CC BY
42
ГЕОДЕЗИЯ И МАРКШЕЙДЕРИЯ
УДК 528:519.6
РЕГУЛЯРНЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНИВАНИЮ ОРБИТАЛЬНЫХ,
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Юрий Венедиктович Сурнин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)361-01-59, e-mail: surnin@ssga.ru
Рассматривается задача выбора количественного и качественного состава оценивания орбитальных, геодезических и геодинамических параметров по результатам траекторных измерений космических аппаратов в динамическом методе космической геодезии. Решение задачи осуществляется в регулярной постановке, в которой требуется соблюдение трех основных условий: адекватности математической модели, наблюдаемости модели и состоятельности алгоритма оценивания параметров модели. Рассмотрено построение s-адекватной математической модели (s - скаляр, характеризующий точность исходной информации) измеряемого выхода динамической системы, образованной созвездием космических аппаратов и сетью наземных пунктов. Отмечается глобальная и локальная ненаблюдаемость модели динамической системы по измеряемому выходу. Для решения проблемы ненаблюдаемости модели предлагается выделять информативную (устойчивую) часть решения задачи поэтапно. Вначале путем физической и алгебраической декомпозицию математической модели система уравнений приводится к виду, близкому к клеточно-диагональной структуре. На заключительном этапе делается регуляризация решения клеточно-диагональной системы уравнений как «слева» - матрицы коэффициентов, так и «справа» - вектора свободных членов. В результате такой декомпозиции и регуляризации конструируется автоматический (самонастраивающийся) алгоритм выбора состава и устойчивого оценивания информативных параметров, сохраняющих физический смысл.
Ключевые слова: космическая геодезия, динамическая система, спутниковые измерения, оценивание параметров, наблюдаемость, декомпозиция, регуляризация решения.
REGULAR APPROACH TO ORBITAL, GEODETIC AND GEODYNAMIC PARAMETERS ESTIMATION BY SATELLITE MEASUREMENTS RESULTS
Yuri V. Surnin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., senior researcher, tel. (383)361-01-59, e-mail: surnin@ssga.ru
6
Геодезия и маркшейдерия
The problem of choosing qualitative and quantitative components for estimating orbital, geodetic and geodynamic parameters by the results of space vehicle trajectory measurements using dynamic method of satellite geodesy. The problem is solved in regular formulation, with three basic conditions to be satisfied: mathematical model adequacy and observability and consistency of algorithm for model parameters estimation. Construction of s-adequate mathematical model (s - scalar, characterizing the initial information accuracy) of the dynamic system output to be measured is considered. The system is formed by spacecraft constellation and geodetic network points. Global and local non-observability of the dynamic system output model is stated. To overcome nonobservability of the model it is suggested to mark out informative (stable) part of the problem solution stage-by-stage. First, the combined equations are reduced to the form close to cellular-diagonal structure by physical and algebraic decomposition of mathematical model. At the final stage, regularization of cellular-diagonal combined equations solution is performed both from «the left» (coefficients matrix) and «the right» (free terms vector). As a result of this decomposition and regularization, automatic (self-adaptive) algorithm is synthesized for choosing composition and stable estimation of informative parameters retaining physical meaning.
Key words: satellite geodesy, dynamic system, satellite measurements, parameters estimation, observability, decomposition, solution regularization.
Рассматривается проблема оценивания состояния динамической системы (ДС) в виде параметров Q. Динамическая система образована созвездием космических аппаратов (КА) и сетью наблюдательных наземных пунктов (НП). По результатам измерений топоцентрических расстояний р между НП и КА определяются те параметры q czQ модели ДС, которые требуют уточнения.
Регулярная постановка и строгое решение задачи требуют соблюдения трех основных условий [1, 13].
1. Математическая модель измеряемого выхода ДС с вектором состояния Q должна быть s-адекватна. Скаляр s, характеризующий погрешность модели ДС в пространстве измерений, должен быть меньше величины погрешности наблюдений р.
