ), переходы поступательной энергии в колебательную энергию каждой моды VTm (m = 1, 2, 3), VTo2, VTco; межмодовые обмены в молекулах СО2: VVi_2, VV2-3, VVi-2-э, также VV обмены колебательными энергиями при столкновении молекул разных химических сортов VV3-co, VV2-co, VV1-2-co, VV1-o2, VVco-o2. Кроме того, в рассматриваемой смеси происходят химические реакции диссоциации-рекомбинации

CO2(ii,i2,is)+ м ^ CO + O + M, (1)

CO(i) + M ^ C + O + M, (2)

O2(i)+ м ^ O + O + M, (3)

и обмена

CO2(ii,i2,is)+ O ^ CO(i)+ O2(k), (4)

CO(i) + O ^ O2(k) + C, (5)

CO(i)+ CO(k) ^ CO2(ii,i2,is)+ C. (6)

Здесь i, k — колебательные уровни молекул СО и О2, *i, *2, *3 — колебательные уровни трех типов колебаний молекулы СО2.

Эксперименты по измерению времен релаксации показывают, что при высоких температурах процессы, происходящие в смеси, могут быть разбиты на быстрые и медленные. К быстрым процессам наряду с релаксацией поступательных и вращательных степеней свободы (с характерными временами Ttr, Trot) относятся все внутримодовые обмены (с временами туут, m = 1,5), а также почти резонансный обмен между

симметричной и деформационной модами (с характерным временем туу1-2). Медлен-

ная стадия включает остальные VV-энергообмены, VT-переходы, а также химические реакции (1)-(6). Для характерных времен релаксации выполнено следующее условие:

Ttr < Trot < TVVm ~ TVVl-2 < TVVi-2-3 ~ TVV2-3 ~ TVV3-CO ~ TVVi-2-CO ~

~ tVVi-o2 ~ tVVco-o2 ~ TVTm <Treact ~ в, m =1,..., 5. (7)

Времена релаксации медленных процессов по порядку величины сравнимы со средним временем изменения газодинамических параметров в и поэтому в газодинамическом масштабе эти процессы протекают в режиме сильной неравновесности.

Соотношение (7) позволяет использовать асимптотический метод решения кинетических уравнений для функций распределения в рассматриваемой смеси, представляющий собой обобщение метода Энскога—Чепмена для трехатомных газов с быстрыми и медленными процессами [5-7]. Для двухатомных газов кинетическая теория сильнонеравновесных процессов рассмотрена в [10]. При условии (7) на основе обобщенного метода Энскога—Чепмена функции распределения выражаются через макропараметры, для которых выводится замкнутая система уравнений, описывающих течение неравновесной пятикомпонентной смеси.

Наличие быстрых внутримодовых УУт (т = 1,..., 5) обменов позволяет ввести колебательные температуры различных типов колебаний, а быстрый УУ1-2 обмен дает возможность рассматривать объединенную (симметричную деформационную) моду СО2 с общей температурой Т12. Вследствие этого набор макропараметров, дающих замкнутое описание неравновесного потока, содержит числовые плотности химических компонентов смеси пс(г, £) (г — координата, £ —время), макроскопическую скорость v(r,t) и температуру Т(г,£) газа, колебательные температуры объединенной (симметричной деформационной) и антисимметричной мод СО2 Т^г,^;), Тз(г,£) и колебательные температуры молекул СО и О2 ТУсо (г,£), ТУо2 (г,£).

Система уравнений для этих макропараметров следует из кинетических уравнений для функций распределения и описывает течение неравновесной смеси в пятитемпературном приближении. Система содержит уравнения сохранения массы, импульса и энергии, а также уравнения пятитемпературной колебательной и химической кинетики

в неравновесном потоке:

| +ру У = 0, (8)

+ псу • V + V • (псУс) = Кгсеасг, С= С02, 02, СО, О, С, (9)

р^ + Ъ-Р= 0, (10)

Ли „ „ „ ,

р— + V • q + Р : Vv = 0, (11)

да

,со2^ + V • Ч12 = Д12 - тсо2Е12Кгс^ + ЕиУ ■ (рсо2Усо2), (12)

Л Е*

Рсо2 + V • qз = 1?з - тсо^Щ Я? + Е3\7 ■ (рСо2 Vco2), (13)

