Преобразование основных систем координат, применяемых в космической геодезии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.783:528.236

В.И. Дударев СГГ А, Новосибирск

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В КОСМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Рассматриваются матричные преобразования векторов в основных системах координат космической геодезии.

V.I. Dudarev

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)

10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

TRANSFORMATION OF THE BASIC COORDINATES SYSTEMS APPLIED IN THE SPACE GEODESY

Matrix transformations of vectors to the basic coordinates systems of space geodesy are considered.

В космической геодезии невозможно обойтись без разнообразных систем координат и их преобразований. Это обусловлено тем, что пространственные положения различных объектов и рассматриваемых явлений определены в различных системах координат, а задача оценивания параметров состояния сложной нелинейной динамической системы должна выполняться в единой и удобной для работы системе координат.

Ниже рассмотрим основные координатные преобразования векторов из одной прямоугольной системы координат в другую, для которых применяются ортогональные матрицы простых вращений:

'1 0 0 " cosa 0 -sina

Ri(a) = 0 cosa sina , r2(°o= 0 1 0

0 -sina cosa sina 0 cosa

R3(a) =

cosa sma

-sma

0

cosa

0

0

0

1

.(1)

ox

Здесь матрица И^а) используется при вращении вокруг оси матрица 1*2(01)- при вращении вокруг оси “оу”, матрица Кз(ос) - при вращении вокруг оси “ог”. Положительным углом вращения а считается такой угол, при котором вращение системы координат происходит против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения.

Преобразование средних земных координат (OXYZ)G в истинные земные (ОХ'У2')е осуществляется двумя последовательными поворотами системы (ОХУ7)с: сначала относительно оси ОХс на угол уР, затем относительно оси ОУ0 (уже совпадающей с осью ОУ) на угол хР (рис. 1). Здесь величины хР и

уР являются координатами истинного (мгновенного) полюса Р' Земли относительно среднего полюса Р.

Рис. 1. Связь истинных и средних земных систем координат:

РО - средний меридиан Гринвича, Р^' - истинный меридиан Гринвича, QQ -средний экватор, Q'Q' - истинный экватор, ОР - средняя ось вращения Земли, 0Р' - истинная ось вращения Земли, G - точка пересечения среднего меридиана Гринвича со средним экватором, ^ - точка пересечения истинного меридиана Гринвича с истинным экватором

Матричное преобразование средних земных координат в истинные выполняется как

Ко = К2(+хр) ■ К^+Ур) ■ Ко , (2)

а истинных земных координат в средние Ко = К1(-Ур) ■ К2(-хр) ■ Ко • (3)

В формулах (2) и (3) обозначено: = \XYZ\l - геоцентрический радиус-

I III

вектор наземного пункта (НП) в общеземной системе координат; К0 = [X У Ъ ]0 - геоцентрический радиус-вектор НП в истинной земной системе координат.

Пусть положение НП определено в референцией системе координат (ОпХУ7)г радиусом-вектором Кг = [ХУ7]^ , а в общеземной (ОХУ7)с радиусом-вектором = [ХУ7]£ (рис. 2).

Тогда преобразование референцных координат НП в общеземные выполняется с помощью матричного выражения [1-3]

=(1 + к)-Щю)-Кг+(Ш, (4)

где сШ = [с1Х с1У <ЩТ - трехмерный вектор-столбец смещения начала О" референцией системы координат относительно начала О общеземной системы; со = [<юх соу сох ] ' - трехмерный вектор-столбец малых углов поворота координатных осей референцной системы координат относительно осей

общеземной системы; k - поправка к масштабу референцной системы координат.

НП ^г(к'а)

X

| ° і И^г

— ■А—► У' ' г

У,

X''

а Хг

Рис. 2. Связь геоцентрических и квазигеоцентрических прямоугольных

земных систем координат

(ОХУ7)" - промежуточная (квазигеоцентрическая) система с осями координат параллельными осям общеземной системы

Обратное преобразование имеет вид: Кг=(1-к)-Кт(ю)-К0-с1К. (5)

В формулах (4) и (5) матрица малых поворотов координатных осей референцной системы координат, являющаяся итогом последовательного перемножения трех матриц вращения, имеет вид [3, 4]

Щю) К3(ю2) • 1*2 (®у)' К1(юх)

1 -ю2 СОу

ю2 1 —юх

-СОу ®х 1

(6)

После выполнения простых матричных преобразований, выражения (4)