2. Математическая модель должна быть наблюдаема. Она должна обеспечивать взаимно однозначное соответствие между множеством измерений р и множеством параметров q с Q, требующих уточнения.
3. Алгоритм оценивания параметров q должен быть оптимальным и состоятельным. Он должен давать несмещенные и эффективные оценки и обеспечивать сходимость по вероятности к истинным значениям параметров при увеличении числа измерений.
С целью выполнения первого условия регулярности вводится в рассмотрение следующая математическая модель [10]:
PQ 0 = р + А (1)
которая связывает измеренное расстояние р с параметрами состояния Q динамической системы в текущий момент времени t и случайными погрешностями v измерений и модели.
7
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Вектор состояния Q разбивается на два подмножества
Q = {q. g}, (2)
где g - вектор параметров модели ДС, значения которых известны с достаточной точностью и для них не требуется уточнения; q - вектор оцениваемых параметров модели ДС, которые известны приближенно и для них требуется получить уточненные значения.
Критерием предварительного выбора состава оцениваемых параметров q может служить условие
[max(dp/dq)]Gq >ар, (3)
X
где <зр, <5q - погрешности измерений р и параметра q [21];
max(3p/3q) - максимальное значение коэффициента чувствительности
X
измерения р к параметру q во всей области измерений х.
Линеаризация модели (1) в окрестности приближенных значений оцениваемых параметров q0 приводит к выражению [15]
р°- (Ar - AR) = р - р0 + v, (4)
где р° - орт топоцентрического направления на спутник в момент наблюдения t;
Р0 = p(qo, g, t) - вычисленное значение топоцентрического расстояния с помощью приближенного вектора q0 и «точного» вектора g на момент наблюдения t.
Динамическая часть модели (4) представляется в виде вектора поправок Ат в вычисленные координаты спутника r0 = r(q0, g, t) по приближенному вектору q0 на момент измерения t следующей зависимостью [4, 5]:
Ar = dr(q, g, t)/dq I qo Aq. (5)
Кинематическая часть модели (4) представляется вектором поправок AR в вычисленные координаты наземного пункта R0 = R(q0, g, t) по вектору q0 на момент наблюдения t следующим выражением
AR = dR/dq I qoAq. (6)
В формулах (5) и (6) Aq - вектор неизвестных поправок в q0
Aq = q - q0. (7)
В матричном виде линеаризованные уравнения (4) для N измерений и M неизвестных можно записать так
8
Геодезия и маркшейдерия
AX = F + V,
(8)
где
A = ф( q0, g, t)/dq | qo (9)
- (N x M) - матрица частных производных от измеряемых функций р по оцениваемым параметрам q, вычисляемая с помощью векторов q0 и g;
F = р(0 -p(qo, g, t); (10)
- N-мерный вектор свободных членов - разность между измеряемым p(t) и вычисляемым p(q0, g, t) векторами;
X = Aq =q-qo;
(11)
- M-мерный вектор неизвестных поправок к компонентам искомого вектора qo.
Состав вектора X формируется из четырех групп оцениваемых параметров
X {Xорбит, XI
ГЛоб:
Арегиош А'лок. деф.}.
Г руппа орбитальных параметров модели (8)
(12)
XоVбш={Arns, 0ms, ams, pms, Г! (13)
для s-го спутника на эпоху Tm, соответствующей, примерно середине m-й орбитальной дуги:
AF”s - вектор поправок в начальные условия движения;
0ms
- вектор параметров модели светового давления;
ms
а - вектор параметров модели активных сил;
pms - вектор параметров модели хода часов на борту s-го спутника;
Pmsr
- вектор параметров модели хода часов r-го приемника наземного пункта.
