Регуляризирующий оператор для решения нелинейного интегрального уравнения первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Тонкие пленки. Взаимная диффузия и реакции. Под редакцией Поута Дж., Ту К., Мейера Дж. М.: Мир. 1982. 576 с.

2. Chu W.K., Mayer J.W., Nicolet M.A. Backscattering spectromety. N.-Y.: Academic Press. 1978. 384 p.

3. Кибардин А.В. Изменение профилей концентрации атомов в тонкопленочных структурах Me-Si при тепловом и радиационном воздействиях: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: УГТУ. 1996.

4. Кибардин А.В. Численное моделирование спектров резерфордовского обратного рассеяния ионов от многослойных многокомпонентных мишеней // Проблемы современной науки и образования. 2016. №1(43). С.30-34.

5. Кибардин А.В. Исследования факторов, ограничивающих применимость модели однократного резерфордовского обратного рассеяния ионов: учет состава исходного пучка частиц // Проблемы современной науки и образования. 2016. №2 (44). С.10-13.

6. Weber A., Mommsem H., Sarter W., Weller A. Double scattering in Rutherford backscattering spectra. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 1982. V. 198, p. 527-533.

7. Бажуков С.И., Кибардин А.В., Пузанов А.А., Пяткова Т.М. Двукратное рассеяние протонов от самоподдерживающейся пленки. Поверхность: физика, химия, механика. 1988. №5. С. 42-45.

8. Машкова Е.С., Молчанов А.А. Рассеяние ионов средних энергий поверхностями твердых тел. М.., 1980. 256 с.

Регуляризирующий оператор для решения нелинейного интегрального уравнения первого рода

Усенов И. А.

Усенов Изат Абдраевич / Usenov Izat Abdyraevich - кандидат физико-математических наук,

доцент,

кафедра дифференциальных уравнений, факультет математики, информатики и кибернетики,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе построен оператор регуляризации для решения одного класса нелинейного интегрального уравнения первого рода в пространстве квадратичносуммируемых функций.

Abstract: we construct a regularization operator for a class of non-linear integral equations of the first kind in the space of square-integrable functions.

Ключевые слова: интегральный оператор, регуляризация, сходимость,

пространство квадратично суммируемых функций.

Keywords: integral operator, regularization, the convergence space of square-integrable functions.

УДК 519.683.5

1. Постановка задач

В L2 рассмотрим интегральное уравнение первого рода вида

30

IK(t, s)z(s)ds = u(t) +1H(t, s)M(s, z(s))ds, (1)

0 0

1 1

где 1. K(t, s) - K(s, t) e Z2[oiWoi], Я K (' , s)z(s)z(t)dsdt > 0, u(t) e L2[oi^;

2. H(t, s) e L2 удовлетворяет равенству

s

H(t, s) - | K(t, v)dv;

(2)

3. M(s, z(s)) e C[0 истокопредставимо

в виде

“ p, (s)1

M(s,z(s)) = |Ml(v,z(v)pj(v)dv> (3)

J-1 Aj 0

где 0 <7 < 1, Mx (v, z(v)) e C[0 ^ и удовлетворяет условию Липшица по z , т. е.

\М 1 (v z1 (v)) - M1 (v z2 (v))||^ ^ N\\z1 (v) - z2 (v)|^ t] . (4)

Предположим, что

4. При u(t) = u0 (t) e L2 уравнение имеет единственное решение z0(t) e L2l0,1] ;

5. Вместо un (t) e L нам известно u*(t) e L , такое, что

0 4 y 2l0,1] S 4 y 2l0,1]

\us(t) -u0(t)|L ^S

'%1]

(5)

где S - параметр погрешности.

2. Регуляризация

Для явного представления решения используем фундаментальные функции Э. Шмидта.

Пусть \pk } ортонормированные собственные функции ядра K(t, s),

соответствующие собственным значениям {Дк }=1.

В силу теоремы Гильберта-Шмидта, имеем

1 1

|K(t, s)z(s)ds = £^7" Pk(t) zk = | z(s)Pk(s)ds.

(6)

Функцию u(t) e L2 разлагаем в ряд Фурье по системе \рк }^=1 функции

1

u(t) = Tk=1ukPk(ti uk = |u(s)Pk(s)ds. (7)

0

Используя (2), (3), (6) и (7) из (1) имеем, учитывая ортонормированность собственных функций

s 1 Pk (t )Pk (s)

Jk=1 д т-kW Tk=1ukPk (t) + JJTk=1 дсг+1

К-т Pk«)=K=, up (t)+ЯТГ-,

Mj (v, z(v))dsdv. (8)

1

0 1

0

0

0

31

Меняя порядок интегрирования в (8), получаем

ZT=1 -Г Pk (t) = 2k=l «kPk (t) + J Zk=l <Pk ^ (S) M 2 (s> M 2 0. z(s)) = J M1 0. Z0))dv • (9)

