CC BY
9С помощью метода математической индукции несложно также доказать справедливость важного следствия из теоремы 2.
Следствие. Для всех значений 0 ^ х ^ Ъ\ и Ъ\ ^ 62 ^ • • • ^ bn, п ^ 2, имеет место равенство
п
V(x, Ьъ...,Ьп) = V(x, bn) + J] [1 - V'ibi-ubn)] V^^ix, bu..., &i_i).
i=2
Покажем теперь, что исследуемая дивидендная стратегия при некоторых значениях Ь\,... ,Ьп может быть лучше барьерной стратегии с барьером Ъ\ в смысле величины дисконтированных дивидендов, выплаченных до разорения. Действительно, справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть существует оптимальный, не зависящий от, х уровень барьера Ъ* > 0; при котором значение функции V(x,b) максимально. Пусть также барьеры b\,...,bn, п ^ 2, таковы, что х ^ Ь\ < 62 < • • • < bn-\ < Ъ* и V(u,bi) > V(u,bi-\) при любом начальном, капитале и, таком, что 0 ^ и ^ г = 2,п. Тогда выполняются неравенства V(x,b\,... ,bj) > V(x,bi,...,bj-1), j = 2~n.
Заметим, что рассмотрение случая х ^ Ъ\ <62 < ••• < Ъп-\ < Ь*, описанного в утверждении 2, действительно имеет смысл. Несмотря на то что барьер Ъ* будет оптимальным в смысле максимизации всех совокупных выплаченных дивидендов до разорения компании, в краткосрочной перспективе для получения больших дивидендов может появиться необходимость использовать меньший барьер. Если страховая компания не разоряется после г-го убытка и акционерам нужно до следующего (г + 1)-го убытка получить больше дивидендов, следует использовать как можно меньший барьер. В то же время нельзя забывать о будущих дивидендах и вероятности быстрого разорения при совсем низком барьере. Таким образом, на основе всех аргументов может быть принято решение постепенно поднимать уровень барьера до оптимального значения. Преимущество данного решения об увеличении уровня барьера после наступления страховых требований как раз следует из утверждения 2.
В случае экспоненциального распределения исков условию утверждения 2 удовлетворяют, например, все значения уровней барьеров Ъ\,..., bn, п ^ 2, такие, что 0^x^b\<...<bn^ 6*хр.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gerber H.U. Entscheidungskriterien für den zusammengesetzten Poisson-Prozess // Schweiz. Verein. Versicherungsmath. Min. 1969. 69. 185-228.
2. Gerber H. U. A characteristic property of the Poisson distribution // Amer. Statist. 1979. 33, N 2. 85-86.
3. Gerber H.U., Shiu E.S.W., Smith N. Maximizing dividends without bankruptcy // ASTIN Bull. 2006. 36, N 1. 5-23.
4. Bühlmann H. Mathematical methods in risk theory. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1970.
5. Карапетян H.B. Оптимизация барьера выплаты дивидендов при гамма-распределении требований // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. №5. 57-60.
Поступила в редакцию 09.11.2015
УДК 517.982.25+517.984
РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ НА МНОГООБРАЗИИ
И. В. Цылин1
В работе исследуется регулярность решений первой краевой задачи для эллиптических дифференциальных операторов порядка 2то в случае областей на многообразии. Получена взаимосвязь между гладкостями правой части, границы области и решения рассматриваемых задач.
1 Цылин Иван Вячеславович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ioxlxoiQyandex.ru.
Ключевые слова: эллиптические операторы, задача Дирихле, пространства Николь-ского^Бесова, поточечные мультипликаторы.
The regularity of solutions to the Dirchlet boundary value problem is studied for elliptic differential operators of order 2m defined on subdomains of a manifold. Relationships between the smoothness of the right hand side, the boundary, and the solutions are obtained.
Key words: elliptic operators, Dirichlet problem, Nikolskii-Besov spaces, pointwise multipliers.
