CC BY
59
ФИЗИЧЕСКАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В ГЕОДЕЗИИ
Юрий Венедиктович Сурнин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.
Плахотного, 10, профессор кафедры астрономии и гравиметрии, тел. (383) 361-01-59, e-mail: surnin@ssga.ru
Рассматривается физическая и алгебраическая декомпозиция плохо обусловленных обратных задач геодезии, которые сведены к решению линейной системы алгебраических уравнений Ax=f. Обе декомпозиции делаются, как в пространстве измерений f, так и в пространстве оцениваемых параметров х. Такая двустороння декомпозиция (сближая два пространства) улучшает обусловленность системы уравнений и отделяет группу информативных неизвестных параметров от группы плохо определяемых параметров. В итоге повышается точность определения информативной части параметров и улучшается корректность интерпретации результатов решения задачи.
Ключевые слова: геодезия, обратные задачи, плохая обусловленность, декомпозиция.
PHYSICAL AND ALGEBRAIC DECOMPOSITION OF ILL-CONDITIONED INVERSE PROBLEMS IN GEODESY
Yuri V. Surnin
Prof., department of Astronomy and Gravimetry, Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo st.. 630108, Novosibirsk, phone: (383) 361-01-59, e-mail: surnin@ssga.ru
Physical and algebraic decomposition of ill-conditioned inverse problems in geodesy is considered. The problems are reduced to solving the linear system of algebraic equations Ax=f. Both decompositions are made in the space of measurements as well as in the space of parameters to be estimated. Such two-sided decomposition, bringing together the space of measurements f and that of the parameters to be estimated x, improves conditionality of the combined equations and separates the group of informative unknown parameters from the group of ill-definable ones, “absorbed” by the measurement and model inaccuracies. As a result, both the accuracy of the informative part of the parameters and the correctness of the problem solution results interpretation are improved.
Key words: geodesy, inverse problems, ill-conditioning, decomposition.
Впервые алгебраическая и физическая декомпозиция обратных задач геодезии в таком аспекте обсуждалась на «Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике» [1]. В данной статье этот вопрос рассматривается с общих позиций более подробно.
Обратные задачи. Обратными задачами в геодезии называются такие, в которых определяемые параметры математической модели объекта (или процесса) - вектор х - связаны с измеряемыми величинами - вектор f - не непосредственно, а косвенно, через линейное (или нелинейное) уравнение, называемое уравнением наблюдений (или уравнением связи). Значительная
часть обратных задач геодезии сводится к решению системы линейных уравнений с действительными коэффициентами
Ах (1)
где х - вектор неизвестных параметров обратной задачи размера т*1, f -вектор измерений размера п*1, А - п*т - матрица коэффициентов.
Плохая обусловленность задачи. Когда измерительной информации { недостаточно (или по количеству и/или по составу и/или по распределению измерений в пространстве и во времени) для оценивания заданного количества и состава неизвестных параметров х, то задача становится плохо обусловленной. Распознать плохую обусловленность задачи до или после решения системы (1) без привлечения априорной информации о точности элементов матрицы А и правой части { и без дополнительного анализа матрицы коэффициентов А обычно затруднительно.
Для установления плохой обусловленности системы (1) привлекается критерий [2, с. 58]
8х < а, (2)
8х < ц(А)/[1- 8аЦ(А)](8а+6г), (3)
8х=||Лх||/||х||, еа=||ДА||/||А||, еНДАИМНМИМ!, (4)
основанный на вычислении числа обусловленности ^(А) матрицы А по формуле
^(А) ^тах( А)/^тт(А). (5)
В формулах (2)-(5) еа, ег - априорные относительные погрешности матрицы коэффициентов А и правой части 1; 8х - апостериорная относительная погрешность решения х, вызванная погрешностями еа, ег и обусловленностью матрицы ^(А); отах(А), от;п(А) - максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы А; а - заданная априори относительная погрешность решения х.
Критерий обусловленности работает так: если неравенство (2)
выполняется, то - в условиях имеющейся информации (А, ^ еа, е^ и требуемой относительной точности решения а - задача (1) является хорошо обусловленной. В противном случае задача (1) плохо обусловлена. Это значит, что малые априорные возмущения исходной информации - измерений 8г и модели еа - могут приводить к недопустимым возмущениям 8х решения х, которые превышают заданный заказчиком предел а (ех > а).