Лk 0 Лс 0

Наряду с уравнением (9) рассмотрим уравнение второго рода вида

(t)+Zk=1 ~rPk(f)=Y1=1 ukPk(f)+Xk=1MkrPk(f). Mk =JM2(s,z(s))Pk(s)ds• (10)

Kk Лk

1 k J 2 ' 0

Обе части (10) умножим на функцию рк (t) и интегрируем от 0 до 1 и, учитывая ортонормированность собственных функции рк (t) , получаем

zt Mk

<^k + ~г = «к + ^ГТ

Л Kk

(11)

Отсюда

ЛkUk

Zk =-JUl~ + ■

M„

1 + аЛ Л (l + аЛ )

Подставляя (12) в (10), имеем

z(t) = у (t) + У Mk

() Ус=11 + аЛк Pk Уk=1 Лк(1 + аЛк)

(12)

Pk (t) • (13)

Покажем, что:

~ / \ ^ Xk«k ,■ ч j

1. Элемент z0(t) = y^l -----— Pk (t) е L2[oi] при любом а >

1 + (ХЛъ-

0 , на самом деле

( ) L

'2[0.1]

У” Ja. P (t)

У=11 + аЛ, Pk (

<-ll II

а

\\ь

2[0.1]

'2[0.1]

2. Оператор K (z) = У ——k-------г р, (t): L — L при

р р ^ у=1 л(1 + a\)Pk 2[0Д] 2[од] р

(14)

любом а > 0 и

+ а

ограничен при а — 0. Действительно: Если

1 /2. \1 — п п гг—1 1

3 1 _п

Л0 =----. то

ап

Л -1(1 + аЛо) Следовательно

(л \1-п п п-1

= (1 - п) па

Л0 1(1 + аЛ0) Л0

1 \~п п+1 п

+ = (1 -п)пп

п п+1 п

а •

к(1+аЛ)

Оценим норму

l|Kа(z ) ^

Еда

k =1

-2[о,1] —k=1 Лп(1 + а\)

где K0 = Sup\M2 (t,0)||

0<t<1

< (l -п) ппс ' ап

< (1 -п)-ппп+1ап^Kо + N||z(s)||Si] j > (15)

Pk (t)

j2[0,i]

IlL

2[0.1]

Допустим, что постоянная Липшица N удовлетворяет условию N < (l -п)п п)1а п . Тогда оператор Ka (z) будет ограничен при а —— 0.

3. Оператор Ка при любом z, z2 е H удовлетворяет условию Липшица

32

||Ka (Z1 ) - Ka (Z2 ^L ^ (l - °') a&a+1aaN\\Z1 (t) - z2 (t^L

2[o.i]

•2[0.1]

(16)

Следовательно, оператор Ka является сжимающим.

Нелинейное уравнение (13) решаем методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем элемент z0 (t) .

Остальные приближения определяются по формуле

zi (t) = Ka(z,-l). j = 1.2.-.

(17)

По методу математической индукции можно доказать, что при j > 2 е N справедливо неравенство

Л ' " ' '"кп

\\zj(t) - zj-1 (t)L2[o t] ^ ((l - ^)-ет^ет+1«етn) (^k0N- +1~(t^1 ^ t] ). (18)

Следовательно, условие q = (i -о)-аоа+1аа N < 1 обеспечивает сходимость последовательности приближения, т.е. lim z, (t) = za (t).

j^x j

В (17) переходя к пределу при j ^ x и используя непрерывность функции М2 (s. z(s)), имеем

А и

za (t) = Zk I ■ k k (t) + Zk=1

k=11 + aA k=1

Мъ

Jk=4 + a\

Таким образом, доказано.

Ak (1 + aAk )

Pk (t) . (19)

Теорема 1. Пусть: 1. выполняются условия 1),2),3). 2. Постоянная Липшица N для функции Му (v. z(vy) е С[01]хД удовлетворяет условию

N < (1 -<jf о-a+')1a~a . Тогда при любом u(t)eL2 и a> 0 уравнение (13)

имеет единственное решение z (t)е L2[o.1] .

Теорема 2. Пусть: 1. выполнены все условия теоремы 1; 2) точное решение уравнения (1) представимо в виде

(t) = ZLl’jjk Pk (t). Vk = jv(s)Pk (s)ds. v(s) е L2[0.1] . 0 < P < 1 .

Тогда

решение z (t) уравнения (13) при u(t) = uQ (t) сходится к точному решению z0 (t) уравнения (1) при a ^ 0 .