1. Постановка задачи. Пусть (M,g) — гладкое компактное риманово связное многообразие размерности d ^ 2 без края. Везде ниже предполагается, что координатные отображения действуют в Rd с фиксированной евклидовой нормой | • |. Зафиксировав атлас V = {(V, ку)}, скажем, что открытое множество Q С М имеет границу класса Су'ш, ш = (и)\,..., Wd-i), если непустое пересечение VD dQ представимо в виде графика функции ду : Rd_1 = —> К, gv € C0'c<;(R<i_1); предполагается, что Qfl V лежит по одну сторону от границы, функции Шк есть модули непрерывности, т.е. и)к(0) = 0, Шк '■ R+ —> и при этом Шк полуаддитивны.
Рассмотрим дифференциальное выражение Л!:
£ (V*yAM(V)4 = (V*)mAm;m(V)mu+ £ (V*yAM(V)4 (1)
Osilsifcsim Osilsifcsim
Ijim
здесь Akj — сечения расслоений сE>c+lTM, (V*)1 есть оператор, формально сопряженный (V) по Лагранжу относительно скалярного произведения (u,v)l2(m) = JMuvdiJ,. Так, например, в локальных координатах
(V*)y = (v/dit^^) = -divи
(y%vij = ^щЩ [y/fetj • vij\ + [r^y/fetï • и
где Г^- — символы Кристоффеля. Обозначим через G2n, п € N, сечение расслоения (gi^TM, ассоциированное с (комплексифицированной) римановой структурой д. Введем обозначения: Е — банахово пространство функций, определенных на Rd, и V = {(V., ну)} — атлас многообразия M. Скажем, что функция (или тензорное поле) / принадлежит пространству Еу(М), если существует такое подчиненное V разбиение единицы {гру}, что для любой карты V € V выполнено (тру ° ^у1) • (/ ° ^у1) G F. Во всех пространствах ниже, где применена эта конструкция, пространства Еу(М) не зависят от выбранного разбиения единицы {фу}- Предположим, что dfl € Су'ш, и потребуем выполнения следующих условий:
1
Al. Мх € M, V£, г] € сх)™Тж*М Am>m>(œ)(£ (8) щ) = Ат^{х)(г] cg) £);
А2. За > 0 : Ух G M V£ € (g=> aG2mXx)(Ç (g) £) < Am>m>(œ)(£ (g) £);
A3. Am>m € Су Я(М), ~k = {k\, ..., к,]), Kk — модули непрерывности.
Условия на сечения Ami>m2, 0 ^ m2 ^ m\ ^ m, m2 ф m, наложим позже. Их будет достаточно, чтобы полуторалинейная форма Ф на построенная по дифференциальному выражению (1), была замыкаемой и m-секториальной. Рассмотрим первую краевую задачу для оператора Л':
A'u = f, Vku\an = 0, к = 0,... ,m — 1. (2)
Решения этой задачи будем понимать в слабом (вариационном) смысле, т.е. функция и € является решением для / € H~m(Q), если для любой функции v € Hm(Q) выполнено Ф(u,v) = r(f,v).
2. Результаты. В настоящей работе развивается подход, предложенный в [1-3]. Пусть F(L) — банахово пространство функций с носителями из (необязательно компактного) многообразия L, тогда F(Q) состоит из всех функций / € F(L), таких, что supp/ С О. В свою очередь замыкание Co°(Q) будем обозначать через F(Q). Скажем, что функция и € Wp(Rd), к € принадлежит
пространству Никольского N™'s(Rd), где s есть вектор размерности d, состоящий из модулей непрерывности, если конечна полунорма
и и _ \\^hekUWw^(Rd)
Г^ Nm's(Kd) max sup лТй '
A2hu = Ah(Ahu), A hu = uh-u, uh(x) = u(x + h). Пространства Бесова отрицательной гладкости введем как
если Sd — степенные функции и дП € С0'1, то это определение эквивалентно классическому (см. [4]). Дополнительно введем вспомогательное пространство K™'s(Rd), которое получается из N™'s(Rd) заменой в определении нормы второй разности на первую, аналогично
(*2"м)у(п) = [(¿J"1'') (П)
Потребуем выполнения следующего условия (определение пространства поточечных мультипликаторов см. [5, 6]):
А4. Атът2 € М (tfm"mi(Q) -»■ К~т+т(Q)), 0 < ш2 < гщ < тп, ш2 ф т.