Группа глобальных параметров модели (8) относительно общеземной системы координат (ОЗСК) эпохи T0:
Атлоб {фиm, AR , ©IS
(14)
где Gnm = {Cnm, Snm} - набор гармонических коэффициентов гравитационного поля Земли;
AR1 = {AR0, R', R"}1 - вектор параметров модели индивидуального движения /-го наземного пункта;
ш = {yp, xp, AUT1} - вектор параметров модели вращения Земли (ПВЗ).
Г руппа региональных параметров движения тектонической плиты п относительно ОЗСК:
9
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Хрегион = {g%, Ю%}, (15)
К ( К К Къ
где g = {gx , gy , gz } - вектор параметров поступательного движения плиты к; Ю = {юх , Юу , ®z } - вектор параметров вращательного движения плиты к. Группа параметров модели локальной деформации [20] в зоне у плиты к:
Хлок. деф. = {e”, Е4}, (16)
где e% = {ex, ey, ez}Ку - вектор параметров нормальной деформации;
Е = {ex, ey, sz}% - вектор параметров сдвиговой деформации.
Опуская детализацию динамической части (5) модели (4), которая рассмотрена в работах [2, 4, 5, 9-13, 15], рассмотрим кинематическую часть (6) модели (4). В «инерциальной» небесной системе координат (ИНСК) эпохи Tc кинематическая модель (6), представляющая собой изменения координат произвольного наземного пункта AR^k, может быть представлена выражением [18]
Ачинск = dR/dq | q0Aq, Ачинск = PNTTSTАЛозск, (17)
где P, N, S - соответственно матрицы прецессии, нутации и звездного времени, связанные с эпохами Tc и t;
ARозск - вектор изменения координат произвольного наземного пункта в общеземной системе координат (ОЗСК) эпохи Т0 под влиянием четырех факторов:
ARr
AR
индивид. движ.
+ AR
глоб. вращ.
+ AR7
тект. плит
+ AR
,7Ту
лок. деф..
(18)
Индивидуальное движение наземного пункта (НП)
Rиндивид. движ. = AR°i +R,i4 +R"i ?12, t = Т- T0, (19)
где AR0i, R\, R" i - векторы поправок в начальное положение i-го НП в эпоху Т0, его скорость и ускорение.
Глобальные неправильности вращения Земли
AR глоб. вращ. RЮ (20)
где ю = {yp, xp, -AUT1} вектор параметров вращения Земли;
Rro - кососимметричная матрица, составленная из координат вектора НП
" 0 Zq -Yq "
к = - Zq 0 Xq . (21)
_ Yq - Xq 0
10
Геодезия и маркшейдерия
Региональное движение k-го НП (индекс k пробегает все пункты плиты п),
К п
вызванное поступательным g и вращательным ш движением плиты п,
ЛЯКтект. плит = -gK - ЯКЮ ■ ЮК. (22)
Локальная деформация в зоне у плиты п
ЛЯ^лок. деф. = -Яле-ежу - Я*^, (23)
где Re и R8 - диагональная и симметричная матрицы, составленные из координат k-го НП (индекс к пробегает все пункты в зоне у плиты п).
Объединяя выражения (17)-(23), получаем кинематическую модель движения произвольного наземного пункта относительно ИНСК
ЛЯ
инск
PTNTST [ЛЯ
i
индивид. движ.
Якш ш
(g
п
шп) - (Яке -ещ
+ Яке £пу)]. (24)
В рассмотренную кинематическую модель несложно включить уточнение некоторых параметров модели прецессии и нутации.
Обоснование адекватности модели динамической системы (4) в целом и ее составных частей (5) и (6) требует обширных экспериментов на реальной измерительной информации [6-8, 12, 16, 17], которые остаются за пределами данной статьи.
Второе условие регулярности требует анализа наблюдаемости модели ДС (8). Как показывают предварительные теоретические и экспериментальные исследования, модель (8) является как локально, так и глобально ненаблюдаемой [1].