Рс+ У ' Ч^Ьг = Кс ~ т^ЪгКеас1 + Е^.У ■ (РсУс), с = 02, СО. (14)

Здесь тС, рС — масса и плотность компонента с, Р — тензор напряжений, q — поток полной энергии, Vc —диффузионная скорость с-го компонента, Е12, Ез, Е^ьг (с =

О2, СО)—удельные колебательные энергии объединенной и третьей мод СО2 и молекул О2 и СО, ql2, qз, q,yiьr —потоки колебательных энергий соответствующих мод. Полная энергия в расчете на единицу массы и определяется из уравнения

3

рги = —пкТ Рто1,Его1 Ргго1ЕугЬг рЕ^ , (15)

п — числовая плотность смеси, к — постоянная Больцмана, рто1 — плотность молекулярных компонентов, Ег^, Ef —удельная вращательная энергия и энергия образова-

(17)

где £®1®2®з, £°2, ер0 —энергии соответствующих уровней молекул СО2, О2, СО. Колебательные энергии зависят от выбранной модели энергетического спектра. Для модели гармонического осциллятора заселенности колебательных уровней при условии (7) описываются неравновесными больцмановскими распределениями по колебательным энергиям [7, 10]:

Здесь Я™2 (^12,13), Я0^ (Ту02), (Тусо) —неравновесные колебательные статисти-

ческие суммы, 5^1 г2г3 = *2 + 1 —статистический вес молекул СО2.

При учете ангармоничности молекулярных колебаний заселенности уровней имеют более сложный вид обобщенных триноровских распределений [5] и зависят не только от колебательных температур, но и от температуры газа.

Релаксационные члены ЩСеасг (с = СО2, О2, СО, О, С) описывают химические реакции (1)—(6), а члены Д12, Дз, Дс (с = О2, СО) характеризуют изменения колебательной энергии в соответствующей моде за счет медленных энергообменов и реакций. Следует отметить, что УТ-релаксация молекул СО2 осуществляется в основном за счет УТ2-переходов энергии. Это объясняется несколькими факторами. Во-первых, колебательный квант симметричной моды значительно больше кванта деформационной моды (^1 > ^2), во-вторых, УТ1-переходы оказываются оптически запрещенными. Кроме того, анализ времен релаксации показывает, что роль УТ3-переходов пренебрежимо мала, и антисимметричная мода релаксирует в основном за счет межмодовых колебательных обменов. Поэтому при вычислении релаксационных членов процессы УТ1 и УТ3 можно не учитывать.

3. Процессы переноса. Потоковые члены

Потоковые члены в уравнениях (9)—(14) определяются на основе метода Энскога— Чепмена, обобщенного для рассматриваемой пятикомпонентной смеси при условии (7). Нулевое приближение соответствует течению невязких нетеплопроводных газов: диффузионные скорости и потоки энергии равны нулю, а тензор напряжений имеет диагональный вид Р = р1, р — гидростатическое давление, I —единичный тензор.

Рассмотрим структуру диссипативных членов, определяемых функцией распределения первого приближения. Для этого используем теорию процессов переноса для двухатомных газов с сильной неравновесностью [10], для чистого СО2 в условиях быстрого УУ 12-обмена и ангармоничности колебаний [5], для смеси СО2/^2 [6, 8] и для смеси

(18)

(19)

(20)

СО2/СО/О в приближении гармонических осцилляторов [7]. В рассматриваемой пятикомпонентной смеси в первом приближении функции распределения имеют вид

= С.«(- ;Асо* -7Ь.Г- 1*^ ■ ?Ь.1Ь - ■ УВД -

-\Т.^сом-Лл-1-Вл1-.^ - ±Рсо,»У-* - ^Л,Д (21)

й '

-\асЦ.Ъ\ „Т - lAgn.Vb.IV. - ^Ес'«

й

---V • V — — С?СгМ, с = О2, СО, (22)

/

/с(1) = /с(0) (- -Ас • VII!Т - - ЕВ^ ^ - -Бс : Vv-

V п п ^' п

4 й

--РсУ-ч--СЛ, с = О, С. (23)

п п )

Здесь /С(0)), /С1 — функции распределения нулевого и первого приближений молекул СО2, О2, СО и атомов О и С, у —вращательный уровень, для СО2 индекс г = (*]_, *2, *з), dc —диффузионные термодинамические силы. Функции Лсп, Л(12), А(1, Л^1^, ВСп, РСг], Осп определяются как решения линейных интегральных уравнений, полученных в [7] для углекислого газа и в [10] для двухатомных компонентов.

