CC BY
3НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ
НАУКА И МИРОВОЗЗРЕНИЕ
УДК-51.3
РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ ОПЕРАТОР ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА
Рахманбердиев Ашырмухаммет
Преподаватель, Международного университета нефти и газа имени Ягшыгелди Какаева г. Ашхабад Туркменистан
Борджаков Батыр
Студент, Международного университета нефти и газа имени Ягшыгелди Какаева
г. Ашхабад Туркменистан Аннаниязов Мердан
Студент, Международного университета нефти и газа имени Ягшыгелди Какаева
г. Ашхабад Туркменистан
Аннотация. В Гильбертовом пространстве исследован класс нелинейных операторных уравнений первого рода. Построено приближенное решение, устойчивое относительно исходных данных задач. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения. Произведен выбор параметра регуляризации от погрешностей.
Ключевые слова: Операторное уравнение, регуляризация, сходимость, уравнение первого рода.
ВВЕДЕНИЕ
Для регуляризации решения линейного и нелинейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве посвящены работы авторов. Ранее авторами построены регуляризирующие операторы для решения операторного уравнения первого рода, когда предполагаемое точное решение истокообразно представимо через линейный оператор.
В данной работе исследовано операторное уравнение, когда линейный оператор является самосопряженным, положительным и предполагаемое точное решение истокообразно представимо через нелинейный оператор.
Пусть заданы операторы
Ьг^сЬ, tsz2(s)ds
Тогда исследуемое уравнение запишется в виде ¡1 ¡1 tsz2(s)ds (1)
Допустим, что при иф)=^4 уравнение (1) имеет точное решение zo(t) представимо в виде
zo(t)- гЦ(У= ¡0 гуо
Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение второго рода вида
Введем обозначение
Тогда уравнение (2) запишется в виде:
Введем обозначение
то из (4) имеем
Для того чтобы найти постоянную С, формулу (6) подставим в (5):
Найдем из (7) значение С:
Где
/а =\1а(№=\
- +
аЕ + ^зт(-)с/т
а
С1$ = —+
Ф
1 1
1
(г)^ГЙ^ = - + а^а^йя + (У)£&'.
О 00 ^ О
Значение Г« подставим в (8) ,имеем
1
+ ■
2 а
Г 9 1 Г 9
- г" )с1з + — 4(2« +1) 2а+ 1; а 2« + Г0 й
Формулы (9) и (3) подставим в (6) и получим
(9)
1
а
( 1
а
1
+ •
2« \ 2
4(2« + 1) 2« +1
+
+
1
2« + 1
о
I 2
+
2(2« + 1) 2« +1
2(2« + 1) 2« +1 о
+
1
2« +1
1
о
о
По предположению точное решение zo(t) уравнения (1) представимо в виде
где элемент vo(t) имеет вид
У0(0 = 220(0-2Г?(0. (12)
(12) подставим в (11):
г0(0 - 702(0 = ]>(2;0(*) - 2zl(s))ds = -
О 0 0
Отсюда получаем, что
Из тождества (14) получаем предельное соотношение
Из (15) следует верность равенства
В силу (16) формула (10) запишется в виде
Переходя к пределу при а ^ 0 из (17) имеем
Уравнение (1) при ио(1:)=1/4= имеет точное решение з^), в этом случае имеет место тождество
тогда из (18) имеем
В силу тождества (13) из (20) получим тождество zo(t)= zo(t) (21)
Тождество (21) показывает, что действительно (18) является решением уравнения
Отсюда при условии N<0,5 имеем
Из оценки следует, что при а ^ 0 т.е. решение уравнения (16) является приближенным решением уравнения (1).
Тогда решение уравнения (16) в силу представления (17) запишется в виде:
Оценим разность ~о
Используя неравенство треугольника, имеем
Второе слагаемое в правой части (25) удовлетворяет неравенству (23). Оценим первое слагаемое в правой части (25)
Отсюда при 2^0,5 имеем 8
*а
'а
<
а
1-2 N
Тогда в силу неравенств (23) и (26) из (25) имеем
(26)
\-2Ы 1-2ЛГ Введем обозначение
После введенных обозначений неравенство (27) запишется в виде:
Правая часть неравенства (29) является функцией от параметра а т.е.
Найдем минимум этой функции
Отсюда находим зависимость параметра регуляризации от погрешности 5, т.е.
Найденное значение а подставим в правую часть (30) и имеем Тогда неравенство (29) имеет вид
Отсюда следует, что при 5 ^>0
'а
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Построено приближенное решение нелинейного интегрального уравнения Ьго рода в случае, когда решение принадлежит L2 (0,1) - пространству квадратично суммируемых функций. Здесь уравнение второго рода является уравнением Эйлера для сглаживающего функционала Тихонова нулевого порядка. Получена сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения при стремлении параметра к нулю.