Одна из причин глобальной ненаблюдаемости модели ДС кроется в отсутствии в составе спутниковых измерений направлений между наземными пунктами и небесными телами. Измеряемые топоцентрические расстояния между НП и КА не дают полностью информацию о взаимной ориентировке ОЗСК и ИНСК.
Одной из причин локальной ненаблюдаемости ДС некоторых параметров движения плит и локальной деформации является расположение сети наземных пунктов только на поверхности Земли.
Для выполнения второго условия регулярности, в частности глобальной наблюдаемости, необходимо, прежде всего, привлечение дополнительной измерительной информации такого же уровня точности. Во-первых, - данных радиоинтерферометрии со сверх длинными базами (РСДБ), во-вторых, - данных привязки бортовых и наземных часов к шкале единого времени. Вместе с тем, помимо привлечения этой дополнительной измерительной информации необходимо фиксировать (не уточнять) некоторые глобальные параметры ориентации Земли и бортовых часов. Количество фиксируемых параметров зависит от вида и количества дополнительной информации.
11
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Для обеспечения локальной наблюдаемости системы уравнений (8) и выделения устойчивой части решения в плохо обусловленных блоках матрицы A необходима физическая и алгебраическая декомпозиция матрицы A как в пространстве измерений, так и в пространстве оцениваемых параметров [14, 19].
Физическая декомпозиция сближает оба пространства, сохраняя физическую интерпретацию как оцениваемых параметров, так и измерений. Преобразованная матрица A приобретает структуру, близкую к блочно-диагональному виду. Вне диагонали располагаются а-клетки, норма которых (порядка а) во много раз меньше нормы диагональных клеток. Такая структура матрицы A позволяет корректно выделять устойчивую часть решения задачи без потери информации.
Алгебраическая декомпозиция преобразованной таким образом системы уравнений (8) осуществляется по методике С. К. Годунова [3, 14, 19] с помощью сингулярного разложения матрицы A. Она формальным образом изменяет пространства измерений и оцениваемых параметров и, тем самым, приводит к потере физической интерпретации преобразованных элементов матрицы A. Чем полнее проводится физическая декомпозиция системы (8), тем больше преобразованных параметров сохраняют свой смысл, тем проще и понятнее дальнейшее использование и интерпретация получаемых результатов.
Совместное применение физической и алгебраической декомпозиции [14, 19] задачи (8) и регуляризация [3, 14] как матрицы коэффициентов A (регуляризация «справа»), так и правой части F (регуляризация «слева») облегчают выполнение третьего условия регулярности. Это позволяет получать несмещенные, эффективные и состоятельные оценки устойчиво определяемых параметров модели и исключать из процесса уточнения статистически незначимые параметры модели динамической системы. В результате такой декомпозиции и регуляризации конструируется автоматический (самонастраивающийся) алгоритм выбора количественного и качественного состава и устойчивого оценивания информативных параметров модели, сохраняющих физический смысл.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Брандин В. Н., Разоренов Г. Н. Определение траекторий космических аппаратов. -М.: Машиностроение. 1978. - 216 с.
2. Бузук В. В., Канушин В. Ф. Постановка проблемы динамической геодезии как развитие пространственно-временной геодезической краевой задачи Молоденского // Вестник СГГА. - 1999. - Вып. 4. - С. 39-41.
3. Годунов С. К. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах, 2-е изд., пер. и доп. - Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1992. - 360 с.
4. Кужелев С. В. Алгоритм вычисления частных производных первого и второго порядков от геопотенциала по координатам ИСЗ // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. -1982. - № 5. - С. 79-86.
12
Геодезия и маркшейдерия
5. Кужелев С. В. Численные алгоритмы расчета фазовых координат и их производных по параметрам уравнений движения геодезических ИСЗ. - Новосибирск, 1988. - 26 с. Рук. деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 3.06.88 № 318-гд-88.