Для тензора напряжений в первом приближении имеем выражение

Р = (р - Рге1) I - 2п ® - С V•vI, (24)

где рге1 —релаксационное давление, Я — тензор скоростей деформаций, п и С — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости.

Коэффициенты п, С и Рге1 определяются функциями ВСгу, РСг^, Осц :

П= — [В,В\, С = кТ [Р,Р\, Рге1 = кТ[Р,С\. (25)

Через [А, В] обозначены скобочные интегралы, вводимые в кинетической теории и содержащие в нашем случае сечения столкновений в быстрых процессах [10].

Появление объемной вязкости и релаксационного давления в диагональных компонентах тензора напряжений вязкого газа связано с быстрыми неупругими нерезонансными процессами в рассматриваемом газе. Если молекулярные спектры описываются моделью гармонических осцилляторов, то УУ-, УУ1_2-обмены оказываются резонансными, поэтому рге1 и £ определяются только переходами вращательной энергии: Ртс1 = Рrr0etl, С = Стог.

Диффузионные скорости в пятикомпонентной смеси определяются по формулам

Ус = ^ ' Dcйdй — DTcV 1П Т С = l, ..., 5, (26)

й

/(1) = / ■> СП ■> с

(0)

где 0Сй, ВтС — коэффициенты диффузии и термодиффузии:

ОсЛ=^[Т)с,Т>% ВТс=^[Т)с, А]. (27)

3п 3п

Поток полной энергии в рассматриваемом случае определяется градиентами пяти температур и описывается выражением

Ч = — AVT - AvI12VT12 — AvI3VT3 — ^^ AvIcVTV0 — р£^ dc + Рс^-сУ^ (28)

с=02,С0 с с

где А = Агт + Атог — коэффициент теплопроводности поступательных и вращательных степеней свободы, А12, А3 —коэффициенты теплопроводности объединенной и антисимметричной мод СО2, Ау,с — коэффициенты теплопроводности двухатомных компонентов, кс — удельная энтальпия компонента с.

Потоки колебательных энергий записываются в виде

Ч12 = —Al2VTl2, Ч3 = —AзVTз, (29)

Чугьт = —Av,cVTV0, С = O2, С°. (30)

Коэффициенты теплопроводности выражаются через скобочные интегралы:

А = | [А, А], Ли = | |А<12), А<12)],

А3 = |[А®,А<3>], Л„ = | [А*"1’, А<01>]. (31)

Следует иметь в виду, что при учете ангармоничности молекулярных колебаний

тепловой поток и потоки колебательных энергий имеют более сложный вид: в выражения для потоков входят дополнительные коэффициенты теплопроводности, связанные с нерезонансными переходами в быстром процессе. Эти коэффициенты существенны в условиях сильного колебательного возбуждения, когда температуры колебаний заметно превосходят температуру газа. Если колебательные температуры ниже температуры газа, ангармонизм колебаний играет незначительную роль, и дополнительные коэффициенты теплопроводности малы по сравнению с Ау,с.

(12) (з)

Для вычисления коэффициентов переноса неизвестные функции АСП, ЛСп , АСП,

Л(°п1), Всгп, ¥сц, Осгп представляются в виде рядов по ортогональным полиномам Сонина и Вальдмана—Трубенбахера [7, 11]; для коэффициентов рядов выводятся линейные алгебраические уравнения. Диссипативные коэффициенты выражаются через решения алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются скобочные интегралы. Математическая теория процессов переноса и методы решения линейных транспортных систем рассмотрены в [11], алгоритмы вычисления коэффициентов переноса в смесях с колебательной и химической неравновесностью для двухатомных газов даны в [10]. В [7] приведены транспортные системы и их решения для смеси, содержащей молекулы углекислого газа. При рассмотрении сложных молекул встает важный вопрос о выборе базисных функций для полиномов Вальдмана—Трубенбахера. В настоящей работе так же, как в [7], использовались тройные разложения по полиномам Вальдмана—Тру-бенбахера, а основания полиномов выбирались в соответствии с видом правых частей уравнений для функций распределения первого приближения. Такой вывод базисных функций обеспечивает наиболее быструю сходимость используемых разложений.