и (5) могут быть записаны как

К0 = Б1 -ю + (1 + к)-Кг+ (Ш, (7)

Иг= Б2-а)-(1-к)-К0-(Ш. (8)

Здесь матрицы Б1 и Б2 имеют вид

1 о 2Г 1 1 1 О -20 о і

»! = Л 0 хг > °2 = 20 0 0 X 1

1 п [-Н X 1 0 1 1 Хо 0

Если пространственное положение НП задано в общеземной системе координат (ОХУ7)0 радиусом-вектором = [XYZ]'a , а в горизонтной (ОХУ7)н радиусом-вектором Кн = [ХУ7]^ (рис. 3), то преобразование этого

вектора из общеземной системы в горизонтную осуществляется сначала поворотом системы (OXУZ)G относительно оси OZG на угол (90o+L), а затем относительно оси О Х0 на угол (90°-В):

Кн=К1(90°-В)-К3(90°+Ь)-Ко. (10)

Рис. 3. Связь горизонтной и общеземной систем координат: В, Ь, Н - геодезические широта, долгота и высота НП.

После перемножения матриц поворота преобразование (10) будет

(11)

выглядеть как

кн=От-Я

о •

В нем

0 =

-БШЬ

собЬ

о

-бігіВ • собЬ собВ • собЬ -бшВ • біпЬ собВ • БІпЬ собВ бігіВ

(12)

Обратное преобразование имеет вид

к0=д ин (із)

Элементы матрицы Р являются функциями прямоугольных земных координат НП и рассчитываются по формулам:

рс=УІха+У(2, біпЬ = УG/pG, собЬ = Хо/ро, RG = ^/Ха+У^+^а ,

біпВ = {1+е2<1^о2/Яо2)} ZG/ Яо, собВ =

VI-

бш2В . (14)

Преобразование вектора Яо положения НП из общеземной системы координат (рис. 2) в звездную описывается выражением

к" "р"

К Р

к

о •

(15)

в котором Я и I* - геоцентрические радиус-вектор положения и вектор скорости НП в звездной системе координат; Р и Р - матрицы преобразования. Выражение (15) является кинематической моделью движения НП в пространстве.

Вид матриц Р и Р в (15) определяется выбранной координатной системой, которая на интервале времени Т, на котором анализируется состояние нелинейной динамической системы, будет удовлетворять требованиям инерциальности. Матричное преобразование (15) должно быть простым и, одновременно, обеспечивать ошибку, соответствующую современному уровню точности траекторных измерений космических аппаратов (КА).

Матрица Р в (15) представляет собой результат перемножения двенадцати ортогональных матриц вращения (1), учитывающих вращение Земли вокруг своей оси, колебания этой оси вращения, прецессию по прямому восхождению К, Ю и склонению V на отрезке времени Дt = t - 10 (10 -начальный момент времени, 1 - текущий момент времени, соответствующий очередному измерению, А1еТ), а также нутацию по прямому восхождению Дцг и , склонению Дух и Ду^ , наклону Дех и Де^ в эпохи t и t0

соответственно [5]:

Р

(16)

соз8 -зш8 у' - хр • соз8 - ур • зт8

соз8 8е - хр ■ + ур • соз8

-у' • соз8 - 8е • + хр у' • зт8 - 8е • соз8 - ур 1

где V' = V + 8у .

Переменная S является модифицированным звездным временем и рассчитывается по формуле [5]

8 = 80+!5-С-Оиг1. (17)

Звездное время S0 определяется как

80 = 100°.0755417 + 35999°.48875625 • \ -0°.83333 -10'6 -\2 + 15+ (1 + 8(1 ,

(18)

8 = (35999°.48875625 — 0°.83333 • 10 6 • 1^/876600 +15, (19)

^ = (Ю(с1) + С/24Ь - ГО(с10))/36525, (1 = Ю + к , (20)

8ц = Ащ-А^, 5є = Дє1-Дєі0, 5у = Ду1-Ду1о, (21)

где ц - общая прецессия по прямому восхождению истинной точки весеннего равноденствия за период ^ - % (% - начало Бесселева тропического

года 1950.0) [6]; ГО(ё0) - юлианский день 0Ъ иТ1 даты do задания начальных

условий движения КА; ГО(ф - юлианский день 0Ъ иТ1 текущей даты d.