Введем отношение порядка на модулях непрерывности. Будем писать со\ ^ 0J2, если существует такая константа С, что (ж) ^ Си)\(х) для любых х € [0,1]; например, К11 ^ Л,72, если 71 ^ 72.
Теорема. Пусть дП € Су'ш и выполнены условия (А1)-(А4); тогда оператор 1Z, решающий задачу (2), ограничен:
К : (ii) (ЯР7) (П), ё=(е1,...,еа),
здесь €i ^ ^[щ, Зс € (0,1) : е^ -< 7^; г = 1,..., d, и €j = в^ о ojj, j = 1,..., d — 1.
Следствие. Пусть Q — область с гёльдеровой границей класса С0'7, Ат^т € С°'Я(М), к € (0,1], существует е > 0; такое, что Ат1>т2 € при т2 < mi и рт2,-у = d/(m — rri2—P),
Ak,k € Wqt!jn~k~1">+e(Q) при k ^ m — 1 и qk равно 2, d/(m — k) для m — k ^ d/2, m — k < d/2 соответственно, 7 € (0,1]. Тогда оператор KD : H~m+S(M) ->■ s € [0,ж/2] n [0,7),
непрерывен.
3. Схема доказательства. Для того чтобы показать, что функция v принадлежит пространству (Q), достаточно получить оценки
о Ку1) • Ahe.(v О Ky^WHm^d) < Cv ■ Si(\h\)
для любых % = 1,..., d, V £ V; константа С^ зависит только от функции и. Так как многообразие компактно, то всегда можно считать, что V — атлас, состоящий из конечного числа карт, а значит, достаточно получить справедливость этой оценки для каждого направления а и каждой карты
V отдельно. Везде ниже будем опускать композицию с координатным диффеоморфизмом ку и зависимость от карты V.
Сдвиг аргумента. Для доказательства теоремы полезно получить следующее неравенство. Пусть
V € Нт(М), ф € Ст'1{М), вирр^ С V, V € V, тогда
\нт(м) < ||#*Ня™(м) + C\\v\\Hm(M) (1 + IIV;llcm'1(M)) |i|1/2, (3)
где константа С не зависит от ip и v. В самом деле
нггг(м) = / G2mi(x)Vm^v ® VmtpvdiJ, = J м
Jм Jм
+ I ® Ут{ф1 - *1>)Угй1и + I [Ъ2т>{х+1) - С2тХх)) Ут4пн ®
Jм Jм
■)м -)м
Теперь достаточно заметить, что оценка (3) имеет место вследствие гладкости тензорного поля Сх2т, меры ц и элемента разбиения единицы ф. Разность форм. Введем обозначения:
Ф0(и, V) = [ Ат>тУту ® Т'^у = фу1вк + (1 - ф)у, к = 1
■)м
если у € Нт(М), Ат>т € С°'Я(М), то имеет место оценка
2
г(М)
Фо(т£ку,1%ку) - Фо(у,у) < С\\Ат>т\\со,^м)\\у\\2нт(м) (1 + \\ф\\с^Чм)) *к№- (4)
Рассуждения проводятся, как в работах [1, 3].
Свойство мультипликаторов. Пусть Ь € М (^Нк({}) —>• ^К21'г^ (П)^, у € Нк(М), ги € {к123^ (П), г = (г 1,..., га), И = («1,..., ва), причем для некоторого к выполнено отношение Гк(-)зк(-) ^ (•), тогда
/ Ъуф (ь) - ■и)1ек) <1ц / п
Действительно,
Ъуф (ы - Ь)1ек) Г1[Л
<
теперь, обобщая рассуждения работы [2] (см. также [3]), получаем, что выполнена оценка
Получение регулярности по направлению е^. Справедлива Лемма. Пустг дану (2), ограничен:
(6)
Лемма. Пусть дП € Су'ш, выполнены условия (А1)-(А4); тогда оператор 71, решающий за-
71: (К2-т,(1,е"(-))) (П) -»• (П),
где еа ^ у/Щ, Зс € (0,1): еЛ <
Для решения и = 71/ проверим, что
\\Ф(и ~ иНеМ^ЧП) < °Л,'Ф '^(Щ) ■ ||/|| (1,^(0)^ (п)-
Возможны две различные ситуации: вирр-и^ С П или вирр-и.^ С П; с помощью неравенства (3) второй случай сведем к первому.