4. Релаксационные члены

Источниковые члены в уравнениях (9), (12)—(14) описывают кинетику медленных процессов, в число которых входят замедленные энергообмены и химические реакции. Рассмотрим сначала правые части уравнений (9) для числовых плотностей компонент смеси:

Кгеаа =^2(^88,с + ЩХСН,С), (32)

г

(заметим, что здесь и далее для молекул СО2 суммирование по г означает суммирование по колебательным уровням трех мод *1, *2, *з). Выражения для д*яя’С при разных с имеют вид

ту^вв,СО2 ^ ^ // М 1 М \ /оо\

^г^гз / у ПМ \krec,ilІ2Із ПСО пО 111213, dissnilІ2Із) , (33)

М

udiss,CO Л CO,M j CO,M CO А (ол\

Ri =2^ nM [Kecli nCnO - ki, diss ni ) , (34)

M

Rdiss,o2 = £ nM (A&cMnO - *£diMnO2) , (35)

M

kMi2i3,diss, kMc,i!i2i3 , ^i — поуровневые коэффиЦиенты скорости дисс0циации

и рекомбинации, M — партнер по столкновению.

тт 7-~>exch,c

Для Ri можем записать:

дГС^С = £ 53 (к^Ч'г' иа,к, - к' «сг^к) , (36)

dc' d' кг' k'

кы^С$гк , к£/к—поуровневые коэффициенты скорости обменных реакций.

Поуровневые коэффициенты скорости диссоциации СО2 можно представить с помощью обобщения модели Тринора—Маррона [12] для трехатомных молекул:

,М = ЯуЛг{Т) (£^2гз(1 1\\,ед,М (~7)

ЙЫз.Л»» к ут+ и) )*Лг88 ■

Здесь Zviьг — равновесная колебательная статистическая сумма, к^’в — термически равновесный коэффициент скорости диссоциации, V — параметр модели. Коэффициент скорости рекомбинации определяется с помощью принципа детального баланса:

/ \ 3/2 7СО2 (ГР\

км (Т) = км та°°2 I (Г>тткТ)-3^^" тоЬ [ } у.

^гес, гхг^гъ \± ) Гь1\12г2>, diss I у^1\гь±) и оЪ1Ъ2гг г^СО

’ 1 2 3 12 \mcomc/ ZCnO

' и-'—-)■ (38)

h — постоянная Планка, 2 —вращательная статистическая сумма CO2, ZC°) —ста-

тистическая сумма по внутренним степеням свободы молекул CO. Коэффициенты скорости прямых и обратных обменных реакций также связаны принципом детального баланса.

Для коэффициентов скорости диссоциации двухатомных компонентов имеем

kt%8 = ztbA-u)ехр (i + Ti)) ^’М с = С0, °2’ (39)

25

/ m \ 3/2 / „CO I „CO cC CO

C:fm = tS’f (^) ійяі-*«ед(п«,' '• +£ -* -*

kT

3 2 (40)

*%№) = (^)3/2 (2^^)-3/2^^°02t(T)exp ^-£г°2~г2£°") • (41)

Вычисление правых частей уравнений (9) с использованием поуровневых коэффициентов скоростей реакций вызывает трудности, связанные как с громоздкостью формул, содержащих поуровневые коэффициенты, так и с недостатком имеющихся в литературе данных относительно этих коэффициентов. Поэтому целесообразно представить правые части уравнений (9), вводя в рассмотрение многотемпературные коэффициенты скоростей реакций. В рассматриваемом пятитемпературном приближении получаем следующие выражения для источниковых членов, описывающих диссоциацию и обменные реакции:

RCOs2 =£nM (kMc, CO2 (T) nCO nO - kMO2, diss (T,Ti2,T3) nCO^ , (42)

M

RCOs = £nM (Є, co (T) nC nO - kMO, diss (T, TvCo) no^ , (43)

M

ROT ^«M (krMc, O2 (T) nO - kM2, diss (T,Tvo2) noj , (44)

M

RT°n = Е {k'c'^c (T, Tvo ,, Tvd , )nc>nd , - kcd-d' (T, Tv0, Tvd )ncn^ . (45)

dc'd'

Приведенные выражения содержат трехтемпературные коэффициенты скорости диссоциации СО2, обменных реакций и двухтемпературные коэффициенты скорости диссоциации двухатомных молекул кМо2 ,diss(T,T12,T3), к^$ (т ТУС, Тул), kMdiSS (т Тус). Коэффициент скорости диссоциации СО2 можно записать в виде, полученном в [7] на основе обобщения модели Тринора—Маррона в трехтемпературном приближении:

Z СО2 (т)

гМ /''т-' ггл \ _ 751^________________у1Ъг у /

КС02, Мззк1 I112,-1-3) — К,ц88 7С02 (_и)г?С°2 I

VI'

rirCO2 ( ТТ\ 7CO2 /ф гр \

Zvibr ( )Zvibr (T 12, ^з)

Е/. . А*1^100 + *2Є010 А 1 1 А . *3£001 А 1 1 А , ЄііІ2Із\ /лг\

(,2 + 1)е*р^-----------+ (46)

І1,І2,І3

Для коэффициента скорости рекомбинации получаем

kfec,co2(T) = k%02tdiaa (^^)3/2 ^kT)-^Z^2{T^p{T) x

— >- — ;

х “р (----------Иг------) ■ (47)

Для вычисления трехтемпературных коэффициентов скорости обменных реакций, входящих в уравнения (45), могут быть использованы модели Парка [1, 13], Кнаба [14], обобщенные для углекислого газа, а также аналитические выражения, приведенные в

[15]. Для коэффициентов скоростей диссоциации двухатомных молекул в рассматриваемом приближении имеем [10]

. М _ ^УІЬгХ^^УІЬгі'Еіа) 1 ___і______/ДО\

с,<йвв гстЬг{-и)гстЬг{тУсу ти тУс ти' 1 ;

Коэффициенты скорости рекомбинации с образованием двухатомных молекул вычисляются на основе соотношений

/ ш \3/2 / гс _ го

^ссо(т) = *&>,«.. ( —^ ) (2*кТ)-3'Ч3г°°(Т) ехр (------------—

\шс шо / \ &Т

и (49)

^с,о2СО = *о2,Лвя (^) 7 (2пкТ)-312к3г^п\(Т) ехр . (50)

Обратимся теперь к правым частям релаксационных уравнений (12)—(14), описывающих колебательную кинетику медленных процессов, идущих в смеси. Рассмотрим выражения, характеризующие изменения колебательных энергий Е12, Ез, ЕС^ (с = О2, СО):

Д12 _ (2*1 + г2)ео1оДг1г2гз, (51)

г1 ,г2 ,гз

Дз = Е *3^001 ^^гз,

(52)

где

Д. . _ ДУТ2 + п^^2-з + п^^1-2-з + Р^^з-со + п^^2-со , дУУ1-2-с° _|_дУУ1-°2 \Rreact

Дг1г2гз Лг1г2гз ^^г^гз ^^^гз ^^^гз ^^^гз ^^^з +Лг1г2гз ^^^з,

(53)

а также / \

До2 _ Е еО2 (Д7Т02 + йГУ1-02 + дГСо-°2 + Д^^А , (54)

г

ДСО _ Е £С^дуТс° + дуУз-С° + дгуу'1-2-с° + ДУУ2-С° + дууС°-°2 + д^’^А .

г

(55)

Приведенные формулы содержат члены, описывающие изменение заселенностей колебательных уровней компонентов смеси за счет замедленных энергообменов. Процессам УТ-релаксации соответствуют выражения

ДУТ2 _ п (п- • • кМ + п- • • кМ —п - ■ (кМ + кМ ^

дг1г2гз _ / / ПМ ^пг1,г2,гз кг2-1^г2 + пг1,г2,гз кг2 + 1^г2 пг1,г2,гз \кг2^г2-1 + кг2^г2 + :Ш ,

М

(56)

ДУТс _Епм (пС_1кС-М^г + пС+1кС!+М^г - «С (кСМ- + кСМ+Л) , с _ О2, СО. (57)

Здесь и далее через к^^ + 1, кС^+1 обозначены коэффициенты УТ-переходов колебательной энергии различных мод при столкновении с партнером М. Эти коэффициенты считаются независящими от уровней мод, не меняющихся при данном столкновении,

и поэтому при записи правых частей в последних уравнениях номера уровней, не изменяющихся при столкновении, опущены. Изменение заселенностей уровней молекул СО2 за счет межмодовых УУ-переходов характеризуются формулами

УУ2-з ( М М

УУ2-з М М

Дг1г2гз / и пМ \Пг1 ,г2 —3,гз + 1кг2 —3,гз + 1—^^з + пг1’г2+3,гз — 1кг2+3,гз — 1—