6. Опыт использования GPS-технологии при создании государственной геодезической сети / С. В. Кужелев, Ю. Н. Нагорный, В. И. Паншин, И. М. Долганов // Вестник СГГА. -
1997. - Вып. 2. - С. 40-44.
7. Середович В. А., Сурнин Ю. В. Создание региональной активной опорной сети геодезических пунктов в Сибири с помощью спутниковых систем связи и навигации // Вестник СГГА. - 1999. - Вып. 4. - С. 3-7.
8. Построение специальной геодезической сети на Верхне-Салымском объекте с использованием GPS-измерений / В. А. Середович, Ю. В. Сурнин, К. М. Антонович,
B. А. Скрипников, А. Н. Клепиков, Е. Г. Гиенко // Вестник СГГА. - 2000. - Вып. 5. -
C. 9-15.
9. Задача определения орбит геодезических ИСЗ и методы расчета изохронных производных / Ю. В. Сурнин и др. - Новосибирск, 1985. - 44 с. - Рук. деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 24.03.86 № 203-гд-86.
10. Математическая модель движения геодезических искусственных спутников Земли / Ю. В. Сурнин и др. - Новосибирск, 1986. - 44 с. - Рук. деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 18.01.88 № 297-гд-88.
11. Сурнин Ю. В. Программное обеспечение регулярного решения задачи определения геодезических и геодинамических параметров Земли по спутниковым и наземным данным // Алгоритмическое и программное обеспечение теорий движения ИСЗ. - Л., 1990. - С. 62-63.
12. Сурнин Ю. В., Елагин А. В. Моделирование задачи оценивания положения наземных станций и коэффициентов геопотенциала по наблюдениям навигационных ИСЗ // Вопросы математического моделирования в прикладных задачах. - Новосибирск: НИИГАиК, 1990. - С. 82-90.
13. Регулярное решение задачи определения орбитальных, геодезических и геодинамических параметров по лазерным наблюдениям пассивных космических аппаратов / Ю. В. Сурнин и др. // INTERNATIONAL SYMPOSIUM «ETALON» Satellites Laser Data Analysis. 3-9 June 1991. - Moscow. USSR. - P. 33-44.
14. Сурнин Ю. В. Сравнительный анализ непрерывной и дискретной регуляризации решения некорректных задач космической геодезии // Тез. докл. (часть III) «Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С. Л. Соболева (1908-1989). - ИНПРИМ-98». - Новосибирск. Изд. Института математики СО РАН,
1998. - С. 122.
15. Программный комплекс «ОРБИТА СГГА» для определения орбитальных, геодезических и геодинамических параметров по результатам наблюдения ИСЗ / Ю. В. Сурнин,
B. А. Ащеулов, Е. В. Михайлович, Н. К. Шендрик // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. -
C. 13-18.
16. Сурнин Ю. В. Теоретическое обоснование методики определения астрономических координат и азимутов точек на физической поверхности Земли по спутниковым и наземным данным // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 3-8.
17. Гиенко Е. Г., Сурнин Ю. В. Экспериментальная проверка методики определения астрономических координат и азимутов геодезических пунктов по GPS-измерениям и данным геометрического нивелирования // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 13-19.
18. Сурнин Ю. В. Адаптивный алгоритм аппроксимации модели вращения Земли // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 1 (12). - С. 63-69.
19. Сурнин Ю. В. Физическая и алгебраическая декомпозиция плохо обусловленных обратных задач в геодезии // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. ма-
13
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
териалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. -С. 46-51.
20. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика (Геологические приложения физики сплошных сред). В 2-х ч. Ч. 1 // М.: Мир, 1985. - 376 с.
21. Проблемы обеспечения точности координатно-временных определений на основе применения ГНСС-технологий / А. С. Толстиков, В. А. Ащеулов, К. М. Антонович, Ю. В. Сурнин // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 3-11.
Получено 24.02.2015
© Ю. В. Сурнин, 2015
14