Алгебраическая декомпозиция. В общем случае декомпозиция задачи означает разделение исходной задачи (1) на взаимно независимые подзадачи, каждая из которых может решаться самостоятельно, но уже с меньшим числом неизвестных параметров и с другими физическими (смысловыми) значениями. Вычислительная линейная алгебра дает формальный алгоритм (идеальной) алгебраической декомпозиции системы (1), приводящий к диагональной системе уравнений [2, 3]
^У^ (6)
У=,^х, (7)
§=и^ (8)
с помощью сингулярного разложения матрицы А
А=и^т, (9)
£=diag{ol, ..., От}, (10)
где £ - диагональная матрица размера п*т, состоящая из сингулярных чисел О], ]=1, ..., т, которые упорядочим по убыванию, так что О]+1<О] и о1=отах, от=от1П; и - ортогональная матрица левых сингулярных векторов размером п*п, образующая ортонормированный базис пространства измерений (или иначе -базис для области значений матрицы А); W - ортогональная матрица правых сингулярных векторов размером т*т, образующая ортонормированный базис пространства оцениваемых параметров (или иначе - базис для области определения оператора А); у - вектор новых неизвестных размера т*1, линейно связанный с исходным вектором х параметров модели (1) зависимостью (7); g - вектор новой правой части размера п*1, получаемый линейным преобразование (8) исходного вектора измерений Г
Таким образом, алгебраическая декомпозиция (6) приводит к разделению исходной задачи (1) на независимые подзадачи: каждый новый неизвестный параметр у (]=1, ..., т) определяется независимо из решения одного линейного уравнения с одним неизвестным
О]У]=В] , ]=1, ., т. (11)
Возвращение к исходным определяемым параметрам Х] осуществляется
посредством обратного преобразования (6) x=Wy. (12)
Декомпозированная алгебраически система (6) может распадаться в идеальном случае (когда матрица безошибочна) на две или три подсистемы в зависимости от значений размерностей п и т и ранга г матрицы А:
^ = о/§, О]^ = О]"1, если ] < Г (О] ф 0), (13)
У] = о/^|, о/ = 0, если г+1 > ] < т (О] = 0), (14)
0 =£|, если т < ] < п, (15)
где ранг г матрицы А определяется количеством ненулевых сингулярных чисел в (10), о/ - псевдообратные сингулярные числа.
В реальных условиях матрица А всегда сопровождается неизбежными погрешностями еа. И если исходная (невозмущенная погрешностями) матрица А недостаточного ранга (г<т), то реальная (возмущенная) матрица оказывается, как правило, формально полного ранга. Поэтому среди всех сингулярных чисел не будет строгого равенства нулю (О] = 0) и вторая подсистема (14) оказывается пустой, а точнее, подсистема (14) автоматически присоединяется к первой подсистеме (13). В такой подсистеме (13) вместо нулевых сингулярных чисел (как должно бы быть) будут некоторые малые отличные от нуля числа, примерная величина которых т может оцениваться погрешностью еа и нормой матрицы || А||=Отах по формуле
т Отах8А . (16)
В результате группа присоединенных из (14) неизвестных параметров у] (г+1 > ] < т) не будет иметь, ни одной верной значащей цифры. Следовательно, такие У] будут неинформативными параметрами и не должны влиять на решение х согласно формуле (12). В этом случае рекомендуется приравнивать нулю псевдообратные сингулярные числа о/, у которых соответствующие им сингулярные числа О] меньше или равны границе т
о/ = 0, если О] < т, ]=1, ..., т. . (17)
Для возмущенных погрешностями еа матрицы А вводится понятие эффективного ранга к, как количество ненулевых сингулярных чисел О], больших границы т, определяемой формулой (16).
Физическая декомпозиция. Главный недостаток алгебраической декомпозиции (6)-(15) в том, что она меняет исходные пространства измерений
1 и искомых параметров х на абстрактные алгебраические пространства соответственно для g и для у. Исходные пространства для 1 и х - это физические пространства. В них сформулирована задача (1), в них осуществляется оценка качества измерений 1 и интерпретация получаемых решений х, в них производится затем управление объектом (или процессом). Абстрактные алгебраические пространства для g и у такими свойствами в общем случае не обладают. Поэтому перед алгебраической декомпозицией (6)-(15) предлагается выполнять физическую декомпозицию задачи (1), а затем, к разделенной на почти независимые части задаче, применять алгебраическую декомпозицию. Физическая декомпозиция системы уравнений (1) - это разделение исходной задачи (1) на подзадачи так, чтобы преобразованная система уравнений имела блочно-диагональную структуру. Преобразования (не обязательно линейные) исходной системы (1) должны выполняться, как в пространстве оцениваемых параметров х, так и в пространстве измерений 1 Главное отличие физической декомпозиции от алгебраической состоит в том, что декомпозиция должна выполняться в двух физических пространствах, в которых сохраняется физический смысл, как преобразованного вектора определяемых параметров, так и преобразованного вектора измерений. Это дает возможность осознано производить неформальную оценка качества измерений, интерпретацию решений и последующее управление объектом (или процессом).