М

Пг1’г2’гз (к*2,гз—г2 +3,гз —1 + кг2 ,гз—г2 —3,гз + 1) ) , (58)

1 _ 2 _ з \ ^ ( 7

Дг1г2гз / у Пм \Пг1 —1,г2 —1,гз + 1кг1 —1,г2 —1,гз + 1——г1 ,г2,гз +

М

+ Пг1 + 1,г2 + 1’гз — 1 кг 1 + 1,г2 + 1,гз — 1——г1 ,г2 ,гз

— Пг1,г2’гз (кг1,г2,гз—г1 + 1,г2+1,гз —1 + кг1,г2,гз— н — М2 — Мз+1)) , (59)

кг^—г, ^ / —коэффициенты скорости межмодовых обменов.

Изменения заселенности асимметричной моды СО2 и молекул СО за счет межмо-дового обмена описываются выражениями

ДУУз-С° — п . . . \ кг—г+1 пСО — п • • • \ (кг+1—г пСО + кг—г+1 пСО) +

дг1г2гз _ пг1,г2,гз+1 / кгз+1—гзпг пг1,г2,гз / ! \кгз—гз+1пг+1 + кгз— гз — 1пг / +

гг

+ пг1,г2,гз —1 Е к^ 1—^з «.% (60)

г

дУУз-с° _ пСО кг+1—г п. • • -

дг _ пг+1 2-^ кгз—гз+1пг1,г2,гз

г1 ,г2 ,гз

- пСО Е (к^гзпг1,г2,гз+1 + кг——г—^«н^з) + пС—°1 Е С+1—^з«н^з+Ь (61)

г1 ,г2 ,гз г1 ,г2 ,гз

кг^^гз^ 1 —коэффициенты скорости одноквантовых энергообменов при столкновениях молекул СО2 и СО.

Аналогично могут быть записаны остальные источниковые члены в уравнениях (12)—(14). Приведенные соотношения содержат заселенности колебательных уровней и зависящие от уровней коэффициенты скоростей переходов. Коэффициенты скоростей прямых и обратных переходов связаны принципом детального баланса [7, 10]. Имеющиеся данные относительно зависящих от уровней коэффициентов скоростей переходов весьма ограничены, поэтому вычисление правых частей уравнений (12)—(14) по формулам, приведенным выше, вызывают трудности. Для практических расчетов можно использовать приближенное представление правых частей уравнений (12)—(14) через время релаксации, измеряемое экспериментально. В этом случае для упрощенных релаксационных членов получаем

д12 - ШСО2 £12дСО2 _Е д?2, д3 - ™СО2 £3дСеО2 _Е д3, (62)

7 7

рт __ Е%(Т)-Е12Ш Е?(Т)-Ез(Тз)

&\2—Рсо2------------------> Щ = Рсо2------------------^ (ЬЗ)

7

7

Y = VT2, VV2-3, VVi-2-3, VV3-CO, VV2-CO, VVi-2-co, VVi_o2,

где ty — время релаксации соответствующих процессов, — колебательные энер-

гии комбинированной и асимметричной мод в термически равновесном газе. Аналогично для двухатомных молекул:

R02 - «02EO2brROT = Е RO2, Y = VT02, VVi-O2, VVco-02, (64)

Y

RC0 - mC0EC°rRCoCt = E RC0’ Y = VTC0? VV3-C0? VV2 —CO? VV1 — 2 —CO? VVC0-02 ?

Y (65)

EC,eq(T) _ Ec (T )

щ = рс-^-^---------^ЬгЛ с = 02, CO, (66)

TY

Е^ьГ —колебательная энергия двухатомных молекул термически равновесного газа. Значения времени релаксации колебательных энергий различных газов можно найти, например, в [16, 17].

Использование приведенных выше приближенных соотношений с учетом экспериментальных данных о времени релаксации значительно упрощает процедуру численного решении системы уравнений неравновесного потока.