Доказательство: В силу (19) решение z° (t) запишется

а) = TOpk(t)+TL AfftOl!M2(s.za(s))pk(s)dspk(t. (20)

(1 + aAk) ■

ck yck V 1 x*''''k J 0

Тогда предполагаемое точное решение уравнения (1) представимо в виде

1 1

z0(t) = Zk=1AkU0 kPk (t) + Zk=1lfj M2(s. z0(s))Pk (s)dsPk (t) . (21)

A

k 0

1

z

0

0

33

Оценивая норму Z°(t) — z0(t) , имеем, учитывая коэффициенты Фурье

11 L2[0,1]

Z 1 1

~Т — 1^11M 2(S Z0 (S)Vk (s)ds ,

u k =1 -J^T J M 2(s Z0(

Кk Кk 0

Z0k

ЛГ

°a(t) — Zo(t)|| <(1 — ')1—''P'aP\vk\ +(1 — o)-—^^N\z0a(t) — Zo(t)|| . (22)

^2[о,1] 22[o,i] 11 И^2[о,1]

В силу, что q = (1 — <J) a&a+1aaN < 1 из (22), имеем

Z0(t) — Zo(t)||r < ^, q,=d — 'fP'

v,.

L2[0,1]

(23)

llL2[o,1] 1 — q

Скорость сходимости удовлетворяет условию (23).

Далее рассмотрим условие (5). Решение ZSa (t) при u(t) = us (t) представимо в виде

Z“(t) = ^-IX 9k(t) +

k К (1 + aXk )

Оценивая разность ZSa (t) — z0 (t), имеем

1

EL w;—л JM2(s, ZS (s))Vk (s)ds<Pk(t)

v

k

0

IIzS (t)—Zo(t <1 zs (t)—Z°°‘(ti%i] +1 lZ«(t)—Zo(ti%ii <~^ [S+q'aP). (24)

Минимизируя правую часть неравенства (24), определяем зависимость параметра регуляризации a от погрешности S , т.е.

a

(S) =

-IS,

%P.

7P+1

(25)

Найденное значение a подставим в правую часть (24), имеем

L)(t)—Zo(t)| <q*S'x* q2 = 7^(q1pYP+1 (1+ '—1).

lz2[o,1] 1 — q

(26)

1 ^[0,1] 1 — q

Отсюда следует, что при S ^ 0 ZSa^S~)(t) ^ z0(t) по норме L2 ^^, и ZSa^S~)(t)

является приближенным устойчивым решением уравнения (1).

Скорость сходимости удовлетворяет неравенству (26).

Теорема 3. Пусть:1. Выполняются все условия теоремы 2. 2. Элемент us (t) удовлетворяет условию (5). 3. Параметр x(S) выбран по формуле (25). Тогда

решение уравнения (13) ZS (t) при S ^ 0 сходится к точному решению уравнения

(1). Скорость сходимости удовлетворяет условию (26).

Заключение

Обоснование метода регуляризации, предлагаемого в данной работе, заключается в следующих результатах исследования:

1) построен регуляризирующий оператор в L2

2) доказана сходимость регуляризированного решения к точному решению исходного уравнения;

3) получен выбор параметра регуляризации в зависимости от погрешности правой части;

4) получена оценка скорости сходимости регуляризированного решения к точному решению.

34

Литература

1. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. -Новосибирск, 1962.

2. Саадабаев А. Приближенные методы решения нелинейных интегральных и операторных уравнений 1-го рода. - Бишкек, 1997.

3. Усенов И. А. О регуляризируемости решения нелинейного интегрального уравнения первого рода // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и информатики», посвященная 80-летию со дня рождения академика НАН РК Касымова К. А., Алматы, Казахстан, 2015, стр. 124-125.

Линейное интегральное уравнение Вольтерра-Стилтьеса первого рода с двумя независимыми переменными Байгесеков А. М.

Байгесеков Абдибаит Мажитович /Baigesekov AbdibaitMajitovich - старший преподаватель,

кафедра высшей математики,

Баткенский государственный университет,

Сулюктинский гуманитарно-экономический институт, г. Сулюкта, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе для линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса первого рода с двумя независимыми переменными построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности в C (G).

Abstract: in this paper, for linear integral equations of Volterra-Stieltjes of the first kind with two independent variables is constructed regularizing operators by M. M. Lavrentyev and proved the uniqueness theorem in C (G).

Ключевые слова: единственность, регуляризация, линейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса с двумя независимыми переменными первого рода.

Keywords: singularity, regularization of the integral equations, linear Volterra-Stieltjes integral with two independent variables of the first kind.

УДК 517. 968

Рассмотрим уравнение

t t X

IK{t,x,s)u(s,x')d^<s)+^^N(t,x,s,y)u(s,y)dw(y)dq(s') = fit,x), (t,x)e G, (l)

t0 t0 x0

где u(t, x) - искомая, K (t, x, s), N(t, x, s, y) -ядра, f (^ x) - известная функция; f(to, x) = 0 при x e[xo, X ]; G = {(t, x) :to < t < T, xo < x < X },p(\^(x) -

известные строго возрастающие непрерывные функции.

Вопросы регуляризация, единственности и существования решений интегральных уравнений Вольтерра с двумя независимыми переменными исследованы в [1, 2]. В работе [3] исследованы интегральные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. Различные вопросы для систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода рассматривались в [4,5]. В [6,7] исследованы вопросы регуляризации решений интегральных уравнений первого рода. В данной работе построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности решения уравнения (1) в классе C (G).

35