Теперь в силу условия (А2) выполнена оценка
\\ф{иНел-ь)\\Йт{м) = \\Т%ели - и\\2Нт{м) < - и,Т^ели - и) =
а
1
а
пф грф
= \ (фо (т^и, Т^и) - Фо (и, и) + 2М0(и, и - Т^и)) .
Разность — Фо (и,и) оценивается с помощью неравенства (4). Обозначим Ф г(и,у) =
Ф(и,у) — Фо (и, у). Воспользуемся тем, что и является решением уравнения (2) с правой частью /; так как Т^ и € Нт(£1), то
ФоСи, и - Т^и) = т(/, и - Т^и) - Фг(и, и - Т^и).
Выражение Фг(и,и — оценивается с использованием неравенства (5) и того факта, что и €
Нт(0). Таким образом, для / € £(г(.) ^ ^<¿(0 в силу (6) справед-
ливо неравенство ^
U(u - иЫс1)\\2Йт{п) < Сл,ф\\и\\йт{п) (j
и\\нт{ П) +
к.
-™,(1 ,£d(;))
Следовательно, для правой части / € т'(-1'е<г(- ^ (О) решение и € уК™'^1'^^^^^
Теперь вновь оценим неравенство \\ф(и — инел)\\йт(п)' Принимая во внимание, что решение
и € ^ ^^ и выбирая более гладкие правые части, получаем, что решение должно
быть еще более регулярным. Таким образом, после очередной итерации получим, что решение и €
К,
ш,(1 М-))
(Q) для / € L2(Q).
При оценке модулей величин Фг(и,Т^и — и) и т(/,Т^и — и) воспользуемся тем, что решение
I
V
и € ( ^ ) (Q), тогда придем к оценке
\\ф(и - uhed)\\6m(n) < Сл>ф
к.
Предельным переходом получаем требуемое.
Доказательство теоремы можно получить модификацией рассуждений, проведенных выше; рассмотрим разность \\ф(и — Uhe-^Wnmf^y Заметим, ЧТО supplied С йи supp фиье1+гел С П, где положим t = — (\\gv||сш1 ui(\h\) + h). Таким образом, из неравенства (3) следует, что
\\ф{и - иНе1)\\Йгпт ^ \\ф(и - и^)\\йт(п) + \\ф{и-иНе1+1ел)\\йгп{п].
Обозначим (pi(h) = tea и <£>2(Л,) = ipi(h) + h. Далее пользуемся леммой и неравенствами (4)-(6).
Замечание. Следуя работе [3] и опираясь на результаты работы [7], можно привести достаточные условия на функцию, чтобы она принадлежала пространству мультипликаторов из условия (А4). Так, например, если
inftl...td=t maxi^d
ъ(Ь)
< оо, l/q + l/r = l/2.
Lr[ 0,1]
В свою очередь KSllri(ü) >• М(Й1(й) —>• К2 1,7(Q)), если
-1,7 (
infir..id=i maxi^sid
7j(ij)
+
[0,1]
inftl...td=t maxiscjscd 7j(ij)
W0'1]
< oo, 1/si + l/s2 + l/s3 = 1.
Если 7i(0 = TO ^ M(L2(Q) -). K2 ,7(Q)), м- M(H\Q) -»■ K2 ,7(Q)).
ßi
Автор пользуется возможностью выразить глубокую благодарность О. В. Бесову, В. И. Бурен-кову, М.Л. Гольдману, A.M. Степину, А. И. Тюленеву и A.A. Шкаликову за полезные обсуждения, комментарии и советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Savare G. Regularity results for elliptic equations in Lipschitz domains //J. Funct. Anal. 1998. 152. 176-201.