5. Заключение

В работе приводится замкнутая система уравнений, описывающих высокотемпературные течения неравновесной смеси СО2/О2/СО/С/О, полученная на основе методов кинетической теории газов. Учитываются возбуждение колебательных степеней свободы молекулярных компонентов, химические реакции диссоциации, рекомбинации и обмена. Принимаются во внимание условия сильной неравновесности, структура молекул углекислого газа и разные скорости энергообменов. Даны формулы для потоковых и релаксационных членов в уравнениях переноса и релаксации. Потоковые члены представлены через градиенты макропараметров и коэффициенты переноса, для которых даются формулы, выражающие их через скобочные интегралы. Рассмотрены два подхода для вычисления релаксационных членов. При строгом подходе релаксационные члены выражаются через зависящие от колебательных уровней коэффициенты скоростей процессов и заселенности уровней. При приближенном подходе — через времена релаксации, измеряемые экспериментально. Результаты, представленные в работе, могут быть использованы при реализации численных схем для расчетов неравновесных высокотемпературных течений реагирующих вязких газов в ударном слое у космических аппаратов при их входе в атмосферу Марса. Дальнейшее уточнение предлагаемой кинетической модели может быть достигнуто в результате учета ангармоничности молекулярных колебаний, а также при включении в кинетическую схему молекул азота N2.

Литература

1. Park C., Howe J. T., Howe R.L., Jaffe R.L., Candler G. V. Review of chemical-kinetic problems of future NASA missions. II: Mars entries // J. Thermophys. Heat Transfer. 1994. Vol. 8. N1. P. 9-16.

2. Thomson R. M. The thermal conductivity of gases with vibrational internal energy // J. Phys. D: Appl. Phys. 1978. Vol. 11. P. 2509-2514.

3. Brun R. Transport properties in reactive gas flows // AIAA Paper, 88-2655, 1988.

4. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. State-to-state theory of vibrational kinetics and dissociation in three-atomic gases // Rarefied Gas Dynamics / Eds. T. J. Bartel and M. A. Gallis. AIP Conference Proceedings. 2001. Vol. 585. P. 620-627.

5. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. Nonequilibrium distributions in CO2 and their influence on the transport and thermodynamic properties // Rarefied Gas Dynamics / Ed. R. Brun. 1999. Vol. 2. P. 289-296.

6. Кустова Е.В., Нагнибеда Е. А. Колебательная кинетика и перенос тепла в смесях CO2/N2 // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб.: НИИ химии С.-Петерб. ун-та, 2002. C. 54-81.

7. Kustova E. V., Nagnibeda E. A. On a correct description of a multi-temperature dissociating CO2 flow // Chem. Phys. 2006. Vol. 321. P. 293-310.

8. Кустова Е.В., Пузырева Л. А. Коэффициенты переноса в 5-температурной смеси CO2/N2 // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб.: ВВМ, 2006. C. 17-31.

9. Сыз'ранова Н.Г., Шевелев Ю.Д., Кустова Е. В., Нагнибеда Е. А. Численное исследование влияния термохимических процессов на обтекание и теплообмен аппарата при спуске в атмосфере Марса // Всероссийский семинар по аэрогидродинамике: Избранные труды, Санкт-Петербург, 5-7 февраля 2008 г. С.-Петерб. гос. ун-т, СПб., 2008. С. 93-99.

10. Кустова Е. В., Нагнибеда Е. А. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с.

11. Ern A., Giovangigli V. Multicomponent transport algorithms. New-York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1994. 427 p.

12. Marrone P. V., Treanor C. E. Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibrational levels // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. N 9. P. 1215-1221.

13. Park C. Nonequilibrium hypersonic aerothermodynamics. New-York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: J. Wiley and Sons, 1990. 359 p.

14. Knab O., Fruhauf H. H., Messerschmid E. W. Theory and validation of the physically consistent coupled vibration-chemistry-vibration model // J. Thermophys. Heat Transfer. 1995. Vol. 9. N2. P. 219-226.

15. Capitelli M., Ferreira C.M., Gordiets B.F., Osipov A.I. Plasma kinetics in atmospheric gases. Berlin: Springer-Verlag, 2000. 302 p.

16. Макаров В. Н., Лосев С. А. Использование базы данных физико-химических процессов для формирования системы уравнений химически реагирующего и колебательно релаксиру-ющего газа // Хим. физика. 1997. Т. 16. №5. С. 29-43.

17. Ачасов О. В., Рагозин Д. С. Константы колебательного энергообмена в лазерно-активных средах CO2-^^n! с добавками O2, H2, H2O и CO. Препринт №16, Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова. Минск, 1986. 52 с.

Статья поступила в редакцию 14 января 2010 г.