Не существует общего алгоритма физической декомпозиции, подобного (6)-(15). В каждой конкретной задаче - это процесс индивидуальный и творческий. Рассматриваются два возможных подхода к физической декомпозиции.
Первый прием декомпозиции состоит в замене исходного вектора параметров х и вектора измерений 1 новыми векторами z и h соответственно, которые являются специально подобранными (линейными или нелинейными) векторными функциями, сохраняющими физический смысл:
Bz = ^ z = z(x), h = ^1). (18)
Примером может служить замена криволинейных (угловых) координат (сферических, эллипсоидальных и др.) векторов х и 1 на линейные элементы вдоль координатных линий. Вот один пример. Вместо определения поправок в долготы ЛХ и широты Лф какого-либо пункта, формирующих вектор х, и вместо свободных членов азимутальных ДА и угловых высот ЛИ, образующих вектор измерений 1 вводятся линейные элементы ЛХЯеОБф и ЛфЯ (где Я - средний радиус Земли), ЛАреоБИ и ЛИр (где р - расстояние от пункта измерений до наблюдаемого объекта). Эти линейные элементы создают новый вектор определяемых параметров z и новый вектор измерений ^ которые сохраняют физический смысл.
Второй прием декомпозиции состоит в сближении пространств новых параметров z и преобразованных измерений h путем ортогональных преобразований H и Q, меняющих ориентировку систем координат z и h так, чтобы оба пространства по возможности сближались Cq = u, (19)
C = HBQ-1, q = Qz, u = Hh, (20)
где результирующая матрица коэффициентов C должна иметь структуру, близкую к блочно-диагональной матрице. Отношение норм диагональных и внедиагональных блоков матрицы C должно быть больше или равно числу обусловленности матрицы ^(C).
Когда физическая декомпозиция завершена, необходимо провести следом алгебраическую декомпозицию по алгоритму (6)-(15):
Dp = v, D = UTCW, p = WTq, v = UTh . (21)
В результате отдельные группы (из двух-трех компонентов) нового вектора неизвестных p сохраняют близость к физическому смыслу предшествующих параметров q и лучше отделяются от группы мало информативных параметров задачи, числовые значения которых находятся на уровне «шума», определяемого границей т в (17). Контролем успешной двойной декомпозиции может служить близость W к единичной матрице. Примером приложения двойной декомпозиции могут служить задачи, связанные с преобразованием координат из одной системы в другую, имеющих сдвиг начал и наклон осей [4], задачи определения орбитальных, геодезических и геодинамических параметров [5, 6] и другие.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сурнин Ю. В. и др. Алгебраическая и физическая декомпозиция математических моделей при решении плохо обусловленных задач обратных задач геодезии / Ю. В. Сурнин, Е. Г. Гиенко. Тезисы докл. Четвертый сиб. конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Новосибирск. - Изд. Инст. Математики. 2000. - С. 73-74.
2. Годунов С. К. и др. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С. К. Годунов, А. Г. Антонов, О. П. Кирилюк, В. И. Костин. - Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, - 1988. - 456 с.
3. Форсайт Дж. и др. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир. - 1980. - 280 с.
4. Сурнин Ю. В. и др. Методика регулярного оценивания параметров взаимного трансформирования геодезических сетей, построенных спутниковым и традиционным методами / Ю. В. Сурнин, Е. Г. Гиенко. «IV Международный научный конгресс и выставка ГЕ0-СИБИРЬ-2008». - Новосибирск: СГГА, - 2008. - С. 262-266.
5. Сурнин Ю. В. и др. Программный комплекс «Орбита-СГГА-2» для решения задач космической геодезии динамическим методом / Ю.В. Сурнин, В. А. Ащеулов, С. В. Кужелев, Е. В. Михайлович, Н. К. Шендрик. - Геодезия и картография, № 2. М.:- 2008. - С. 14-19:
6. Sournin Yu. Regular approach to the estimation of parameters of the mathematical model of the Earth's crust motion and displacements using satellite data / Труды международного семинара «Использование космической техники для изучения движений земной коры Азиатско-Тихоокеанского региона». APSG-Иркутск 2002. - Москва. ГЕОС. - 2002. - С. 206212.
© Ю. В. Сурнин, 2012