2. Степин A.M., Цылин И.В. О краевых задачах для эллиптических операторов в случае областей на многообразиях // Докл. РАН. 2015. 463, № 2. 144-148
3. Tsylin I. V. On the smoothness of solutions to elliptic equations in domains with Holder boundary // Eurasian Math. J. 2015. 6, N 3. 76-92.
4. Muramatu Т. On the dual of Besov spaces // Publ. Res. Inst. Math. Kyoto Univ. 1976. 12, N 1. 123-140.
5. Шкаликов А.А., БакД.-Г. Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрёдин-гера с потенциалами-распределениями // Матем. заметки. 2002. 71, №5. 643-651. (Bak J.-G., Shkalikov А.А. Multipliers in dual Sobolev spaces and Schrodinger operators with distribution potentials // Math. Notes. 2002. 71, N 5. 587-594.)
6. Maz'ya V., Shaposhnikova T. Theory of Sobolev multipliers. Berlin: Springer, 2009.
7. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида // Тр. Матем ин-та АН СССР. 1984. 170. 86-104.
Поступила в редакцию 18.11.2015
УДК 517.982.256
ПРИМЕР АНТИПРОКСИМИНАЛЬНОГО, НО НЕ 2-АНТИПРОКСИМИНАЛЬНОГО ВЫПУКЛОГО ЗАМКНУТОГО ОГРАНИЧЕННОГО ТЕЛА
Б. Б. Беднов1
Строится пример антипроксиминального, но не 2-антипроксиминального выпуклого замкнутого ограниченного тела в пространстве со с нормой Дэя.
Ключевые слова: антипроксиминальное тело, норма Дэя.
An example of an antiproximinal but not 2-antiproximinal convex closed bounded body is constructed in the space со endowed with Day's norm.
Key words: antiproximinal body, Day's norm.
Рассмотрим банахово пространство (X, || • ||) и непустое множество М в нем. Для точки х € X определим метрическую проекцию Рм{%) = {у £ М : \\х — у|| = р(х, М)}, где р(х, М) = inf{||a; — z\\ : z € М}. Множество М называется антипроксиминалъным, если для любой точки х € X \ М в множестве М нет ближайшей точки, т.е. Рм{%) = 0-
Для набора {х\,... ,хп} С X определим метрическую n-проекцию на множество М:
п
Pm(xi, ...,хп) = {уеМ:^2 II xi ~ УII = Р(х ь • • -,хп,М)},
г=1
где р(х 1,... ,хп,М) = inf{£r=i ||Xi — z\\ : z € M}. Множество М называется п-антипроксиминалъ-ным [1], если для любых таких х\,..., хп € X, что р(х\,..., хп, М) > р(х\,..., хп, X), выполнено Рм(% 1) • • • j хп)\{%г}?= i = 0- При п = 1 это определение дает обычные антипроксиминальные множества. Для п = 2 сформулируем определение явно: множество М называется 2-антипроксиминальным, если для любых таких х\,х2 € X, что p(xi,x2,M) > р(х\,х2,Х) = \\х\ — х2\\, множество Рм{хi,x2) пусто [1].
Возможность исследования п-антипроксиминальных множеств в банаховых пространствах была высказана в работе [2] и осуществилась в работе [1]: был исследован вопрос о существовании n-антипроксиминальных замкнутых множеств с дополнительными свойствами в пространствах непрерывных и суммируемых функций со стандартными нормами. Оказалось, что в таких пространствах нет антипроксиминальных выпуклых замкнутых ограниченных тел, не обладающих свойством 2-антипроксиминальности.
Цель настоящей работы — построить пример выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального, но не 2-антипроксиминального тела в пространстве со сходящихся к нулю последовательностей с нормой Дэя [3].
1 Бедное Борислав Борисович — канд. физ.-мат. наук, переводчик-секретарь каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, доцент каф. ФН-12 "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: noriiiiQinbox.ru.
