Конечномерный регуляризирующий оператор для решения нелинейного операторного уравнения первого рода в Гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНЕЧНОМЕРНЫЙ РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ ОПЕРАТОР ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1 2 © Саадабаев А.С. , Абдылдаева А.Р.

1Д. ф.-м. н., профессор, кафедра «Дифференциальные уравнения» Кыргызский

национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек;

2ст. преп., кафедра «Прикладная математика и информатика», Кыргызский Государственный

технический университет им. И. Раззакова, г. Бишкек

Аннотация

Линейное операторное уравнение первого рода и его устойчивые методы решения впервые рассмотрены в работе Лаврентьева М.М. [1]. В этой статье для широкого класса нелинейного операторного уравнения I -го рода в Гильбертовом пространстве построен конечномерный регуляризирующий оператор. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения. Получена оценка между построенным приближенным решением и точным решением исходного уравнения.

Ключевые слова: нелинейное операторное уравнение, конечномерный регуляризирующий оператор.

Keywords: linear operator equation, finite regularizing operator.

Рассмотрим нелинейное операторное уравнения первого рода вида

Az=u + K(z) (1),

где A - линейный вполне непрерывный самосопряженный положительный оператор в Гильбертовом пространстве Н, K(z) - нелинейный оператор, определенный вН. Известно, что решение уравнения (1) не является устойчивым от элемента u £ Н и оператора A.

Предположим, что при u = u0 £ Нуравнение имеет единственное решение z0 £ Н. В практических задачах вместо элемента u0 известен элемент z^ £ Н , удовлетворяющий неравенству

l|uo-u5||<5 (2)

Определение. Элемент z^ £ Н называется приближенным решением уравнения (1) при u = u^, если z^ — z0 при 5-0 по норме пространства Н.

Для построения приближенного решения в бесконечномерном пространстве, следуя работе [1], наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение второго рода вида

az + Az = u + K(z) (3),

где a > 0 - малый параметр.

Известно из [2], что существуют ■■■ ■■■ ортонормированные собственные

элементы оператора A, соответствующие собственным значениям Я1 > Я2 > •■• > Як „. > 0, причем Як — 0 при k — да.

Используя это, обращая оператор (a# + A) , от уравнения (3) переходим к следующему нелинейному уравнению

да да

> , , „ fffc, (4)

Я^ + a ¿—i Я^ + a ' fc=i fc=i

где uk = (u, - коэффициенты Фурье элемента u.

Решение уравнения (3) при u = u0 обозначим через z' . Оно является решением нелинейного уравнения

© Саадабаев А.С., Абдылдаева А.Р., 2016 г.

О у , V Я* ^ г Ол л

- =$ ЯТ+а + $ ЯТ+а (К1(^' ^ ^

Я* + а ¿—к Я* + а

*=1 * к=1 *

Элемент гО удовлетворяет тождеству

да да

Из (5) вычитая (6), получаем

*=1 * *=1

О

¿а ^О

* = 1

Я*(Я* + а)

+

$

*=1

Я*

Я* + а

+

*=1 *=1 Учитывая тождество Аго = иО + К(го), получаем

"о* = -Як(Я1(гО),^к).

Подставляя это в (7), приходим к тождеству

да да Я

Я* + а /_1 Я* + а *=1 * *=1 *

Допустим, что точное решение го истокообразно представимо в виде

го = А*/О, /о £ Я, 0 < 1 < 1. Первое слагаемое в (8) оцениваем следующим образом

Рассмотрим функцию

$

*=1

^(х) =

Я* + а

9

9 + а'

=а

0 < 9 < да, 0 < 1 < 1.

а-.а*-1

Легко видеть, что точка 9О = . а является критической точкой. В этой точке функция ^(9) принимает максимальное значение и это значение равно

К9о)=1.(1-1)]

Учитывая (12), из (10) получаем

да . —-

Я* + а *=1 *

Используя эту оценку, из (8) получаем оценку

<1.(1-1)1-.а*У/оУ-

1Ьа-2о|| <Я(1)||/о11а.+

$

*=1 Я*

Я*

Я* + а

<

(да " \

$(ЯГЫ (Я1(^1)-Я1(2о))")

7"

Отсюда

Ы* + а *=1 *

<Я(1)||/о1|а.+

<

1|2а-2о| <

2оП-Я(1)||/о||а.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

(12) (13)

(14)

1 -?

где Я(1) = 1.(1 - 1)1-..

Из этой оценки следует, что ^ го при а ^ 0 по норме пространства Я. Доказана

Теорема 1. Пусть: 1) А- вполне непрерывный линейный самосопряженный положительный оператор; 2) К- нелинейный оператор, определенный в Я и представим в виде К = АЯ1, где К - нелинейный оператор, удовлетворяющий условию Липшица ||К1(г1) — К1(г")| <

— г2||, причем ? < 1; 3) при и = и0 уравнение (1) имеет единственное решение £ Я, представимое в виде г0 = /0 £ Я, 0 < 1 < 1.

Тогда решение 20(а) уравнения (3) при и = и0 сходится к точному решению уравнения (1) при а ^ 0 по норме пространства Я , причем скорость сходимости удовлетворяет неравенству (14). Рассмотрим конечную сумму

0 V , V (л^п^М „„

= 7^1 + 7 —ГЦ—. (15)

а + Я; /_1 а + Я; ¿=1 ¿=1

Вычитая из (15) точное решение уравнения (1), получим

П @ Г 0 \

0 V , V ^Т1^ л

^—20=$ ^— $—-— /(0' ^^

;=1 ; ;=1 ; ;=1 ; ;=1

Отсюда

о _ __ У Y

а,п z°- «¿ЯаС^+ЯА) $ ЯА +

¿=1 ¿=n+1

n / / n ч п да

+ / I-n---n-6 + / -n--/

V а + Яа а + Яа j ¿—I а + Яа

A=1 A=1 A=1

Учитывая, что ^ - Я;2оа - ,

получим

да

0 _ ^-¿z0À - № Y _

z«,n - z0 - -„ , -,--z0A + „ , -,--/ -

а + Яа а + Яа Z_i

¿=п+1

n n да

--а$отя^+$агя- - ^ ^¿)-$ (i6)

¿=1 ¿=1 ¿=1 Переходя к норме в (16), имеем

||z',n -Z0II < а.^0 +?Cz',n -Z0C +Я@+1«/0«-

Отсюда

||za,n — z0 У <-1—?--

Если а(п) - Я@в1 , то получим оценку

II 0 II ЯП+1|/0|

||za,n — z0 У < 1 — ? -

Доказана

Теорема 2. Пусть: 1) выполняются все условия теоремы 1; 2) а(п) - Я@в1. Тогда za,n — z0 при n — да и имеет место неравенство

Литература

1. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики // СО АН СССР. Новосибирск, 1962.

2. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т.145 № 2.

3. Саадабаев А.С., Абдылдаева А.Р. Построение конечномерного регуляризующего оператора для решения операторного уравнения первого рода // журнал «Проблемы современной науки и образования» 2016.№ 14(56).

4. Саадабаев А.С. О регуляризации нелинейного операторного уравнения первого рода // Изв. АН ССР. 1977. №1.