В формулах (17) - (21) моменты времени 1; и 1:о должны быть заданы в шкале Всемирного времени ЦТ1. Величины V' , 5е , хр и ур могут быть

заранее аппроксимированы на отрезке времени ^0, ^ степенным полиномом с аргументом Дt = t - 1о, который задается в равномерной шкале времени [4, 5]:

ь 1 ь 1 V' = X • М , 5е = ^ ек • Лt , (22)

к=0 к=0

Ь1 . Ь1 .

хр = Ехк-Д1 , у = Е ук • Д1 , (23)

к=0 к=0

где Ук , ек , хк , ук - коэффициенты полиномов; L и L1- порядки полиномов.

Матрица Р в (15) имеет вид [7]:

-вшБ совБ (-¿ч • V'- 5е) • совБ + (у'- -5ё)-8т8

РТ = Б • -совБ -втБ (Б4 • V' + 5е) • втБ + (у' - 5Г1 • 5ё) • совБ

■ у'+ хр • втБ - уР ■ совБ -58-Хр-созБ-ур-втБ 0

(24) "

Здесь обозначено V' = V + 8у , а V и 5у - скорости изменений прецессии и нутации по склонению на отрезке времени Д^ 5£ - скорость изменения нутации по наклону на отрезке времени Д1

Параметры V и 5ё определяются с помощью временных полиномов [7]:

ь , ь ,

V'= Хк-Ук-д1: 1, 5в = Ек-вк • а1 1, (25)

к=1 к=1

Выражения (23) представляют собой кинематические модели изменения

координат истинного полюса Земли, а величины х0 ,.., хы , у ,..., уы

являются параметрами этих моделей.

Для расчета прямоугольных координат векторов положения и скорости спутника по его регулярным элементам [8]

¥=[р в Ъ f q 1]т (26)

удобнее использовать инерциальную прямоугольную орбитальную систему координат (О£п0 (рис.4) [9]. Ее образует ортонормированный базис

начало которого совмещено с центром масс Земли. Компоненты базисных векторов в (27) являются функциями регулярных элементов орбиты спутника и определяются по формулам (28) [10]

' k - ? 5 • f • д f '

е1 = k 1 • f • q , Є2 = k 1 • (k - q2) • 5 , е3 = k 1 • -q

-5 • f q (1- Ц • 5

в которых к = (1+f2 +q2)/ 2.

Рис. 4. Инерциальная орбитальная система координат (О^пО:

і - наклонение орбиты, О - долгота восходящего узла, ю - аргумент перигея, V - истинная аномалия, г - геоцентрический радиус-вектор КА, р - перигей орбиты, (oxyz) - звездная система координат

В этой системе координат ось абсцисс £ лежит в плоскости орбиты и образует с радиусом-вектор г спутника угол 1 = О + ю + V. Согласно правилам линейной алгебры матричное преобразование радиуса-вектора положения г и скорости г спутника из звездной системы координат (oxyz) в орбитальную (О^пО будет иметь вид

Ге = eT • г, (29)

ге=етг, (30)

где гє=[£ п СҐ - радиус-вектор спутника в орбитальной системе координат; г = [x у z] - радиус-вектор спутника в звездной системе координат; ге= [4 П - вектор геоцентрической скорости спутника в орбитальной системе координат; г= [хуг]т - вектор геоцентрической скорости спутника в звездной системе координат.

В развернутой форме равенства (29) и (30) имеют вид [10]:

Ч" т Єї г Г•СОБ 1

Ге = Г) = т е2 г = Г-БІП 1 , (31)

_с_ т ез Г 0

т " т • " Єї Г -^/р/р • + вІПІ)

Ге = Т| = т • е2 г = -д/ц/р • (И + СОБІ)

А т • ез Г 0

где ц - гравитационный параметр Земли; р - фокальный параметр орбиты.

В выражении (31) геоцентрическое расстояние г до КА в функции от регулярных элементов орбиты определяется как г = p• (1 + g ^ш1 + h • cosl)-1. (33)

Обратные к (29) и (30) матричные преобразования имеют вид

г = е • Гє

(34)

или

г = Єї + Г1*е2, Г = 4 * ех + IV е2. (35)

Наряду с описанной выше системой, в космической геодезии также активно используется и орбитальная система координат (О^'п'С) (рис. 5). Она удобна для пересчета параметров движения КА (например, кеплеровых элементов) в прямоугольные координаты векторов положения и скорости спутника, для учета возмущающих ускорений, влияющих на движение спутника по орбите и т.д. У нее ось абсцисс О^' постоянно направлена на КА. Эту систему координат образует ортонормированный базис 8, Т и ', задающий направление координатных осей £, п' и £. Начало этой системы совмещено с центром масс Земли.

Рис. 5. Орбитальная система координат (О^'п'С):

u - аргумент широты КА, (oxyz) - звездная система координат

Матричные преобразования векторов положения г и скорости г спутника из орбитальной системы координат (О^'п'С) в звездную (oxyz) имеют вид [11]

г = г • S , г = Vr-S + Vn-T

(36)

где г - геоцентрическое расстояние до КА; Vr - радиальная скорость КА; Vn - трансверсальная скорость КА.

В выражениях (36) скорости Vr и Vn являются функциями кеплеровых элементов орбиты и вычисляются как [1, 11]

Vr = у]\1- р'1 - e-sin v, Vn = •y/fi-p'1 -(1 + e-cosv), (37)

где ц - гравитационный параметр Земли; e - эксцентриситет орбиты КА; v - истинная аномалия; p - фокальный параметр.

Базисные векторы S, T и W также являются функциями кеплеровых элементов и определяются по формулам [2, 11]

S =

COS и • cosQ - sin u • sinQ • COS і cos u • sinQ + sin U • COSQ • COS і sinu -sinі

T

-sin u • cosQ - cos u • sinQ • COS і -sin u • sinQ + COS U • COSQ • COS і cos u • sin і

(38)

sinQ -smi W= -cosQ -sini cos i

где i - наклонение орбиты КА; Q - долгота восходящего узла орбиты; u аргумент широты КА.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бойко, Е.Г. Использование искусственных спутников Земли для построения геодезических сетей [Текст] / Е.Г. Бойко, Б.П. Кленицкий, И.М. Ландис, Г.А. Устинов. -М.: Недра, 1977. - 376 с.

2. Изотов, А.А. Основы спутниковой геодезии [Текст] / А.А. Изотов, В.И. Зубинский, Н.Л. Макаренко, А.М. Микиша. - М.: Недра, 1974. - 320 с.

3. Czobor, A. Preliminary results of Finnish - Hungarian Doppler observation compaign [Текст] / A. Czobor, J. Adam, S. Mihaly, T. Vass // Publ. Astron. Inst. Czchehosl. Acad. Scin. -1984. - N 58. - P. 529 - 548.

4. Лунквист, К. Стандартная Земля [Текст] / К. Лунквист, Г. Вейс. - М.: Мир, 1969.

- 277 с.

5. Сурнин, Ю.В. Математическая модель движения геодезических спутников Земли [Текст] / Ю.В. Сурнин, С.В. Кужелев, А.М. Токарев; Новосиб. ин-т инж. геод., аэроф. и карт. - Новосибирск, 1988. - 44 с. - Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 18.01.88, № 297 -гд 88.

6. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике [Текст] / В. К. Абалакин, Е.П. Аксёнов, Е.А. Гребеников и др. - М.: Наука, 1976. - 864 с.

7. Дударев, В.И. Определение некоторых геодезических и геодинамических параметров по результатам радиотехнических траекторных измерений космических аппаратов [Текст] / В.И. Дударев // Междунар. научн. - технич. конф., посвященная 220-летию со дня основания Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК). - Москва: МГУГиК, 2000. - С. 3 - 9.

8. Сурнин, Ю.В. Исследование эффективности вычислительных алгорит-мов динамического метода определения геодезических параметров [Текст] / Ю.В. Сурнин, С.В. Кужелев, В.И. Дударев // Наблюдения искусственных спутников Земли. Публикация науч. рез. сотрудн. ИНТЕРКОСМОС. - Москва: Астрон. Совет АН СССР, 1984. - № 21. -

C. 106 - 115.

9. Сурнин, Ю.В. Задача определения орбит геодезических ИСЗ и методы расчёта изохронных производных [Текст] / Ю.В. Сурнин, С.В. Кужелев, В.И.Дударев; Новосиб. ин-т инж. геод., аэроф. и карт. - Новосибирск, 1986. - 22с. - Деп. в ОНТИ ЦНИИГАиК 24.03.86, № 203 - гд 86.

10. Cefola, P. On the formulation of the gravitational potential in terms of equinoctial variables [Текст] / P. Cefola, R. Broucke // AIAA Pap. - 1975. - № 9. - P.1 - 25.

11. Урмаев, М.С. Орбитальные методы космической геодезии [Текст] / М.С.Урмаев.

- М.: Недра, 1981. - 256 с.

© В.И. Дударев, 2010